Свойства колебательности и стационарности решений сингулярных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927

СВОЙСТВА КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ И СТАЦИОНАРНОСТИ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

© С.В. Исраилов, А.А. Сагитов

Ключевые слова: квазилинейное сингулярное дифференциальное уравнение второго порядка; условия разрешимости; краевая задача; осцилляция решений.

Рассматривается квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка, правая часть которого содержит сингулярности в одной или нескольких точках. Получены условия существования решения периодической краевой задачи, обращающегося в нуль в точках сингулярности.

1. В теории управления при решении задач с экстремумами, в исследовании колебаний, при математическом моделировании различных физических явлений и процессов в технике встречаются дифференциальные уравнения второго порядка с особенностями в одной или нескольких точках (которые называются точками сингулярности). Это, например, известные уравнения Бесселя, Римана, Хейни, Гаусса, Эмдена - Фаулера [1] и др. Для подобных дифференциальных уравнений в приложениях часто возникает необходимость исследования краевых задач с широким диапазоном граничных условий, выделенных в соответствии с изучаемыми проблемами и спецификой точек сингулярности [2-3]. Рассматриваемые сингулярные уравнения в ряде случаев могут быть записаны в виде следующего квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка

2. Сформулируем основные результаты. Для простоты изложения и большей наглядности будем считать, что ст = {х*}, т. е. ограничимся рассмотрением одной точки сингулярности х* є (а, Ь) .

Теорема 1. Пусть в области Б функции Ф, / удовлетворяют условиям:

I /(х, У, у’)\<у(х), х є [а, Ь], (2)

у(1)(х) < Ф(х,у,у )sign(х - х*) < у (0)(х), х є I = [а,х*) и (х*,Ь],

(3)

у"= Ф(х,у,у')у'+/(х,у,у'), х є [а, Ь].

(1)

где функция у(х) > 0 интегрируема на [а,Ь], функции у(к)(х) > 0 (к = 0,1) интегрируемы на [а,а] [в,Ь], для любых а е [а, х ), в е (х , Ь], но

Здесь функции Ф, / имеют точки сингулярности

х^ є (а,Ь) (] = 1, п) , непрерывны по х и по фазовым \fydt = +го \і)іїі :

(4)

координатам у, у' в области Б = {(х,у,у'):

х є [а,Ь] \ ст, | у(і) |< йі, і = 0,1} ст = {х1,х2,...хп} . Решением уравнения (1) будем считать любую функцию у(х) , непрерывно дифференцируемую на [а, Ь], с непрерывной при х є [а,Ь]\ ст второй производной у'(х) . Некоторые результаты о разрешимости переопределенных краевых задач для уравнения (1) получены в работах [4-6] методом ступенчатых операторов [2]. Когда порядок дифференциального уравнения совпадает с количеством граничных условий, качественные характеристики решений сингулярных уравнений даны в работах [3, 7] с помощью функций Грина. Здесь использованы нетрадиционные приемы для выделения экстремально-колебательных свойств решений, порожденных точками сингулярности правой части уравнения (1).

Пусть, далее, М > ЬХ(^ - Ь) ', где

М = шіи{МаМЬ } Ф 0,

* І

х Г—(0)

Ма = І ехр(- І у (5)й?5)йІ ,

а *

а

Ь ь

Ь Г—(0)

МЬ = І ехр(-1 у ^^)Ж, (5)

х* •*

І

хх Ь

Ь = шах{Ьа,ЬЬ}, Ь = 1 у(ґ)Ж, ЬЬ = 1 у(і)йІ,

а х*

Х = шах{(х*- а),(Ь - х*)} < ^0^1-1. (6)

х

Тогда дифференциальное уравнение (1) на сегменте [а, Ь] имеет решение у(х) с нулями в точках

а, х*, Ь , и точка х* является еще точкой стационарности.

Теорема 2. Пусть в области В выполнено условие (2). Пусть, далее, имеют место неравенство (3),

*

если х е [а, х ), и неравенство

Ф(х,у,у') < у* (х), если х є (х*,Ь],

где функция у (х) интегрируема на [х*,ь]. Если, кроме того, справедливы неравенства

Ма >Щй?! - Ь)-1,

X = шах{(х* - а),(Ь - х*)} < d0d1-1,

Ь

Ь < d1KЬ1, КЬ = ехр( 1 у* (1:^),

х

то уравнение (1) имеет решение у(х), для которого

* * точки а, х являются нулями, а точка х является точкой стационарности.

Теорема 3. Пусть в области Б выполнено условие (2). Пусть, далее, имеют место неравенство (3),

если х є (х*, Ь], и неравенство

Ф(х,у,y)sign(x - х) > у(х), х є [а,Ь],

(7)

где функция у(х) для любого 8> 0 интегрируема на отрезках [а,х* — 5], [х +5,Ь], но

х -5 Ь

^ у^)& = ^ у (/)& = +го. (8)

а х +5

Тогда при выполнении неравенств

Ь < $1 , X < -1

дифференциальное уравнение (1) имеет решение у(х),

для которого х является нулем, а точки а, х,* Ь -точками стационарности.

Теорема 6. Пусть в области В выполнены условие (2) и неравенство (7) при х е [а, х ) с учетом предположения (8), а при х е (х ,Ь] - неравенство

Ф(х, у, у ) <у*(х), (9)

где функция у (х) интегрируема на [х ,Ь]. Тогда при выполнении неравенств

Ф(х,у,у') >-у*(х), если х е [а,х*),

где функция у* (х) интегрируема на [а, х ). Если при этом справедливы неравенства

МЬ >ХЬ(^ - Ь)-1, Х< d0d1 ',

Ь < dlK , Ка = ехр( 1 у*(1^1),

Ка < <$1, ЬКЬ < dl, X < ад

уравнение (1) имеет решение у(х), для которого х *

является нулем, а точки х , а - точками стационарности.

Теорема 7. Пусть в области В выполнены условие (2) и неравенство (7) при х е (х*,ь] с учетом предположения (8), а при х е [а, х*) - неравенство

то уравнение (1) имеет решение у(х), для которого Ф(х,у,у') >-у*(х),

(10)

* * точки х , Ь являются нулями, а точка х - точкой стационарности.

Теорема 4. Пусть в области В выполнены условие (2) и неравенства

**

Ф(х,у,у )sign(х - х ) <у (х), х е [а,Ь];

Ь < $1К, X < $0$1—, К = тах{Ка КЬ },

где функция у (х) интегрируема на [а,Ь]. Тогда уравнение (1) имеет решение у(х), для которого точка сингулярности х* является одновременно нулем и точкой стационарности.

Теорема 5. Пусть в области В выполнено условие (2) и неравенство

где функция у *(х) интегрируема на [а, х*). Тогда при выполнении неравенств

КЬ < $1, ЬКа < $1, X < $0$-1

уравнение (1) имеет решение у(х) с нулем в точке х ,

*

и для этого решения х , Ь будут точками стационарности.

Теорема 8. Пусть в области В выполнены условия (2), (9), (10) и неравенства

ЬК < $1, X < $0$1—.

а

Тогда уравнение (1) имеет решение у(х), для ко*

торого х является нулем и точкой стационарности.

3. Для доказательства сформулированных теорем строятся специальные ступенчатые операторы, определенные в пространстве непрерывно дифференцируемых функций С (а, Ь) . Введем обозначения

(x

A(a, x, Ф) у = exp

a

V

B(a, x, Ф, f) у =

x f x

= 1 exp |ф(5, у(5)}/(s))ds

ІФ(5, у^), у' (s))ds

Л

f (t, у(t), у' (t ))dt

и, имея в виду теорему 1, систему операторов

(A11 jXx) =

А(а, х, Ф) В— (х*, а, Ф,1) 1 В(а, г, Ф, /+ В(а, х, Ф, /),

а

*

х е [а, х ).

х*

А(Ь, х, Ф) В — (х*, Ь, Ф,1) 1 В(Ь, г, Ф, + В(Ь, х, Ф, /),

Ь

х е (х , Ь],

(11)

(Аг^.у)(х) = 1 (А„у)(г)$г, х е [аЬ].

х*

При доказательстве теоремы 2 будем рассматривать операторы

(Al2 у)( x) =

J(Auу)(x), x є [a, x ),

|b(x*,x,Ф,f)у, x є (x*,b];

(A22y)(x) = 1 (Д2y)(t)dt, x e [a,b].

x*

Теореме 3 будут соответствовать операторы: Гв(х*, x, Ф, f), x e [a, x*),

(12)

(13)

(A13 у)( x) = •

I (A11 У)(x), x є (x, b];

(A23У)^) = 1 (A13у)(t)dt, x є [a,b].

(14)

(15)

Теорема 4 доказывается с помощью операторов (A14y)(x) = B(x*,x,Ф,f), x e [a,b], (16)

x

(A24y)(x) = J (A14y)(t)dt, x e [a,b]. (17)

При доказательстве теорем 5-8 строятся следующие операторы:

(A )( ) J B(a, x, Ф, f), (A15 У)( x) = | [B(b, x, Ф, f), x є [a, x* ), x є (x*,b], (1S)

x (A25 У)( x) = {(A^XOdt, x x є [a,b]; (19)

(A )( ) jB(a, x, Ф, f), (A16 У)( x) = | * [B(x , x, Ф, f), * x є [a, x ). x є (x*,b], (20)

x (A26 У)(x) = {(A^^dt, x x є [a,b]; (21)

Jb(x\ x, Ф, f). (A17 У)(x) = | |B(b, x, Ф, f), * x є [a, x ). x є ( x *, b ], (22)

x (A27 У)(x) = 1*( A17 у)(t )dt, x x є [a,b]; (2З)

( Ais У)(x) = B( x\ x, Ф, f), x є [a,b], (24)

x (A2S У)( x) = 1*(Ais у)(t)dt, x є[a,b]. (25)

Все теоремы доказываются по одной схеме. Поэтому подробно остановимся на доказательстве только теоремы 1. Решения будем искать в пространстве непрерывно дифференцируемых функций C (a, b) с

нормой || y ||= max Z y(г)(x) или с другой эквива-

a<x<b i=ol I

лентной нормой. В этом пространстве рассмотрим множество функций C'(a,b) , удовлетворяющих условиям:

| y(i)(x)<9i(x), lim* 9i(x) = 0,

x—— x

| Ф; (x)|< di, i = 0,1 ^ (26)

V5 > 0 3N5 < +<» Vx1, x2 e [a,x -8],[x* +5,b]

| y(i)(x1) - y W(x2)< N5 |x1 - x21

Множество C'(a,b) компактно [2]. Будем

считать, что операторы An, A21 определены на этом множестве. С помощью неравенств (2), (3) и чисел из (5) и (6) получаем оценки

Х1

| (ЛіУ)(x) |<^— A(x, a, у(l)) + B(a, x, у(1)у); M

x є [a, x*),

70), 1

\L

| (Al^Xx) |<^-A(b,x,у(l))-B(b,x,у(1)у); M

їО)„

x є (x ,b],

л f x ]

где A(b, x, у(1)) = exp Іу1-1^.^.?

a

V

x

B(b, x, у(1)у) = 1 exp 1 у(1)(5^5

A

у(t)dt.

x

x

x

52S

С учетом (26) положим

Ф:(х)=

Іф11(х), х є [а, х ), [ф12 (х), х є (х*,Ь],

где

ф11(х) = XЬM~1A(x, а, у(1)) + В(а,х, у(1)у),

*

х е [а, х ),

ф12(х) = XLM ХА(Ь,х,у(1))-В(Ь,х,у(1),у), х е (х*,Ь].

Из оценки (27) получаем

I А„у(х)|< Ф1 (х).

Тогда за ф0 (х) в формуле (26) примем

х

ф0(х) =| 1 фг(г)№г |, х е [а,Ь],

х

и для А21 у( х) из (11) получим оценку

IА21 у(х) |< фо(х), х е [а,Ь].

Нетрудно доказать на основании (2),(4) - (6) следующие соотношения:

ит, фг (х) = 0, | фг (х) |< $, г = 0,1,

х—— х

\Аиу(х)| < , |А21 у(х)| < $0,

Пт Ак1 у(х) = 0, к = 1,2 .

х—х

Аналогично доказывается выполнения второго из условий (26) (см, также [2]). Следовательно, операторы

А11, А21 отображают множество С '(а, Ь) в себя. Их непрерывность следует из свойств функцией Ф, / в области В . Из (11) следует, что

(Л„у)(х) = (А21у)'(х), х є [а,Ь].

(28)

Согласно принципу Шаудера в множестве С '(а, Ь) имеется по крайней мере одна неподвижная точка, что равносильно существованию решения у(х),

х є [а, Ь] , системы интегральных уравнений.

у( х) = (Л21у)( х), у' (х) = (Л„у)( х).

(29)

Причем функция (Л11 у)(х) дифференцируема при х є [а, Ь]\{х*}, и после вычисления ее производной,

имея ввиду (28) и первое равенство из (29), получим тождество:

у" = Ф(х, у(х), у'(х))у'(х) + /(х, у(х), у'(х)).

Из приведенных построений достаточно очевидно, что точки а, х*, Ь являются нулями этого решения, а

точка х* еще точкой его стационарности. Теорема 1 доказана.

Аналогично доказываются теоремы 2-8 (с использованием операторов, определенных равенствами (12) -(25)).

4. Если дифференциальное уравнение (1) имеет т сингулярных точек х1,х2,х3..,хт на интервале (а,Ь), то можно разбить этот интервал на т интервалов (ак-1,ак), к = 1,...,т, точками

а = а0 < х1 < а1 < х2 < а2 < х3 <... < хт < ат = Ь .

Тогда хк е (ак-1, ак) , и каждую из приведенных теорем можно сформулировать в отношении интервала (ак-1, ак) при фиксированном к . Если в каждой из областей

Вк = {(хУ,у'): хе[ак-1ак]\{хк}, |у(г) < $г, г = 0,1Ь

к = 1, т , выполняются условии теоремы 1, то уравнении (1) будет иметь решение у( х) с 2т +1 нулями в точках а,х1,а1х2,к,хт,Ь , и все точки

х1, х2, к, хт для него будут точками стационарности. На различных интервалах (ак-1, ак ) при к = 1, т , могут выполняться условия различных теорем 1-8 и количество точек, являющихся нулями решения или точками стационарности, будут колебаться в различных соотношениях. Минимальное количество нулей и точек стационарности равняется числу т .

Функции Ф, / в сингулярных точках

х = хк, к = 1, т , терпят неограниченные разрывы, но в других точках а0, а1, а2, к, ат непрерывны, поэтому в силу уравнения (1) в тех точках из них, где производная решения равняется нулю, т. е. в точках стационарности, можно установить вид экстремумов.

Действительно, пусть точка ат является такой точкой. Тогда из (1) в случае у(ат) = у\ат) = 0 имеем

у"(ат ) = I(ат , у(ат X У (ат ) = I(ат ,0,0) , и в точке ат решение у( х) имеет максимум при I(ат ,0,0) < 0 и минимум при /(ат ,0,0) > 0.

При определенных ограничениях на функции Ф, /

(см., например, [8]) уравнение (1) имеет решения с ограниченными производными второго порядка на всем интервале, включая и точки сингулярности. В таких случаях выполнено у" (хк) = /(хк ,0,0) при

у(хк ) = у' (хк ) = 0 , и в зависимости от знака чисел

/ (хк ,0,0) устанавливаем виды экстремумов.

Можно рассматривать сингулярное уравнение второго порядка традиционного вида

У ' = f (x. У. У')

(З0)

в предположении, что функция / в области В непрерывна по совокупности переменных, исключая точки сингулярности хк, к = 1, т , и имеет частную про-

д/

изводную —, обладающую теми же свойствами. То-

5у

гда, положив,

Ф( x, У, У') =

f (x, у, У ) - f (x, у,0)

у

Гу (x, У,0),

У ' * 0,

У = 0,

2. Исраилов С.В., Юшаев С.С. Многоточечные и функциональные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Нальчик: Издат. центр «Эльфа», 2004. С. 445.

3. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1975. С. 352.

4. Исраилов С.В., Черкасов И.Д. и др. Переопределенные весовые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения и их приложения. Сб. науч. тр. Грозный, 1990. С. 46-53.

5. Исраилов С.В., Юшаев С.С. Переопределенные краевые задачи для сингулярных дифференциальных уравнений второго порядка // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения: Третья междунар. науч. конф. Махачкала, 2007. С. 46-48.

6. Исраилов С.В. Точки сингулярности в ОДУ порождают переопре-деленность граничных условий // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: материалы III Междунар. науч. конф. Воронеж, 2-7 февраля 2009 г. Воронеж, 2009. С. 90-92.

7. Покорный Ю.В. О нулях функции Грина задачи Валле Пуссена // Математический сборник. 2008. Т. 199. № 6. С. 105-136.

8. Исраилов С.В., Джабраилов А.Л. О решениях сингулярных краевых задач ОДУ с ограниченными производными // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения: Третья междунар. науч. конф. Махачкала, 2007. С. 49-51.

Поступила в редакцию 24 февраля 2010 г.

уравнение (30) запишем в квазилинейной форме у" = Ф(х,у,у')у'+/(х,у,0), позволяющей воспользоваться приведенными результатами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961.

Israilov S.V., Sagitov A.A. Qualities of variability and statio-narity of singular differential equation solutions.

Quasilinear differential equation of the second order is considered, the right part of which has the singularity in one or several points. The circumstances of solution existence of periodic boundary task, referring to zero in points of singularity, is given.

Key words: Quasilinear singular differential equation of the second order; solution conditions; boundary task; solution oscillation.

5З0