К понятию площади «Толстой» поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

НАУКИ

К ПОНЯТИЮ ПЛОЩАДИ «ТОЛСТОЙ» ПОВЕРХНОСТИ

Е.П. Колпаков

Вводится понятие «толстой» (реальной) поверхности и предлагается формула для подсчета ее площади.

1. Поставленная проблема заключается в исследовании свойств негладких поверхностей. В реальности даже самые идеально обработанные поверхности не являются гладкими. При рассмотрении материала с достаточно большой степенью увеличения можно всегда в этом убедиться.

При изучении какого-либо тела его поверхностью можно назвать границу раздела между телом и средой, его окружающей. В общем случае эта граница имеет сложное строение и может зависеть как от способа обработки материала, так и от его внутренней структуры (см., напр., Вудраф и Делчар ').

Необходимость изучения негладких поверхностей возникает вследствие развития современных технологий. Например, развитие компьютерной техники (и электроники вообще) связано с уменьшением размеров микрочипов и тому подобных устройств. Так, если при достижении заданного класса чистоты обработки поверхности, когда поверх-

ность, удовлетворяющую определенным условиям, считают гладкой и работают с ней как с гладкой, то при значительном уменьшении масштаба это становится весьма затруднительным или даже невозможным. С другой стороны, в математическом отношении теория негладких поверхностей еще недостаточно разработана.

Некоторые вопросы, связанные с применением «толстых» поверхностей в теории квазиконформных и квазисим-метрических отображений, рассматривались Вяйсяля, Вуориненом и Валли-ном 2, Д.А. Троценко 3 и др.

В данной работе вводится понятие площади «толстой» поверхности. Также приводится способ ее подсчета.

Автор признателен своему научному руководителю профессору В.М. Ми-клюкову за постановку задачи и внимание к работе.

2. Попытаемся определить некоторые характеристики «толстых» по-

верхностей. Рассмотрим несколько упрощенный вариант:

Пусть F С R3 - поверхность. Зададим параметр р > 0, определяющий толщину поверхности (и до некоторой степени качество ее обработки).

Именно, пусть а Е F и пусть B(a,R) - шар с центром в а € R3 и радиусом R > 0. Предположим, что для любого a G F множество В (a, R)\F состоит из двух компонент связности F+ и F~. Тогда толщина F есть величина

р = sup inf{|x — у | : х £ F+,y £ F~}.

a.eF

Ясно, что данное определение пригодно не во всех случаях. Однако мы не будем здесь на этом останавливаться и предполагаем, что в рассматриваемом случае определение корректно. В качестве примера мы можем взять в R3 поверхность в традиционном смысле этого слова, отступить от нее на расстояние не больше р в одну сторону и проверить, будет ли величина р введена корректно.

Пусть F — поверхность в R3 и пусть d(x) — расстояние от точки

I 6 R3 до поверхности F. Для произвольного h > 0 полагаем

V(h) = n3(V(h),

где V(h) = {х £ R3 : d(x) ^ h},

S(t) = Н2({х Е R3 : d(x) — t}),

где Нп - n-мерная мера Хаусдорфа множества, t € [0, h].

Тогда существует t0 € [0,7г.] такое,

что:

Здесь У(/г) и есть «толстая» поверхность, а величину 5(^0) естественно назвать ее площадью.

Рассмотрим несколько примеров, в которых площадь можно вычислить точно.

Пример 1.

в 0(0,0,0) и радиусом г > 0. Тогда У{Ь) = V? (5" \ 5), где в' - сфе-

ра с центром в 0(0,0,0) и радиусом г' = г + Ь > 0. Тогда имеем

У(Ъ) = ^7Г(Г-/3 ~ г3)

и далее находим площадь «толстой сферы» толщины Л > О

V 4 г' — т г. т =Т = ^-г^^+гг1+

а 3 г' — г -\-г'2) = -71г(г2 + ГГ1 + г'2) =

3

4

= -7г (г2 + г2 + кг + г2 + 2 Нг+

О

+Л2) = ^тг(3г2 + Ш + к2) =

и

= 47гг2 + |тгД(3г + К).

Пример 2.

Пример 3.

Г Пусть Р - поверхность куба К со стороной а. Тогда У (/г) — 'И? {К' \ К), где К' - куб со стороной а! = а + 2/г. Далее находим

У(К) = а'3 - а

и приходим к следующему выражению для площади «толстой кубической поверхности» толщины Н > О

ад =

(а1 — а) (а'2 + аа' + а2)

|(а' — о)

= 2(а/2 + аа' + а2) =

=2 (а2 + 4 а/г. + 4/г2 + а2+

+2а/г -Ь а2) = 6а2 + І2а/г, + 4/г2 =

= 6а2 + 4/г,(3 + 2/г.).

1+2Ь

Пусть F - боковая поверхность цилиндра С высоты I и радиуса г. Тогда У(/г) = 7{3(С' \ С), где С' цилиндр с

I1 = 1 + 21г и г' = г+ 1г. В данном случае мы получаем следующее выражение для площади «толстого цилиндра» толщины /г > О

у {К) =тг {г'21'-г2К) =

— 7г((г + Ь)2{1 + 2К) — г2£) -= 7гЛ,(2г2 + 2 г1 + 4 г/г + М + 2/г2)

3. В общем случае для вычисления площади толстой поверхности весьма полезной является следующая формула Кронрода — Федерера.

Теорема 1. Пусть Б С И™ - область и пусть / : И —> К - локально липшицева функция, такая что для всякого компактного подмножества Ас Б выполнено

О < евє іігї IV/(гг) І <

хЄА

< Є38 8Цр|У/(х)| < оо. хЄА

Тогда для произвольного И.п - измеримого множества У(/г) С Кп любой неотрицательной Л4-измеримой функции д : У(Ь) —> И справедлива формула

J g(x)\ v f{x)\

dx\... dxn —

V(h)

oo

= J dt J g{x)dHn 1(z),

-oo S(t)

где S(t) = {x € V(h) : f(x) = t} Доказательство см. в 4.

Лемма E Пусть d(x) - расстояние от точки х G Rn до некоторого, наперед заданного множества Е С R". Тогда |Vc/(rr) | = 1 почти всюду.

Доказательство можно найти, например, в 5.

Следующее утверждение есть известная теорема о среднем.

Теорема 2. Пусть [а, Ь) С R и

f(x) € С[ад. Тогда найдется точка Xq € [а, Ь] такая, что

f{x) dx = (b — a)f(xo).

П

= J dt J dH2(x).

0 5(4)

Так как |Уб?(:г)| = 1 почти всюду (по лемме 1) и

/ dH2{x) = S{t) есть площадь £(;£), то

н

У(Н) = III dx\dx‘}1dx■i — dt.

У{К) о

(*)

По теореме о среднем найдется £о £ [0, /г] такое, что

к

У 5(£) йЬ = /гб^о), о

то есть У(/г) = Таким образом,

мы находим

S(t0) =

V{h)

Отсюда следует, что

S(to) —> area(F) при h —> 0.

Доказательство см., например,

в 6.

В соответствии с формулой Крон-рода — Федерера в случае п = 3, полагая в ней $(х) = о?(х), д(х) = 1, имеем

У(К) = JJJ |у с?(ж)| =

У(Л)

4. Введенное нами определение площади толстой поверхности вполне согласуется с определением площади обычной гладкой поверхности. В качестве формулы для ее вычисления можно использовать следующее соотношение, вытекающее непосредственно из (*):

т = I JJJ dxldx2dxз . (**)

У{Н)

Интеграл в правой части часто может быть найден, исходя из иных соображений.

Приведенная выше формула (**) показывает, что площадь толстой поверхности несколько больше, чем площадь ее аналога в обычной геометрии. При улучшении качества обработки поверхности - ее толщина уменьшается. При уменьшении масштаба эта разница площадей будет становиться все выше и заметнее для результатов вычислений.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Вудраф Д., Делчар Т. Современные методы исследования поверхностей. М.: Мир, 1989. Гл. 1.

2 Vaisala J., Vuorinen М., Wallin Н. Thick sets and quasiisometric maps // Nagoya Math. J. V. 135. 1994. P. 121-148.

3 Троценко Д.А. Фрактальные прямые и квазисимметрии // Сиб. матем. журн. Т. 36. № 6. 1995. С. 1339-1415.

4 Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наук», 1987. Разделы 3.2.14, 3.2.15.

5 Миклюков В.М., Клячин А.А. Изотропные гиперповерхности и минимальные продолжения липшицевых функций (в печати).

6 Уитткер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. 1. М.: Физмат-лит, 1963. С. 94.