Представление изотонных отображений в виде сумм весов мажорантно стабильных подмножеств Текст научной статьи по специальности «Математика»

При доказательстве теоремы 3 используется оценка целого модуля непрерывности в пространстве через М-вариацию на отрезке, супераддитивность последней величины и Д' -условие. В заключение сформулируем свойство.

ТЕОРЕМА 4. Пусть даны числа r,neN и 8>0, тогда для функций д:(/)е VM справедливо неравенство

/ г \ max(C,l)"r /s \ ДО Af, ЛпЬ,х)< ; \ (аМгГ{8,х).

М (я)

Это неравенство является аналогом соответствующего свойства классических модулей непрерывности в банаховых пространствах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Терехин А. П. Приближение функций ограниченной р-вариации // Известия вузов. Сер. Математика. 1965. Вып. 2. С. 171 - 187.

2. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Ор-лича. М.: Наука, 1958. С. 11 - 112.

3. Orlicz IV., Musielak J. On generalized variations // Studia Matheraatica. 1959. Vol. 18. P. 11-41.

УДК 519.4

В. В. Розен

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИЗОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В ВИДЕ СУММ ВЕСОВ МАЖОРАНТНО СТАБИЛЬНЫХ ПОДМНОЖЕСТВ*

Дано описание изотонных отображений произвольного конечного упорядоченного множества в пространство R. Указана специализация общей конструкции для случая строго изотонного отображения и для случая нумерации (линейного доупорядочения). Основную роль в предлагаемой конструкции играет понятие мажорантно стабильного подмножества, то есть такого подмножества упорядоченного множества, которое вместе с любым своим элементом содержит также больший элемент.

1. Пусть < А, со >- конечное (частично) упорядоченное множество и Ви...,Вт - перечень его непустых мажорантно стабильных подмножеств. Присвоим каждому подмножеству Bj неотрицательный вес К} (J = \,т). Определим отображение (р: А —> R, полагая

Ф(а)= XV (1)

aeBj

' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00053.

Отображение ф является изотонным. В самом деле, условие ах <а а2 влечёт {Bj :ах е Вj} ^{Bj :а2 е Bj}-, учитывая, что все Xj неотрицательны, получаем отсюда <р(а,) < ср(а2), то есть ф изотонно. В случае, когда все веса Xj положительны, отображение ф будет строго изотонным. Оказывается, что любое изотонное (строго изотонное) отображение ф: А -» R может быть получено указанным способом, то есть суммированием неотрицательных (положительных) весов мажорантно стабильных подмножеств. Для доказательства этого утверждения введем следующие обозначения: С(со) - множество всех изотонных отображений из < А, со > в R, С*(со)~ множество всех строго изотонных отображений из < А, со > в R, С+(со)-множество всех неотрицательных изотонных отображений из < А, со > в R. Рассмотрим вначале случай феС+(со). Пусть 0<04 <а2 <...<аг - расположенные по возрастанию значения функции ф. Положим Bj = {а е А :ф(а) ^ ак} (к = \,г). Ввиду изотонности функции ф, каждое Вп будет мажорантно стабильным подмножеством в < А, со >. Далее, легко проверить справедливость равенства:

Ф = аЛвл + («2 - ai )XbJ2 +... + (аг - агЧ)xBjr> (2)

где Хв ~ характеристическая функция подмножества В■ (к = \,г ). Равен-

J к ^ *

ство (2) дает искомое представление отображения ф (коэффициент при XaJt есть вес подмножестваBjk, веса остальных мажорантно стабильных

подмножеств полагаем равными нулю). Далее, представление произвольного отображения ф е С(со) имеет вид

т

ф=2>ДВ, . (3)

7=0

где Xj > 0 и (-®_/)y=0m ~ семейство всех мажорантно стабильных в < А,со > подмножеств, включая пустое. По определению полагаем Хо = -1 • Получаем следующий результат.

ТЕОРЕМА 1. Пусть < А, со > - конечное упорядоченное множество. Для того чтобы отображение ф: А -> R было изотонным, необходимо и достаточно, чтобы оно было представимо в виде (3) с неотрицательными весовыми коэффициентами Xj (j = 0,m).

В качестве следствия теоремы 1 установим представимость произвольного строго изотонного отображения ф € С (со) в виде суммы положительных весов мажорантно стабильных подмножеств. Положим Фо = Хв0 + Хд, + •■■ + Хвт ■ Ясно, что при достаточно малом 5 > 0 отображение ф - бф0 будет оставаться строго изотонным; по теореме 1 оно может

быть представлено в виде ср - 5ср0 = ц0хВо + вд^ +... + ртХят > гДе цо,...,рт>0, отсюда ф =(ц0+5)Хв0 + (й1+б)хВ) + - + <К +5)Хвт~ искомое представление отображения ф. Получаем

Следствие. Для того чтобы отображение (р:А-*Я было строго изо-тонным отображением конечного упорядоченного множества < А, со > в Я, необходимо и достаточно, чтобы оно было представимо в виде (3) с положительными весовыми коэффициентами X / (у = 0,т).

2. Взаимно однозначное изотонное отображение «-элементного упорядоченного множества < А, со > в {1,...,и} называется его нумерацией. Нумерации упорядоченного множества могут быть отождествлены с его линейными доупорядочениями [1]. Определим построение линейного доупо-рядочения упорядоченного множества с помощью процедуры последовательного удаления минимальных элементов. Рассмотрим последовательность элементов а1,...,ап множества А, построенную по следующему принципу. Элемент а] является минимальным элементом подмножества А1 = А; элемента2- минимальным элементом подмножества А2 = А1 \{Л]}; элемент а3 - минимальным элементом подмножества А3 = Л2\ {а2} и т,д

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Упорядочение а, <™ а2 <ш ... <ш апявляется линейным доупорядочением упорядоченного множества < А, со >.

Действительно, при реализации процедуры удаления минимальных элементов ни один из оставшихся элементов не может быть меньше удаляемого элемента, поэтому условие а,■ <и £гу влечет а,- <ш а ■1

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Всякое линейное доупорядочение может быть получено в результате процедуры удаления минимальных элементов.

Пусть 55 - некоторое линейное доупорядочение упорядоченного множества < А, со > и а1 <ю а2 <ш ... <щ ап. Тогда а1 - минимальный элемент подмножества А, а2 - минимальный элемент подмножества А \ {<я,}; и т.д.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Подмножества, получающиеся в результате процедуры удаления минимальных элементов, являются мажорантно стабильными.

Действительно, при удалении у мажорантно стабильного подмножества минимального элемента оно остается мажорантно стабильным.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Любое мажорантно стабильное подмножество упорядоченного множества может быть получено из А в результате процедуры удаления минимальных элементов.

Доказательство. Пусть подмножество В является мажорантно стабильным в упорядоченном множестве < А, со >, причем В Ф А. Покажем, что в этом случае найдется такой элемента0 е А\ В, что

а) а0 минимален в 2? и {о0},

(3) подмножество В и {а0} мажорантно стабильно.

Действительно, пусть а0 - максимальный элемент в непустом множестве А \ В. Тогда ни для какого элемента Ь е В не может выполняться Ъ <ш а0 (в этом случае в силу мажорантной стабильности подмножества В будет а0 е В в противоречие с условием а0 е А \ В), что даёт а). Проверим Р). Пусть сейи{а0} и с1 >ш с. Если се В, то ввиду мажорантной стабильности подмножества В имеем йеВ, тем более, (¡еВи{а0}. Пусть теперь с - а0. Предположим, что й £ В. Тогда (1 е А\ В и выполняется й?>юа°, что противоречит условию максимальности элемента а°еА\В.

Утверждения а) и Р) доказаны. По индукции получаем, что найдется такая последовательность я0,а1,...,а' элементов А, для которой при любом £ = 0,/ выполнены условия:

а') а1 - минимальный элемент в йи^,.,,,!!1); (3') В и {а3,...,^} мажорантно стабильно; у') Ви{а°,...,а'} = А.

Тогда подмножество В получается из А в результате процедуры последовательного удаления элементов а',...,а°, что доказывает утверждение 4.

Ввиду утверждений 3 и 4 процедура последовательного удаления минимальных элементов взаимно однозначно соответствует выделению максимальной цепи в полной решетке ( Л/((й),с ) мажорантно стабильных подмножеств упорядоченного множества < А, со >; с учетом утверждений 1 и 2, получаем следующий окончательный результат.

ТЕОРЕМА 2. Существует взаимно однозначное соответствие между линейными доупорядочениями упорядоченного множества < А, со > и максимальными цепями в полной решётке его мажорантно стабильных подмножеств.

Возвращаясь к теореме 1, получаем, что если каждому мажорантно стабильному подмножеству, входящему в некоторую максимальную цепь в { Л/(со),с ), присвоить вес равный 1, а всем остальным - вес равный О, то функция ф, определенная формулой (1), будет нумерацией и обратно -любая нумерация представима в таком виде.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Розен 5. В. Цель - оптимальность - решение. М.: Радио и связь, 1982.