CC BY
8
Для второго деления Д О2 1 ,одна сторона которого О1 известна, вторая сторона О2 = ^/С052<г а третья сторона определяется с использованием предыдущей теоремы по формуле (8).
1211 = к (0 2 * ° 1 ) - К °2 С8)
1 1 (О 1 *ОК) ОК ' ( )
Подетальная разбивка удобна тем, что при разбивке используются короткие расстояния, удобные в применениях и менее трудоемкие, чем привязка к отдаленной точке О (центру угла поворота).
Для третьего деления Д О3 2 , одна сторона которого О2, подсчитана в предыдущем шаге алгоритма, вторая сторона О3 = ^/С05 за , третья сторона, как последующая доля тангенса угла поворота находится по формуле (9).
К О О
I 3 2 I =-и т. д.; (9)
О ОК
Для 1- го деления, одна сторона которого определяется в предыдущем шаге, это отрезок от центра угла до предыдущей точки, другая сторона О(1-1) = и отрезок на «тангенсе»:
I I (¿-1 ) | = 1К*(О*°а-1)) (10)
О ОК
и для последнего деления, в нашем случае (десятого) треугольник Д ВО 9 сторона О9 определяется в предыдущем шаге, вторая сторона ОВ = ^/со 5 ( 1 о а) и последний отрезок
В9 = 1К*(ОВО) (1 1 )
О ОК
Литература
1. Куспаев Н. Дж. Теоремы о биссектрисе и трисектрисах треугольника // Научный журнал, 2016. № 9 (10). С. 8-12.
2. Куспаев Н. Дж. Аналитическое определение длин трисектрис // Научный журнал, 2016. № 9 (10). С. 5-8.
3. Справочник по элементарной математике. М., 1972. С. 284.
4. Академия коммуникации и транспорта. г. Алматы, 2014.
Упаковка для двух кругов одинакового радиуса
1 2 Куспаев Н. Д. , Картбаев Е. Б.
1Куспаев Нургалий Джумагалиевич /Kuspaev Nurgaliy Djumagalievich - инженер-строитель; 2Картбаев Еркин Бекмурзаевич /Kartbaev Erkin Bekmurzaevich - офис-мененджер,
Республиканское государственное предприятие Актюбинский региональный государственный университет имени К. Жубанова, г. Актобе, Республика Казахстан
Аннотация: одной из проблемных задач по математике является задача для упаковки двух кругов одинакового радиуса. Постановка задачи: «Определить стороны квадратной жесткой упаковки для двух кругов одинакового радиуса, если разрешаеться разрезать один из кругов на два сегмента» [1]. Эта задача входит в число нерешенных задач по математике. В данной статье мы приведем решение исходя из условия взаимного касания трех окружностей.
Ключевые слова: точки касания, радиус круга, минимальное значение, первая производная, радиус круга, сегмент.
Постановка задачи
Какова наименьшая плотная упаковка двух одинаковых кругов, если разрешается разделить один круг на два сегмента [1]?
Задача решается при помощи свойства взаимно касающихся окружностей одинакового радиуса, граничащих заданные круги [2, с. 124]. Так как один из кругов можно разделить на два сегмента, то одна из окружностей берется цельным, а на двух других окружностях строятся соответствующие сегменты, полученные от деления второго круга. Центры трех окружностей образуют вершины равностороннего треугольника со сторонами, равными диаметрам заданных кругов (см. рис. 1).
Рис. 1. Схема упаковки двух кругов
EF-средняя линия треугольника, образованная окружностей схемы.
a=4R-x, (1)
Согласно построению
5= (2 )
b=2R + х - 5 = + х, (3)
8 = аЬ = ^ -х + Я л/3 + 2х), (4) 8 = Я2(8 + 4//3 ) + xR(8 - //3) - 2х2 . (5) Определим минимальное значение площади упаковки:
5 ! = R (8 - /3) - 4х = 0,
8-
отсюда, х0 = —-—.
Вычислим требуемое минимальное значение площади жесткой упаковки
8,602 5 63 5Я 2.
С _ п2/ I 6-л/з 2+т/з 6-л/з (10+7з)2й2
5 тт = Я (4--— )( _Г" + _Г" ) =
4 2 4 16
Задача по жесткой упаковке для двух кругов с одинаковыми радиусами решена. Сторона квадратной упаковки:
ю+л/з _ а =-R.
Литература
1. Выписка из свободной энциклопедии «Википедия» от 05.10.2016.
2. Справочник по элементарной математике. Москва, 1972. С. 284.
Таблица Пифагоровых троек чисел 1 2 Куспаев Н. Д. , Картбаев Е. Б.
1Куспаев Нургалий Джумагалиевич /Kuspaev Nurgaliy Djumagalievich - инженер-строитель;
2Картбаев Еркин Бекмурзаевич /Kartbaev Erkin Bekmurzaevich - офис-мененджер,
Республиканское государственное предприятие Актюбинский региональный государственный университет имени К. Жубанова, г. Актобе, Республика Казахстан
Аннотация: ещё из древнейших времен египтянам была известна замечательная тройка чисел, которая до настоящего времени используется в архитектуре, эта тройка - 3, 4 и 5. Эта тройка чисел замечательна тем, что эта цепочка чисел является длинами сторон прямоугольного треугольника и подчиняется теореме Пифагора, выраженной формулой: a2+b2=c2 (1). В свободной энциклопедии «Википедия» приводятся подобные виды таблиц, например, для наименьших катетов со значениями до 1000 единиц, но в этих таблицах пропускаются несколько промежуточных значений [1] поэтому они не могут иметь значений при их широком применении. Имеются целые числа, удовлетворяющие формуле Герона, когда все стороны и высота, опущенная на основание, имеют целочисленные значения. Приводятся несколько числовых групп треугольников Герона [2, с. 92], но как обобщенных таблиц в справочниках не приводится. При разбивочных работах по закреплению главных осей с большими геометрическими размерами иногда требуются целочисленные тройки чисел, подчиняющиеся формуле Пифагора так, как геодезическая стометровая стальная лента имеет деления равные 0,1 метрам. Ключевые слова: квадратный корень, сумма квадратов, взаимно простые тройки чисел, Пифагоровы числа, прямоугольные треугольники, натуральные числа.
Определение - 1. Взаимно простыми тройками чисел называются три числа из натурального ряда, не имеющие общего множителя.
Определение - 2. Пифагоровыми тройками чисел называются числа, равные длинам сторон прямоугольного треугольника и удовлетворяющие великую формулу Пифагора.
В справочниках приводятся формулы для нахождения Пифагоровых троек чисел, например одна из таких формул выражена в виде:
(ш - п)2 + 4шп = (ш + п)2 (1)
Для удобства вычислений эту формулу преобразуем следующим образом:
(1-т/п)2 + 4т/п= а + т/п)2 (2)
Теперь методом подбора чисел т и п заполним основную таблицу Пифагоровых троек чисел.
