О вольтерровых функционально-операторных играх с нефиксированной цепочкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.988+517.977.8

О ВОЛЬТЕРРОВЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ ИГРАХ С НЕФИКСИРОВАННОЙ ЦЕПОЧКОЙ

© 2012 г. А.В. Чернов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

chavnn@mail. rn

Поступила в редакцию 15.11.2011

Дается обоснование существования ситуации е-равновесия в смысле кусочно-программных стратегий в антагонистических вольтерровых функционально-операторных играх с нефиксированной цепочкой.

Ключевые слова: функционально-операторная игра, нелинейные функционально-операторные уравнения, вольтеррова цепочка, кусочно-программные стратегии, е-равновесие.

Введение

Данная работа продолжает начатое в [1] исследование вопроса существования е-равно-весия в вольтерровых функционально-операторных играх. Там же см. соответствующую библиографию, а также примеры сведения дифференциальных игр, связанных с управляемыми распределенными системами, к вольтерровым функционально-операторным играм. Так же, как и в [1], в данной статье развивается известный для сосредоточенных систем подход, основанный на понятии кусочно-программных стратегий, см., например, [2, глава V].

Как указано в [1], для эволюционных дифференциальных уравнений вольтерровость разрешающего оператора является достаточно характерным свойством. На основе этого свойства в [1] были введены понятия функционально-операторной игры и кусочно-программных стратегий в этой игре. Там же была доказана теорема о существовании ситуации е-равновесия в игре с фиксированной вольтерровой цепочкой и дискриминацией второго игрока. Здесь описываются трудности, которые возникают при обобщении указанных результатов на игру без дискриминации игроков и нефиксированную воль-террову цепочку множеств, а также указывается способ их преодоления.

1. Основные обозначения и соглашения

Далее норму вектор-функции понимаем как норму ее модуля, а модуль - как сумму модулей компонент. Все векторные неравенства понимаем покомпонентно.

Пусть п, т, £, s е N - фиксированные числа,

П с Rn - измеримое (здесь и далее - в смысле Лебега) ограниченное множество; р е [1,да),

д е [р,да] - заданные числа, а,Р с Rs, а < Р,

0 е [а;р] - [а,;р,]х ...х [а,;р,], и = (П);

D = {и е и1 : и(г) е [а; Р]для п.в. t е П} - множество допустимых управлений; X = Lp(П), X = = Lq(П), 2Х = L0(П), д"1 + о-1 = рЛ (в частности, при д = р имеем о = да). Через X + обозначаем конус неотрицательных функций в пространстве X.

Далее будем рассматривать два управляемых функционально-операторных уравнения вида х(г) = 0(г) + А[ / (., х(.), и (.))](0,

г еП, х(.) е X *; ( . )

у() = &(г) + у (.Х Ч))](г),

, (1.2)

г еП, у(.) е X ',

где и,w е D - управления; элементы 0,9еX1 фиксированы;_/(г,^,и), g(t,и): Пх R1 х Rs ^ Rm

- заданные функции, дифференцируемые по переменным Е, е R1 и вместе с производными измеримые по г е П и непрерывные по

{£;и} е R1 х ^ ; А , В : 2т ^ X* - заданные

линейные ограниченные операторы (ЛОО).

Уравнение (1.1) является естественной формой описания для широкого класса управляемых начально-краевых задач (НКЗ), связанных с нелинейными дифференциальными уравнениями (см., например, [1, 3-6]). Относительно функций / и g будем предполагать, что они удовлетворяют следующим условиям:

F1) Ух є X1, и є и* суперпозиции /(.х(.), и(.)), Я(.,х(.),и(.)) є г”;

F2) У{х,и} є X1 х и* суперпозиции /(.,х(.), и(.)), я' (.,х(.),и(.)) є 2”х<.

Определение 1.1. Пусть Е = Е(П) - ст-алгебра измеримых по Лебегу подмножеств множества П, РН - оператор умножения на характеристическую функцию хн множества Н є Е. Тогда систему р(А) = {Н є Е :

РНАРН = РНА} будем, следуя [7], называть системой вольтерровых множеств оператора А.

Отметим, что система р0 = р(А) пр(В) заведомо непуста, так как 0,П є р0.

Определение 1.2. Подсистему 3={0=Н0 с с Н1 с ... с Нк = П} с р(А) будем, следуя [8], называть вольтерровой цепочкой оператора А.

Число 8 = maxmes(Hi \ Ні_1) назовем мел-

і=1,к

костью вольтерровой цепочки 3 .

Относительно ЛОО А и В сделаем следующие предположения (формулируются для А; для В аналогично):

A1) ЛОО А:2т ^ Xі имеет вольтеррову цепочку сколь угодно малой мелкости, составленную из множеств системы Ро ;

A2) ЛОО А:2т ^ Xі имеет положительную мажоранту А+: 2 ^ X, такую, что для всякого у є 2Х оператор А+у : X ^ X, определяемый

формулой А+у [х] = А + [ ух], х є X, квазинильпо-

тентен, то есть спектральный радиус р(А+у) = 0 .

Замечание 1.1. Условия A1), A2) часто выполняются в приложениях, см. [5, 7, 9].

Обозначим S(П) - множество всех измеримых функций на П. Пусть К с Rn - заданное множество, для которого ноль является предельной точкой. Для х є К определим оператор сдвига 5”х : S(П) ^ S(П), который каждой функции г є S(П) ставит в соответствие функцию Sт[z], получаемую в два этапа: 1) сначала продолжаем функцию г нулем на все пространство Rn ; 2) затем берем сужение функции г(} - т) на множество П. Далее точно так же мы будем обозначать оператор, действующий аналогичным образом на каждую компоненту вектор-функции из Sv для любого V є N . Заметим, что каков бы ни был индекс р є [1;+»], оператор Sт

не выводит из пространства £р[П]: |^х^ ^ <

< г , . У г є Ьр (П). Для дальнейшего отметим, что Sхu є D при всех и є D.

Относительно уравнений (1.1), (1.2) предполагаем следующее (формулируем для (1.1); для (1.2) - то же самое):

Hi) Vu є D уравнение (1.1) имеет единственное решение хи є X ;

H2) 3 u, = max{| a |,| p |}, x, є X : | u(t) |< u,,

| xu (t) |< x, (t) для всех u є D и п.в. t є П;

H3) имеем: sup \xS u - xj t ^ 0 при всех

be^ ' 11X

| x |^ +0, x є К.

Замечание 1.2. Простые достаточные условия выполнения предположений H1), H2) можно найти в [5, 6]. Без предположения H1) само понятие функционально-операторной игры не имеет смысла. Без предположения H2) (или подобного ему) нет смысла говорить о существовании є-равновесия в игре. Проверка предположения H3) составляет основную трудность при использовании описываемого подхода. Достаточные условия его выполнения - это проблема, заслуживающая отдельного рассмотрения. Здесь укажем просто, что условие H3) будет выполнено, например, когда оператор A (по каждой компоненте) принадлежит широкому классу компактных интегральных операторов, описанному в [10, XI.3, теорема 2] .

2. Определение функциональнооператорной игры и стратегий игроков

Для всякого H є p(A) можем получить H-локальный аналог уравнения (1.1), подействовав на него оператором PH, и решение этого локального аналога искать в пространстве PfX €. Указанное решение естественно понимать как H -локальное решение уравнения (1.1), а П-локальное решение - как глобальное решение уравнения (1.1). Очевидно, что если уравнение

(1.1) имеет глобальное решение x = xu є Xf', то для всякого H є p(A) оно имеет H-локальное решение PHxu.

Игрок 1 управляет уравнением (1.1) посредством управления и є D. Игрок 2 управляет уравнением (1.2), распоряжаясь управлением w є D. Целью игры является: для первого игрока максимизация, а для второго - минимизация выигрыша

J[u, w] = xu, Jw, u, w)l

где Ф: 2m ^ R - некоторый линейный непрерывный функционал, 2 - лебегово пространство с индексом суммируемости из [1 ; да); функция F(t, £, п, и, ю) удовлетворяет по t, {^, п} и {и, ю} таким же условиям, как функция f (t, £, и)

по t, £ и и, с заменой m на in , 2 на 2 ; xu є X1

- решение уравнения (1.1), отвечающее управлению и е D; уА е X1 - решение уравнения

(1.2), отвечающее управлению а е D .

Далее мы введем понятие шага в игре, а также определим кусочно-программные стратегии, которые используются в данной игре. Всякую вольтеррову цепочку 3 = {Н0,...,Ик} ср0 будем называть вольтерровой цепочкой в данной игре. При этом систему множеств

3(-) = {h¡ = Н \ Н1._1 : 1 =1, к} будем называть вольтерровым разбиением множества П в

данной игре. Число 8 = maxmes(hJ.) назовем

1=1,к

мелкостью вольтерровой цепочки 3, а также мелкостью вольтеррова разбиения 3(-). Заметим, что для всякого вольтеррова разбиения

3(-) = {Ъ1 = Н \ Н1_1 : 1 = 1, к}, состоящего из к элементов, уравнение (1.1) (для уравнения (1.2) все аналогично) распадается на систему к уравнений вида:

X = 0 [xl,., Х-1] + рАр [/X, и-)] (2 1)

х,. е Р1Х1, 1 = 1,к, .

где приняты обозначения:

Р = Р, 0, = РР + ^Р^ [/(.,х,,uJ)],

1 ,=1

и1 = Ри е РА, 1 = 1, к.

В свою очередь, систему (2.1) можно решать последовательно от первого уравнения к к-му: зная решение первого уравнения х1, находим решение второго уравнения х2; зная решения х1, х2 первых двух уравнений, находим решение третьего уравнения х3 и т.д. Соответственно, 1-м шагом в игре Г при данном вольтерровом разбиении 3(-) множества П для игрока 1 будем называть задачу выбора управления и1 е Р1А с отысканием соответствующего ему решения х1 1-го уравнения системы (2.1); для игрока 2 -аналогично. В силу условия ^) решение х1 1-го уравнения системы (2.1) существует и единственно для любого вольтеррова разбиения; то же самое справедливо и для второго игрока.

По аналогии с [2, глава V], кусочно-программной стратегией игрока 1 в игре Г назовем пару {3, ЭТ}, где 3 = {Н0,..., Нк} ср0 - некоторая вольтеррова цепочка в игре Г, а ЭТ -отображение, ставящее в соответствие каждому ^ е3(-) и наборам {и, еР,Б: , = 1,1 -1}, {а, еР,Б:

, = 1,1 -1} управление и1 е РА . Кусочно-программной стратегией игрока 2 в игре Г будем называть пару {3,ЭТ}, где 3 = {Н0,...,Нк} с р0 -

некоторая вольтеррова цепочка в игре Г, а ЭТ -отображение, ставящее в соответствие каждому h еЗ(-) и наборам {uj еPjD: j = 1,i-1}, {wj ер-D:

j = 1, i -1} управление wi е PiD .

Множество всех кусочно-программных стратегий первого игрока обозначим Е(1), второго -k k

Е(2). Управления и = '^ui е D, w = ^wi е D, i=1 i=1

реализовавшиеся в результате выбора пары стратегий ст = {ст(1), ст(2)} е Е(1) х Е(2), будем обозначать uc, wc, а соответствующие им решения уравнений (1.1) и (1.2) (траектории игроков), построенные описанным выше движением по цепочкам, - хс, ус. Тогда выигрыш игрока 1 в игре Г

К[ст] = J[uct , Wct ] = хст , Уст ,ист , Wct )].

Напомним, что Vs >0 пара ст6 = {ст ^1), ст f-1} е е Е(1) х Е(2) называется е-оптималъной в игре Г, если Vст = {ст(1), ст(2)} е Е(1) х Е(2) имеем

К[ст(1), ст S2) ] - s < К[ст s1), ст S2) ] < K[ст s1), ст(2) ] + s.

В этом случае говорят, что игра имеет ситуацию е-равновесия.

3. Формулировка основного результата

Далее будем предполагать, что система р0 линейно упорядочена по вложению в следующем смысле. Пусть х, е Rn - заданный ненулевой вектор. Рассмотрим всевозможные цилиндры с образующими, параллельными вектору т*, и ограниченные «снизу» и «сверху» гиперплоскостями, ортогональными вектору т*. Обозначим C с Rn наименьший среди всех цилиндров указанного типа, содержащий замыкание

П ; у0, у1 - противоположные основания цилиндра С (понимаемые как части соответствующих гиперплоскостей), а |C| - расстояние между ними; yv, v е [0;1], - сечение цилиндра C, полученное смещением вдоль вектора т* сечения у0 на расстояние v|C|. Слой цилиндра C между сечениями yv и уц (содержащий первое из них и не содержащий второго) при v < ц будем обозначать Cv#. Наконец, будем считать, что

р0 ={Hv = C0,v пП :v е [0;1]}, К = {хе Rn :х||х,}.

Теорема 3.1. Для любого числа е > 0 игра Г имеет ситуацию е-равновесия (стратегии игроков и значение игры).

В § 7 доказано более сильное утверждение -теорема 7.1.

4. О некоторых свойствах уравнений (1.1), (1.2)

Для u, v е D и 5 > 0 определим множества пu,v ={t еП :u(t) ф v(t)},

Dg2 = {(u, v) е D x D :mesПuv < 8}.

При исследовании игры Г мы существенным образом будем опираться на следующие свойства уравнений (1.1), (1.2), которые легко доказать стандартными методами на основе сделанных предположений.

Теорема 4.1. Для т, ^еК имеем: sup| J[STu, Sxw] - J[u, v] |— 0

ueD

при |т| ^ +0, |X| ^ +0; sup \\xv -Xu\\X, — 0,

(u,v)eDg2 X

sup \\yv - yJ|X, — 0,

(w,v)eDg2 X

sup | J [~, W] - J [u, w] |—— 0 при 8 —+0.

(u,w ),(w,W )eDg2

Будем также опираться на следующее очевидное утверждение.

Лемма 4.1. Если fieRn - измеримое, ограниченное множество, то мера симметрической разности mes(QA(Q + т)) ^ +0 при |т| ^ +0.

5. Вспомогательные игры с фиксированной цепочкой

Рассмотрим игру Г1, отличающуюся от игры Г дискриминацией игрока 2. А именно, будем считать, что в игре Г1 на каждом шаге игроку 1 известен как свой выбор, так и выбор противника на всех предыдущих шагах и на данном шаге, а игроку 2 - свой выбор на данном шаге, а также свой выбор и выбор противника на всех предыдущих шагах. Множество всех кусочнопрограммных стратегий первого игрока в игре

Г1 обозначим Е(1), второго - Е(2). Их определения очевидным образом получаются из определений Е(1), Е(2) (подробнее см. [1]).

Подыгру игры Г], в которой цепочка 3 одинакова для обоих игроков и фиксирована, будем обозначать Г (3), а множества стратегий в ней

- E(i )(3), i = 1,2. В [1] был доказан следующий результат.

Теорема 5.1. Для любой заданной цепочки 3 e р0 и любого числа е > 0 игра ГД3) имеет ситуацию е-равновесия. При этом значение игры определяется формулой

K 1(3)= inf sup inf sup ...

Wj ePjD ePjD W2 eP2D ^ eP2D

k

... inf sup YOP.FC,Xj[ulv..,Uj],

wk ePkDuk ePkD j=i

yj [wl,., wj L uj, wj)],

где k — количество элементов вольтеррова разбиения 3(-).

Аналогичным образом можно определить игру Г2 с дискриминацией первого игрока и сформулировать следующее утверждение.

Теорема 5.2. Для любой заданной цепочки 3ср0 и любого числа е > 0 игра Г2 (3) имеет ситуацию е-равновесия. При этом значение игры определяется формулой

K2(3)= sup inf sup inf ...

u^D w^D ^eP^D w2eP2D k

• •• sup inf TO[P,F(., Xj [Mi,., Uj ],

uk EPkDwk ePkD j=i

у, [wl,., wj], u, , wj )L

где k - количество элементов вольтеррова разбиения 3(-).

6. Вспомогательные игры на регулярной цепочке

Для всякого набора чисел 0 = v0 < vi < ... < vk = = l, такого, что |vt - vi-l |= 8, i = l,k , при некотором 5 > 0, вольтеррову цепочку 3 = {Hi = Hv ,

i

i = 0,k} с p0 будем называть регулярной, а число 5 - псевдомелкостью такой цепочки. Очевидно, что при псевдомелкости 5^+0 мелкость цепочки 3 тоже стремится к нулю, и наоборот.

Далее мы собираемся оценить разность | K l (3) - K 2 (3) | на регулярной цепочке 3 . Для этого нам потребуется сначала доказать несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 6.1. Пусть Z - множество произвольной природы, ф, у: Z ^ R - ограниченные функции, такие, что | ф(^) - у(z) |< s для всех z eZ. Тогда

sup ф - sup V to VI inf ф - inf V to VI

z Z Z Z

Доказательство см. в [11, глава 1, лемма п. 3.6]. По индукции с помощью леммы 6.1 доказывается следующее утверждение.

Лемма 6.2. Пусть ЕЬ...,Е„, Yl,...,Yи - множества произвольной природы, Е = Е1 х_хЕв, У = У1 х ...хУп; Ф,Т : ЕхУ^R - ограниченные функции, | Ф(х, у) - Т(х, у) |< е Ух е Е, у еУ. Тогда

inf sup ... inf sup Ф(x,y) -

y1eY1 X1eS1 yneXnXneSn

- inf sup ... inf sup T(x,y) < s,

y1eY1 X1eS1 y„eYnx„eS„

sup inf ... sup inf Ф(x,y)-

x1eH1 y1eY1 xneBnyneYn

- sup inf . sup inf T(x, y) < s.

xleHl yleYl XneBnyneYn

Лемма 6.3. Пусть S, Y - множества произвольной природы, ф : Н х Y ^ R - ограниченная функция. Тогда справедливо неравенство: sup inf ф(x, y) < inf sup ф(x, y).

xeH yeY yeY xeH

Доказательство см., например, в [2, глава I, теорема п. 2.2]. Исходя из леммы 6.3, по индукции легко доказывается следующее утверждение.

Лемма 6.4. Пусть Sl,.,Sn, Yl,.,Yn - множества произвольной природы, Н = Hl х.хНп , Y = Yl х . xYn; Т : Н х Y ^ R - ограниченная функция. Тогда

sup inf ... sup inf Т(x,y) <

XleHl yleYl XneHnyneYn

< inf sup . inf sup T(x, y).

yieYl X eH yneYn X eH l l l l n n n n

Лемма 6.5. Пусть S, Y - заданные множества произвольной природы, Т(.;.): Hn х Yn ^ R -ограниченная функция, причем существует число е > 0, такое, что

Т(xl,..., xn; Уl,..., Уп ) -

-Т(x2,., xn,0; у^.. yn )|< s

1 xn; у^-. Уп ) -

xn; у^.. Уп-l,0) |< s,

1 xn; у^-. Уп) -

-VF Oc^.. xn-l,0; у^.. Уп-l,0) |<s для всех X = {Xl,.,xn} e Hn, y = {yl,.,Уп} eYn. Тогда

0 < inf sup... inf sup T(X; y) -

yleY xleH yn eY xn eH

- sup inf ••• sup inf Т(X; y) < 3s.

xleH yleY xn eH yn eY

Доказательство. Для всех X e Hn, y e Yn примем обозначения:

X- = {x2 , • • • , xn ,0}, X+ = Xn-1,0},

y+ = { у^.. y nl ,0}.

В соответствии с леммой 6.2 и условием (6.l) получаем

- sup inf ••• sup inf ^(x_; y)

< s.

Аналогично, по лемме 6.2 и условию (6.2)

sup inf ••• sup inf ¥(X-; y) -

X1eS y1eY xn eS yn eY

- sup inf .sup inf ¥(X-;y+)

< s.

Таким образом,

(6.1)

(6.2)

(6.3)

sup inf ... sup inf ¥(X; y) -

X1eS y1eY xn eS yn eY

- sup inf .sup inf T(X-;y +) < 2s.

xleH yleY xn eH yn eY

Заметим, что

sup inf .sup inf T(X-;y + ) =

xleH yleY xneH yneY

= inf sup. inf supT(X-;y+ ) =

yleY x2eH yn-leY xn eH

= inf sup . inf sup T(X+; y+ ) =

yleY xleH yn-leY xn-leH

= inf sup. inf supT(X+;y +).

yleY xleH yneY xneH

Наконец, согласно лемме 6.2 и условию

(6.3), получаем

inf sup... inf sup T(X+; y +) -

y1eY X1eS yneY XneS

- inf sup . inf sup T(X; y) < s.

yleY xleH yn eY xn eH

Исходя из полученных соотношений, можем оценить

inf sup . inf sup T(X; y) -

y1eY X1eS yn eY xn eS

- sup inf . sup inf ¥(X; y)

ieH y1e

< 3s.

sup inf . sup inf ^(X; y) -

X1eS y1eY XneS yneY

Модуль можно снять по лемме 6.4. Лемма доказана.

Пусть каждому 8е (0;1] поставлена в соответствие регулярная цепочка 35 = (Н5,,, = 0,^}

псевдомелкости 5. Обозначим S5> , сечение цилиндра С, отвечающее множеству Н5, ,. По построению, существует вектор х5||х,, такой, что

S5,,-1 = S5,,- - Х5 , S5,1 = S5,,- - О' - 1)Х5 . Отметим,

что |т5| ^ +0, если, и только если 5 ^ +0.

Зафиксируем произвольно 5е (0;1] и примем k = ^ и т.д. (то есть для упрощения записи индекс 5 будем опускать). Обозначим П = S1 сечение цилиндра С, отвечающее множеству Н1; D = (ю е LS0 (П): ю(?) е [а; Р] для п.в.

x^S y1eY

x eS yeY nn

X1eS y1eY xn eS yn eY

t є П} . Заметим, что каждое из шаговых управлений иі є PiD можно заменить расширенным управлением ut є D по правилу ui (t) = ut (t -

-(i - 1)x) при t є ht = Ht \ Ht-l, i = 1, k . Разумеется, такая замена не является взаимно однозначной. А именно, по управлению ui(t) значения ~ ("л = t - (i - 1)т) вне множества ht - (i - 1)т не определяются, то есть могут быть выбраны произвольно из [а; Р]. Но поскольку эти значения все равно не используются при вычислении функционала, то указанным обстоятельством можно пренебречь. Положим

u = (Mj,...,uk} є Hk,

где H = Y = D ; u - управление u є D, реализованное как последовательность шаговых управлений uj є PjD, j = 1, k . В результате исходный функционал можно понимать как функ-

^ „k irk

ционал, определенный на множестве h x Y :

J [m, w] = J [~, w], u єнk, w є Yk.

Непосредственно из теорем 5.1 и 5.2 получаем, что для заданной цепочки 3 справедливо следующее утверждение.

Теорема 6.1. Для любого числа є > 0 игры ГД3) и Г2(3) имеют ситуацию є-равновесия. При этом значения игр

K i(3) = infsup... inf sup J [~, w],

wieY ~ieS wkeY ~k eS

K2(3) = supinf ...sup inf J[u,w].

ÜJeS wjeY «k eS wk eY

Сравним значения (см. обозначения из доказательства леммы 6.5) J[м, w] и J[и_ , w]. Различие этих значений порождается тем, что в исходной задаче к управлению u применяется оператор сдвига ST, а затем значения полученного управления выбираются произвольно из [а; Р] на множестве, содержащемся в симметрической разности ПД(П + т). Мера этой разности будет сколь угодно мала при всех достаточно малых т (см. лемму 4.1).

Сравним значения J [м, w] и J [м, w+ ]. Различие этих значений порождается тем, что в исходной задаче управление w зануляется на последнем элементе разбиения hk, но mes hk будет мала при малых т. То же самое можно заметить и для значений J [м, w] и J [м+ , w+ ].

Таким образом, применяя теорему 6.1 и лемму 6.5, а также теорему 4.1, приходим к выводу, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 6.2. Разность Ki(35 ) - K 2(35 ) ^+0 при 5 ^ +0.

Далее для простоты изложения будем рассматривать случай, когда псевдомелкость 5 =

= 1/2r, r е N. Обозначим 3(r) =3 r . Дальней-

(r) 1/2r

шие рассуждения проводятся по схеме [2, глава V, п.п. 3.4-3.7].

Лемма 6.6. Для всех r е N справедливы неравенства:

K1 (3(г+1)) < K1 (3W), K2 (3(г+1)) > K2 (3W). Доказательство. Во избежание громоздкости выкладок штрих будет указывать на цепочку 3(r), а его отсутствие - на цепочку 3(r+1). Заметим, что h'j = h2J_1 и h2j, j = 1,k'. Обозначим Pj

оператор умножения на характеристическую функцию множества hj; Dj = PjD. Применяя последовательно лемму 6.3, получаем:

K 1(3)= inf sup inf sup ... inf sup J[U,w] <

w1eD1 u1eD1 w2eD2 u2eD2 wkeDkukeDk

< inf inf sup sup ... inf sup J [u, w] < ... <

w1 eD1 w2 eD2 u1 eD1 u2 eD2 wk eDk uk eDk

< inf inf sup sup... inf inf sup sup J[u,w].

w1 eD1 w2eD2 u1eD1 u2eD2 wk_1eDk_1 wkeDkuk_1eDk_1 ukeDk

Заметим, что mf mf - это фактически то же

W1 eD1 W2 eD2

самое, что mf и т.д. Отсюда получаем: K1(3) <

wJeDJ

< K 1(3'), то есть выполняется первое неравенство. Второе неравенство доказывается аналогично. Лемма доказана.

Лемма 6.7. Существуют, конечны и равны следующие пределы:

lim K 1(3(Г)) = lim K 2 (3(r)) = J..

r r^w

Доказательство. В силу условий H1), H2) функционал J[u, v] ограничен на множестве D х D. В таком случае последовательности

K 1(3(r)), K2 (3(r)) тоже ограничены и согласно лемме 6.6 монотонны. Отсюда следует существование и конечность пределов. Равенство пределов следует из теоремы 6.2. Лемма доказана.

7. Измельчающиеся разбиения

Для любой последовательности 5r ^ +0 при r ^ да последовательность разбиений 3д_) бу-

r

дем называть измельчающейся, если каждый элемент разбиения 3g_) содержится в некотором элементе разбиения 3g_). Так же, как в [2,

r

глава V], лемма 6.7 обобщается на любые последовательности измельчающихся разбиений, не обязательно регулярных. После этого, практически дословно повторяя рассуждения из [2, глава V, п.п. 3.4-3.7], получаем, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 7.1. В игре Г Уе >0 существует ситуация е-равновесия и значение игры ValГ =

= Нт К 1(35 ), где 35-) - любая последователь-

г г

ность измельчающихся вольтерровых разбиений множества П.

Теорема 3.1 является непосредственным следствием теоремы 7.1.

Работа выполнена при финансовой поддержке АЦВП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» Минобрнауки РФ (регистрационный номер 2.1.1/3927) и ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (проект НК-13П(9)).

Список литературы

1. Чернов А.В. // Матем. теория игр и ее приложения. 2011. Т. 3. Вып. 1. С. 91-117.

2. Петросян Л.А, Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа, 1998. 304 с.

3. Сумин В.И., Чернов А.В. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2003. Вып. 1 (26). С. 39-49.

4. Чернов А.В. // Матем. заметки. 2010. Т. 88. № 2. С. 288-302.

5. Чернов А.В. // Изв. вузов. Математика. 2011. № 3. С. 95-107.

6. Чернов А.В. // Изв. вузов. Математика. 2012. № 3. С. 62-73.

7. Сумин В.И., Чернов А.В. // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 10. С. 1402-1411.

8. Сумин В.И. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. Т. 30. № 1. С. 3-21.

9. Сумин В.И., Чернов А.В. // Изв. вузов. Математика. 2000. № 2. С. 77-80.

10. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

11. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука, 1985. 271 с.

ON VOLTERRA FUNCTIONAL OPERATOR GAMES WITH A FLOATING CHAIN

A. V. Chernov

A justification is given for the existence of s-equilibrium in the sense of piecewise program strategies in antagonistic Volterra functional operator games with a floating chain.

Keywords: functional operator game, nonlinear functional operator equations, Volterra chain, piecewise program strategies, s -equilibrium.