О степенной структуре графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6 Б01 10.17223/2226308Х/8/7

О СТЕПЕННОЙ СТРУКТУРЕ ГРАФОВ

В. М. Фомичев

Представлены свойства степенной структуры различных классов графов, описана степенная структура минимальных примитивных орграфов с числом вершин п и числом дуг п + 1 и п + 2. При любом п ^ 5 и при к = 2,..., п — 3 показано существование п-вершинного минимального примитивного орграфа с числом дуг п + к и со степенной структурой {(1,1)п-1, (к + 1, к + 1)1}.

Ключевые слова: минимальный примитивный граф, степенная структура графа.

В [1] введено мультимножество, называемое степенной структурой графа. Укажем определяющие свойства степенной структуры графов.

1. Ориентированные графы

Для п-вершинного орграфа Г обозначим пГ,8 число вершин с полустепенью захода г и полустепенью исхода в, где 0 ^ г, в,пГ,8 ^ п. Целое неотрицательное число пГ,8 называется кратностью пары (г, 5) полустепеней вершин в орграфе Г. Мультимножество всех пар (г, 5) полустепеней вершин в орграфе Г называется степенной структурой орграфа Г, обозначается Д(Г). Таким образом, Д(Г) = {(г, в)""^8}, где, как правило, пары с нулевой кратностью не записаны в мультимножестве Д(Г).

Например, степенная структура контура К длины и имеет вид Д(К) = {(1,1)п}, степенная структура полного п-вершинного орграфа Г имеет вид Д(Г) = {(п,п)п}.

Для степенной структуры и-вершинного орграфа Г, заданной мультимножеством Д(Г) = {(г, в)""^8}, выполнен ряд свойств.

1) Для орграфа Г с числом вершин п > 1 и с числом дуг т

^ пг,5 = п; (1)

^2 (г + 5)пг,5 = 2т. (2)

Равенство (2) есть запись одной из первых теорем теории графов, доказанных Эйлером, в терминах степенной структуры орграфа.

2) Если орграфы Г и Г' изоморфны, то Д(Г) = Д(Г').

3) В орграфе Г:

— по,о есть число изолированных вершин;

— ^2 п0,8 есть число вершин с полустепенью захода 0;

— ^2 пг,0 есть число вершин с полустепенью исхода 0;

г

— если орграф Г сильносвязный, то п0,8 = пГ,0 = 0 при любых в и г;

— число ациклических неизолированных вершин не меньше У] п0,8 + ^2 пГ,0;

8>0 г>0

— число циклических вершин не превышает п — ^2 п0,8 — ^2 пГ,0.

8 Г

4) Пусть X есть п-множество, Г(д) —граф преобразования д множества X, тогда

— пГ,8 = 0 при любом в = 1, г любое;

Теоретические основы прикладной дискретной математики

21

— равенства (1) и (2) имеют вид

под + пм + ... + Пп, 1 = п; (3)

п

£(г + 1)пг,1 = 2п; (4)

г=0

— По,1 есть число элементов X, не имеющих прообразов относительно д;

— число ациклических вершин не меньше п0,1;

— число циклических вершин не превышает п — п0,1.

2. Неориентированные графы

Для п-вершинного графа Г обозначим д(г) число вершин степени г, 0 ^ г, д(г) ^ п (кратность степени г). Мультимножество допустимых натуральных чисел г назовём степенной структурой графа Г (обозначим её Д(Г)); таким образом, Д(Г) = {г^}, при д(г) = 0 элемент г опускается.

Например, степенная структура цикла С длины п имеет вид Д(С) = {2[п]}, степенная структура полного п-вершинного графа Г имеет вид Д(Г) = {п[п]}.

Для степенной структуры п-вершинного графа Г, заданной мультимножеством Д(Г) = {г[?(г)]}, выполнен ряд свойств.

1) Для графа Г с числом вершин п > 1 и с числом рёбер т

д(0) + д(1) + ... + д(п) = п; (5)

£ гдг = 2т. (6)

г

2) Если графы Г и Г' изоморфны, то Д(Г) = Д(Г').

3) д(0) есть число изолированных вершин.

3. Описание степенной структуры минимальных примитивных орграфов

Примитивный орграф называется минимальным, если любая его п-вершинная часть не является примитивным графом. Обозначим Г^^п, т) множество всех минимальных примитивных п-вершинных орграфов с числом дуг т > п.

Теорема 1 [1]. При п ^ 3 орграф Г е Г^ш^п + 1), если и только если Г есть объединение двух простых контуров взаимно простых длин / и Л, общая часть которых есть путь длины д, где 0 ^ q ^ п — 2, / > Л, / + Л — q = п +1; при д = 0 общая часть контуров есть вершина.

Следствие 1. Для Г е Г^п(п, п+1), где п ^ 3, или £(Г) = {(1,1)п-2, (1, 2), (2,1)}, или ДГ) = {(1,1)п-1, (2, 2)}.

Теорема 2 [1]. Если Г е Г^^п, п + 2), то ^(Г) принадлежит следующим 9 классам при указанных п:

№ п ^ ... Я(Г) № п ^ ... Я(Г)

1 5 (1,1)п-1, (3, 3)1 6 6 (1,1)п-3, (2,1)2, (1, 3)1

2 5 (1,1)п-2, (2,1)1, (2, 3)1 7 6 (1,1)п-3, (1, 2)2, (3,1)1

3 5 (1,1)п-2, (1, 2)1, (3, 2)1 8 6 (1,1)п-3, (1, 2)1, (2,1)1, (2, 2)1

4 5 (1,1)п-2, (2, 2)2 9 6 (1,1)п-4, (1, 2)2, (2,1)2

5 4 (1,1)п-2, (1, 3)1, (3,1)1

Лемма 1. Пусть а,Ь — взаимно простые натуральные числа, тогда любое натуральное п > аЬ представимо линейной комбинацией п = /а + ЛЬ, где /, Л > 0.

Теорема 3. Для любого п ^ 5 и к = 2,..., п — 3 имеется орграф Г е Г^^п, п + к) со степенной структурой Д(Г) = {(1,1)п-1, (к + 1, к + 1)1}.

В силу леммы любое число, не меньшее 7, представимо линейной комбинацией 2/ + ЗА, где /, А > 0. Значит, при п ^ 5 и к = 2,... , п — 3 множество дуг орграфа (порядка п + к) можно разделить на / контуров длины 2 и А контуров длины 3 с единственной общей вершиной, что обеспечивает примитивность и минимальность орграфа. Для данного орграфа п + к = 2/ + ЗА, п = / + 2А +1, отсюда к = / + А — 1. Значит, степенная структура имеет требуемый вид.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фомичев В.М. Свойства минимальных примитивных орграфов // Прикладная дискретная математика. 2015. №2(28). С. 86-96.