CC BY
9
УДК 512.538 DOI 10.17223/2226308X/12/10
СВОЙСТВА ОИЛЬНО ЗАВИСИМЫХ n-АРНЫХ ПОЛУГРУПП
А. В. Черемушкин
Приводится обзор результатов о свойствах сильно зависимых n-арных полугрупп, обобщающих известные результаты о строении и свойствах n-арных групп. Класс сильно зависимых функций является расширением класса n-арных квазигрупп. Рассмотрены варианты обобщения понятия существенной зависимости функции от переменной. Поясняется, что класс сильно зависимых функций, с одной стороны, наследует многие важные свойства квазигрупп с точки зрения применения операции бесповторной суперпозиции. С другой стороны, в некоторых случаях он является очень широким и в него попадают почти все функции. Приведены аналоги теорем Поста и Глускина — Хоссу, содержащие общее описание строения сильно зависимых n-арных полугрупп. Описано строение групп автотопий таких операций.
Ключевые слова: n-арные полугруппы, сильно зависимые функции, группа автотопий.
1. Варианты определения понятия зависимости функции от переменной
Для двоичных функций важную роль играет понятие существенной зависимости функции от переменной. При переходе к функциям k-значной логики понятие зависимости может быть определено различными способами. Рассмотрим четыре варианта такого определения.
Пусть X — непустое конечное множество. Рассмотрим следующие классы функций вида f : Xn ^ X при n ^ 2.
Класс Фо состоит из всех функций, существенно зависящих от всех своих переменных, т. е. Vi, 1 ^ i ^ n, 3ai,..., ai-i, ai+i,..., an G X 3x, y G X, такие, что
f (ai,... ,a¿_i,x,ai+i,..., an) = f (ai,..., a¿_i, y, a¿+b ... ,an). (1)
Класс Ф! состоит из всех сюрьективных функций f, таких, что Vi Vx,y G X 3ai,..., ai-i, ai+i,... , an G X, такие, что выполнено неравенство (1). Этот класс был введён в [1] при изучении свойств операций, удовлетворяющих тождествам (i, j^ассоциативности для пар {i, j}, содержащихся в некотором множестве M. Как показано в [1], для функций из этого класса выполнение тождеств ассоциативности для множества M равносильно выполнению тождества ассоциативности только для некоторой одной пары.
Класс Ф2 состоит из сильно зависимых функций, т. е. Vi 3ai,... , ai-i, ai+i,... , anGX, такие, что унарная функция f (ai,... , ai-i, ai+i... , an) является подстановкой по переменной x¿. Для конечных множеств X этот класс функций замкнут относительно операции бесповторной суперпозиции, т. е. бесповторная суперпозиция таких функций является сильно зависимой в том и только в том случае, когда каждая из функций, участвующих в суперпозиции, также является сильно зависимой [2].
Класс Ф3 состоит из n-квазигрупп на множестве X, т. е. Vi Vai,..., ai-i, ai+i,..., an G G X унарная функция f (ai,... , ai-i, ai+i,... , an) является подстановкой по переменной x¿. Изучению свойств n-квазигрупп уделялось наибольшее внимание в связи с их многочисленными применениями в области комбинаторики, теории кодирования, планировании эксперимента и т.д. (см., например, [3]). Этот класс также замкнут относительно операции бесповторной суперпозиции.
В общем случае имеют место включения Ф3 С Ф2 С Ф1 С Ф0, причём при к = 2 Ф0 = Ф1 = Ф2 и при каждом п ^ 1 класс Ф0 содержит только две функции, а при к > 2 все включения оказываются строгими. Приведём оценки мощностей этих классов. Для классов Ф0 и Ф1 из определения вытекают неравенства
кк" — пкк"-1 ^ |Ф0| ^ кк" — кк"-1, кк" — пк(к-!)к"-1 ^ |Ф1| ^ кк" — к^1^"-1.
Значит, 1 > |Ф0|/кк" ^ |Ф1|/кк" — 1 при п ^ 2, к ^ 2 и тах{п, к} — то, так как всегда
пкк" 1 п пк(к-1)к" 1 п
ккп = к(к-1)кп-1 ^ ккп = кк"-1 —
Для класса Ф2 имеем
кк" — п(кк — к!)к"-1 ^ |Ф2| ^ кк" — (кк — к!)к"-1.
Поэтому при п — то и фиксированном к почти все функции к-значной логики являются сильно зависимыми, а при к — то в общем случае имеет место
Утверждение 1 [4, 5]. Пусть е > 0 и к — то. При п > к/1п к + 1/2 + е почти все функций к-значной логики от п переменных являются сильно зависимыми. Если п < к/1п к + 1/2 — е, то почти все функции к-значной логики от п переменных не являются сильно зависимыми.
Так как классы Ф0 и Ф1 не замкнуты относительно операции бесповторной суперпозиции, то при изучении полугрупповых операций, удовлетворяющих тождествам ассоциативности, имеет смысл рассматривать только сильно зависимые функции.
2. Строение еильно зависимых п-арных полугрупп
Напомним, что моноидом называется бинарная полугруппа с единицей. Подмоноид моноида О = (X, о) —это подмножество Н моноида С, которое замкнуто относительно операции о. Единица моноида Н должна совпадать с единицей моноида С.
При п =2 каждая бинарная полугруппа (X, *) с сильно зависимой операцией * является моноидом. В частности, ассоциативная квазигруппа является группой. Этот факт вытекает из следующих утверждений, доказанных в [6, с. 57]:
1) Если для бинарной операции * найдутся элементы а,Ь Е X, такие, что трансляции Ьа = (аХх) и Яь = (хХь) являются подстановками, то операция * главно-изотопна операции с единицей, причём изотопия имеет вид (Я-1, Ь-1, г^).
2) Если бинарная операция с единицей о изотопна ассоциативной операции *, то операция о изоморфна операции *, при этом изоморфизм имеет вид ^ = Ь-1 Я-1 (теорема А. А. Алберта).
Пусть п ^ 3. Непустое конечное множество X с заданной на нём п-арной операцией f называется п-арной полугруппой (п-полугруппой), если при всех г, ], 1 ^ г < ] ^ п, выполняются тождества {г,^}-ассоциативности
У(Ж^ . . . , Xi-l, (Xi, . . . , xi+n, . . . , х2га-1) =
У (х1, . . . , х^-1, У (х7 , . . . , 1), xj+n, . . . , х2п-1) ,
х 1,... , хп Е X. Если при этом п-полугруппа является п-квазигруппой, то она называется п- группой. Строение произвольной п-арной групповой операции впервые описано Э. Постом в [7] в терминах так называемой обёртывающей группы. Оказывается, что в случае сильно зависимых п-арных полугрупп можно получить аналогичное описание. В данном случае вместо группы используется моноид.
Определение 1. Назовём моноид G = (X, о) обёртывающим для п-арной полугруппы (X, у) с сильно зависимой операцией У , если X С X, множество X порождает моноид О, а п-арная операция У связана с бинарной операцией в моноиде О равенством
У (х1, х2,..., хп) = х1 о х2 о ... о хп, х1,х2,...,хп € X. (2)
Теорема 1 (аналог теоремы Э. Поста [8]). Пусть п ^ 3. Для конечной п-арной полугруппы (X, У) с сильно зависимой операцией У найдётся обёртывающий моноид О = (X, о), такой, что при некотором обратимом элементе а Е X множеству X0 = = X о а-1 соответствует: подмоноид Н = о), удовлетворяющий условиям О = (X), а о Xо о а-1 = Xо и |Х| | ^(п — 1).
Если элемент д обратим, то |Н *д| = |Н | и при 0 ^ г < ^ £ — 1, где £ — минимальное натуральное число с условием д* Е Н, выполняются равенства |Н о gi | = |Н о д-71 и (Нод^ П (Нод7) = 0. Если О = (Н, д), то для моноида О справедливо равенство |О| = = |Н| • Поэтому в этом случае можно говорить, что моноид О допускает разложение на смежные классы по подмоноиду Н.
Таким образом, теорема Поста утверждает, что операция исходной п-арной полугруппы (X, У) по сути совпадает с ограничением операции х1 о х2 о ... о хп на смежный класс X = X0 о а обёртывающего моноида О = (X, о).
Другой способ описания строения п-арной групповой операции получен в работах Л. М. Глускина [9] и М. Хоссу [10]. Аналог их результата для случая сильно зависимых функций имеет следующий вид:
Теорема 2 (аналог теоремы Глускина — Хоссу [5]). Если У — ассоциативная сильно зависимая п-арная операция на конечном множестве X, то для некоторого моноида (X, *), обратимого элемента а и автоморфизма в этого моноида, таких, что вп-1(х) = а * х * а-1, в(а) = а, справедливо тождество
У(х1,... ,хп) = х1 * в(х2) * в2(хз) * ... * вп-1(хп) * а, (3)
жi Е X, г = 1,..., п.
В работе [11] обсуждается взаимосвязь теорем Поста и Глускина — Хоссу и утверждается, что они, по-сути, являются различными формами одного и того же результата. В данном случае это также справедливо и легко устанавливается при переходе от записи функции У с использованием операции о в обёртывающем моноиде к записи функции У с использованием операции * на самом смежном классе X = X0 о а.
Если исходить из теоремы 1, то обозначим через ^ внутренний автоморфизм обертывающего моноида <^(х) = а о х о а-1 и соответственно подмоноида X0. Записывая элементы смежного класса X = X0 о а как жi = ^ о а, где х^ а Е X, ^ Е X0, г = 1,..., п, получаем
У (х1,х2, ...,хп) = х1 о х2 о ... о хп =
= (г1 о а) о (¿2 о а) о ... о (¿п о а) =
= г1 о (а о ¿2 о а-1) о (а2 о ¿2 о а-2) о ... о (ап-1 о ¿п о а-(п-1)) о ап = = ¿1 о ^(¿2) о ^2(^з) о ... о ^п-1(^п) о ап.
С другой стороны, поскольку 1^X0) = X0 и ^(а) = а, то ^ оставляет на месте смежный класс X, так как ^^) = о а) = о а = ^^). Пусть х * у = х о а-1 о у. Если
х, у Е X, то х * у Е X. Потому * может рассматриваться как операция на смежном
классе X. При этом отображение ^ также является гомоморфизмом относительно операции * на X, так как <^(ж * у) = <^(ж о а-1 о у) = <^(ж) о а-1 о ^(у) = <^(ж) * ^(у). Произведём обратную замену переменных ^ на ж^:
/(жьж2,...,жп) = о ^(¿2) о о ... о ^га-1(г„) о ап =
= (ж1 о а-1) о ^(ж2 о а-1) о ^2(г3 о а-1) о ... о ^га-1(жга о а-1) о ап = = ж1 о а-1 о <^(ж2) о а-1 о ^2(г3) о а-1 о ... о ^га-1(жга) о а-1 о ап = = ж1 * <^(ж2) * (жз) * ... * ^га-1(ж„) * ап.
Элемент Ь = ап принадлежит X, причём ^га-1(ж) = ап-1 о ж о а-(п-1) = ап * ж * а-га+2. Переходя к операции *, заметим, что обратным к элементу Ь относительно этой операции является элемент Ь-1 = а-га+2, так как ап * а-га+2 = ап о а-1 о ага+2 = а, причём элемент а является нейтральным элементом (единицей) моноида (X, *). Поэтому ^га-1 (ж) = Ь* ж * Ь-1 и <^(Ь) = Ь и справедливо представление (3) утверждения теоремы 2.
Обратно, если исходить из представления (3) теоремы 2, то можно доказать существование обертывающего моноида (подробнее см. доказательство теоремы 3 в [8]) и, повторив приведённые выше рассуждения в обратном порядке, показать справедливость представления (2) теоремы 1.
3. Группа автотопий сильно зависимых п-арных полугрупп
На основании описания строения сильно зависимых п-арных полугрупп, полученного в теоремах 1 и 2, и общего описания групп автотопий бесповторной суперпозиции сильно зависимых функций из [12, 13] нетрудно получить описание строения их групп автотопий. Для случая п-арных квазигрупп оно получено в работе [14]. Пусть С = (X, *) —моноид, Ь € С* и 9 € АШ;(*). Рассмотрим операции
/*(ж1,...,жга) = ж1 *•••* жп,
/,*(жь ...,жга) = ж1 * 9(ж2) * 92(жз) * ... * 9га-1(ж„), /,*,ь(ж1,... ,ж„) = ж1 * 9(ж2) * 92(жз) * ... * 9га-1(ж„) * Ь.
Для действия подстановок на множестве X будем использовать запись, соответствующую правому действию: ав(ж) = жав = в(а(ж)). Заметим, что /*(ж) = /Т*(ж) = = /,*(жт 1), где Т = (г^, 9, 92,..., 9П-1, г^) —главная автотопия, и поэтому
А;р(/,*) = Т А;р(/*)Т-1. (4)
Действительно, если а = (а1, а2,..., ап, ага+1) € А;р(/*), то
а-+1/в,*(а1(ж1), 9а19-1(ж2),..., 9П-1 а„91-га(ж„)) = = а^ЫжО * 9(9а19-1(ж2)) * ... * 9п-1(9п-1а„91-п(ж„))) = = а-+1(а1 (ж1) * а1(9(ж2)) * ... * а„(9га-1 (ж„))) = ж1 * 9(ж2) * ... * 9га-1(ж„) = /,*(жь ... ,ж„).
Группа автотопий операции /*(ж1,... , жп) описывается следующим образом: Лемма 1 [12]. Пусть С = (П, *) —моноид и /*(ж1,..., жп) = ж1 * ■ ■ ■ * жп. Тогда а) если операция * неабелева, то группа А;р (/) имеет порядок |С*|га+1 |АШ (С)| и состоит из преобразований вида (а1,..., ап, ага+1), где
аДж) = а-1 * £(ж) * а^+1, г = 1, п, а„+1(ж) = а-1 * £ (ж) * ага+ь
при некоторых а1,... , ага+1 € С*, £ € АШ (С);
б) если операция * абелева, то группа Atp (/) имеет порядок |G*|n |Aut (G)| и состоит из преобразований вида (ai,..., an, an+i), где
a¿(x) = £(x) * a¿, i = 1,..., n, an+i(x) = £(x) * ai * ■ ■ ■ * a„
при некоторых a1,... , an G G*, £ G Aut (G).
Применяя лемму 1 и равенство (4), получаем описание групп автотопий функции Д*.
Теорема 3. Пусть G = (П, *) — моноид и в G Aut(*).
1. Если операция * неабелева, то группа автотопий операции
fe,*(xi,... ,xn) = xi * в(х2) * в2(хз) * ... * вга-1(х„)
состоит из таких наборов подстановок (ai, a2,... , an, an+i), что при некоторых обратимых относительно * элементах a1, a2,..., an+i G X и £ G Aut(*) выполнены равенства
ai(xi)= й-1 * £(xi) * a2,
«2(x2)= e-i(a-i * £(e(x2)) * аз),
«3(x3)= e-2(a-i * £(e2(x3) * a4),
a„-i(xra-i) = e2-n(a--i * £(en-2(x„-i)) * a„), «n(x„) = ei-n(a-i * £(en-i(xra)) * a„+i), an+i(y)= a-i * £(y) * an+i.
При этом всякий набор подстановок (ai,... ,an,an+i) при произвольных обратимых ai,... , an+i G G* и £ G Aut (G), удовлетворяющий этим равенствам, является автото-пией операции /#,*.
2. Если операция * абелева, то группа автотопий операции /e,*(xi,... ,xn) состоит из таких наборов подстановок (ai, a2,... , an, an+i), что при некоторых обратимых относительно * элементах ai, a2,...,an G X и £ G Aut(*) выполнены равенства
ai(xi) = й-1 * £(xi) * ai,
a2(x2)= в-1(£(e(x2)) * a2),
a3(x3)= в-2(£(в2(x3) * аз),
a„-i(xra-i) = в2-п(£(en-2(x„-i)) * a„-i), an(xn)= в1-п(£(en-1(x„)) * a„),
a«+i(y) = £ (y) * ai... * a„.
При этом всякий набор подстановок (a1,... , an) при произвольных обратимых a1,...,an G G* и £ G Aut(G), удовлетворяющий этим равенствам, является автото-пией операции /#,*.
Группы автотопий операции /#,*,& описываются аналогично. В силу очевидного равенства /#,*,ь = //*, где S = (id,... , id, Rb), для групп автотопий выполняется соотношение
Atp(/e,*,b) = S-1Atp(/,,*)S.
Поэтому описание группы автотопий функции /#,*,& отличается тем, что в теореме 3 надо заменить значение подстановки an+1(y) на R-1an+1Rb (y) = an+1(y * b-1) * b.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сохацкий Ф. Н. Об ассоциативности многоместных операций // Дискретная математика. 1992. Т. 4. №1. С. 66-84.
2. Сосинский Л. М. О представлении функций бесповторными суперпозициями в трехзначной логике // Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1964. Вып. 12. С. 57-68.
3. Белоусов В. Д. n-Арные квазигруппы. Кишинев: Штиинца, 1972. 277с.
4. Черемушкин А. В. Некоторые асимптотические оценки для класса сильно зависимых функций // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2006. №17. C. 87-94.
5. Черемушкин А. В. Аналоги теорем Глускина — Хоссу и Малышева для сильно зависимых n-арных операций // Дискретная математика, 2018. Т. 30. Вып. 2. С. 15-24.
6. Bruck R. H. A survey of binary systems. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1958. 185 p.
7. Post E. L. Polyadic groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1940. V.48. No. 2. P. 208-350.
8. Черемушкин А. В. Теорема Поста для сильно зависимых n-арных полугрупп // Дискретная математика. 2019. Т. 31. №2. С. 153-158.
9. Глускин Л. М. Позиционные оперативы // Математич. сборник. 1965. Т. 68(110). №3. С.444-472.
10. Hosszu M. On the explicit form of n-group operations // Publ. Math. 1963. V. 10. No. 1-4. P. 88-92.
11. Гальмак А. М., Воробьев Г. Н. О теореме Поста — Глускина — Хоссу // Проблемы физики, математики и техники. 2013. Вып. 1(14). С. 55-59.
12. Черемушкин А. В. Бесповторная декомпозиция сильно зависимых функций // Дискретная математика. 2004. Т. 16. Вып.3. С. 3-42.
13. Черемушкин А. В. Декомпозиция и классификация дискретных функций. М.: Курс, 2018. 288с.
14. Khodabandeh H. and Shahryari M. On the automorphisms and representations of polyadic groups // Commun. Algebra. 2012. V.40. No. 6. P. 2199-2212.
УДК 519.728 DOI 10.17223/2226308X/12/11
МИНИМАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВИТЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО ДЛЯ СИСТЕМЫ ЧАСТОТНЫХ КЛАССОВ НЕДООПРЕДЕЛЁННЫХ СЛОВ
Л. А. Шоломов
Частотный класс недоопределённых слов — это множество всех слов в некотором недоопределённом алфавите, имеющих заданную длину и заданные частоты вхождения символов. Рассматривается задача доопределения произвольной системы частотных классов. Предложен метод выделения из этой системы минимальной по мощности подсистемы, такой, что достаточно получить доопределения для классов этой подсистемы, а по ним доопределения других классов системы находятся просто.
Ключевые слова: недоопределённые данные, доопределение, частотный класс, представительное множество.
Пусть M = {0,1, • • • , m — 1} и выделена система T Ç 2м некоторых непустых подмножеств T Ç M. С множеством M связан алфавит A0 = ^ : i G M} основных символов, с множеством T — алфавит A = {ау : T G T} недоопределённых символов. Доопределением символа ат считается всякий основной символ а^ i G T, доопределением слова v в алфавите A — любое слово, полученное из v заменой каждого символа каким-либо его доопределением, а доопределением множества V слов в алфавите A —
