CC BY
16
где R - множество действительных чисел, упорядоченное естественным порядком <, F - функция выигрыша. Положим
v = sup inf F(x,y), v = inf sup F{x, у). xeXy*Y yeyxeX
ТЕОРЕМА 3. Если в игре вида (6) выполняется vt <v2, то её Са-ядро непусто.
Доказательство основано на том, что всякий исход а, удовлетворяющий условию V] < а < v2, является допустимым для обоих игроков.
Определение. В игре, имеющей цену v, стратегию х0 игрока 1 будем называть его критической стратегией, если (VyeF) F(xQ,y)>v. Двойственно определяется критическая стратегия игрока 2.
ТЕОРЕМА 4. Пусть игра G вида (6) имеет цену. Тогда:
1) если ни один игрок не имеет критической стратегии, то v е Са (G), следовательно, Са#0;
2) если критическая стратегия существует только у одного игрока, то Са=0.
Следствие. В игре G вида (6) Са -ядро пусто, тогда и только тогда, когда игра имеет цену и у одного игрока существует критическая стратегия. Отметим, что в играх, в которых множество стратегий игроков и функция выигрыша обладают «хорошей» структурой, Са -ядро непусто, в частности справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 5. Игра G = {X,Y,R,<,F), в которой множество стратегий игроков - компактные метрические пространства и функция выигрыша непрерывна, имеет непустое Са -ядро.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мулен Э. Теория игр. М.: Мир, 1985.
УДК 517.51
А. М. Родин
СВОЙСТВА М-ВАРИАЦИОННЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Данная статья посвящена обобщению результатов А. П. Терехина, приведённых в статье [1]. Здесь формулируются свойства обобщённых А/-вариационных модулей непрерывности, где М является TV-функцией, то есть М(и) допускает представление
м
М(и)= \p(t)dt,
о
где p(t) неотрицательная, непрерывная справа, неубывающая при и> О функция, причём />(0)=0, lim p(i) = +oo.
t-У-КО
Для рассматриваемых функций М{и) под классом Орлича LM\a,b]
будем понимать множество таких вещественных определённых на отрезке
ь
\a,b\ функций u(t), для которых ^M[u(t)]dt <+оо. Соответственно
а
пространством Орлича назовём структуру [2, с. 83]
4М= ]«('): RMt)dt
<+оо, \/v(t)eLN[a,b]\,
где jV(v)= max[«|v|- А/(и)] - дополнительная /V-функция к функции М(и).
uiO
В пространстве Орлича нам будет удобно использовать норму Люксембурга
Всюду в дальнейшем будем рассматривать только 2ж -периодические функции x(t).
Обозначим через VM пространство функций ограниченной М-вариа-ции, для которых М-вариация VM (х) = supK^(x) < -ко, где верхняя грань
берется по всем % = {í0 <<,., <ím_, <tm = í0 + 2я} разбиениям периода от
FT! „
величин Кс M=lMW0-;4-i)|J, называемых М-вариационными
¿=1
суммами по разбиениям £ от функции x(t). Используя равенство
cf
I №8
где И = max (t¡ - ) - диаметр разбиения ^, определим М-вариапионный
1 <i'Sm
модуль непрерывности первого порядка; и для г е N построим модуль непрерывности порядка г
sup ®мл[и,Да"1*), 0<А<5
г
где А^д:{t) = l)r~' C'r x(t + ih) - разности порядка г функции х(г) с ша-í^o
гом h . В пространстве VM введём норму
J х ¡^ = тах(ю и >, (5, х), Л(х, 0,2я)),
aA/>1(5,x)=infb>0: suPKf - <ll,
при этом величина А(х,а,Ь) определяется следующим выражением: A(x,a,b)= inf j£ > 0: sup
Под целыми модулями непрерывности для г е N в пространстве X (L'M или VM) будем понимать величины
®г{Ъ,х)х = sup .
0<й<б "л
Говорят, что функция М(и) удовлетворяет Д'-условию, если существует такая константа С > 0, что выполняется неравенство
M(uv)<CM(u)M(v)
для всех и, v е [0,+ оо).
Первая теорема устанавливает важное соотношение между целыми модулями непрерывности в пространстве VM и М-вариационными модулями непрерывности.
ТЕОРЕМА 1. Пусть г е N , 8 > 0, функция x(t)eVM. Тогда
сог(8,х)^ <2аМ г(5,х).
Далее будем предполагать, что функция М(и) удовлетворяет Д'-условию с константой С > 0 при и > 0.
Следующие две теоремы характеризуют связь между М-вариационными модулями непрерывности и модулями непрерывности целого порядка в пространствах Орлича.
ТЕОРЕМА 2. Для произвольных чисел г е N, 5 > 0 и функции x(t)e ¿^[0,2я] такой, что является абсолютно непрерывной, а
x^r\t)stM]0,2ii\, справедливо неравенство
Доказательство теоремы 2 проводится сначала при г = 1 путём оценки Л/-вариационной суммы с использованием представления *(/,)-*(?,_,) через интеграл, интегрального неравенства Иенсена и неравенства v<Ar'(v)/r'(v)<2v, где v>0. Затем применяем собственно Д'-условие и распространяем теорему на произвольное г е N.
ТЕОРЕМА 3. Для произвольной функции x(t)eVM, чисел г е N и 8 > 0 выполняется неравенство
, ч 2max(C,l) /
*-jyy^AS,:*:).
м UJ
При доказательстве теоремы 3 используется оценка целого модуля непрерывности в пространстве через М-вариацию на отрезке, супераддитивность последней величины и Д' -условие. В заключение сформулируем свойство.
ТЕОРЕМА 4. Пусть даны числа r,neN и 8>0, тогда для функций д:(/)е VM справедливо неравенство
М (я)
Это неравенство является аналогом соответствующего свойства классических модулей непрерывности в банаховых пространствах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Терехин А. П. Приближение функций ограниченной р-вариации // Известия вузов. Сер. Математика. 1965. Вып. 2. С. 171 - 187.
2. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Ор-лича. М.: Наука, 1958. С. 11 - 112.
3. Orlicz IV., Musielak J. On generalized variations // Studia Matheraatica. 1959. Vol. 18. P. 11-41.
УДК 519.4
В. В. Розен
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИЗОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В ВИДЕ СУММ ВЕСОВ МАЖОРАНТНО СТАБИЛЬНЫХ ПОДМНОЖЕСТВ*
Дано описание изотонных отображений произвольного конечного упорядоченного множества в пространство R. Указана специализация общей конструкции для случая строго изотонного отображения и для случая нумерации (линейного доупорядочения). Основную роль в предлагаемой конструкции играет понятие мажорантно стабильного подмножества, то есть такого подмножества упорядоченного множества, которое вместе с любым своим элементом содержит также больший элемент.
1. Пусть < А, со >- конечное (частично) упорядоченное множество и Ви...,Вт - перечень его непустых мажорантно стабильных подмножеств. Присвоим каждому подмножеству Bj неотрицательный вес К} (J = \,т). Определим отображение (р: А —> R, полагая
Ф(а)= XV (1)
aeBj
' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00053.
