Теоремы о биссектрисах и трисектрисах треугольников Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рис. 2. Схема решения приведенных кубических уравнений

Литература

1. Выгодский М. Я. «Справочник по высшей математике». Москва,1968. 870 с.

2. Справочник по элементарной математике. Москва, 1972. 276 с.

3. Окунев Л. Я. «Высшая алгебра».

Теоремы о биссектрисах и трисектрисах треугольников

Куспаев Н. Д.

Куспаев Нургалий Джумагалиевич / Кшрагу Мыг^аНу Djumagalievich - инженер-строитель, Актюбинский региональный государственный университет им. К. Жубанова, г. Актобе, Республика Казахстан

Аннотация: в данной статье впервые приводятся теоремы о биссектрисах и трисектрисах треугольников с доказательствами, которые ранее не приводились в научных журналах и имеют важные значения при выполнении эскизных работ по начертательной геометрии или при графических решениях задач в различных отраслях математики. Приведенные здесь теоремы могут использоваться при делении на произвольные углы, окружности, в целом на множества равных частей. Алгоритмы деления окружности на равные части являются универсальными по сравнению с теми методами, которые изложены в учебниках и методических указаниях по черчению и начертательной геометрии.

8

Ключевые слова: внутренние углы треугольников, биссектрисы и трисектрисы внутренних углов, лучи и прямые, перпендикуляры.

Теорема 1: Длина биссектрисы угла С треугольника Д А В С со сторонами а, Ь и с равна:

Рс =

N

аЪ{а + b + С)(Л + В — С)

Оа + ЪУ

N

ab —

abc2 (а + Ь)2

(1) [2. с. 74]

abc2

(2)

после возведения в квадрат имеем :

= ab - - и+b) 2

Теорема 2: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону пропорционально длинам, прилегающих сторон треугольника.

При доказательстве теоремы для треугольника Д АВС проведем биссектрису угла С (/?с), которая пересекает противоположную сторону в точке D. Используя вершину С и две его боковые стороны, строим два равнобоких треугольника Д BCQ и Д ACN, которые являются подобными треугольниками (Рис. 1).

Применяем свойства прямой, пересекающей две параллельные прямые. Из подобия треугольников Д BKC и Д AFC:

следовательно

ВС _ ВК

АС ~ AF ,

ВК _ DF

BD ~ AD '

AD b

BD а т

теорема доказана.

(3)

Рис. 1. Схема для доказательства теоремы о биссектрисе

Приведем ранее неизвестные теоремы о трисектрисах треугольника. Теорема 3. Трисектрисы двух смежных углов треугольника пересекаются в точках, принадлежащих биссектрисе третьего угла.

9

Доказательство: Построим на рис. 2 треугольник Д А В С с трисектрисами смежных углов у основания при углах А и В, а также ранее известными методами построим биссектрису вершины С.

Рис. 2. Схема точек пересечения трисектрис двух смежных углов треугольника Д АВС

Если углы < А СО = < О СО = К/2 ,, < А = 3 а; < В = 3/3 ; тогда внутренние углы в треугольниках Д А СО и Д В СО соответственно для Д АСБ имеют значения 3а, и 1 8 0 ° - - 3 а, "1 для Д ВСБ имеют значения 3/3,у/2 и 1 8 0 ° - у/2 - 3 //. | (4)

Для указанных треугольников внешние углы при вершинечС

< А СМ = < В СМ = 1 8 0 ° - у/2 .. В нижеперечисленных треугольниках внутренние углы: Д АЕР < АЕР - 180° -2а+У/2, Д В£Т < В£Т - 1 8 0 ° -2 / + К/2 , Д АЕО < АЕО = 2а- ВЕО < ВЕО = 2/3

соответственно

(5)

Lv2

(6)

Тогда в точке Б пересечения биссектрисы /3сс основанием треугольника внутренние углы:

< Ж) Е = 1 8 0 ° - 3 а - у/2 = 3/? + к/2;

< BDE = 180° - 3/? - Y¡2 = За + к/2[

Отсюда в точке сумма углов

< Ж) Е + < ВОЕ = (3// + К/2 + 3 а + К/2) = 1 8 0 °

(7) (8)

Можно также доказать следующую теорему, которая поможет при помощи циркуля и линейки разделить окружность (в частности любые углы) на равные п частей.

Теорема 4: Биссектриса внутреннего угла треугольника является множеством точек пересечения лучей, исходящих из вершин двух других смежных углов и делящих эти углы на одинаковые число частей.

Лемма: Лучи, делящие смежные углы на одинаковые или пропорциональные части, пересекаются в точках, принадлежащих биссектрисе третьего угла (Рис. 3).

Рис. 3. Свойства точек биссектрисы

При помощи деления угла р = 1 2 0 ° на три равные части мы получаем правила деления окружности на девять равных частей, или путем деления угла , равного р = п при помощи циркуля и линейки мы получим графическое решение приведенного кубического уравнения

X3 - ЗХ —1 = 0;

Графическое решение этого уравнения до настоящего времени считается невозможным [3, с. 147], также невозможным считается графическое деление окружности на девять равных частей.

R = 2,0

Х0 = 2 cos 20° -4-►

Рис. 4. Схема графического решения приведенных кубических уравнений

Подробное решение рассматривается отдельной главой.

Литература

1. Выгодский М. Я. «Справочник по высшей математике». Москва, 1965. 870 с.

2. Справочник по элементарной математике, М., 1972. 284 с.

3. Окунев Л. Я. «Высшая алгебра». М., 1978. 426 с.

Формулы преобразования основных тригонометрических функций

кратных углов Куспаев Н. Д.

Куспаев Нургалий Джумагалиевич / Kuspaev Nurgaliy Djumagalievich - инженер-строитель, Актюбинский региональный государственный университет им. К. Жубанова, г. Актобе, Республика Казахстан

Аннотация: тригонометрические функции кратных углов дают широкую возможность решения некоторых алгебраических уравнений высших степеней, которые до настоящего времени считаются неразрешимыми. А приближенные вычисления действительных значений алгебраических уравнений высших степеней, предлагаемые в учебных пособиях, очень трудоемки. Кроме того, тригонометрические функции кратных углов применяются в формулах рядов Фурье, которые выражают взаимосвязи между различными формулировками транцедентных и других видов функций различной сложности с алгебраическими многочленами высших степеней. В существующих учебниках и справочниках даются формулы преобразования только для трехкратных углов. В данной статье приводятся коэффициенты преобразования тригонометрических функций и более высоких кратностей и даются правила заполнения

соответствующих таблиц.

Ключевые слова: кратные углы, синусы и косинусы, формулы преобразования, тождественные равенства, формулы приведения, аргумент.

Согласно курсу математического анализа с использованием формул дифференциального исчисления любую сложную функцию можно преобразовать в ряды Фурье, выраженных формулой:

F(x) = Ü (anco sn<P +bnsinn<p ) ; [ 1 . с. 609] ( 1 ) где n принимает натуральные значения, начиная с единицы.

Во всех учебниках по элементарной математике приводятся формулы преобразования только для трехкратных углов, например с Таблица косинусов кратных углов

Для приведения к единому аргументу и к форме записи тригонометрических функций в виде алгебраических многочленов введем подстановку:

X = 2 cos ср (2)

cos 2ср = (cos ср)2 — (sin<p)2 = 2(cos<p)2 — 1; или 2 c o s2 = 4 (c o s<p ) 2 — 2 = X 2 — 2 ;

каждый раз прибавляя значения с использованием формулы сложения углов, получаем окончательные выражения: 2 2

2 co s 5 = X 5 — 5X3 + 5X; ^ (3 )

2 co s 6 = X 6 — 6X4 + 4X2 — 2 ; 2 2