Многоточечная краевая задача общей структуры для бесконечной системы ОДУ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927

МНОГОТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ОБЩЕЙ СТРУКТУРЫ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ ОДУ

© С.В. Исраилов, А.А. Сагитов

Ключевые слова: бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений; многоточечная краевая задача.

В работе изучаются теоремы существования и единственности решения многоточечной краевой задачи для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В монографии [1] приводится перечень работ, посвященных исследованию краевой задачи для бесконечной системы

Уг = Л(х,УъУ2,-■■), г = 1, 2,..., (1)

с условиями типа Николетти [1]

Уг(хг)=0, г = 1,2,..., (2)

когда правые части /г, г = 1, 2,..., непрерывны в области Б : {\уг\ ^ йг, г = 1, 2,... ,х €

[а, Ь]} или удовлетворяют условиям Каратеодори, или имеют многоточечные сингулярности в смысле [1]. В этой работе для задачи (1), (2) и ее многочисленных обобщений приводятся теоремы существования ограниченных решений и теоремы единственности. Методы получения этих теорем не пригодны для исследования системы (1) с условиями вида

Ь т

УЬ(хгк) = РгМ(в,у1(в),у2(8),...)й8, г = 1,т, кг = 1,гг, ^тк = п,

а

Ь

Уз {%І) = ^ Р (в,уі(в),у2(в),. .^в, І = п + 1,п + 2,..., хіукі Є [а,Ь], (3)

т € {1, 2,..., п}, гг € {0,1, 2,..., п}, х^ € [а, Ь].

В дальнейшем будем считать, что функции /г, Fj^kj, , г = 1, 2,..., ] = 1,т, V =

п + 1,п + 2,..., непрерывны по совокупности аргументов в области Б и удовлетворяют для любых двух векторов у = (уг)г=1, г = (гг)°=1 из этой области условиям Липшица

ГО

\/г(х,У1,у2,...) - /г (х,г1,г2,...)\ < £г(х) £ \Уj - Zj\, г = 1 2,..., (4)

j=l

ГО

|Р^ (х,уі,у2,...) - (х, гі,г2,...)І < Ьи,кі/ (х)£ |уз - |, V = Т~т, (5)

з=і

1680

|Рк (х,уі,у2, ■■■) - Рк (х,гі,г2,.. .)| ^ Ьк (х)^2 |уз - Х] |, к = п + 1,п + 2,..., (6)

з=і

где функции Ьі(х), Ьи>к„(х), Ь*к(х) непрерывны при х є [а,Ь] и ряды

ГО

Х^і^ £ ьк(х) (7)

і=і к=п+і

равномерно сходятся на указанном отрезке.

Для ясности запишем условия (3) более подробно:

Ь Ь

уі(хі,і) = / РіМ (в, уі (в),у2(в),.. .)(1в, ..., уп (хі,п) = / Рі,п (в, уі(в),у2(в),. . .)(1в,

аа Ь Ь

уі (х2,і) = / Р2,к2 (в, уі(в), у2(в), . . ^в, ..., уг2 (х2,Г2 ) = / Р2,Г2 (в Уl(в),У2(в), . . ^в,

аа

.. (8)

Ь Ь

уі (хт,і) = / Рт,кт (в уі(в), у2 (в), . . ^в, ..., угт (хт,тт ) = / Рт,гт (в, Уl(в), У2(в), . . .^ аа

Ь

Уз (хз) = I Рз (в,Уl(в),У2(в),..., ^в, і = п +1,п + 2,... .

а

Если гі + г2 + ... + гт = п, то при т = 1 имеем гі = п ив равенствах (8) остаются только первая и последняя строки, означающие условия типа Николетти, в частности, при хі>і = хі,2 = ... = хіп = хп+і = хп+2 = ... получаем задачу Коши.

Если в (3) или (8) одно или несколько из чисел Гі,Г2,... ,гт равны нулю, то в условиях (8) пропадут соответствующие строки; при т = п из равенства гі +г2+.. .+гт = п следует гі = г2 = ... = гт = 1 в случае гі = 0, і = 1,т, и имеем задачу типа Валле-Пуссена в функциональном варианте [1].

При т = 2 имеем гі + г2 = п и, если гі = 0, г2 = 0, то в (8) остаются только первые две строки и последняя строка, при т = 3 получается гі + г2 + г3 = п и, если Гк = 0, к = 1, 2, 3, то в (8) остаются только первые три строки и последняя строка и т. д.

Решение у(х) = (уі(х))ГО=і задач (1), (3) будем искать в множестве СГО(а,Ь) бесконечномерных вектор-функций с непрерывно-дифференцируемыми компонентами на [а, Ь]. Обозначим через С!ГохГо(а,Ь) множество матриц из ж -строки ж -столбцов с непрерывнодифференцируемыми элементами на [а, Ь].

Пусть задана матрица А(х) = (аік(х))°°к=і є С'(Х>хГо(а,Ь) такая, что

ёе! А(х) = &е1(агк1 (х))п,к=1 = 0, ак1}Г1+Т2+...+т1-1+к1 (хг,к,) = 0, г = 1,т, кг = 1,гг. (9)

Рассмотрим вектор-функцию и(х) = (и,г(х))П=1 € С'(а,Ь), числовые значения которой

при х € [а,Ь] не выходят из области Б* : {\иг(х)\ ^ в*, г = 1, 2,...,х € [а,Ь]}, где в* —

некоторые числа, связанные с вг, г = 1, 2,... .

Используя теорию бесконечных определителей Коха [1] с учетом условий (9), между элементами множеств СГО (а,Ь) и СГО (а,Ь) устанавливаем взаимно-однозначное соответствие с помощью формул

ГО

Уг(х) = ^2 aгj(х)п(х), г = 1, 2,... . (10)

j=l

Считается, что выполняются неравенства

ГО

в** ^ вг, г = 1, 2,..., aгj = тах \aгj(х)\, г,] = 1, 2,.... (11)

j=1

1681

Учитывая (10), задачу (1), (3) можно свести к равносильной задаче типа Николетти

и'г(х) = Фг(х,и1(х),и2(х),...), г = 1, 2,..., (12)

и'г(х*г) = г = 1 2 . . . , (13)

где

XiM, i = l,ki = 1,2,

X2,k2 , i = 2,k2 = 1, 2, Г2,

хт,кт, г = т,кт = 1, 2,...,Гт,

хг, ] = п + 1, п + 2,... .

Задача (12), (13) изучена в [1]. Таким образом, можно получить теоремы существования и единственности решения задачи (1), (3).

ЛИТЕРАТУРА

1. Исраилов С.В., Юшаев С.С. Многоточечные и функциональные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Нальчик: издательский центр «Эльфа», 2004.

Поступила в редакцию 10 августа 2010 г.

Israilov S. V., Sagitov A. A. Multipoint boundary value problem for the overall structure of infinite system of ODE.

In the work there are studied the existence and uniqueness theorems for a multipoint boundary value problem for infinite system of ordinary differential equations.

Key words: infinite system of ordinary differential equations; multipoint boundary value problem.

1682