Локальная компактность и гомеоморфизмы про странств непрерывных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика и механика № 3(11)

УДК 517.122

Т.Е. Хмылева, А.Е. Кириенко

ЛОКАЛЬНАЯ КОМПАКТНОСТЬ И ГОМЕОМОРФИЗМЫ ПРОСТРАНСТВ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ1

В работе доказано, что:

1) пространства СР(Б) и СР(Т) всех непрерывных функций в топологии поточечной сходимости не являются линейно гомеоморфными, если S, Т -метризуемые не локально компактные пространства, причем производное множество Т(1) является компактным, а производное множество S(1) - нет;

2) пространства СКХ) и СК(У) всех непрерывных функций в компактнооткрытой топологии не гомеоморфны друг другу, если X и Y являются вполне регулярными пространствами, причем X является локально-компактным и ст -компактным, а в пространстве Y существует точка y0 е Y счетного характера и каждая ее окрестность не является псевдокомпактом.

Ключевые слова: пространства непрерывных функций, линейный гомеоморфизм, гомеоморфизм, метризуемое пространство, локально компактное пространство, топология поточечной сходимости, компактнооткрытая топология.

Все неопределенные в статье понятия можно найти в [1] или [2].

Все рассматриваемые топологические пространства предполагаются вполне регулярными.

Символом supp g обозначается множество {t е Y; g (t) = 0} для каждой функции g : Y ^ R.

Если A - подмножество в пространстве X, то производным множеством множества A называется множество всех предельных точек множества A. Обозначается производное множество A(1).

Если пространство X можно представить в виде счетного объединения компактных подпространств, то X называют ст -компактным. Локально компактное пространство X называется счетным на бесконечности, если представимо в виде

X = ^Q. , где каждое Q- является компактом и Qi с int Qi+1 для каждого i е N .

i=1

Линейное гомеоморфное вложение Т: X ^ Y называют замкнутым, если множество Т (X) замкнуто в Y .

1. О линейной гомеоморфности пространств непрерывных функций с топологией поточечной сходимости на метризуемых не локально компактных пространствах

С.П. Гулько и О.Г. Окунев [3, с. 20] доказали, что свойство локальной компактности сохраняется отношением /-эквивалентности, т. е. из линейной гомео-

1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России». Госконтракт П937 от 20 августа 2009 года.

морфности Op(X) и СР(У и локальной компактности пространства X следует локальная компактность пространства Y.

Основным результатом данного параграфа является следующая теорема. Теорема 1. Пусть S, Т - метризуемые не локально компактные пространства, причём производное множество S(1) не является компактом, а Т(1) - компакт. Тогда пространства СР^) и СР(Т) не являются линейно гомеоморфными.

Рассмотрим основные свойства, которыми обладает пространство S, удовлетворяющее условиям теоремы 1. По условию множество S(1) не является компактом. Это означает, что во множестве S(1) существует замкнутое дискретное подмножество {s1 }“j с S(1). Пусть {U(s', r )}“=j - последовательность непересекаю-щихся шаров в пространстве S , причем lim r = 0 . Поскольку последователь-

i^W

ность {s' }“=J с S(1) , то для каждого индекса i е N существует такая последовательность {sj }W= с S , что lim sj = s1 и {sj }‘”=1 с U(s1, r). Положим

^ j^W

F' = {sj }°°=1 U {s1} для каждого индекса i е N . Нетрудно видеть, что множество

W

F = U F является замкнутым подмножеством в пространстве S .

i =1

Символом C0p (F,{s' }“=j) будем обозначать множество {х е Cp (F): x(s' ) = 0 для всех i е N} . Если при фиксированном номере i е N рассматривать множество F , то для обозначения множества {х е Cp (F): х(s1) = 0} будем использовать символ CР (F ).

Так как точки si являются изолированными в пространстве F, то характери-

fl, t = sj

стические функции х i (t) = ^ i , которые обозначим ej, принадлежат про-

sj [0, t=s.

странству Cp (F,{s' }“=1) для всех i, j е N .

Докажем несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Пусть X - топологическое пространство. Пусть P: C°p (F,{s' }W=1) ^ Cp(X) - линейное гомеоморфное вложение. Тогда для любой

W

точки t е X ряд ^ |Pej (t)| сходится для каждого индекса i е N .

j=1 j

Доказательство. Предположим противное. Пусть существует точка t е Т,

W

такая, что ^| Pen (f) | = +w для некоторого n е N .

j=1

W

Воспользуемся известным фактом: если ^| am | = +w , то существует беско-

n =1

W

нечно малая числовая последовательность {am }W=1, такая, что ^amam =+w .

m =1

Применяя данное утверждение к нашему случаю, получим, что существует бесконечно малая числовая последовательность {аj }“=1, такая, что Еа JPe'‘ (t) =+w

j=i

для некоторого n 6 N .

«0

Рассмотрим частичные суммы sn = Е а je« для каждого «0 6 N, которые по-

0 j =1

w

точечно сходятся к функции Е а je« для некоторого « 6 N . Ясно, что для каж-

j=1

w

дого индекса «0 6 N и некоторого « 6 N функции s«0 и Е а je« принадлежат

0 j = 1

пространству C 0p (F ,{s! }“=1).

Тогда для некоторого индекса « 6 N имеем

ад «о ад

(Р(Еаje«))(?) = (P( lim s))(?) = lim (Ps)(?) = lim ¿а}Pe«(t) = Еа;Pe”(«) = +oo.

j=1 «о ^W 0 «о ^W 0 «0 ^W;=l j=1

W

Это противоречит тому, что функция P( Е а je«) 6 Cp (X). ■

j=1

Лемма 2. Пусть P: C0p (F,{s! }“=1) ^ Cp (T) - линейное гомеоморфное вложение. Тогда для любой последовательности {к«}«=1, где k« 6 N для каждого « 6 N, множество {« : Pe« (t) = 0} конечно для каждой точки 16 T .

Доказательство. Предположим противное. Пусть существуют точка t 6 T и последовательность натуральных чисел {к« }«=1, такие, что множество {« : Pe1« (?) = 0} бесконечно, и без ограничения общности можно считать, что оно

совпадает с N . Поскольку Pe« (?) = 0, то можно рассмотреть числа а« =----------------1—

« PenK (П

для каждого « 6 N .

«0 «

Рассмотрим частичные суммы s« = Е а«ek для каждого «0 6 N, которые

« =1

W W

поточечно сходятся к функции Е а^ . Ясно, что функции s«0 и Е аnek при-

«=1 «=1

надлежат пространству C0 (F,{s! }°=1) при всех «0 6 N .

Тогда для каждого «0 6 N имеем

W «0

(P( Е а«e« ))(?) = (P( lim s))(?) = lim (Ps«0)(?) = lim Е а«Pe« (?) = lim «0 = w.

Но это противоречит тому, что P( Е а«e« ) 6 Cp (T).

n=1

Лемма 3. Пусть п є N и Р: С°р (Рп) ^ Ср (Т) - линейное замкнутое гомео-морфное вложение. Тогда существует точка ґп є Т(1), такая, что для любого г є Я множество АП г = {у є N : и(ґп, г) П .^ыррРе« = Ф} бесконечно, где и(ґп, г) - окрестность точки ґп.

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Пусть для

t,r

любой точки t е Т(1) существует окрестность U (t, r), такая, что множество At конечно. Тогда для любой точки v еи(t, r) имеет место равенство

w M

Е PeП (v) = Е РеП (v) для некоторого M е N .

i=1 i=1

n0 n

Рассмотрим частичные суммы sщ = Е et , которые принадлежат пространству

0 i =1

По n0

Cp°(Fn) для каждого номера n0 е N. Ясно, что P(s„0) = P(Eei”) = ЕPei е

i=1 i=1

е P(C^P (Fn)) при всех n0 е N. По предположению леммы в каждой точке

w M

v е U(t, r) имеет место равенство Е Pei (v) = Е Pe1 (v) для некоторого M е N ,

i=1 i=1

W

значит, функция Е Pei непрерывна в точке t е Т(1). Поскольку точка t е Т(1)

i=1

W

была выбрана произвольно, то Е Pe1 е Cp (Т). По условию леммы множество

i =1

W

P(C°p (Fn)) замкнуто в Cp (Т), поэтому функция Е Pei , которая является пото-

i=1

чечным пределом последовательности функций {P(sП0 )}W0 =1, принадлежит пространству P(C°p (Fn)). Поэтому можно рассмотреть ее прообраз относительно P , и тогда справедливы следующие равенства:

W n n0 n0 n0

P_1(ЕPei) = P-1( lim ЕPei) = P-1( lim P(t ei)) = lim (P-1(P(Еe«))) = lim Еe”.

i=1 n0 ^W i=1 n0 ^W i=1 n0^W i=1 n0 ^W i=l

n0 n

Но функция lim Е en не принадлежит пространству Cp (Fn), так как являет -

n0 ^W i=1

ся разрывной в точке sn. Получили противоречие. ■

Лемма 4. Не существует линейного замкнутого гомеоморфного вложения P: CР (F,{s' }W=1) ^ Cp(Т).

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Пусть существует линейное замкнутое гомеоморфное вложение P : C°p (F, {s1 }“=1) ^ Cp (Т).

Рассмотрим функции elm е Ccp (F1) для каждого номера m е N . По лемме 3 существует точка t1 е Т(1), такая, что множество 1 бесконечно. Поэтому можно

выбрать точку к1 е и, 1), такую, что Ре' (к1) = 0 для некоторого ]1 е N . Положим п1 = 1. По лемме 2 найдется номер п2 > п1, такой, что Реп (к1) = 0 при п > п2 и для любого ] е N .

Рассмотрим функции е”2 е С0 (^) для каждого номера т е N . По лемме 3 существует точка ^ е Т(1), такая, что множество Д,”21/2 бесконечно. Поэтому можно выбрать точку к2 еи (/2,1 / 2), такую, что Ре111 (к2) = 0 для некоторого

3 П2

]2 е N . По лемме 2 найдется номер п3 > п2, такой, что РеП (к2) = 0 при п > п3 и для любого 3 е N .

Продолжая этот процесс, мы получим последовательности точек ^ е Т(1) и к, е и(^ ,1/I), такие, что Реп‘ (к,.) = 0 для каждого I е N и Реп‘ (кт) = 0 для ка-

3 п, 3 п,

ждого I > т .

Поскольку Ре1 (к1) = 0 , то можно подобрать такой коэффициент а1, что а1Реп1 (к1) = 1. Поскольку Реп2 (к2) = 0, то можно подобрать такой коэффициент а2, что а1 Реп (к2) + а2Реп2 (к2) = 2. Продолжая этот процесс, мы получим, что

3п1 Зп2

для каждого номера т е N найдется такой коэффициент ат, что

тп

Ёа,Ре2 (кт ) = т .

• 1 ■’ 'Ч

1 =1

ОТ

Рассмотрим функцию У а еп‘ , которая принадлежат пространству

1=1 п,

С0р (^,{51 }°=1). Заметим, что производное множество Т(1) является компактом и

}“= с Т(1). Пусть е Т(1) - предельная точка для последовательности }“=. Тогда в любую окрестность и(/0) точки t0 входит бесконечное множество элементов из последовательности }“=1. Так как кп еи(^,1/п), то окрестности и (^) будет принадлежать бесконечное множество элементов из последователь-

ОТ ОТ

ности {кп}ОТ=1. Тогда в окрестности и(^) функция Р(Уа,епп ) = У а,Репп будет

I=1 п ,=1 п

ОТ

неограниченной. Но это противоречит непрерывности функции УаРе' в точке

1=1 1п‘

t0. Получили противоречие. ■

Доказательство теоремы 1. Доказательство проведем методом от противного. Пусть существует линейный гомеоморфизм А : С (Б) ^ Ср (Т).

Докажем, что существует гомеоморфное вложение V : С0 (^,{^ }ОТ=1) ^ Ср (8),

где пространство V(С°р (^,{^- }“=1)) замкнуто в Ср (Б). Пусть и(^, е3) с и(^, г,)

- непересекающиеся окрестности точек sj для всех i, j e N , причем lim ej = 0

j ^ад

для каждого i e N . Рассмотрим функции xj e (S), удовлетворяющие

il, t = sj . .

равенству xj (t) = <! , такие, что suppxj с (7(sj, ej) для всех i, j e N .

[0, t = sj J J J

Пусть x e C°p (F,{s! }“=1). Тогда требуемое гомеоморфное вложение

ад ад

V : CР (F,{s! }“=) ^ Cp (S) задается формулой (Vx)(t) = Z Z x(sj)xj (t) для каждой

i=1 j=i

точки t e S и для каждого индекса i e N .

Тогда P = A о V является линейным замкнутым гомеоморфным вложением пространства C°p (F,{s! }“=1) в Cp (T), что противоречит лемме 4. Значит, пространства Cp (S) и Cp (T) не являются линейно гомеоморфными. ■

Замечание. Аналогично теореме 1, используя леммы 1 - 3, можно доказать, что пространства Cp (S) и Cp (T) не являются линейно гомеоморфными, если S, T

- метризуемые пространства, причем S не является локально компактным, а T -локально компактное и счетное на бесконечности.

2. О гомеоморфности пространств непрерывных функций с компактно-открытой топологией

Символом CK (X) обозначается пространство непрерывных вещественнозначных функций с компактно-открытой топологией, заданных на вполне регулярном пространстве X. Базу открытых окрестностей произвольной функции f e CK (X) образуют множества вида W (f, K, e) = {g e C (X ):| f (x) - g (x)|<e для всех x e K} для любого компактного множества K с X и произвольного e > 0. Следующее утверждение хорошо известно.

ад

Лемма 5. Пусть пространство X является локально компактным и X = У Qi ,

i=1

где каждое Qi является компактом, Q. с int Q.+1 для каждого i e N . Тогда пространство CK (X) метризуемо полной метрикой

max|f(t) -

P(f, g) = Е—--------------------. ■

i=12 1+max|f (t) - g (t)|

teQ.

Лемма 6. Если пространство X является локально компактным и ст -компактным, то оно счетно на бесконечности.

Доказательство непосредственно следует из определения ст -компактности пространства X . ■

Докажем основную теорему данного параграфа.

Теорема 2. Пусть X, Y - вполне регулярные пространства. Пусть, кроме того, X является локально-компактным и ст -компактным, а в пространстве Y су-

ществует точка у0 е У счетного характера, такая, что каждая ее окрестность не является псевдокомпактом. Тогда пространство Ск (X) не гомеоморфно Ск (У).

Доказательство. По условию теоремы 2 пространство X является локально компактным и ст -компактным, а значит, по лемме 6 X - счетно на бесконечности. Тогда по лемме 5 пространство Ск (X) метризуемо полной метрикой, а следовательно, по теореме Бэра о категориях не представимо в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

Предположим, что пространства Ск (X) и Ск (У) гомеоморфны. Тогда пространство Ск (У) также нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств. Покажем, что это не так.

Поскольку точка у0 е У имеет счетный характер, то можно зафиксировать {Пп : п е N } - убывающую фундаментальную систему окрестностей точки у0. По условию теоремы каждая окрестность Пп , п е N, не является псевдокомпактом, поэтому для каждого п е N можно выбрать замкнутое в У бесконечное дискретное множество Бп с ип . Выберем множества Бп так, чтобы они образовы-

ад

вали дизъюнктную систему. Нетрудно видеть, что множество Б = И Б и {Уо}

п=1

замкнуто в У .

Рассмотрим для каждого п е N множество Еп = {/ е Ск (У):

ад ад

/ (и Б к и{Уо}) с [-п, п]} . Покажем, что Ск (У) = и ^ . Пусть / е Ск (У) и

к=п п=1

а =| /(у0) |. Пусть п 0е N таково, что п 0 > а . Функция / непрерывна в точке у0, следовательно, найдется такая окрестность ищ точки у0, что | /(/) |< п0

ад

для каждой точки t е ищ . Тогда /( Ц Бк и{у0}) с [-п0, п0]. Ясно, что при

к =Ш0

ад

п 0< Ш0 выполнено /( Ц Бки{И)}) с [—^,^] с [-^0,т>], т.е. / е ¥тй .

к =т0

ад ад

Если же п 0 > т0, то справедливо включение и Бк с Ц Бк . Значит,

к=п0 к=т0

ад ад

/( И Бки{у0}) с /( и Бки{у0}) с [—п0,п0], т. е. / е рп0.

к=п0 к=т0

Теперь проверим, что каждое множество ¥п, п е N , нигде не плотно в Ск(У). Нетрудно видеть, что эти множества замкнуты, и поэтому остается доказать, что их внутренности пусты. Пусть g е Ск (У) - произвольная функция, а Ж (g, Q, е) -произвольная стандартная окрестность функции g . Ясно, что для каждого п е N пересечение Q П Бп конечно, следовательно, найдется точка ^ е Бп \ Q . Обозначим Q'= {0} и Q. Зададим функцию g 'е Ск (Q') по формуле

^ (t) = { g (t^ ^ . Заметим, что вполне регулярное пространство У вложимо в

( п +1, t = t0

тихоновский куб, который является нормальным пространством. Значит, по теореме Титце - Урысона существует непрерывное продолжение g' функции g' с компакта Q' на тихоновский куб. Тогда g' е W(g, Q, е)\ Fn. Итак, множества Fn

для всех n е N нигде не плотны в CK (Y) и CK (Y) = U Fn . Значит, CK (Y) явля-

n=1

ется множеством первой категории, следовательно, оно не будет являться полным метризуемым пространством. Получили противоречие. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. ЭнгелькингР. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.

2. Архангельский А.В. Топологические пространства функций. М.: МГУ, 1989. 222 с.

3. Гулько С.П., Окунев О.Г. Локальная компактность и М-эквивалентность // Вопросы геометрии и топологии. Петрозаводск, 1986. С. 14 - 23.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

ХМЫЛЁВА Татьяна Евгеньевна - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: [email protected]

КИРИЕНКО Анна Евгеньевна - студентка механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: [email protected]

Статья принята в печать 21.06.2010 г.