Принцип максимума для разности почти-решений нелинейных эллиптических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2007 Математика и механика № 1

УДК 517.95

В.М. Миклюков ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ РАЗНОСТИ ПОЧТИ-РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Доказывается принцип максимума для разности почти-решений р-гармони-ческого уравнения, уравнения минимальной поверхности и уравнения газовой динамики.

1. р-Гармонические уравнения

1.1. Условимся в обозначениях. Пусть И" - п-мерное евклидово пространство, п > 1, со стандартным скалярным произведением (•,•) и модулем | • | = >/(•> •) . Пусть

Б с И"- область и пусть £(х):Б ^ И1- измеримая по Лебегу, неотрицательная и почти всюду конечная функция.

Пусть А:БхИ" ^ И" - отображение, удовлетворяющее следующим предположениям:

(г) для почти всех х е Б отображение ^еИ" ^ А(х,^) определено и непрерывно; (гг) отображение хеБ ^ А(х,£) измеримо для всех ^еИ" ;

(ггг) для почти всех хеБ и всех ^еИ" выполняются следующие структурные ограничения:

Ц1к(х)|$|“ <£,А(х,\)); (1)

\Л(х,$)\ <И2к(х)|$|а-1, (2)

где а > 1 и рь р2 > 0 - некоторые постоянные.

Удобно обозначить ц=ц2/ц1 . Ясно, что всегда р > 1.

Рассмотрим уравнение

div А(х,У И) = 0. (3)

Уравнения описанного вида называются А-гармоническими [1]. Следует отметить, однако, что в монографии [1] предполагаются более жесткие ограничения на весовую функцию £(х). В частности, предполагается, например, чтобы £(х) была ограничена сверху и отграничена от нуля в существенном на компактных подмножествах области Б и др. [1. С. 7].

На наш взгляд, подобные ограничения при описании класса уравнений излишни, поскольку носят во многом технический характер.

Простой пример А-гармонического уравнения доставляет уравнение

^ (|УИГ2 УИ) = 0, р > 1. (4)

Решения И уравнения (4) называются ^-гармоническими функциями, а само уравнение - ^-гармоническим [1, глава 6].

1.2. Символом С(Е ниже обозначается класс функций, непрерывных на множестве E, символом Ск(Б) - множество функций, имеющих производные порядка £, £=1,2,..., в области Б, символом Си(Б) - множество функций класса С1(Б) с производными первого порядка, удовлетворяющими условию Липшица локально в Б.

Функция И принадлежит классу Ж1,а(Б), а > 1, если она имеет обобщенные в смысле С.Л. Соболева частные производные 5И/5х;, (г=1,...,п), суммируемые по Б со степенью а. Функция И принадлежит классу ^0’“ (Б), если она принадлежит

классу Ж1’а(Б') на всякой подобласти Б'с Б. Последнее означает, что замыкание Б' компактно и содержится в Б.

Определение 1. Непрерывная функция И:Б ^ И1 класса ^0’“ (Б) является

почти-решением уравнения (3), если для всяком функции

фе<“ (Я) п С (Б), 0 <ф< 1, 8ирр фс Б, (5)

выполнено

<6 (6)

|( уф, а (х, ун )) аип

э

где Ж" - элемент п-мерной меры Лебега.

Величина е > 0 называется уклонением почти-решения И [2].

Поясним введенное понятие в случае, когда е = 0. Если множество дБ является счетно (Н"-1, п-1)-спрямляемым, то оно имеет локально конечный периметр в смысле Де-Джорджи и Н"-1 - почти всюду на дБ существует единичный вектор нормали п [3, §3.2]. Простые соображения, опирающиеся на обобщенную формулу Остроградского - Гаусса для С1’1-функций в областях с (Н"-1, п-1)-спрямляе-мыми границами (см. [4, теорема 2.6.2]), показывают, что принадлежность И классу С1,1( Б) и выполнение (6) с указанным произволом на функцию ф влекут выполнение соотношения (3) в стандартном смысле.

1.3. Пусть D с И" - область и

А (х, £):БхИ" ^ И"

- измеримая в смысле Лебега вектор-функция.

Пусть И:Б ^ И - непрерывная функция класса ^0’“ (Б), являющаяся почти-решением уравнения

div А' (х, УИ) = 0. (7)

Определение 2. Будем говорить, что вектор-функция А (х, ^) удовлетворяет

условиям (1), (2) на почти-решении И, если вектор-функция А (х, УИ(х)):Б ^ И"

обладает свойствами (1), (2), т.е. почти всюду в Б выполнены

Р1£(х)|УИ(х)|а < <УИ(х), А' (х, УИ(х))); (8)

| А (х, УИ(х))| < р2£(х)|УИ(х)|а-1. (9)

Ключевым в нашем подходе является следующее утверждение:

Лемма 1. Пусть И1, И2:Б ^ И1- почти-решения уравнения (4). Тогда функция И = И2 - И1 является почти-решением уравнения (7), где

А' (х, §) = |УИ2(х)Г2(УИ1(х) + §) - |УИ1(х)Г2(УИ2(х) - 9, (10)

удовлетворяющего условиям (1) - (2) на почти-решении И с а=2.

При этом можно положить

1

к (х) = || XV ь2 (х)+(1 - х)ун1 (х)\р-2 а х,

0

( 1 .Р ^ 2,

И1 =1 , , Р2 = 1 + Ь - 2| пР>и Р> > 1

[^ -1 при 1 < р < 2,

и если уклонения hi, h2 суть Si > 0 и s2 > 0 соответственно, то уклонение почти-решения h _равно s1+s2.

Доказательство. Так как h; (i=1,2) суть почти-решения уравнения (4), то для всякой функции ф со свойствами (5) выполнено

К v«p,| Vht\p-2 Vht) dHn

<Є.., і = 1,2.

Отсюда для всякой функции ф указанного вида имеет место соотношение

КV?, IVh^р-2 Vh2 -|VhJр~2 Vh^ dHr'

<Єі +Є2.

(11)

Выполнение (11) означает, что функция h = h2 - hi является почти-решением уравнения (7) с A вида (10) и уклонением s= s1+s2. Нам необходимо проверить, что A (x, £) удовлетворяет условиям (8) - (9) при h = h2 - hi c a = 2.

Мы воспользуемся подходом, использованным в [5] при доказательстве теоремы 1.1. Положим

Ф(Г) = |V(Xh2 + (1 - ^)hi)f2V(M2 + (1 - k)hi), [0;1].

Мы имеем Ф(0) = |Vh^^2Vhi, Ф(1) = ^Г^.

Отсюда находим

1

|Vh2|р-2 Vh2 -|VhJр-2 Vh1 = Ф(0) -Ф(1) = JФ'(X)dX =

0

1

= J[(Vh2 - Vhi )|V(Xh2 + (1 - X)hi )|^2 + (p - 2)V(Xh2 + (1 - X)hi)X 0

X|V(Xh2 + (1 - X)hl)|p-4(Vh2 - Vh, V(Xh2 + (1 - X)hl))] dX (12)

и <Vh2 - Vhi, |Vh2r2Vh2 - |Vhi|p-2Vhi> =

1

= |Vh2 - VhJ2 j|V(Xh2 + (1 -X)h)|p- dX +

0

1

+ (p - 2) j|V(Xh2 + (1 - X)h1)|P-A{Vh2 - Vh1, V(Xh2 + (1 - X)h1 ))2 2X. (13)

0

Еслиp > 2, то

<Vh2 - Vhi, |Vh2f-2Vh2 - |Vhi^-2Vhi> >

1

>|Vh2 - VhJ2 j|V(Xh2 + (1 -X)h)|p-2 dX = |Vh2 -VhJ2 k(x). (14)

0

Пусть 1 < p < 2. Заметим сначала, что

l

JlV(Xh2 + (1 -X)hIp-4 (Vh2 - Vhj, V(Xh2 + (1 -X)\)2 dX <

0

1

< |Vh2 -Vh112 j|V(Xh2 + (1 - ХЩp~2 dX .

D

D

о

| уи2 - V* |2 || v(Xh2+(1 - Х)\\р- а х+

0

+ (р - 2) ||У(ХН2 + (1 - Х)И1 )|р-4 (Ук2 - УИ1, У(Хк2 + (1 - Х)И1))2 аX;

> (р-1) | ун2 -ун |2 ||у(хн2 + (1 - х)н1\р-2 ах.

Тем самым, соотношение (13) при 1 <р < 2 влечет

<УИ - УИЬ | - |УИх^-2УИа> > (р - 1)| УИ - У^|2 к(х). (15)

Соотношения (14) и (15) означают справедливость (8).

Проверим выполнение неравенства (9) при И = И2 - И1 и а = 2. Предположим сначала, чтор > 2. Здесь (12) приводит к оценке

НУ^^УИ - |УИ1^2УИ:| <

I(УН2 -Ч\)|У(Х^2 + (1 -Х)Н1)|р~2(X

+ (Р - 2)

1

|У(Хк2 + (1 - Х)\) |'Ч('кк2 + (1 - Х)к1 )|р~4{ЧЬ2 - , У(кк2 + (1 -Х)к1)) ах|

и НУ^Г^И - |УИ1^-2УИ:| < (р - 1) \УН2-У^| ||У(ХН2 + (1 -Х)И1\р- аХ -

= (р - 1) |УИ - УИ1 к(х).

(16)

В случае 1 < р < 2 имеем

НУ^^УИ - |УИ1^2УИ:| <

|(У^2 -Щ)\У(М2 + (1 -Х)И1)|р~2(X

+(2 - р) |У(Х^2 + (1 - Х)Н1) | V(Xh2 + (1 - X)\)|р~4 (VН2 - УН1, V(Xh2 + (1 - X)\)) ах\

о

и ИУ^Г^И - |УИ^^2УИ:| <

1

< (1+|р - 2|) |ул2 -уи^ ||у(хи2+(1 -х)и1р- ах =

0

= (1 +|р - 2|) |УИ2 - УИ1| к(х). (17)

Оценки (16) и (17) обеспечивают выполнение (9) с а = 2 и заявленной постоянной Ц2. ■

1.4. Если положить

1

Iр & п) = || х^+(1 -х)л|р- а х,

то определенная в лемме 1 функция к(х) имеет вид

к(х) = /ДУИ^х), УИ2(х)).

и

0

0

0

0

0

0

0

Укажем некоторые свойства функции 1р (^ п). Прежде всего, заметим, что для любого X е [0,1] выполнено

|^| - (1 - Х)|п|| < |Ц - (1 - Х)п| < ^| + (1 - Х)|п|. (19)

Пустьр > 2. Предположим, что |^| > |п|. Пользуясь (19), имеем

1

ір & п) < І (Щ ^-Н)+|п|)р~2 л Х--

0

'(т ^ ^ ІГЧМ'

І5І-Н іі р -1 І5І-Н

С другой стороны, на основании (19) находим

1р&п)> ||Ц$-(1 -АОНГ2 = 11 Ч$І+Іп|)-МІГ"2=

0 0

1 я

= 1М $|+Н)-иг-2 ^+ |Н-Щ ^1+Н)Г2 ^,

я 0

где я • (21)

І5І+Н

Вычисляя последние два интеграла, получаем

л_ Шр - +1п1р-1

Р -1 1Ш + |л|

Пусть 1 < р < 2. Как и выше, предположим, что |^|>|п!- В соответствии с (19) можем записать

Ір(Ш,п) >--------------------------------------------------------7 ,,, . , Р > 2. (22)

1Р & п) < IЩ-(1 -Щ п|Г2 = ||Щ $|+|л|)-ИГ"2 ах =

0 0 я 1

= |ц п-ч\ $|+Н)1р - 2 ^+1Ш $|+|п|)-иг-2

0 я

где величина я > 0 определена равенством (21). Таким образом, находим

■\р-1 ^ I р-1

±_ 1ШГЧп| р -1 |^+Ы

Наконец, вычисляя как в (20), получаем

±_ Ш "-1 -Н"-1 р -1 1Ш-Н

Лемма 2. Имеют место соотношения:

ір & п) <—7 ,н.;, і < р < 2. (23)

1р (%, п) >--------------------------------------71Ч„, , 1 < Р < 2. (24)

\йр-- - ир-1 \йр-1 + ир-1 \йр-1 - ир-1

с (Р м м -1.1 м - с2 (Р1 1,1 П ’ Р >1; (25)

5-Н 1^1+Н 1^1-Ы

сз(р)((I ( 2 + NР 2)- )) |^_Щ— - с4(р((( 2 + NР 2)> р ^ 2; (26)

Н2-'+М2-' и-м 1Н2-'+М2-'’

где с1 (р) = ^ ^ (х), с2 (р) = 8ир ^ (х),

!<х<® 1<х<о>

С3 (р = М Х2 (х), с4 (р) = 8ир Х2 (х),

!<х<® 1<х<о>

с5 (р) = inf Х3 (х), с6 (р = вир Х3 (х),

1<х<^ 1<х<о>

(хр-1 +1) (х -1)

Мх) = 7-------1----{-------,

(-1 - 1)(х +1)

(XР-1 -1)

Х2 (х) =------Ц------,

(х -1)(-2 + 1)

Хз (х) = --- (х^ -1)(х2- р +1).

х -1

Доказательство. В случае (25) имеем

Нш Х1 (х) =—1—, Нш Х1 (х) = 1.

х——1 р — 1 X——ГО

Функция ^(х) непрерывна на (1,р и не обращается в нуль. Тем самым

0 < С\(р) < с2(р) < «

, ,хр-1 — 1 х^-1 +1 , ,хр-1 —1

и С1 (р)-------------------------— ^^ с2 (р)-----------------~

х — 1 х +1 х — 1

при всех хе(1,р.

Это влечет справедливость (25).

В точности так же проверяются оценки (26) и (27).

Подробности см. в [6], леммы 3.5 и 3.6. ■

Замечание. В общем случае постоянные с\(р) - с6(р) присутствуют в оценках весовой функции к(х) (см. соотношение (18) и лемму 3 ниже) и потому было бы желательно знать их точные значения, как это сделано в [7].

Объединяя найденные выше оценки (22) - (24) для /Д^/л) и (25) - (27), приходим к высказыванию:

Лемма 3. Имеют место оценки

С (Р)<\Црр2 +Нрр-) ^ 1р (Ц Л) ^ с9 (р)(|Цр~2 + |п|р-2), р > 2, (28)

и сю Ср)(| Ч2-р +|п|2-р )-1 ^ п) ^ си Ср)(1 Ч2-р +Н2-р Г1,1 <Р < 2 (29)

где с8 (Р) = ~Т С1 (р)с3 (Н с9 (Р) = ~Т С4 (р)’

р -1 р -1

с10 (Р) = ~Ц С5 (р)> с11 (Р) = —Ц С12 (Р)С6 (Р\

Р -1 р -1

и

1.5. Напомним необходимые понятия из [2]. Пусть D — область в Rn и A, B — непустые, замкнутые относительно D, непересекающиеся подмножества. Обозначим через

capk(A,B)=inf Jk(x)|Vu|2 dHn, u є C1 (D), u\л = 0, u\B = 1,

UD

взвешенную k-емкость конденсатора (A, B; D) и через

j k (x) |Vu|2 dHn

(O) = inf ° , u є C1 (O)nC0 (O), u|зо = 0, (ЗО)

u j k(x) u dH

и

O

R

■%n

взвешенную основную частоту открытого множества О с И"

Будем говорить, что неограниченная область Б с И" является к-узкой в окрестности бесконечно удаленной точки И", если при всяком г > 0 выполнено

1ІШ сарк (Бг, Б \ Д) = 0,

К^о

где Б, = {|х |< ї}пБ.

Теорема 7.1.1 из [8] и лемма 1 влекут справедливость следующего утверждения.

Теорема 1. Пусть И1, И2 - почти-решения с уклонениями Єї > 0, є2 > 0 в области Б с И" р-гармонического уравнения (4), удовлетворяющие предположению

Іішвир(Нх(х)-Н2(х)) < 0, х є Б, х0 є дБ. (31)

X—— х0

Тогда либо И1(х) < И2(х) всюду в Б, либо открытое множество

О = { хєБ: (Нї(х) - И2(х)) > 0}

1 Г 2 М

не пусто и — I к(х)|У(Ь1 -И2)| <іИп <— (є1 +є2) +

2 {|х|<г)пО ^1

+2ц2 М 2еар* (Ог, О \ Ок), (32)

где М = 8ирв|^2(х) - Н1(х)\.

В частности, если Б ограничена или является к-узкой на бесконечности, то для любого г > 0 выполнено

с о

Г к (х) ((х) - н (х) )2 аып - (б! +Є2).

{|х|4пО ^к (0)

1.6. Мы ограничимся иллюстрацией разрабатываемых методов на примере р-гармонических функций в цилиндрических областях. В конических и других, достаточно «правильных» областях И" могут быть использованы близкие конструкции. Рассмотрение же общего случая требует техники, достаточно далеко отстоящей от развиваемой в этой работе (см., например, [8, разделы 1.1 и 1.2]) и требует самостоятельного исследования.

Пусть А - ограниченная область в И"-1 и Б = Ах(0,+да) - полуцилиндр. Выясним условия, при которых область Б является к-узкой.

Будем предполагать, что А лежит в гиперплоскости хп = 0 так, что х = (х', хп) єБ тогда и только тогда, когда х'є А и хп > 0. Положим

хп(г) = тах {хп : хєБпЕ(0, г)}, 2(0, г) = {хєИ": |х| = г}.

Пусть

В(г) = {х = (х', хп) е В: хи = г}, г > 0, и пусть В- (г), В+ (г) означают соответственно ограниченную и неограниченную компоненты связности множества В\В(г). Зафиксируем 0 < г < Л < да так, чтобы цилиндрическая область ВгХ, заключенная между плоскими сечениями В(хп(г)) и В(хп(Л)), была непустой. Так как область ВгХ лежит в В между Вг и В\ВД, то имеет место следующее соотношение между к-емкостями:

сарк(Вг, В\Вд) < еарк(В-(х„(г)), В+(х„(Л))). (33)

Обозначим через k(t) величину ess sup k(x). Нетрудно видеть, что

xeD(t)

capk(D- (x„(r)), D+ (x„(R))) < cap k (D- (x„(r)), D+ (xn(R))).

(З4)

Пусть м(х) - произвольная функция, допустимая при вычислении к-емкости конденсатора (Б- (хп(г)), Б+ (хп(Я))). В силу интегрального неравенства Коши при любом х'єД имеем

( x, (R)

1 <

Л2 х„ (R)

х„ (R)

dx„

j |v9(x'>x„\dxn < J k(xn)|V9(x',xn^2 dxn j )

x„ (r) k (xn)

xn (r )

xn (r)

Отсюда

H n-1 (А)

( x, (R)

j ■ jdH"1 j^(xn) lV9(X ’’x” ^2 dXn

xn (r )

k (Xn )

xn (R )

xn (r )

j k(xn)|V«p(x', x„ )|2 dHn

и, переходя в правой части к точной нижней грани по всем допустимым функциям ф, находим

H ”-1 (А)

xn ( r )

k ( Xn )

< capk (D (xn(r)), D+ (xn(R))).

Найденная оценка является точной и достигается на функции

1 пРи xn ^ xn(rX

Ф( x '> xn ) =

xn (R)

r dxn г

J b(x ) J

(x„ іR)

dx„

Y

\ xn ( r )

о

пРи xn (r) < x« < xn

пРи xn > xn (R)-

Тем самым, мы получаем

Hn-1 (А)

^ (R) dx„ А

Xn (r )

k ( Xn )

= capk (D (xn(r)), D+ (xn(R))).

Сопоставляя (ЗЗ), (З4) и (З5), приходим к высказыванию:

(З5)

D

Лемма 4. Если весовая функция kудовлетворяет условию

(36)

то цилиндрическая область D является Гузкой в окрестности бесконечно уда-

Т» п

ленной точки К .

Пусть h1, h2 - почти-решения в D = Дх(0,+да) некоторого _р-гармонического уравнения. Положим

\\^Ь1 (х)|р-2 +|У^2 (х)|р-2 при р > 2,

Я( х) = \ 1

[(((х)\2-( +|У^2(х)|2-р) при 1 < р < 2

и, далее,

д(?) = Є88 8ир д(х), I > 0.

)

Заметим, что в силу соотношений (28) - (30) имеем

С12 (р) \ (O) < Хк (O) < (р) (O),

где С12 (Р) =

при р > 2,

с13 (р) =

— при 1 < р < 2;

при р > 2,

при 1 < р < 2.

с10

Пользуясь леммами 3 и 4, на основании теоремы 1 получаем Теорема 2. Пусть h1, ^ - ограниченные почти-решения с уклонениями Б1 > 0, е2 > 0 в цилиндрической области D = Дх(0,+да) некоторого р-гармонического уравнения (4), причем

= .

(37)

Предположим, что всюду на границе D имеет место (31). Тогда либо ^(х) < ^(х) всюду в D, либо открытое множество

О = {xeD: (hl(x) - ^(х)) > 0} не пусто и для любого г > 0 выполнено

Г д(х)(Ь2(х)-\ (х))2с1Ип < 2(£1 +е2)м, {хДпО С14 О)*, (О)

при р > 2,

(38)

где

при 1 < р < 2.

С

с

8

9

С

с

9

8

с

С

2. Уравнения минимальной поверхности и газовой динамики

2.1. Пусть D с Кп - область. Пусть А:ОхК” ^ Кп - отображение, удовлетворяющее предположениям (г), (гг) раздела 1.1. Вместо (г'гг) мы будем предполагать, что имеет место свойство:

(гу) для почти всех х eD и любых £, выполнено

vk(x)|A(x, §) - А(х, п)|2 < - п, А(х, §) - А(х, п)>, (39)

где V > 0 - постоянная и к(х) > 0 - измеримая функция.

В некоторых случаях имеет смысл предполагать, что символ А(х, £) подчинен условию

А(х, £) = А(х, п) тогда и только тогда, когда ^ = п. (40)

Условиям (39) с V = 1, к(х) = 1 и (40) удовлетворяет уравнение минимальной поверхности

УН( х)

div

Vl+jvh(X)f

= 0

(41)

(см. [9] - [13]).

Другой пример доставляет одно уравнение газовой динамики

1

div ((Vh(x)|)Vh(x)) = 0, o(t) = И -Y-112 'Y-1

(42)

где у - постоянная, характеризующая поток субстанции [14, §2; 15, §2].

В [16] установлено, что в случае постоянной -да < у < -1 уравнение (42) удовлетворяет (39) с V = 1, к(х) = 1 и (40). При у > -1 в [16] указаны некоторые оценки множества, на котором выполнено (39).

2.2. Пусть h1 и ^ - произвольная пара почти-решений уравнения (3) в области D с И", такие, что в каждой граничной точке х0е дD выполнено

Иш (И1 (х) - ^ (х)) < 0. (43)

Х^- х0

хеО

Предположим, что в некоторой точке aеD выполнено ^(а) > ^(а). Обозначим через О открытое множество

{xеD: h1(x) - h2(x) > 0},

содержащее точку а.

Всюду на границе дО имеем ^(х) - ^(х) = 0. Рассмотрим функцию

\ к1 (х) - к2 (х) при х е О,

0 при х е В \ О.

Данная функция непрерывна, неотрицательна и принадлежит классу W1"p(D). Зафиксируем г > 0 так, чтобы пересечение шара

В(0, г) = {х € Я" : |Х < г}

с областью О было непусто и Я > г. Пусть у(|х|):И"^- И1 - непрерывная функция, равная 1 на В(0, г), обращающаяся в 0 на И"\В(0, Я), принадлежащая классу W1’2(R") и такая, что 0 < у(х) < 1.

Не ограничивая общности, можем считать, что функция ф(х) = у2(х) / (х) финитна в области D. Если уклонения почти-решений h1 и ^ суть Б1 > 0 и б2 > 0, то, в силу (5), имеем

/ (х) =

J(Уф, A(x, Vh{ )) dHп - J(Уф, A(x, Vh2)) dHn

J (Уф, A( x, Vh!) - A( x, Vh, )) dHn

< ( +s2 )M,

где

M = max(h (x) - h2 (x)).

D

Отсюда находим

I V2 (УНХ - Ук2, А(X, У\) - А(X, Ук2) <Нг'

О пБ (О ,Я)

< 2 | /у (У у, А(х, Ук1) - А(х, Ук2 )) СН

ОпБ(0,К)

Тем самым, пользуясь (39), приходим к неравенству

V | V 2к(х) |А(х, Ук) - А(х, Ук2 )|2 СНп <

+ (б! +Є2 )М.

ОпВ(0,Я)

< 2 | / у|Уу|| А( х, Ук1) - А( х, Ук2 )| сІИп + (Єі +є2 )М.

О пБ (0 ,К )

Так как

|аЪ| < — \а\2 +1 |Ъ|2 , р > 1,

то для любого я > 0 выполнено

1 "Vі {-■'2

+^2 — у2к(х)|А(х,У к) - А(х,У к)|2 .

/-1V-1 А( х, Укі) - А( х, Ук2 )| < — /2 к-і (х) | У-|

2$ 2

V > я

Выберем я > 0 так, чтобы Тогда | у2к(х)| А(х, Ук1) - А(х, Ук2 )|2 ^И" < С1(^)(є1 +є2) +

о пВ (0,Я)

+с2 (я) | к~1 (х)\у^\2 аип,

О пБ(0,К)

где

2 —2 2

) = М /(V- *2), С2 (*) = — /(V- *2).

*

Учитывая теперь, что у = 1 при х е В(0,г), приходим к соотношению | к(х)|А(х,Ук1)-А(х,Ук2)|2^Ип < С1 (*)(б1 +б2) +

йпБ(0,г)

+ С2 (s) | к - (х) |Уу| 2 йИп.

Оп{г<\ X < Я}

Обозначим через

сарк_(Р,б;Б) = inf |к-1(х)|Уу|2^Я”, у|р = 0, у|е = 1,

(44)

взвешенную емкость конденсатора (Р, Q; В). Тогда для любого я > 0, удовлетворяющего (44), выполнено

о

| к(х)|А(х, УН1) - А(х, Ук2 )|2 аип <

Оп В (0,г)

< с! (я )(б! + є2) + С2 (я) сарк _! (Ог, Ок ; И), (45)

где О,={\х\ < ї}пО.

Будем говорить, что неограниченная область Б с И" является к--узкой в окрестности бесконечно удаленной точки И", если при всяком г > 0 выполнено

Ііт сар -і (Д., Д \ Д) = 0 .

Имеет место следующая форма принципа максимума разности для почти-решений.

Теорема 3. Пусть И1, И2 - почти-решения в области Б с И" уравнения (3) с ограничениями (і), (іі) и (іу). Предположим, что И1, И2 удовлетворяют условию

Ііт 5ир(Н1 (х) - Н2 (х)) < 0, х є Д х0 є дБ

X—— х0

и имеют уклонения є і > 0, є2 > 0 соответственно.

Тогда либо И1 < И2 всюду в Б, либо множество О = {хє Б: И1(х) > И2(х)} не пусто и имеет место (45). В частности, если область Б ограничена или является к-1-узкой на бесконечности, то для любого г > 0 выполнено

Г к (х)| А( х, УН1) - А( х, Ук2 )|2 аып < М (Бі +є2). (46)

" V

Оп{|х| < г}

Для разности решений уравнения газовой динамики близкое утверждение получено в [17], для почти-решений А-гармонических уравнений - в [8, разд. 7.1.2].

2.3. Положим

| к (х) | А( х, У щ) - А( х, Уи2 )|2 аИп

Хк (О) = П 0------------------------------------------------------------- - - - (47)

|к(х)\щ -и2\ dH о

и щ,и2 е С1 (О) п С0 (О), (щ - и2)|д0 = 0.

В описанных обозначениях имеем

Хк (О) |к(х) | Н1 (х) - Н2 (х)|2 аип < |к(х)|А(х, УН1) - А(х, УН2 )|22 о о

и неравенство (45) принимает вид

^к (О) I к(х) К - й2|2 ^ С1 (^)(£1 +е2) + С2 (^)сарк_! (Ог, Ок ; О).

0пВ(0,г)

Если же область Б ограничена либо является к-1-узкой в окрестности бесконечно удаленной точки И", то

| к (х)\ку - к2\2 с1Ип < — (б1 + £2) /Кк (О).

йпВ(0,г) У '

В случае, когда Ъ1, Н2 суть решения, т.е. уклонения е1, е2 = 0, мы имеем | к (х) | кх (х) - к2 (х)|2 йНп = 0.

О

Отсюда, если k(x) > 0 почти всюду, то h\(x) = h2(x), и мы приходим к стандартной форме принципа максимума. Другими словами, свойство (46) для почти-решений представляет собой некоторую специальную форму принципа максимума.

Эффективные оценки снизу для величины (47) представляют собой весьма нетривиальную задачу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Heinonen J., Kilpelainen T., Martio O. Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations. Oxford etc.: Clarendon Press, 1993. 363 p.

2. Миклюков В.М. A-решения с особенностями как почти-решения // Матем. сб. 2006. Т. 197. Вып. 11. С. 31 - 50.

3. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1969. 760 с.

4. Миклюков В.М. Введение в негладкий анализ. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2006. 284с.

5. Miklyukov V.M., Vuorinen M.K. A generalized maximum principle for the differences of p-harmonic functions on Riemannian manifolds // Труды по анализу и геометрии. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. C. 401 - 413.

6. Miklyukov V.M., Rasila A., Vuorinen M.K. Three spheres theorem for p-harmonic functions // Houston J. Math. 2007. V. 33. Ш. 4. P. 1215 - 1230.

7. Bystrom J. Sharp constants foe some inequalities connected to the p-Laplace operator // J. Inequalities in Rure and Appl. Math. 2005. V. 6. №. 2. P. 1 - 8.

8. Миклюков В.М. Геометрический анализ. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2007. 532 с.

9. Миклюков В.М. Об одном новом подходе к теории Бернштейна и близким вопросам уравнений типа минимальной поверхности // Матем. сб. 1979. Т. 108(150). C. 268 -289; См. также: Научные школы Волгоградского государственного ун-та. Геометрический анализ и его приложения: Сб. статей. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 1999. C. 22 - 51.

10. Hwang J.F. Comparison principles and theorems for prescribed mean curvature equation in unbounded domains // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1988. V. 15. P. 341 - 355.

11. Hwang J.F. A uniqueness theorem for the minimal surface equation // Pacific J. Math. 1996. V. 176. P. 357 - 364.

12. Collin P., Krust R. Le probleme de Dirichlet pour l'equation des surfaces minimales sur des domaines non bornes // Bull. Soc. Math. France. 1991. V. 119. P. 443 - 458.

13. Pigola S., Rigoli M., Setti A.G. Some remarks on the prescribed mean curvature equation on complete manifolds // Pacific J. Math. 2002. V. 206. No. 1. P. 195 - 217.

14. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961. 208 с.

15. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. 416 с.

16. Klyachin V.A., KochetovA.V., Miklyukov V.M. Some elementary inequalities in gas dynamics equation // Reports of the Department of Mathematics, University of Helsinki, Preprint 402. 2004. 26 p.; J. Inequal. and Appl. 2006. Article ID 21693. 29 p.

17. Кочетов А.В., Миклюков В.М. «Слабая» теорема типа Фрагмена - Линделефа для разности решений уравнения газовой динамики // Сибирск. журн. индустриальной математики. 2006. Т. IX. №. 3. С. 90 - 101.

Принята в печать 29.11.07.