Свойства лучей, исходящих из данной точки под равными углами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Свойства лучей, исходящих из данной точки под равными углами

Куспаев Н. Д.

Куспаев Нургалий Джумагалиевич / Кшрагу Мыг^аНу Djumagalievich - инженер-строитель, Республиканское государственное предприятие Актюбинский региональный государственный университет имени К. Жубанова, г. Актобе, Республика Казахстан

Аннотация: в данной статье продолжено изучение свойств трисектрисс углов треугольников и приводятся новые теоремы, раскрывающие ранее неизвестные свойства лучей, исходящих из заданной точки под постоянным углом р. Свойства этих лучей выполняют важную роль при выполнении эскизных работ по проективной геометрии, а также в исследованиях по изучению теории распространения световых волн в оптической физике и могут на практике применяться в ходе геодезического сопровождения строительства кривых участков автомобильных и железных дорог. Ключевые слова: внутренние углы треугольников, биссектрисы и трисектрисы внутренних углов, лучи и прямые, круговая кривая, угол поворота, тангенсы и домеры.

Четвертая теорема о трисектрисах угла треугольника

В предыдущей статье [1] рассмотрено несколько свойств трисектрис угла треугольника. В этой статье мы раскрываем ранее неизвестные свойства трисектрис.

Теорема

Трисектрисы угла C треугольника Д А В С отсекают на противоположной стороне треугольника отрезки, пропорционально произведениям длин векторов, образующих соответствующие отрезки.

Рис. 1. Свойство трисектрисы угла

Для доказательства на рис. 1 построим треугольник Д А В С с трисектрисами тс и т;. Из формул аналитического определения трисектрисс внутреннего угла треугольника[2] имеем равенства:

АЕ = ,, """ , ,,; (1)

bт^¿+ атс +тcт^¿

ЕБ = ,, , ,, (2)

атс + тст{.

БР = ,, ас^ , ,, (3)

bт^¿+ атс +тст£ 14

Определение

Общий множитель для всех частей основания треугольника Д А В С, выраженный формулой

у = —-^-— (4)

атс + тcт^¿

Назовем характеристическим числом трисектрисс угла С, характерным только для данного угла треугольника .

Для отношения AE/EF/BF из формул (2) все значения сократим

на величину характеристического числа и получаем равенство в виде формулы (5)

AE / EF / BF = (b*CE)/(CE*CF)/(CF*a). (5)

Внутри каждой из трех скобок стоят произведения длин векторов, исходящих из вершины С и образующих составные части AE, EF и BF соответственно. Теорема доказана.

Теорема

Лучи, исходящие от фиксированной точки С под одним и тем же углом р отсекают на прямой, проходящей от заданной точки на определенном расстоянии отрезки пропорционально произведениям длин векторов, образующих эти отрезки. Данная теорема доказывается методом математической дедукции. См. рис. 3.

Рассмотрим N лучи, исходящие из заданной точки С и имеющие углы, имеющие одинаковые значения р между соседними лучами. При N=2, из теоремы о биссектрисе [1] согласно рис. 2 имеем равенство:

AD / BD = AC/BC, (6)

составляющие отношения стоящего в правой части равенства умножаем на длину биссектрисы угла С (CD) и получим тождество: AD/BD = (Ъ*рс) / (Рс * а).

Рис. 2. Свойство биссектрисы угла С треугольника Д А В С

Cправедливость теоремы для N=3 вытекает из четвертого свойства трисектрисс угла С (формула (5).

Теперь допустим, что данная теорема справедлива для достаточно большого значения N = пР и докажем справедливость теоремы для случая N = (п + 1)р. Cм. Рис. 3.

В треугольнике Д А В С угол< ACB = пР , и допустим, что для всех частей стороны АВ, полученных пересечением всех лучей, делящих угол С на равные части с одинаковыми значениями теорема справедлива. В треугольнике ,

оставив последние два составляющих угла дополним

треугольник еще одним лучом под углом Для полученного

треугольника Д АСN угол < АСN= (п +1)р.

В треугольнике Д К С N лучи СЬ и CB являются трисектрисами вершины С и для частей КЬ, ЬВ и BN его основания KN теорема выполнима, согласно свойствам трисектрис по первоначально приведенной теоремы. Теорема доказана.

/Л м

в/ \

ьХ \ \

3/?

А \Л\\

С

Рис. 3. Свойства множества лучей, исходящих из одной точки

Геодезическая разбивка круговых кривых при строительстве автомобильных и железных дорог

Приведем определения основных терминов, применяемых в дорожном строительстве.

Определение 1. Расстояние от вершины угла до начала или конца круговой кривой называется тангенсом угла поворота.

Определение 2. Разница между расстоянием от центра угла поворота до точки, принадлежащей тангенсу угла поворота и радиусом круговой кривой называется Домером (см. рис. 4).

Определение 3. Отрезок тангенса угла, образованный двумя соседними лучами называется «дольками» тангенса.

НК ВУ

Рис. 4. Схемы элементов круговой кривой

О - центр угла поворота.

Я - радиус кривой.

ВУ - вершина угла поворота.

НК, КК - начало и конец круговой кривой.

При подетальной разбивке предлагаемым методом, рассматриваем треугольник с вершинами в точках О, НК и ВУ, (в дальнейшем прямоугольный треугольник Д ОВК) , где В - вершина угла поворота и К - начало кривой (Рис. 5), а конец кривой КК симметрична с НК по линии ОВ.

3 2 1

Рис. 5. Схема разбивки кривой

Угол < В О К делим на десять равных частей (можно разделить на любое равное количество частей). Для удобства промежуточные точки на «тангенсе» пронумеруем цифрами 1,2,3 ... и т. д., начиная с точки начала кривой (точка К). Для первого деления Д ОК1 со сторонами ОК = Я,

О1 = й/со5 «, где « = ^ и 1К = Д 5 1п «/со 5 «= ^ (7)

Для второго деления Д О2 1 ,одна сторона которого О1 известна, вторая сторона О2 = ^/С052 а, а третья сторона определяется с использованием предыдущей теоремы по формуле (8).

1211 = к (°2 * ° 1 ) - 1К" ° 2 Г8)

\ ' (° 1 *°К °К ' ( ) Подетальная разбивка удобна тем, что при разбивке используются короткие расстояния, удобные в применениях и менее трудоемкие, чем привязка к отдаленной точке О (центру угла поворота).

Для третьего деления Д О3 2, одна сторона которого О2, подсчитана в предыдущем шаге алгоритма, вторая сторона О3 = , третья сторона, как

последующая доля тангенса угла поворота находится по формуле (9).

К ° °

\ 3 2 \ =-и т. д.; (9)

° °К

Для 1- го деления, одна сторона которого определяется в предыдущем шаге, это отрезок от центра угла до предыдущей точки, другая сторона О(1-1) = ^ / и отрезок на «тангенсе»:

\ . } \ = ш*0*0^ (10)

° °К

и для последнего деления, в нашем случае (десятого) треугольник Д ВО 9 сторона О9 определяется в предыдущем шаге, вторая сторона ОВ = и последний отрезок

В9 = 1К*(°в*°9) 1 )

(° 1 *°К

Литература

1. Куспаев Н. Дж. Теоремы о биссектрисе и трисектрисах треугольника // Научный журнал, 2016. № 9 (10). С. 8-12.

2. Куспаев Н. Дж. Аналитическое определение длин трисектрис // Научный журнал, 2016. № 9 (10). С. 5-8.

3. Справочник по элементарной математике. М., 1972. С. 284.

4. Академия коммуникации и транспорта. г. Алматы, 2014.

Упаковка для двух кругов одинакового радиуса

1 2 Куспаев Н. Д. , Картбаев Е. Б.

1Куспаев Нургалий Джумагалиевич /Kuspaev Nurgaliy Djumagalievich - инженер-строитель; 2Картбаев Еркин Бекмурзаевич /Kartbaev Erkin Bekmurzaevich - офис-мененджер,

Республиканское государственное предприятие Актюбинский региональный государственный университет имени К. Жубанова, г. Актобе, Республика Казахстан

Аннотация: одной из проблемных задач по математике является задача для упаковки двух кругов одинакового радиуса. Постановка задачи: «Определить стороны квадратной жесткой упаковки для двух кругов одинакового радиуса, если разрешаеться разрезать один из кругов на два сегмента» [1]. Эта задача входит в число нерешенных задач по математике. В данной статье мы приведем решение исходя из условия взаимного касания трех окружностей.

Ключевые слова: точки касания, радиус круга, минимальное значение, первая производная, радиус круга, сегмент.