Свободные булевы топологические группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Л.В. Гензе

СВОБОДНЫЕ БУЛЕВЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

В работе вводится понятие свободной булевой топологической группы метризуемого компакта X, доказывается существование и единственность такой группы, дается явное описание ее топологии. Изучаются некоторые свойства этой группы.

Группу (б,*) с единицей е будем называть булевой, если g * g = е для каждого gєG. Нетрудно увидеть, что всякая булева группа является абелевой, поэтому в дальнейшем будем использовать для таких групп аддитивную запись.

Свободной булевой группой В(Х), порожденной множеством X, будем называть совокупность всех формальных линейных комбинаций вида х1 + ... + хп, где все xєX и попарно различны, п = 0, 1,... Такие комбинации будем называть словами, а число п -длиной слова х1 + ... + хп. Сложение в В(Х) производится по модулю 2 (путем сложения коэффициентов при одинаковых элементах хі и вычеркивания тех слагаемых, коэффициент при которых четный). Нейтральным элементом является слово нулевой длины, будем его обозначать 0.

Определение. Пусть X - метризуемый компакт. Свободной булевой топологической группой пространства X будем называть топологическую группу В(Х), обладающую следующими свойствами:

1) В(Х) - свободная булева группа, порожденная множеством X;

2) пространство X гомеоморфно вкладывается в В(¥);

3) любое непрерывное отображение/: X-^B в произвольную булеву топологическую группу В продолжается до непрерывного гомоморфизма /: В (X) ^ В.

Пусть X - метризуемый компакт и ё - метрика на множестве X, порождающая топологию пространства X. Определим метрику р на множестве Е(х) = { = х1 +... + х2п | хі єX, і = 1,...,2п; п = 0,1,...} следующим образом:

1) Р (0, 0) = 0;

п

2) р(,х1 +... + х2п) = тіп{^ё(х, ,х^ )}, где мини-

к=1 к к

мум берется по всевозможным разбиениям

{І1,л}и...и(іп,Уп} = {1,...,2п} ;

3) р(х, у ) = р(0, х + у).

Проверим, что функция р действительно является метрикой на множестве E(X). В проверке нуждается только неравенство треугольника, остальные аксиомы метрики очевидны. Введем обозначения:

х1+...+х2п= х , У1 + ••• + У2т = у , 7 + ••• + 22 р = 7 ,

хі, і = 1,., 2п;

7-2п, і = 2п + 1,•,2 (п + Р)

, і = 1,..., 2р;

Уі-2 р , і = 2 Р + 1,•••,2 (Р + т).

Имеем

р(х, 7 ) + р(7, у ) = р(0, х + 7 ) + р(0, Г + у ) =

п+р р+т

= Е ё(аік, а]к) + ]= ё ^, Р ]к) > к=1 к=1

> р(0,х + 7 + 7 + у) = р(0,х + у) = р(х,у) .

Таким образом, аксиома треугольника доказана. Пользуясь идеями М.И. Граева [1] и О.В. Сипаче-вой [2], докажем существование и единственность свободной булевой топологической группы метризуемого компакта X и дадим явное описание ее топологии.

Символом ш+ будем обозначать множество всех последовательностей положительных вещественных

чисел. Пусть 6 = {еХ=1 е ш+. Положим

ип (6) = {х1 + х2 е Е (Х )1 р(0, х1 + х2 )<6 «) ; (1)

ип (6) = и (6) + ... + ип (6) ; (2)

ад

и (6) = Цй, (6). (3)

и=1

Теорема 1. Семейство 3 = { и (6) 16 е ш+) является базой нуля некоторой групповой топологии т на

В(Х).

Доказательство. Надо доказать, что семейство 3 удовлетворяет следующим свойствам [3]:

(a) для каждого ие3 0е3;

(b) для любых и, Ке3 существует такое №е3, что №си П V;

(c) для любого ие3 и любого х е и существует такое Vе3, что х +V си;

(d) для любого ие3 существует такое Vе3, что V+VсU;

(e) для любого ие3 существует такое Vе3, что ^си;

(!) П 3 = {0}.

Свойство (а) выполнено в силу определения множеств и(6)(см. формулы (1)-(3)).

Докажем, что выполнено (Ь). Пусть 6, 5 е ш+ и и = и(6), V= и(5). Положим Ш= и(у), где уп=ш1п{6п,5}, п = 1, 2,... Тогда из (1) ип (у) с ип (6)П ип (5), следовательно, из (2) ип (у) с ип (6) П ип (5) и, окончательно, по (3) и (у) с и (6) П и (5).

Теперь докажем (с). Пусть и = и (6) е 3 и

х е и (6). Тогда х е и (6) для некоторого натурального I, т.е. х можно представить в виде

х = Щ + ... + х, где хк еик (6), к = 1,..., I. Положим

5п =6п+г- для каждого п = 1,2,..., 5 = ^)^=! и докажем, что х + и (5) с и (6). Если у е и (5), то у е и(5) для некоторого натурального ] и тогда у = у +... + у}, где ук еик (5) = ик+, (6), к =1,•••, ] . Таким образом, х + у ей^+(6), а, следовательно, х + и} (5) с и+(6) для всякого натурального ] и, окончательно, х + и (5) с и (6).

Докажем ^). Пусть и = и (6) е 3 . Положим 5п = шт{62 п-1,62п } для каждого п = 1,2,... и

5 = {5п }«=1. Тогда

ип (5)с и 2 п-1 (6) П и 2п (6) при п = ^ ••• (4)

Пусть х е ип (5) + ип (5). В силу (2) и (4) будем иметь

х е и1(5) + . + ип(5) + и1(5) + . + ип(5) с

с и1 (6) + и3 (6)+ ... + и2п-1 (6) +

+и2 (6) + и4 (6)+ ... + и2п (6) = и2п (6) .

Мы показали, что для всех

п = 1,2,. ип (5) + ип (5) с и2п (6) ,

откуда, учитывая включение иг (5) с и(5) при г < ] , получаем, что для V = и (5) выполняется V + V с и .

Свойство (е) очевидно, так как для каждого х е В (X) имеем х = —х , и в качестве V можно взять само множество и.

Осталось доказать ф. Достаточно доказать, что для всякого х = х1 +... + х2п е В (X), х Ф 0 существует такое 6 е ш+ , что х &и (6). Так как х Ф 0 , то р(0,х) = а> 0. Положим 6п =а/2п , п = 1,2,... и

6 = {6,;)^=!. Если у е и(6), то в силу (3) и (2) существует такое натуральное число к, что у = у1 +... + ук , где уг е иг (6), г = 1,., к. Тогда

р(0, у )<р(0, у)+• ••+р(0, Ук )<а+•••+ 4 <а,

2 2к

а, значит, х г и (6). Теорема доказана.

Теперь каждую точку х пространства X отождествим со словом х = х группы В (X) и докажем, что построенная топология т при таком отождествлении индуцирует на пространстве X его топологию, которую будем обозначать тх.

Теорема 2. тх = т| .

Доказательство. Сначала докажем включение т^с Пусть иет. Если иП X= 0, то иП Xетх. Пусть теперь и П X Ф0 и хеи П X. Тогда существует такое 6 = { 6п }ад=1 е ш+ , что х + и(6)си. Пусть В(х, 61) - открытый шар в X радиуса 61 с центром в точке х. Докажем включение В(х, 61)с х +и1(6). Если уеВ(х, 61), то ё(х, у)<61, следовательно, р(0, х + у) < 61, откуда х + у е и1(6), а, значит, у = х + х + у е х + и1(6). Таким образом, В(х, 61) с х + и1(6) с х + и(6) с и, т.е. для каждого хеиПX существует такое открытое в X множество V, что хе УсО П X, что означает и П Xетх.

Теперь докажем обратное включение тх с т^.

Пусть В (х, а) - открытый шар в X радиуса а с центром в точке х. Включение тх с т^ будет доказано,

если мы покажем, что для некоторого 6е ш+ (х + и(6))ПX с В(х,а), для чего, в силу (3), достаточно проверить, что (х + и п (6 )) п X с В (х, а) для

каждого п = 1,2,... Положим 6п = —, п = 1,2,... и

п 2п

6 = {6п)Г=1. Пусть у е( х + ип (6)) П X. Тогда у = х + х +... + хп, где хг еиг (6), г = 1,..., п, откуда х + у = х +... + хп . Имеем

ё (х, у) = р(0, х + у) = р(0, х + ••• + хп )<

\ — \ а а

<р(0, х1)+•••+р(0, хп )< 2+•••+<а,

а это означает, что у е В (х, а). Теорема доказана.

Таким образом, мы показали, что на B(X) существует групповая топология т, которая индуцирует на X исходную топологию тх- Если мы докажем, что топология т - сильнейшая из всех групповых топологий на В^, индуцирующих на X исходную топологию, то это будет означать, что т - это топология свободной булевой топологической группы В(X) пространства X (см. [1]).

Теорема 3. Топология т - сильнейшая из всех групповых топологий на В^, индуцирующих на X исходную топологию.

Доказательство. Пусть т* - такая групповая топология на В^, что т*| =т]{ . Нам необходимо показать, что т* с т. Пусть V ет*. Можно считать, что

V - это окрестность нуля в В^. Положим У0 = V и

определим по индукции окрестности нуля Vn е т* так, чтобы Vn + Vn с Vn_l и для всех п = 1,2,... Пусть п -произвольное натуральное число. Так как х + х е^ для любого х е X, то существует такое множество Wx , что х еWx ет* и Wx + Wx с Vn. Рассмотрим множество Ох = Шх П X - окрестность точки х в пространстве X. Тогда уп ={Ох | х е X) - открытое покрытие пространства X. Пусть 6п - число Лебега

покрытия уп и 6 = {6п}ад=1. Покажем, что ип (6)с К для каждого п = 1,2,... Пусть у1 + у2 еип (6). Тогда р (0, у1 + у2) = ё (у1, у2) < 6п, что означает, что обе точки у1 и у2 лежат в некотором элементе Ох покрытия у п . Так как Ох + Ох с Vn, то у1 + у2 е^ . Итак, Ои (6) с Vn для каждого п = 1,2,... Но тогда и

ип (6) = и1 (6) + ... + ип (6)с V + ... + К с V0 = V, отку-

ад

да и (6) = иип (6) с V . Теорема доказана.

п=1

Изучим теперь некоторые свойства группы В^.

Теорема 4. Пространство X замкнуто в В^.

Доказательство. Докажем, что множество В(X)\X = {0}и{х1 + ... + хш | ш = 2,3,.) открыто в В^. Из (1), (2) и (3) видно, что если ш четно или равно нулю, то у точки х1 +... + хш существует такая окрестность и е т , что и с В (X)\ X . Пусть ш = 2к +1 для некоторого натурального к. Элемент х1 +... + хш обозначим х . Пусть

а = тп{(,{)] = 1,.,2к +1;I ф]}, 6п = }, п = I,2,... и 6 = {6п}ад=1.

Докажем, что (х + и (6))П X = 0 . Предположим, что у е (х + и (6)) П X . Тогда существует такое натуральное п, что у е х + Оп (6). В этом случае у = х + г1 + ... + 1п , где все еиг (6) , или, по-другому, у + х = +... + Гп . Но

р(0, +... + Гп )<р(0, Г) +... + р(0, Гп )<а,

в то время как р (0, у + х) > а в силу определения числа а. Полученное противоречие показывает, что (х + и (6)) П X = 0 . Теорема доказана.

Определение. Будем говорить, что метризуемые

В

компакты X и У В-эквивалентны, и писать X ~ У , если их свободные булевы топологические группы B(X) и В(У) топологически изоморфны.

Пространство всех непрерывных функций на тихоновском пространстве X со значениями в дискретном двоеточии Б = {0,1} с топологией поточечной сходимости будем обозначать Ср (X, Б). Заметим, что множество Ср (X, Б) является линейным пространством над полем

В

Теорема 5. Если X ~ У, то пространства Ср (X, Б) и Ср (У, Б) линейно гомеоморфны.

Доказательство. Пусть ф: В (X) ^ В (У) - топологический изоморфизм и у = ф-1 - обратное отображение. Определим отображение Ф: Ср (X, Б )^

^ Ср (У,Б) по правилу Ф(/) = /°у|У где / - непрерывный гомоморфизм, продолжающий функцию / на В (X). Аналогично определим отображение Т: Ср (У, Б) ^ Ср (X, Б) по правилу Т (я) = § ° ф.

Линейность отображения Ф очевидна, докажем, что оно биективно. Имеем

ф О Т(§) = Ф(§0 ф| X )= ф ° у| У = я

и, аналогично,

Т О Ф(/) = Ф( /о у| У ) = /о у о ф| = / ,

откуда следует, что Ф - биекция. Осталось показать непрерывность отображений Ф и ¥. Пусть

и = {я е Ср (У,Б)||я(у) <6} - окрестность нулевой функции в пространстве Ср (У, Б) и

у (у) = х1 +... + хп . Рассмотрим окрестность

V = { / е Ср (X, Б)|| / (хг )|<6/п, г = 1,., п} нулевой функции в пространстве Ср (X, Б) и покажем, что с и . Пусть / е V . Тогда

|ф(/)(у )\ = \/ (у( у ))= / (х1 + ••• + хп )| =

= | /(х1) + ••• + /(хп)|<|/(х1 )| + ••• + 1 /(хп)|<6 .

Непрерывность отображения ¥ доказывается аналогично. Теорема доказана.

Следствие 6. Связность сохраняется отношением В-эквивалентности.

Доказательство. Пусть пространство X связно. Тогда мощность пространства Ср (X, Б) равна 2, а по

теореме 5 мощность Ср (У, Б) тоже равна 2, а это означает, что пространство У тоже связно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Граев М.И. Свободные топологические группы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1948. Т.12. С. 279 - 324.

2. Сипачева О.В. Описание топологии свободных топологических групп без использования универсальных равномерных структур // Общая топология. Отображения топологических пространств. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 122 - 130.

3. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. 520 с.

Статья представлена кафедрой теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 20 июня 2005 г.