Аналитическая формула определения длин трисектрис треугольника Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Аналитическая формула определения длин трисектрис

треугольника Куспаев Н. Д.

Куспаев Нургалий Джумагалиевич / Kuspaev Nurgaliy Djumagalievich - инженер-строитель, Актюбинский региональный государственный университет им. К. Жубанова, г. Актобе, Республика Казахстан

Аннотация: во всех учебниках и справочниках, изданных до настоящего времени, например, «Высшая алгебра» [3, с. 127], говорится о невозможности геометрического построения трисектрис треугольника или деления заданного угла на три равные части при помощи циркуля и линейки. Данный вопрос станет разрешимым, если вывести формулу нахождения длин трисектрис угла треугольника, так как после определения числового значения длин трисектрис, согласно принятому масштабу, раствором циркуля и при помощи линейки, имеем возможность разделения угла на три равные части.

Ключевые слова: внутренние углы треугольника, смежные углы, трисектрисы, решение уравнений, приведенные кубические уравнения.

На рис. № 1 приведем расчетную схему трисектрис треугольника Д ABC. В заданном треугольнике проведем трисектрисы вершины С и введем буквенные обозначения характерных точек и необходимых для вычисления отрезков.

Используя теоремы о биссектрисах, получим пропорциональность следующих отрезков:

АЕ _ EF

AE =

X

b-EF

х b

EF( 1 + - + - ) = c .

x у

AE = ,

by+ax+xy

BF EF

a У

BF =

EF =

a-EF

У ,

cxy

BF =

by+ax+xy acx

by+ax+xy''

(1)

AF = AE + EF = СУ(Ь+Ж) ;

by+ax+xy cx(a+y}

BE = EF + BF =

by+ax+xy

(2)

Для треугольникаДЛСР, у которого отрезок у — является биссектрисой, стороны соответственно равны

су(Ь+х)

b,x и

Ьу+ах+ху

(3)

Для треугольника ДBCE

сх(а+у) „

со сторонами a, y,-x - является биссектрисои вершины С.

Ьу+ах+ху

Рис. 1. Трисектрисы вершины С А — ка ABC Используем известную формулу биссектрисы треугольника со сторонами a, b, c (4)

Р _ jab(a+b+c)(a+b-c) _

(a+b)2

Для треугольника А ACF

abe2 „2 _ i abe2

(a+b)

гили f>¿ = ab -

(a+b)2

y2 = bx - bx | ce (Ь+x) 1 .

' (b+x)2 \_by+ax+xy\

Для треугольника А BCE

x2 = ay - аУ |_£XÍ£±ZL1 '

(a+y)2 \_by+ax+xy\

(5)

(6)

>

из этих равенств получаем систему двух уравнении с двумя неизвестными

(сУ)2 .

^=1

ьх

X2

(bY+aX+XY)2 ' (СХ)2

(bY + аХ + XYУ' Общий множитель для данного треугольника А А В С

(7)

(Ы+аХ+ХУ)2

характеристический коэффициент трисектрис данного Д А В С.

После соответствующих преобразований получаем эквивалентную систему

примем за

(bY+aX+XY)2

Y2 ЬХ '

>

1 1 aY X2

1 1 ЬХ Y2 '

(8)

Введем подстановку У =1 * X , тогда наша система примет вид:

И2 Ь Х(Ы+а+Х1)2 '

1 1 _ 1 1

НА ~ х ~ ъ ~ хр- ^

>

Из второго уравнения получается равенство Ьх1 - аЬ :2 = ах:2 — аЪ , откуда имеем

х = аЬ (^-1) и у = аЬ(^-1) • ПО)

Ы + а + X = ; (1 1)

ъ-аг у '

После подстановки в первое уравнение системы (9 ) исключается неизвестное Х, и в конечном виде получаем кубическое уравнение относительно t.

[ (Ъ2 — а 2) 2а + а Зс2 ] + [— 3 а 2Ъ с2 ] + 1а(Ъ с) 2 - [Ъ Зс2 + Ъ (Ъ2 — а 2 ) 2 ] =

0. (12)

Для прямоугольных треугольников с гипотенузой Ь, то есть при Ъ2 - а 2 = с2 [с2а + а 3] - [ 3 а 2Ъ ] + аЪ2 1 - [2 Ъ3 — а 2Ъ ] = 0

подстановка 1 = ъ + а даст нам приведенное кубическое уравнение:

23 ;2(! - Щ.) - 4 + а - = 0. (1 3)

у Ь2 ' Ь3 Ь аЬ к '

Уравнение (1 2 ) имеет хотя бы один действительный корень, после определения которого по формуле ( 1 О ) вычисляются длины трисектрис X и У, затем по принятому масштабу строятся трисектрисы, тем самым угол при вершине С делится на три равные части.

Некоторые уравнения третьей степени при выполнении определенных условий поддаются графическому решению. Например, приведенные уравнения третьей степени вида:

X3 — рХ + << + О , (при р > О) ; (1 4)

Во всех предыдущих изданиях справочников по высшей математике приводятся как графически неразрешимые для всех q даже при р = 3,0. В данной статье для некоторых значений коэффициентов мы докажем обратное, то есть покажем возможность графического построения при помощи циркуля и линейки.

Для уравнения вида ( 1 4 ) применим подстановку X = У/а; тогда уравнение относительно у:

У3 — Ура2 = — да3: (1 5 )

Если в уравнении ( 1 5 ) принять ра2 = 3 , О , тогда при а = „^иУ = 2 со б в левой

< 1 , О (1 6) ,

части этого равенства косинус утроенного угла, или

. зц ¡з зц [з

2 со б ф =--„ - для значения — „ -

Р Л/Р 2 р^р

построения при помощи циркуля и линейки возможны. На Рис. № 2 приведем схему построения корня уравнения, выраженного формулой Для числовых

значений коэффициентов приведенных кубических уравнений можно подобрать подходящие виды преобразований, которые могут привести к возможности их графического решения. Эти методы нами уже доказаны и будут изложены в последующих главах.

Рис. 2. Схема решения приведенных кубических уравнений

Литература

1. Выгодский М. Я. «Справочник по высшей математике». Москва,1968. 870 с.

2. Справочник по элементарной математике. Москва, 1972. 276 с.

3. Окунев Л. Я. «Высшая алгебра».

Теоремы о биссектрисах и трисектрисах треугольников

Куспаев Н. Д.

Куспаев Нургалий Джумагалиевич / Кшраеу Мыг^аНу Djumagalievich - инженер-строитель, Актюбинский региональный государственный университет им. К. Жубанова, г. Актобе, Республика Казахстан

Аннотация: в данной статье впервые приводятся теоремы о биссектрисах и трисектрисах треугольников с доказательствами, которые ранее не приводились в научных журналах и имеют важные значения при выполнении эскизных работ по начертательной геометрии или при графических решениях задач в различных отраслях математики. Приведенные здесь теоремы могут использоваться при делении на произвольные углы, окружности, в целом на множества равных частей. Алгоритмы деления окружности на равные части являются универсальными по сравнению с теми методами, которые изложены в учебниках и методических указаниях по черчению и начертательной геометрии.

8