Структурные свойства минимальных примитивных орграфов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2018 Прикладная теория графов №41

УДК 519.1

СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА МИНИМАЛЬНЫХ ПРИМИТИВНЫХ ОРГРАФОВ

Ф. В. Лебедев

ООО «АСП Лабс», г. Москва, Россия

Описаны классы n-вершинных минимальных примитивных орграфов с числом дуг (n + 3), приведены их степенные структуры. Установлена зависимость структурных свойств n-вершинных минимальных примитивных орграфов от числа дуг. В частности, получена оценка количества классов таких графов с (n + k) дугами.

Ключевые слова: примитивная матрица, примитивный орграф, сильносвязный орграф.

DOI 10.17223/20710410/41/7

STRUCTURAL PROPERTIES OF MINIMAL PRIMITIVE DIGRAPHS

P. V. Lebedev Ltd «ASP Labs», Moscow, Russia E-mail: [email protected]

Let Гр(n, m) be the set of all minimal primitive n-vertex digraphs with m arcs. The purpose of the research is to describe the new classes of digraphs Г е Гр(n, n + 3) and their graph degree structures D(r). This problem is important for the analysis of mixing properties of round transformations, e.g. symmetric iterative block ciphers. A matrix M is said to be primitive if there is a power Me = ) such that

(e)

mi j > 0 for all i and j; the least power e with this property is called an exponent of M. The conceptions of the primitiveness and exponent of the matrix M expand to the digraph Г with the adjacency matrix M. The minimal primitive digraph is a digraph of which adjacency matrix loses its primitiveness property after replacing any positive element by zero. The main results of our research are the following: 1) for the minimal primitive digraph Г е Гр(n,n + 3), graph degree structures D(r) are described via solutions of the equation щ , 2+n2 ,i + 2щ, з + 2n2 , 2 + 2n3 д + 3ni , 4 + 3n2 , 3 + + 3n3 , 2 + 3n4 д + ... + (n — 2)nn-1 д = 6 and represented in the table of D(r) values; 2) it is proved that D(r), for digraphs from the set Гр(n, n + k), are determined and can be calculated by D(r) for Г е Гр (n — 1 , n + k — 2); 3) it is proved that the number of classes of digraphs Гр(n, n + k) could be estimated via solutions of the equation ni,2 + n2,i + 2ni,3 + 2n3,i + 3ni,4 + 3n4,i + 4ni,5 + 4n5,i + ... + kni,fc+i + knfc+1,1 = 2k and graph degree structures for Г е Гр(n — 1,n + k — 2); 4) N3 ^ 34 and N2 ^ 9, where N is the number of classes in Гр(n, n + i).

Keywords: primitive matrix, primitive digraph, strongly connected digraph.

Введение

Зачастую криптографические преобразования представляют собой систему булевых функций, заданную координатными функциями /1(х1,..., хт),... , /га(хь ... , хт). Особенность такой системы в том, что её надёжность напрямую зависит от перемешивания входов. Чем больше существенных переменных у каждой координатной функции системы, тем она надёжнее. Наилучший эффект достигается тогда, когда каждая координатная функция существенно зависит от каждой переменной, в таком случае имеется так называемое полное перемешивание входов. Перемешивание входов можно охарактеризовать с помощью ориентированного графа, которому можно сопоставить неотрицательную матрицу, называемую матрицей смежности графа, поэтому для исследования связей между элементами удобно применять матрично-графовый подход [1]. Обзор известных результатов по этому направлению дан в [2]. Сложность реализации системы характеризуется, в частности, числом связей (дуг орграфа Г). Минимальные примитивные матрицы (МПМ) и орграфы (МПО) представляют интерес с точки зрения экономной реализации коммуникативной системы. Результаты исследования МПО содержатся в [3], где описаны структурные свойства п-вершинных МПО с (п +1) и (п + 2) дугами.

В данной работе проведено исследование структурных свойств п-вершинных МПО с (п + 3) дугами, что является расширением известных результатов и логическим продолжением [3]. Основные обозначения, используемые в работе:

— Гр(п,т) —множество минимальных примитивных орграфов с числом вершин п и числом дуг т;

— К * — система контуров;

— О (Г) — степенная структура орграфа Г;

— пг,5 — количество вершин с полустепенью захода г и полустепенью исхода в;

— р,1 — полустепень захода вершины г;

— qi — полустепень исхода вершины г;

— [г,3] —простой путь в орграфе Г из вершины г в вершину ].

1. Подход к описанию структурных свойств минимальных примитивных

орграфов

Заметим, что матрица и соответствующий ей граф одновременно либо примитивны, либо непримитивны, поэтому в работе используется язык теории графов. В [3] вводится понятие степенной структуры орграфа — таблицы положительных чисел пг,3 при всех допустимых значениях г и в, описывающих количество заходящих и исходящих дуг вершины п. В [3] также впервые вводятся понятия примитивной (минимальной примитивной) системы контуров — такой, что натянутый на неё подграф примитивен, и К *-изолированной дуги — не принадлежащей ни одному из контуров системы К *. В [3] доказаны теоремы, являющиеся основными в области изучения структурных свойств МПО.

Теорема 1 [3]. Если граф Г € Гр (п, т) при некоторых натуральных п и т, К * — примитивная (минимальная примитивная) система контуров в Г ив Г имеется К *-изолированная дуга, то при любом натуральном к имеется орграф Гк из Гр(п + к,т + к), являющийся к-расширением графа Г и содержащий систему К*. Если при этом орграф Г минимальный, то имеется к-расширение Гд, являющееся минимальным примитивным графом.

Теорема 2 [3]. При п ^ 3 орграф Г € Гр(п, п + 1) тогда и только тогда, когда Г есть объединение простых контуров взаимно простых длин I и Л, общая часть которых есть путь длины д, где / > Л; I + Л — q = п +1; 0 ^ д ^ п — 2; при д = 2 общая часть контуров есть вершина.

Классы п-вершинных МПО с (п + к) дугами можно описать системой из двух уравнений, одно из которых перечисляет удвоенное число дуг в графе (в соответствии с теоремой Эйлера [4]), а другое — число вершин в данном графе:

2п1,1 + 3п1,2 + 3п2,1 + 4п1,з + 4п2,2 + 4пз1 + ... + пп„_1,1 = 2(п + к); (1)

п1,1 + п1,2 + п2,1 + п1,з + п2,2 + пз,1 + пМ + п2,з + пз,2 + п4,1 + ... + п„_М = п. (2)

Систему, состоящую из уравнений (1) и (2), обозначим (*). Решив её, можно описать все классы минимальных примитивных орграфов, принадлежащие Гр(п, п + к). Заметим, что уравнения системы (*) относятся к классу диофантовых уравнений, описанных в [5], однако интерес представляют только неотрицательные решения, поскольку они являются количественными характеристиками графа. Вычитая из уравнения (1) удвоенное уравнение (2), получим

п1,1 + п2,1 + 2п1,з + 2п2,2 + 2пз,1 + 3п1,4 + 3п2,з + 3пз,2 + 3п4,1 +... + (п — 2)п„_1,1 = 2к. (3)

При к =1 уравнение (3) имеет вид

п1,2 + п2,1 + 2п1,з + 2п2,2 + 2пз,1 = 2. (4)

Уравнение (4) описывает случай, когда число дуг превосходит число вершин орграфа на единицу и имеет два решения в целых неотрицательных числах, соответственно имеется два класса Гр (п, п +1).

1 класс: п1,2 = п2,1 = п1,з = пз,1 = 0, п2,2 = 1. Пример графа приведен на рис. 1.

Рис. 1. Граф Г, п = 3, Б(Г) = {(1,1)2, (2, 2)1}

В соответствии с теоремой 1 степенная структура графов первого класса имеет следующий вид: О(ГЛ) = {(1,1)к+2, (2, 2)1}.

2 класс: п1,2 = п2,1 = 1, п1,з = пз,1 = 0. Пример графа представлен на рис. 2. Степенная структура графов второго класса имеет вид О(Гк) = {(1,1)к+2, (1, 2)1, (2,1)1}.

Применяя данный подход к исследованию структурных свойств МПО, приведём ещё одну формулировку теоремы 2.

Теорема 3. Если минимальный примитивный орграф Г € Гр(п, п + 1), то О(Г) принадлежит классам, описанным в табл. 1.

Рис. 2. Граф Г, п = 4, £(Г) = {(1,1)2, (1, 2)1, (2,1)1}

Таблица 1 Классы минимальных примитивных орграфов

Г е Гр(п, п + 1)

№ п/п п Я(Г)

1 > 3 {(1,1)п-1, (2, 2)1}

2 > 4 {(1,1)п-2, (1, 2)1, (2,1)1}

Данный подход впервые предложен в [3] и отражён в теореме 4.

Теорема 4. Если минимальный примитивный орграф Г е Гр (п,п + 2), то О(Г) принадлежит классам, описанным в табл. 2.

Та б л и ц а 2 Классы минимальных примитивных орграфов Г е Гр(п, п + 2)

№ п/п п Я(Г)

1 > 5 {(1,1)п-1, (3, 3)1}

2 > 5 {(1,1)п-2, (2,1)1, (2, 3)1}

3 > 5 {(1,1)п-2, (1, 2)1, (3, 2)1}

4 > 5 {(1,1)п-2, (2, 2)2}

5 > 4 {(1,1)п-3, (3,1)1, (1, 3)1}

6 > 6 {(1,1)п-3, (1, 3)1, (2,1)2}

7 > 6 {(1,1)п-3, (1, 2)2, (3,1)1}

8 > 6 {(1,1)п-3, (2,1)1, (1, 2)1, (2, 2)1}

9 > 6 {(1,1)п-4, (2,1)2, (1, 2)2}

Заметим, что с ростом разницы числа дуг и вершин количество решений значительно увеличивается, соответственно сложность описания классов МПО возрастает.

Так как в любом графе сумма всех полустепеней исхода равна сумме всех полустепеней захода, можно сказать, что числа пг,3 связаны следующим равенством:

^2 гг = ^2 кГ1,в1 Зг, (5)

где кГи31 —коэффициент при пГи31, = гг + вг — 2.

2. Структурные свойства п-вершинных МПО с (п + 3) дугами Теорема 5. Если минимальный примитивный орграф Г е Гр(п, п + 3), то О(Г) принадлежит классам, приведённым в табл. 3.

Таблица 3 Классы минимальных примитивных орграфов Г е Гр(п, п + 3)

№ п/п п Я(Г)

1 > 6 {(1,1)-1, (4, 4)1}

2 > 6 {(1,1)п-2, (2,1)1, (3,4)1}

3 > 6 {(1,1)п-2, (1, 2)1, (4, 3)1}

4 > 6 {(1,1)п-2, (2, 2)1, (3, 3)1}

5 > 7 {(1,1)п-3, (2,1)1, (1, 2)1, (3, 3)1}

6 > 5 {(1,1)п-2, (1, 3)1, (4, 2)1}

7 > 7 {(1,1)п-3, (1, 2)2, (4, 2)1}

8 > 6 {(1,1)п-2, (3,1)1, (2,4)1}

9 > 7 {(1,1)п-3, (2,1)2, (2,4)1}

10 > 6 {(1,1)п-3, (2, 2)1, (1, 2)1, (3, 2)1}

11 > 8 {(1,1)п-4, (2,1)1, (1, 2)2, (3, 2)1}

12 > 6 {(1,1)п-2, (2, 3)1, (3, 2)1}

13 > 7 {(1,1)п-3, (1, 3)1, (2,1)1, (3, 2)1}

14 > 6 {(1,1)п-3, (2, 2)1, (2,1)1, (2, 3)1}

15 > 8 {(1,1)п-4, (1, 2)1, (2,1)2, (2, 3)1}

16 > 7 {(1,1)п-3, (3,1)1, (1, 2)1, (2, 3)1}

17 > 7 {(1,1)п-4, (2,1)3, (1,4)1}

18 > 7 {(1,1)п-3, (2,1)1, (3,1)1, (1,4)1}

19 > 7 {(1,1)п-4, (1, 2)3, (4,1)1}

20 > 7 {(1,1)п-3, (1, 2)1, (1, 3)1, (4,1)1}

21 > 6 {(1,1)п-3, (2, 2)3}

22 > 7 {(1,1)п-4, (2, 2)2, (1, 2)1, (2,1)1}

23 > 5 {(1,1)п-4, (2, 2)2, (1, 3)1, (3,1)1}

24 > 7 {(1,1)п-5, (2, 2)1, (1, 2)2, (2,1)2}

25 > 7 {(1,1)п-4, (2, 2)1, (1, 3)1, (2,1)2}

26 > 7 {(1,1)п-4, (2, 2)1, (3,1)2, (1, 2)2}

27 > 7 {(1,1)п-5, (3,1)1, (2,1)1, (1, 2)3}

28 > 6 {(1,1)п-4, (1, 3)1, (3,1)1, (2,1)1, (1, 2)1}

29 > 8 {(1,1)п-5, (1, 3)1, (1, 2)1, (2,1)3}

30 > 9 {(1,1)п-6, (1, 2)3, (2,1)3}

Доказательство. Если сильносвязный орграф Г е Гр (п, п + 3), то числа пг,3 связаны системой (*) при к = 3. Составим уравнение, описывающее данные классы МПО, аналогично уравнению (4):

П1,2 + П2,1 + 2П1,3 + 2п2,2 + 2пз,1 + 3п1,4 + 3п2,3 + 3пз,2 + 3П4,1 + ... + (п - 2)пп-1,1 = 6. (6)

Определим решения уравнения (6) относительно целых неотрицательных чисел пг,3 и укажем примитивные графы без петель, соответствующие полученным решениям. Заметим, что пг,3 = 0 при г + в > 8, следовательно, уравнение (6) равносильно следующему упрощённому уравнению:

п1,2 + п2,1 + 2п1,з + 2п2,2 + 2пз,1 + 3п1,4 + 3п2,3 + 3пз,2 + 3п4,1 + 4п1,5 + 4п2,4 + +4пз,з + 4п4,2 + 4п5,1 + 5п1,б + 5п2,5 + 5пз,4 + 5п4,з + 5п5,2 + 5пб,1 + 6п1,7+ (7)

+6п2,б + 6пз,5 + 6п4,4 + 6п5,з + 6пб,2 + 6п7,1 = 6.

Пусть пг,3 = 1, а все остальные переменные равны нулю, тогда в Г имеется вершина г, гдерг = г, qi = в, то есть имеются дуги (г, а), (г, Ь),..., (г, г), где г, а, Ь,..., г различны. Орграф Г — сильносвязный, значит, в Г имеются простые пути [а, г], [Ь, г],... , [г, г].

Так как рг = з, эти пути сходятся в з путей, при этом в Г имеется вершина ] = г, где р^- = з. Тогда при некоторых г и з имеем противоречие. Таким образом описываются классы МПО в [4]. Имеется 30 классов решения уравнения (7).

1-й класс. Положим п4,4 = 1. В этом случае Г есть объединение четырёх контуров, пересечение множеств вершин которых состоит из единственной вершины, а любая другая вершина принадлежит только одному из контуров. Пример графа приведён на рис. 3.

Рис. 3. Граф Г, п = 6, ДГ) = {(1,1)5, (4, 4)1}

Степенная структура данного класса МПО имеет вид О(Гк) = {(1,1)к+5, (4, 4)1}.

Если пз,5 = 1, то все остальные переменные в уравнении (7) равны нулю, следовательно, необходима ещё хотя бы одна вершина, чтобы уравнять количество входящих и исходящих дуг в графе. Отсюда следует, что если пга- = 1, г + ] = 8, г = ], то уравнение (7) не имеет решений.

Рассмотрим упрощённое уравнение

п1,2 + п2,1 + 2п1,з + 2п2,2 + 2пз,1 + 3п1,4 + 3п2,3 + 3п3,2 + 3щ,1 + 4п1,5 + 4п2,4 +

(8)

+4пз,з + 4п4,2 + 4п5,1 + 5п1,б + 5п2,5 + 5пз,4 + 5п4,з + 5п5,2 + 5пб,1 = 6,

оно имеет ещё 29 решений. Путём аналогичных рассуждений получаем оставшиеся 29 классов. ■

3. Зависимость структурных свойств п-вершинных МПО от числа дуг

Определение 1. Назовём вершину, у которой полустепень исхода совпадает с полустепенью захода и равна 1, моновершиной.

Утверждение 1. Если существует решение уравнения (5) вида пг1,г2 = а1, ..., пгт,гт+1 = ат, то пг2,г1 = аь ... , пгт+Мт = ат также является решением уравнения (5).

Следствие 1. Графы, соответствующие таким решениям, изоморфны.

Утверждение 2. Класс МПО Гр(п+р, п+р+к) образуется добавлением р вершин и (р +1) дуг в соответствующие множества класса Гр(п, п + к — 1).

Доказательство. Количество вершин в полученном графе составит (п + р), а количество дуг — (п + к — 1 + р + 1) = п + к + р, отсюда следует, что количество дуг превышает количество вершин на к. ■

Пример 1. На рис.4 изображён граф Г1 е Гр(5,7) со степенной структурой О(Г1) = {(1,1)4, (3, 3)1}.

Рис. 4. Граф Г1 е Гр(5, 7), ДГ1) = {(1,1)4, (3, 3)1}

Добавим одну вершину и две дуги в соответствующие множества графа Г1 так, чтобы получить граф Г2, изображённый на рис. 5.

Рис. 5. Граф Г2 е Гр(6, 9), £(Г) = {(1,1)5, (4, 4)1}

Как видно из рис. 4 и 5, графы Г1 и Г2 принадлежат множествам МПО, у которых разница между количеством дуг и вершин равна двум и трём соответственно, однако граф Г2 имеет на одну вершину больше. Заметим, что изменение степенной структуры говорит об увеличении количества вершин на 1 и количества дуг на 2.

Далее под типом вершины понимается характеристика вершины, описывающая количество заходящих и исходящих дуг данной вершины. Важно отметить, что в степенной структуре орграфа описываются все его типы вершин.

Пример 2. Рассмотрим степенную структуру орграфа Г, принадлежащего 28-му классу Гр(п, п + 3), О(Г) = {(1,1)^ (1, 3)1, (3,1)1, (2,1)1, (1, 2)1}. Граф Г имеет пять типов вершин: (1,1), (1, 3), (3,1), (2,1), (1, 2).

Утверждение 3. Степенные структуры графов из множества Гр (п, п + к) с точностью до количества моновершин определяются степенными структурами графов из множества Гр (п — 1, п + к — 2).

Доказательство. Пусть а и Ь — вершины графа Г1 е Гр(п — 1,п + к — 2), при этом допустимо а = Ь. Так как добавляются две новые дуги (обозначим их А и В) и одна новая вершина (обозначим её й), то одна дуга является исходящей из этой вершины, а другая заходящей в неё, значит, (р^,^) = (1,1). Пусть дуга А исходит из а и заходит в й, а дуга В исходит из й и заходит в Ь, следовательно, степенная структура графа изменится и будет известна с точностью до количества моновершин в силу теоремы 1. ■

Утверждение 4. Степенная структура графа Г е Гр(п, п + к) может быть получена из различных степенных структур графов множества Гр(п — 1, п + к — 2).

Пример 3. Рассмотрим МПО Г1, Г2 е Гр(п,п + 2), которые представлены на рис. 6, и их степенные структуры для п = 5: Д(Г1) = {(1,1)3, (2,1)1, (2, 3)1}, Д(Г2) = = {(1,1)3, (1, 2)1, (3, 2)1}.

Рис. 6. Г1, Г2 е Гр(5, 7)

Добавив к графу Г1 одну вершину и две дуги, можно получить граф Гз, такой, что Д(Гз) = {(1,1)3, (3,1)1, (2, 3)1}. Также, определённым образом добавив к графу Г2 одну вершину и две дуги, можно получить граф Г4, такой, что Д(Г4) = = {(1,1)3, (2, 3)1, (3, 2)1}. Заметим, что степенные структуры графов Гз и Г4, которые

представлены на рис. 7, совпадают.

Рис. 7. Гз, Г4 е Гр(6, 9), Я(Гз) = Д(Г4) = {(1,1)3, (2, 3)1, (3, 2)1}

Отметим, что графы Гз и Г4 изоморфны и являются частными случаями графов 12-го класса п-вершинных МПО с количеством дуг (п + 3) для п = 6.

Утверждение 5. Количество классов Гр(п, п + к) можно оценить с помощью степенных структур классов Гр(п — 1, п + к — 2) и количества решений уравнения

п1,2 + п2,1 + 2п1,з + 2пз,1 + 3п1,4 + 3п4,1 + 4п1,5 + 4п5,1 + ... + кп1,к+1 + кпк+1,1 = 2к. (9)

Доказательство. Пусть вк-1,г — число типов вершин г-го класса из Гр (п — 1,

п + к — 2), тогда £ ви-\,г является оценкой сверху количества новых классов, не со-

г

держащих вершин, имеющих либо одну заходящую дугу, либо одну исходящую, за

исключением моновершин. С другой стороны, графы Г Е Гр(п, п + к) такого вида описываются уравнением (9). Пусть ¿к — количество решений уравнения (9), N — количество классов Гр(п, п + к). Зная степенные структуры классов Гр(п, п + к — 1), по утверждению 3 можно получить степенные структуры всех классов Гр(п, п + к), при этом процесс подсчёта новых классов усложняется согласно утверждению 4. Отсюда следует, что N ^ ^ 8к-1,г + ¿к. ■

г

Пример 4. Рассмотрим классы Гр(п, п + 2). Согласно теореме 4, имеется 9 классов с различными степенными структурами и 26 типов вершин различных классов, описанных в табл. 2. Имеется 8 классов п-вершинных МПО с (п + 3) дугами, приведённых в табл. 3 и удовлетворяющих уравнению

п1,2 + п2,1 + 2п1,з + 2пз,1 + 3п1,4 + 3п4,1 = п. (10)

Данные классы описаны в табл. 4.

Таблица 4 Классы минимальных примитивных орграфов Г £ Гр(п,п + 3), удовлетворяющих уравнению (10)

№ п/п n D(r)

1 > 7 {(1,1)n-4, (2,1)3, (1,4)1}

2 > 7 {(1,1)n-3, (2,1)1, (3,1)1, (1,4)1}

3 > 7 {(1,1)n-4, (1, 2)3, (4,1)1}

4 > 7 {(1,1)n-3, (1, 2)1, (1, 3)1, (4,1)1}

5 > 8 {(1,1)n-5, (3,1)1, (2,1)1, (1, 2)3}

6 > 7 {(1,1)n-4, (1, 3)1, (3,1)1, (2,1)1, (1, 2)1}

7 > 8 {(1,1)n-5, (1, 3)1, (1, 2)1, (2,1)3}

8 > 9 {(1,1)n-6, (1, 2)3, (2,1)3}

Оценим количество классов Гр(n, n + 3), зная степенные структуры классов

Гр (n, n+2): по утверждению 5 верно N3 ^ 26+8 = 34; и количество классов Гр (n, n+2),

зная степенные структуры классов Гр(n, n+1): по утверждению 5 верно N2 ^ 5+4 = 9.

Заметим, что в данном случае полученная оценка полностью совпадает с количеством

классов Гр (n, n + 2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Фомичев В. М. Методы дискретной математики в криптологии. М.: Диалог-МИФИ, 2010. 424 с.

2. Когос К. Г., Фомичев В. М. Положительные свойства неотрицательных матриц // Прикладная дискретная математика. 2012. №4 (18). С. 116-121.

3. Фомичев В. М. Свойства минимальных примитивных орграфов // Прикладная дискретная математика. 2015. №2 (28). С. 86-96.

4. Харари Ф. Теория графов. М.: Едиториал УРСС, 2003. 296с.

5. Бухштаб А. А. Теория чисел. СПб.: Лань, 2008. 384 с.

REFERENCES

1. Fomichev V. M. Metody diskretnoy matematiki v kriptologii [Methods of Discrete Mathematics in Cryptology]. Moscow, Dialog-MEPhI Publ., 2010. 324 p. (in Russian)

2. Kogos K. G. and Fomichev V. M. Polozhitel'nye svoystva neotritsatel'nykh matrits [Positive properties of non-negative matrices]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2012, no.4(18), pp. 116-121. (in Russian)

3. Fomichev V. M. Svoystva minimal'nykh primitivnykh orgrafov [Properties of minimal primitive digraphs]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2015, no. 2(28), pp. 86-96. (in Russian)

4. Harari F. Graph Theory. Addison-Wesley, 1969.

5. Bukhshtab A. A. Teoriya chisel [Number Theory]. SPb., Lan' Publ., 2008. 384p. (in Russian)