О теоремах существования решения сингулярной задачи Коши-Николетти для системы ОДУ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517. 927

О ТЕОРЕМАХ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ-НИКОЛЕТТИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ОДУ

© С.В. Исраилов, А.А. Сагитов

Ключевые слова: сингулярная задача Коши-Николетти; теоремы существования решений; интегральные неравенства.

В статье получены теоремы существования решения задачи Николетти для системы сингулярных обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказательства используют интегральные неравенства.

Рассматривается задача Коши-Николетти

у/ = Ґі(х,Уі,У2.Уп), і = їй,

Уі(хі) = 0, і = 1,п.

(1)

(2)

Здесь функции непрерывны по совокупности аргументов в области

О^-.х е [а,х1) и (х;,Ь], \у}\ <й, } = 1,п,

й — заданное число. При х=х; функция ^, вообще говоря, неограниченная, т. е. система (1) является сингулярной в смысле работ [1, 2]. Любая вектор-функция у = (Уг(х))"=1, удовлетворяющая условиям (2) и уравнениям (1) при х ф х;, называется решением задачи (1). (2).

Теорема 1. Пусть некоторые функции /м(ж>У1>--->Уп)> к = 1,2, £ = 1,п, непрерывны по совокупности аргументов в области

О'^.х е [а,х;)и(х;,Ь], м1у(х) < у] < м2Дх), } = 1,п,

где ик1(х) - некоторые непрерывные на [а, Ь] функции. удовлетворяющие условиям

и1£(х) < м2;(х), |м^;(х)1 < й, икі(Хі) = 0.

(3)

Далее, пусть для любых непрерывных на [а, Ь] функций у£(-), удовлетворяющих при х£ [я,х;)и(х;,6] включению (х,У1_(х), ...,уп(х)) Ей,*, функции

/(с;(х,У1(х).у„(х)) интегрируемы на [а,х;), (х;,Ь],

причем при всех £ = 1, п имеют место неравенства

/іг(£,Уі(£), ■■■,Уп - £;)Л > и1і(х),

Ґ2і(і,Уі(і), -,Уп (і)зідп(і - < м2і(х).

(4)

Если при этом для всех I = 1,п в области 1); выполняются неравенства

Аі(х,у1,...,уп) </і(х,у1,^,уп)5І5п(х-Хі) < </2;0,Уі.....Уп), (5)

то задача (1), (2) имеет, по крайней мере, одно решение, компоненты которого удовлетворяют неравенству м1;(х) < у;(х) < м2;(х).

Д о к а з а т е л ь с т в о. В пространстве Сп(а, Ь) непрерывных на [а,Ь] вектор-функций у = (У;(х))^=1 с нормой ||у|| = таха<ж<йХ^=іІУ^(^)І возьмем множество Сп(а,Ь) таких вектор-функций у = (Уг(х))"=1, что

иМ (X) ^ Уг (х) ^ «2г (х), і = 1, П,

(6)

и для всех г = 1,п, 51г є [а,хг ], 52І є [хг,Ь] существуют такие N 5 > 0, N5 > 0 , что выполняются неравенства

I Уг (О - Уг NSlt I *2 - *1 I V^1,*2 є [81г, хг ],

I Уг (к) - Уг N 5 2г 1 *2 - *1 I V^1,*2 є [хг, 82г ]

(7)

Множество С,п(а,Ь) замкнуто, выпукло и компактно [2,3].

Из неравенства (5) и свойств функций к = 1,2, £ = 1,п, в области £>* нелинейный интегральный оператор

А

(АгУ)(х) = |/г (*, У] (*),..., Уп (№, І

= 1, П,

(8)

действует на множестве Сп(а, Ь).

Справедливость неравенств (6) для функций Л;у, ( = 1,и, вытекает из (4), (5), (8). С учетом (8) неравенства (7) проверяются просто: |(Ау)(^)-(Д.у)(Г2)|=

Х1 Х2

= | / У1 (О— Уп (Х)Л - |/ & У1 (t).•••. Уп (0^ N

X хг

Х 2

^ 1 | /г (t. Уl(t).•••. Уп (Х)йХ ^ 1 Х2 - Х1 |.

как для *2 є[5ь., хі ], так и для *2 є [хі , 52 і ], где |/(X, У1(“)(х),..., УП(т\х)) - / (X, У1(х),..., УП (х)|< 8 . (14)

N1i = тах 1 / (x, y1(x),..., Уп (х)1,

51І < х < хІ

N 2 І = тах 1 / (x, Уl(x),..., Уп (х)|.

хі йх<о2.

(9)

Значит, оператор А преобразует Сп(а,Ь) в себя. Докажем его непрерывность на С*п(а,Ь) . Пусть вектор-функции у(т) = (У(т))П=1 є С*п(а,Ь) сходятся к вектор-функции У = (у і )П=1. Следует убедиться в том,

что последовательность (Л;у^т^)(х) при каждом фиксированном і равномерно сходится на [а, Ь]. Пусть £> 0 произвольное заданное число. Тогда из (3) следует существование таких чисел 51 ;(£),52;(£), что

8 8 -----------------------

1 «1г(х)|< ^ 1 «2г(х)|< 3 г= 1, n,

(10)

соответственно для всех х е [81г,хг], х е [хг,82г]. Так как для г = 1, п имеют место оценки

«1і(х) < (АіУ(т))(х) < и2і(x),

и1і(х) < (АіУ)(х) < и2г (X),

|(АіУ(т))(х)|<3, |(А.у)(х)|<3, 2

| (АіУ(т))(х) - (А.У)(х) |< з 8 < 8

(11)

(12)

как при х е [81г, х г ], так и при х е [хг , 82г1 . Если же хе[а,81г]и[82г,Ь], то, вследствие (8), (12),

|( Ау (т))( х) - ( а. у )(х)|=

=|} [ Л (Х, У1(т)(Х),..., Уп (”°(0) - Л (Х, У1(Х),..., Уп (Х))]^Х |<

8Ь 8Ь

<1 |Л^У1(т)(Х),...,Уп(“)(Х))ёХ| + 1 }Л(t,Уl(^),...,Уп(Х(13)

+| }[Л(t,У1(т)(Х),...,Уп(т)(Х)- Л(f,У1(Х),...,Уп(Х)]ёХ < 2е +

+1 }[Л(Х,У1(т)(Х),...,Уп(т)(Х))-/(Х,У1 (Х),...,Уп(0]<* |,

8кг

к = 1,2, г = 1я.

Но функция / (х, у1,...,уп) равномерно непрерывна при а < х <8 1г, §2г < х. < Ь, | уг |< ё , поэтому

найдется такой номер т , что при т > т и х е [а, 81г ] и [82г, Ь] выполнено

Следовательно, при х є [а, 51г ] и [52і,Ь] и т > т из (13) получаем

|(Ау(т))(х)-(Ау)(х)|<38+38 = 8, г =1 n, (15)

т. е. оператор А непрерывен. Непрерывный оператор А преобразует компактное выпуклое множество

С*п(а,Ь) в себя и, согласно принципу Шаудера [2], имеет в СП(а, Ь) неподвижную точку, т. е. система

2 1

(А.У)(х) = у г (х), І= 1, П,

(16)

имеет в Сп(а,Ь), по крайней мере, одно решение, которое дифференцируемо на [а, х.) и (х., Ь], удовлетворяет условиям (2) и системе (1) [3, 4].

Теорема 1 доказана.

Т е о р е м а 2. Пусть существуют неотрицательные функции р(х,у1,...,уп) непрерывные по совокупности аргументов в области Di и такие, что система

(17)

имеет решение г( х) = (г 1 (х))”=1, удовлетворяющее условиям (2) и неравенству м1у(х) <гДх) <м2Дх). Если в области

Д* : х е [а х) и (х., Ь], -2^ (х) < У] < (х) , } = 1, п,

функции р не убывают по перемененным у., г = 1, п, и справедливы неравенства

| /і(x, Уl,... Уп )|й р (x, Уl,..., Уп X г = 1,n,

(18)

то система (1) имеет, по крайней мере, одно решение, компоненты которого у,- удовлетворяют неравенству -г;(х) < у;(х) < г;(х).

Д о к а з а т е л ь с т в о. В условиях теоремы 1 положим

/1і = -Рі, /2г = Рг, «1г(х) = -^ (x),

~ * * и2г( х) = 2І (хХ °г = °г ■

Ясно, что при -2 {(х) < у. < 2 {(х) в^іполнено

(19)

| /г (x,Уl,...,Уп) |й Р (x,Уl,...,Уп) <

< р (х,21 (х),..., 2п (х)).

(20)

Далее, функция р (х, 21(х),..., 2п (х)) интегрируема на [а, х.), (х., Ь] и

то

2.(х) = |Р(/,Г1(/),...,2п(О),*, і = 1,п. (21)

хі

Последнее равенство очевидно, т. к. 2{ (х) - решение системы (17), удовлетворяющее условиям (2). Поэтому при любых 8. є [а, хі) и (х.,Ь], і = 1,п, функция 2 = (2.)П=1 есть решение (17), удовлетворяющее условиям 2. (х) |х=8= 2.(8.) , причем

х

2. (х) = 2. (8. ) +|Р (*, 21 (*),..., 2п (*)),*, І= 1, П. (22)

8І

Отсюда

х

| Р (*, 21 (*),..., 2п (*)),* = 2. (х) - 2. (^ ), І = 1, П, (23)

8І

и, следовательно,

х

Ііт Гр(*,21 (*),...,2п(*)),* =

8. —— X. J

8і (24)

х

= Г Р (*, 21 (*),..., 2п (* )),* = 2. (х)

х

Таким образом, все условия теоремы выполнены и задача (1), (2) имеет, по крайней мере, одно решение.

Т е о р е м а 3. Пусть существуют такие непрерывные по совокупности аргументы в Д функции

Ры(х,у1,...,уп), к = 1,2, і = 1,п, что системы

у. = р1і(хУl,...,УпX ■ =1 n, у. = р2і(x,Уl,...,УпX ■ =1,n,

имеют решения 21(х) = (21г(х))П=1 и 22(х) = (22і (х))П=1 , соответственно, для которых выполнены условия:

2кі (хі) = С1, 21і(х) < 22і (x), | 2кі (х)|< ,, ■ = 1 п.

Если в области

Щ:хє [а,х;)и(хг,Ь], г1;(х) < у; < 22;(х), ; = їй,

функции Ры, к = 1,2, і = 1, п , не убывают по переменным У , = 1, п, и справедливы неравенства

Р1г(XУl,...,Уп) < /г (X,Уl,...,Уп) < Р2г(X,Уі — Уп),

то система (1) имеет, по крайней мере, одно решение, компоненты которого У) удовлетворяют неравенству -гДх) < уДх) < г;(х).

Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы 2.

Т е о р е м а 4. Пусть в области Д выполнены неравенства

п

|/і(X,У1,...,Уп)|< А + ЕА,к |-^Г, І = ЇЯ (25)

и х - хк

где А > 0, Ак > 0, ак — 0, І,к = 1,п, такие числа, что система алгебраических уравнений

п ___

^■-ЕАк** = А, і= 1,п, (26)

к=1

имеет решение Л0 = (^0і )П=і , все компоненты которого неотрицательные.

Тогда система (1) имеет решение, компоненты которого при х є [а, х.) и (х.,Ь] удовлетворяют неравенству

- ^0і | х - хі |< У г (х) < ^0і | х - хі Ь ■ = i, П. (27)

Д о к а з а т е л ь с т в о. В условиях теоремы 2 положим

Д*: х є[^ X)и (х, Ь],-^0і | х - X |< у- <Х0і | х - хі |,

Рг (x, Уl,■■■, Уп ) = ^ 0І, ■ = 1, П (28)

■-- *

В области Д имеем

“і __________________

< 0І)а- , ■ = 1 n,

(29)

п ___

| /г (x, Уl,■■■, Уп )|< Аг +Е А ^“к = ^0і, ■= 1, п

к=1

Поэтому все условия теоремы 2 выполнены и утверждение доказано.

П р и м е р 1. Пусть Аы = 0 при і ф к, і, к = 1, п.

Тогда система (26) запишется в виде

*Ч- АггК- = А , І= ЇП. (30)

Если а. < 1, і = 1, п, то уравнения системы (30) имеют неотрицательное решение. При аг = 1, і = 1, п, такое решение существует для Аи < 1 . Если а. > 1,

= 1, п, то положительное решение будет существовать только тогда, когда

Уг

х - хг

1 — а —— ----

А <----------L • (А) а—1, ■ = 1, П.

(31)

Перечисленные факты легко проверяются, достаточно найти экстремум функции

ф(х) = X - АгХа- - Аг, і = 1, п.

(32)

Итак, вычисляем производную ф'(Х) = 1 — а.А.гХ

а- —1

1

ч 1—а -

Из ф'(Х) = 0 получаем X = (а. А- ) 1, і = 1, п .

Отсюда

тахф(Х) = (аіАіі)1 а — Аіг(аіАіі)1 а — Аг > 0, ■ = ^П.

Полученное неравенство выполнено, если

Ф2і(х,Уі,...,У2)^8п(х — х.) > Уі(х), | ЛДхУi,...,Уп)|< Фі(х).

Здесь функции ф0(х), у0(х) непрерывны и сумми-

руемы на [а,х.), (хг,Ь], функции у.(х) , і = I + 1,п , являются положительными, несуммируемыми и непрерывными на [а, х.) и (х., Ь], и, наконец, функции

ф;(х), і = I +1,п , непрерывны на [а, х.) и (хг,Ь] и

Ііт фіхі = 0.

X—Xг у. (X)

Тогда задача (1), (2) имеет, по крайней мере, одно решение, компоненты которого удовлетворяют неравенству |у,(х)| < й.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим на (х.,Ь],

і = I +1, п , функции

А <——(А-а.)1—аі,і = 1,п. а

П р и м е р 2. Рассмотрим систему

2 і

у1 =— У- — і У1 х2 4,

/ = 1 Уі2 У 2 1

У 2 = ■ _

2 х2 (х — 1)2 8

2

-/у. (* ),

Г У і (г) &

Положим,

т J '.V™ * J 'Г I

цг-(х) =1 е х фi (1)й1, V. (х) =1 е1 фг (^)ё^.

х х

Функции V (х) имеют конечные или бесконечные пределы при х х1 . В случае Нш у1 (х) < да имеем

Ь

-/Уі(*)*

Ііт цг- (х) = Ііт е х V. (х) = 0.

х—х. х—х-

А1 = 4 , А2 = 8 , А11 = 1 А21 = 2 , А22 = 1

а1 = 2, а 2 = 2, А12 = 0, А21 =

1

Здесь имеет место неравенство (31):

= 1 <_ 1-2 1 = 1 = 1 < 1-2 1 = 1

1 = 4 _ 2 = 2 , 2 = 8 _ 2 = 2.

Все условия теоремы 4 выполнены, и данная сис-1 1 - х

тема имеет решение у1 = -—х, у2 = —^~, удовлетворяющее условиям у1(0) = 0, У2(1) = 0.

Т е о р е м а 5. Пусть для всех г = 1,п имеем л (x, Уl,..., Уп ) = Ф1г( x, Уl,..., Уп ) + Ф 2г( x, Уl,..., Уп ) Уг,

причем функции Фы, к = 1,2, г = 1,п, таковы, что для некоторого I < п при всех г = 1,1 выполнено

Ф 2і (x, Уl,■■■, У 2) *8п (х — хі) < У 0( x), | МXУl,■■■,Уп)|<У0(x),

а при всех і = I +1, п

Если же Ііт vt (х) = да , то, применяя правило Лопиталя

для раскрытия неопределенностей, получим

Ііт цг- (х) = Ііт -

X—X- X—X-

Ь Г Уі (г )Л

I е* ф. (*)й*

~~Ь

|Уі (*)*

|Уі (*)*

= Ііт

X—X-

фг(х). = Ііт фЮ = 0.

]у к (*, х—х‘ У г (х)

-Уг (х)ех

Для х е [а, х г) этот факт устанавливается аналогично.

Предположим, что выполняются неравенства

|у 0 (* )йгх. еа |ф0(*)й*

+ тах

хє[а,X- ]

— / У і 1»*

| е х ф. (т),т +

-/Уг (*)*

(33)

а

2

е

е

і=1+1,п

Определим функцию

Ay - (Aiy)ni=v,

W (x) =

J e T ф0(т¥т +

-|у, (s)ds

-|у, ( s)ds

I |W.,- a J 4-І W I

+ max-j I e x ф((т^и— e a >, x є [a,xt).

i=l+i,n IJ 2 I

a

x |у0( Mds

J e T ф0(0* +

b -|у, (s)ds a -|у, (s)ds

+ max-j I e x фДх^х + —e x у, x є (xt,b].

2

Из (ЗЗ) следует, что

0 < W ( x) < d.

(З4)

Обозначим через Cn(a, b) множество таких непрерывных вектор-функций y() - (уt (•))'=1, что

| Уі(x)|< W (x) l = 1, n

(З5)

и для любых 81г е [а, хг), 82г е (хг, Ь], г = 1,п , существуют такие N3 > 0, N3 > 0, что при Х1,11 е[а,8ь], Х2,е [82г, Ь] выполняются неравенства

| Уг (tk ) - Уг (sk ) |< N5 ki | tk - Sk |, k = 1,2 (З6)

Это множество замкнуто, выпукло и компактно [2]. В силу (34) в С*п(а,Ь) действует интегральный оператор А:

x JО)*

(.Aty){x) = J eT fii(x,yi(T),---,yn(T))dT i = U

b

-J f2,(s,yi(s),--, Уп (s'))ds

(A,y)(x) = Qe x -

b -J f2,(s.yi(s).--.yn (J))* _______

-J ex f1i(T У1(т),---> Уп (x))dT> i = l + 1,n=

C i = const.

В остальном доказательство такое же, как доказательство теоремы 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чечик В.А. Исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярностью // Тр. Моск. матем. об-ва. 1959. Т. 8. С. 155-198.

2. Исраилов С.В. О сингулярной многоточечной краевой задаче // Уч. записки Азерб. гос. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 1963. № 3. С. 6371.

3. Бессмертных Г.А. Несколько замечаний к вопросу о существовании решения у сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Приближенные методы решения дифференциальных уравнений: сб. Вып. 2. Киев: Наукова думка, 1964. С. 23-32.

4. Исраилов С.В. Многоточечные и функциональные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Нальчик: «Эльфа», 2004. С. 445.

Поступила в редакцию 20 июля 2010 г.

Israilov S.V., Sagitov A.A. About existence of theorems for solutions of singular problem of Cauchy-Nicoletti for ODE system In this paper the existence of theorems for solutions of Nico-letti problem for system of ordinary differential equations by using of integral inequalities are proven. Proves use the integral inequalities.

Key words: singular problem of Cauchy-Nicoletti; theorems of solution existence; integral inequalities.