CC BY
11УДК 515.122.4, 515.123
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ R-ФАКТОРИЗУЕМЫХ G-ПРОСТРАНСТВ
Е. В. Мартьянов1
В работе дается характеризация R-факторизуемости G-прострапств, доказывается равносильность R-факторизуемости и свойства ш-U для G-прострапств с d-открытым действием w-узких групп. Показано, что R-факторизуемость характеризует те компактные факторпространства, которые являются факторпространствамп w-узких групп. Вводятся понятия то- и М-факторизуемых G-прострапств, обобщающих соответствующие понятия для топологических групп.
Ключевые слова: топологическая группа, G-прострапство, факторизуемость, равномерность, d-открытое действие.
In this paper we characterize R-factorizability of G-spaces and prove the equivalence of R-factorizability and ш-U property for G-spaces with d-open actions of w-narrow groups. It is shown that the R-factorizability characterizes those compact coset spaces which are coset spaces of w-narrow groups. The notion of то- and M-factorizable G-spaces is introduced, which generalizes the corresponding notions for topological groups.
Key words: topological group, G-space, factorization, uniformity, d-open action.
1. Предварительные сведения. Аппроксимация произвольного тихоновского пространства X при помощи класса пространств S и класса непрерывных отображений F, таких, что для произвольной непрерывной функции / € С(Х) найдутся Z € 2, g: X —>■ Z, g € F и h € C(Z), для которых выполняется равенство / = hog, является полезным инструментом исследований топологических пространств. Частный случай такой аппроксимации — понятие R-факторизуемости топологических групп: здесь в качестве класса S рассматривается класс сепарабельных метризу-емых топологических групп, а в качестве F — класс непрерывных гомоморфизмов. Если в определении R-факторизуемости топологической группы заменить непрерывную функцию на непрерывное отображение / : X —> M в произвольное метрическое пространство M, то получим определение m-факторизуемой топологической группы, а если, кроме того, рассматривать в качестве класса S класс метризуемых топологических групп, то получим определение М-факторизуемой топологической группы. Следующая теорема Л. С. Понтрягина [1] послужила началом изучения R-факторизуемых топологических групп: если / — непрерывная вещественная функция на компактной топологической группе G, то существует замкнутый нормальный делитель N группы G. такой, что факторгруппа G/N метризуема и функция / постоянна на каждом смежном классе. Само понятие R-факторизуемости топологических групп было введено М.Г. Ткаченко [2]. Достаточно обширная литература по данному вопросу имеется в [1].
Напомним некоторые определения. Топологическая группа является w-узкой (w-уравновешен-ной), если существует ее вложение в произведение сепарабельных метризуемых (метризуемых) топологических групп (см. [1]).
Для топологической группы G через Ng{&) обозначается семейство окрестностей ее единицы.
Вещественнозначная функция / на топологической группе G называется w-равномерно непрерывной слева (соответственно справа), если для любого вещественного числа е > 0 существует счетное семейство А С Nc(e), такое, что при любом х € G найдется U € А и выполняется |/(ж) — ¡{у)| < е, когда x~ly € U (соответственно ух~1 € U).
Вещественнозначная функция / на топологической группе G называется w-равномерно непрерывной, если она w-равномерно непрерывна слева и справа.
Топологическая группа G обладает свойством ш-U, если каждая непрерывная функция на G является w-равномерно непрерывной (см. [3]).
Под действием a: GxX X группы G на множестве X понимается отображение, для которого выполняются равенства а(е,х) = х, a(g,a(h,x)) = a(gh,x) при любых х G X, g, h G G (e — единица группы G). Если ясно, о каком действии идет речь, то будем писать а(д,х) := дх. Тройка
1 Мартьянов Евгений Вячеславович — асп. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: bïnoniOOQyandex.ru.
(X, G. а) обозначает действие а группы G на пространстве X, которое определяется как действие G на множестве X, такое, что отображения а9 : X —> X являются гомеоморфизмами (отображения а9 : X —> X определяются по правилу а9(х) = а(д, х)).
Пространство X с фиксированным непрерывным действием a: G х X —> X топологической группы G называется С-пространством.
Действие a: G х X —> X называется d-открытым (открытым), если х €int(cl(Oa;)) (х €int(Oa;)) для любых х € X и О € Л^(е); под cl(A), int(A) понимается замыкание и внутренность множества А в пространстве X соответственно.
Пара непрерывных отображений (/, ip) : (X, G, а) —>■ (Y, H, 7) G-пространства X в G-простран-ство Y называется эквивариантным отображением, если <р: G —>■ H — гомоморфизм и выполняется равенство f(gx) = <p(g)f(x) для любых х € X и g € G. Если / — вложение, то пара (/, ip) называется эквивариантным вложением G-пространства X в G-пространство Y.
Под G-сепарабельным метризуемым (G-метризуемым) пространством понимается сепарабель-ное метризуемое (метризуемое) пространство с непрерывным действием сепарабельной метризуемой (метризуемой) группы.
В работе [1, открытая проблема 8.4.4] был поставлен вопрос: верно ли, что факторгруппа М-факторизуемой топологической группы М-факторизуема? В работе [3] дан положительный ответ на поставленный вопрос, кроме того, получена характеризация R-факторизуемых топологических групп (теорема 4.9): топологическая группа R-факторизуема тогда и только тогда, когда она обладает свойством uj-U и является w-узкой группой. В работе [4] было введено понятие R-факторизуемого G-пространства (определение 1 настоящей работы), естественным образом распространяющее R-факторизуемость с топологических групп на G-пространства.
Настоящая работа посвящена развитию и обобщению результатов работы [3] на случай (^-пространств. Вводятся следующие понятия: свойство W-IJ и сильное свойство W-IJ для G-пространства с d-открытым действием (определения 2 и 4 соответственно), m- и М-факторизуемость (^-пространства (определение 3).
Основными результатами являются теорема 1, теорема 2 и теорема 5, в которой показано, что R-факторизуемость характеризует те компактные факторпространства, которые являются фактор-пространствами w-узких групп.
Теорема 1 фактически устанавливает возможность редукции действующей группы до w-узкой в случае R-факторизуемости. Теорема 2 является обобщением теоремы 4.9 из [3] на случай С-прост-ранств с d-открытым действием. Аналогичные характеризации получены для т-факторизуемых (соответственно М-факторизуемых) G-пространств. Выбор в качестве действия группы на С-прост-ранстве d-открытого действия обусловлен известной степенью общности: транзитивное действие w-узкой группы на компакте d-открыто [5, лемма 9], и в этом случае оно R-факторизуемо [4, пример 3.12], а также m-факторизуемо (следствие 1 настоящей работы).
Все пространства предполагаются тихоновскими, отображения — непрерывными, придерживаемся обозначений из [6]. Под окрестностью понимается открытая окрестность. Открытый шар в метрическом пространстве с центром в точке х радиуса е будем обозначать 0(х,е), id — тождественное отображение, С(Х) — множество всех непрерывных функций на X, R — вещественные числа.
Открытые и d-открытые действия подробно рассмотрены в [7, 8].
В доказательстве достаточности теорем 2 и 4 считаем, что фазовое пространство имеет одну конмпоненту действия (см. замечание 2 [8]).
Равномерные структуры вводятся через семейства покрытий. Необходимые сведения о равно-мерностях можно найти в [6].
2. Характеризационные теоремы о R-факторизуемости G-пространств с d-открытым действием. Напомним важное для дальнейшего изложения определение.
Определение 1 [4]. G-пространство X называется R-факторизуемым, если для любой непрерывной функции / : X —> R существуют эквивариантное отображение (ip, 7г) : (X, G, а) —>■ (Y., Н, 7) в G-сепарабельное метризуемое пространство и непрерывная функция ф: Y —> R, такие, что / = ipoip.
Теорема 1. G-пространство X является R-факторизуемым тогда и только тогда, когда существует эквивариантное отображение (id, 7г) : (X, G, а) —> (X, К, /5) в R-факторизуемое G-пространство X с ш-узкой действующей группой К.
Доказательство. Пусть X — R-факторизуемое G-пространство. Тогда для любой непрерывной функции /: X —> R существуют эквивариантное отображение (<pf,iTf): (X,G,a) —> (Yf,Hf,jf), где
Yf — С-сеиарабельиое метризуемое пространство, и непрерывная функция pf: Yf Ж, такие, что коммутативна диаграмма
СхХ 7Г/Ху/) Hf х Yf
7/
х у,
/
Рассмотрим декартовы произведения топологических групп и пространств:
Н= #/,#€ ТорСгр; У= Г/, Г € ТусЬ,
/ес(х) /ес(х)
диагональные произведения отображений <р = Afec(x)(Pf>7Г = ^/еС(х)7Г/ и прямое произведение действий 7 = П/еС(х)7/ = Д/еС(х)(7/ ° PfHfxYf)^ Проверим, что К является С-пространством с действием 7: ЯхУ->У группы Возьмем произвольные 1г(£Н,к(£Н,у(£У, тогда
7СЪ.,ч(к,у)) = {7f(hf,^f(kf,yf))}feC{x) = Ь/(Н1к1,у1)}/еС(х) =7 (!гк,у),
7 (е,у) = {7/(е/,У/)}/ес(х) = {У/}/ес(х) = У,
где ей е/ — единицы групп и Hf соответственно. Очевидно, что отображение 7 непрерывно и для любых х (£ X, д (£ О выполняется соотношение тт(д)(р(х) = <р(дх). Тем самым ((р, тт): (X, О, а) —>■ (У, Н, 7) — эквивариантное отображение С-пространства X в С-пространство К.
Для любой точки ж и не содержащего ее замкнутого множества Р существует непрерывная функция /, такая, что /(ж) = 0 и /(Р) = 1. Значит, из соотношения
(р/ о <^)(ж) = /(Ж) = 0 ф 1 = = с1(/СР)) = с1(Р/(^))) Э
имеем у/(ж) ^ с1(<£>/(_Р)), поэтому семейство {<£>/|/ € С(Х)} разделяет точки и замкнутые множества. По теореме о диагональном отображении [6, теорема 2.3.20] получаем, что <р — гомео-морфное вложение, следовательно, получили эквивариантное отображение (¿ё, тт): (X, О, а) —>■ (X = <р(Х),К = тт(С),(3 = 7|кхх) в С-пространство X с ш-узкой действующей группой К.
Для произвольной непрерывной функции /: X К с учетом отождествления X = <р(Х) получаем равенство f = Pf ° (Pf = р/орг/ о (р = Pfopтf\x■ Таким образом, существует эквивариантное отображение (prf\x,Wf\к) '■ (Х,К,(3) —> в С-сепарабельное метризуемое пространство Yf, причем выполняется равенство / = Pfopтf\x■ Тем самым доказана М-факторизуемость С-пространства X с ш-узкой действующей группой К.
Пусть существует эквивариантное отображение (¿ё, тт): (X, С, а) —> (X, К, (3) в М-факторизуемое С-пространство X с действием (3 группы К. Для любой непрерывной функции /: X —> М существуют эквивариантное отображение в С-сепарабельное метризуемое пространство (<£>/, 7Г/): (X, К, /3) —> (Yf,Hf,Jf) и непрерывная функция^»/: 1/ —>■ М, такие, что / =pfO|pf. Так как композиция эквива-риантных отображений (1с1,7г) и 7Г/) есть эквивариантное отображение (^pf,^Tf о тт): (X, О, а) —>■ (Yf,Hf,^f) в С-сепарабельное метризуемое пространство 1/, то С-пространство X с действием а является М-факторизуемым.П
Следующее утверждение принадлежит К.Л. Козлову.
Предложение 1. Пусть (1ё,7г): (Х,С,ас) —> (Х,Н,ан) — эквивариантное отображение на О-пространство X с действующей группой Н = тт(С). Если действие ас Л-открыто (открыто), то и действие ан Л-открыто (открыто).
Доказательство. Докажем утверждение для случая ё-открытого действия. Рассмотрим ж € X и О € Хя(е). В силу ё-открытости действия ас для II = тт ~1(0) выполняется соотношение ж £тЬ(с1(их)). Так как 11х = тт(и)х = Ох, мы получаем включение ж €ш1;(с1(Ож)), из которого следует ё-открытость действия ан- Случай открытого действия доказывается аналогично.□
Тем самым редукция действия в теореме 1 позволяет сохранять открытость и ё-открытость действия.
Определение 2. G-пространство X с d-открытым действием обладает свойством w-U, если для любой непрерывной функции /: X —> R существует счетное семейство Af С Nc(e), такое, что для любых е > 0 и ж € X найдется окрестность С/ € А/, для которой /(int(cl(C/ж))) Ç 0(f(x),e).
Теорема 2. G-пространство X с d-открытым действием w-узкой группы является М.-фак-торизуемым тогда и только тогда, когда оно обладает, свойством w-U.
Доказательство. Пусть задано R-факторизуемое G-пространство X с d-открытым действием 7 w-узкой группы II. Для произвольной непрерывной функции /: X —> R существуют непрерывная функция pf-.Yf —> R и эквивариантное отображение (ipf, тг/): (Х,Н,^у) —>■ (Yf,Hf,jf), где / = pf о iff и Hf — сепарабельная метризуемая топологическая группа. Пусть 13j — счетная база единицы группы Hf, положим Af = {kJ1(V)\V € Bf}, \Af\ = ^o- Возьмем произвольную точку х € X и произвольные числа е > 5 > 0. В силу непрерывности функции pf и действия jf найдется такая окрестность V € Bf, что выполняется рf(V\рf{x)) С 0(pf(tpf(x)),5) = 0(f(x),5). Поэтому из соотношения
f(\nt{d{^l{V)x))) Çc\(pf(ipf(7Tj\V)x))) =c\(pf(7Tf(7Tj\V))ipf(x))) С
— cICp/C^/C^))) Ç Cl(0(f(x),ô)) С
получаем, что G-пространство X обладает свойством w-U.
Пусть теперь G-пространство X с d-открытым действием 7 : H х X ^ X w-узкой группы II обладает свойством w-U. Рассмотрим произвольную непрерывную функцию /: X —> R. По условию существует счетное семейство Af = {Wn\n G N} окрестностей единицы группы H, такое, что для любых е > 0 и х € X найдется Wn и выполняется соотношение f (mt(cl(Wnx))) Ç 0(f(x),e). В силу следствия 3.4.19 работы [1] для каждой такой окрестности Wn найдутся непрерывный гомоморфизм 7гга: H —> Кп, где Кп — сепарабельная метризуемая топологическая группа, и окрестность Vn € Хкп{е), такие, что K~l(Vn) С Wn. Декартово произведение Пга^°1 ^п — сепарабельная метризуемая топологическая группа, для которой диагональное произведение 7Г = п — непрерывный гомоморфизм и К = тт(Н) — сепарабельная метризуемая топологическая группа как подгруппа YÛ=iKn.
Из леммы 3.1 работы [7] и леммы 2.15 работы [4] следует существование на пространстве X псевдоравномерности Ик с базой, состоящей из покрытий вида 7о = {int(cl(7r—1 (О)ж))|ж € € X}, О € Nx{e), где равномерное факторпространство Y = Х/Мк — сепарабельное метризуе-мое G-пространство, причем определено эквивариантное отображение (ip, тт): (Х,Н, 7) —>■ (Y,K,fx), где Lp : X —> Y — равномерное факторотображение.
Равномерное факторотображение сопоставляет каждому элементу х € X его класс эквивалентности [х] = P|{St(a;, € Ик} в пространстве Y. Учитывая, что {70 = {int(cl(7r_1(0)ic))|ic € Х}\0 € Nk{&)} — база псевдоравномерности Uk, можем записать [х] = P|{St(a;,7o)|0 € Nk{&)}- Из определения звезды точки х следует включение int(cl(7r_1(0)a;)) ç St(a;,7o), а значит, и включение flOnticlÎTr-HO)®))!© € -/Vjf(e)} Ç P|{St(a;,70)\0 € Nk(&)}- Воспользовавшись леммой 3 работы [8], получаем, что для любой точки х € X и любой окрестности О € Хк(е) найдется окрестность V G Nk{&), такая, что St(x,^/v) Çint(cl(7r-1(0)a;)). Следовательно, выполняется обратное включение P|{St(a;,7o)|0 € Nk{&)} Ç 1 (О)ж))|О € Nk{&)}, а вместе с ним и равенство
fl{St(®,7o)|0 € NK(e)} = ПОп^сКтг-ЧОД)^ е NK(e)}.
Покажем, что из равенства (р(х\) = (р(хэ) следует равенство /(ж 1) = /(ж2). Для этого возьмем точку X2 € Lp~l([x\]) и произвольное е > 0. Для выбранного е > 0 и х\ € X найдется окрестность Wn € Af, такая, что f(mt(cl(WnXi))) Ç 0(f(xi),e). В свою очередь для Wn найдутся непрерывный гомоморфизм 7гга : H —> Кп, где Кп — сепарабельная метризуемая топологическая группа, и открест-ность Vn (Е такие, что 7гга (Vn) ^ Wn. Положим Оп = 0(уп) П К = (vnx Km)f]K е
Nx(e), тогда 7Г~1(Оп) = K~l(Vn). С учетом доказанного выше имеем
€ [хг] = p|{int(cl(7r_1(0)a;i))|C) € NK(e)} Ç ^(с^тг-ЧОп)®!)) =
= int(cl(7rпЧУп)^)) Ç int(cl(Wraa;i)).
Поэтому /(жг) € f(mt(c\(WnXi)) Ç 0(f(xi),e), a в силу произвольности выбора е > 0 получаем требуемое равенство f(x 1) = /(жг).
Теперь можем корректно определить функцию ф: Y —,> R, VKM) = f{x)i х G [x\i Для которой выполняется соотношение / = ф о ср.
Докажем непрерывность функции ф. Рассмотрим произвольную точку у = <р(х) € У, тогда для любого е > 0 существует \¥п € Af и выполняется соотношение / (т1(с!(\¥пх))) С 0(/(х),е) = 0(ф(<р(х)),е). Как и выше, найдутся непрерывный гомоморфизм ттп: Н —> Кп и окрестности единиц Уп € Оп € Л^х(е), удовлетворяющие условию 7Г~1(Оп) = С И^. Вновь воспользовавшись леммой 3 работы [8], возьмем окрестность 0'п € Хк{е), такую, что Я1](ж,70') С
т1](с1(7г_1(Ога)ж)). Осталось заметить, что внутренность звезды 81^,7^/) в топологии, порожденной псевдоравномерностью 11к, содержит точку ж, а равномерное факторотображение (р является открытым по предложению 1.1 работы [7] на пространстве X с топологией, порожденной псевдоравномерностью 11к- Значит, множество <£>(ш1;Г1Х (¿>£(ж,70/))) является окрестностью точки <р(х) в пространстве У, где тцк — топология на пространстве X, порожденная псевдоравномерностью 11к-Из соотношения
ф{фгАТик №,70;)))) С /(^(с1(тг"1(Оп)ж))) с ¡(Ы(с\(\¥пх))) С 0{ф{ф)),е)
следует непрерывность функции ф.
Тем самым мы доказали М-факторизуемость С-пространства X. □
3. тп- и М-факторизуемости С-пространств с ё-открытым действием. Дадим определения, аналогичные определениям тп- и М-факторизуемостей для топологических групп [1].
Определение 3. С-пространство X называется т-факторизуемым (М-факторизуемым), если для любого непрерывного отображения /: X —> М, где М — произвольное метрическое пространство, существуют эквивариантное отображение ((р, 7г): (X, С, а) —> (У., Н, 7) в С-сепарабельное метризуемое (С-метризуемое) пространство и непрерывное отображение ф: У —> М, такие, что / = фо(р.
Предложение 2. При естественном действии топологической группы О на себе левым,и сдвигам,и т-факторизуемость (М-факторизуемость) О-пространетва совпадает с т-факт,оризуем,ост,ью (М-факт,оризуемостью) группы О.
Доказательство аналогично приведенному в примере 3.3 работы [4]. □
Предложение 3. Верны следующие утверждения:
(1) т-факторизуемое О-пространство является как Ж-факт,ори,зуем,ы,м,, так и М-факторизуемым;
(2) для псевдокомпактного О-прост,ранет,ва X условия Ж-факт,оризуем,ост,и, т-факт,оризуе-мости и М-факторизуемости эквивалентны.
Доказательство. Справедливость утверждения (1) следует из определений.
Докажем утверждение (2). Покажем, что из М-факторизуемости следует т-факторизуемость. Рассмотрим произвольное непрерывное отображение /: X —> М, где М — метрическое пространство. По условию X — псевдокомпакт, значит, его образ /(X) — метризуемый компакт, вложенный в счетное произведение прямых Пга^л где Мп = М. Поэтому без ограничения общности считаем, что /: X —>■ М = Ц+™Мп.
Пусть теперь тгп : М —> Мп — проекции произведения М = Пга^л тогда /га = 7ггао / — непрерывная вещественнозначная функция для любого п € N. Для каждой функции /га: X —>■ М существуют непрерывная функция р^: У^ —>■ М и эквивариантное отображение , тг/п): (Х,С,а) —>■ 7/п) в С-сепарабельное метризуемое пространство, такие, что /га = ° Повторяя рассуждения, приведенные в доказательстве теоремы 1, получаем эквивариантное отображение ((pf,7Tf): (Х,С,а) —> ^,7/) в С-сепарабельное метризуемое пространство, где = Д^Д <£>/„,
тг, = Д+~тг/в, = ПЛ Я/ = ШГ! ни и 7/ = ПЛ 7/в.
Для доказательства т-факторизуемости С-пространства X осталось установить справедливость равенства / = ° <Р/> где Р! = Пга^л Ри ■ оно следует из равенства ттп о f = р^п о ¡р^ = 7ГпО Pf О Lpf , п Е1Я.
Докажем, что из М-факторизуемости следует т-факторизуемость. Для произвольного непрерывного отображения /: X —>■ М, где М — метрическое пространство, существуют эквивариантное отображение (<р, тт): (X, С, а) —> (У, Н, (3) в С-метризуемое пространство и непрерывное отображение р: У —> М, такие, что / = ро(р. В доказательстве теоремы 1 было установлено, что метризуемый компакт 2 = <р(Х) с действием 7 = (3\ьу.г метризуемой топологической группы Ь = тт(О) является С-пространством.
Хорошо известно, что группа Нотео(^) гомеоморфизмов метризуемого компакта 7, в компактно-открытой топологии является сепарабельной метризуемой группой, непрерывно действующей на 2 (см., например, следствие 3.5.3, теорему 3.5.5 и предложение 3.5.13 из работы [1]).
Очевидно, существует гомоморфизм ц: L —>Homeo(Z). Он непрерывен. Действительно, пусть g € L и g (К) С W, где К — компакт в Z и множество W открыто в Z (т.е. g принадлежит прообразу базисного множества < К, W > = {£ €Homeo(Z)|^(i;i) С W} из компактно-открытой топологии). Из непрерывности действия L на Z для любой точки х € К существуют окрестность Ох точки х и окрестность Vx гомеоморфизма д, такие, что j(Vx х Ох) С W, а из условия компактности К следует возможность выбора конечного покрытия Ох..., Охп компакта К. Тогда для V = Vx\ П ... П Vxn имеем g € V и 7(V х К) С W. То есть прообраз множества < К, W > открыт в L.
Определим непрерывное действие H(Z) х Z —>■ Z, = i9(£,z) = £(z) для любых £ € H(Z) и z G Z. Следовательно, существует эквивариантное отображение (p,on,tp)\ (X,G,a) —> (Z, /jl(L), в G-сепарабельное метризуемое пространство и тем самым доказана т-факторизуемость G-пространства X. □
Предложение 3 и лемма 9 из работы [5] влекут
Следствие 1. Компактное G-пространство X с транзитивным действием ш-узкой группы т-факторизуемо.
Заменяя в доказательстве теоремы 1 вещественную прямую на метрические пространства и учитывая теоремы 3.3.12 и 3.4.18 из работы [1], получаем следующий результат.
Теорема 3. G-пространство X является т-факторизуемым (М-факторизуемым) тогда и только тогда, когда существует эквивариантное отображение (id, 7г) : (X,G,a) —> (Х,К,/3) в т-факторизуемое (М-факторизуемое) G-пространство с ш-узкой (ш-уравновешенной) действующей группой.
Определение 4. G-пространство X с d-открытым действием обладает сильным свойством UJ-U, если для любого непрерывного отображения /: X —> М, где M — произвольное метрическое пространство, существует счетное семейство Af С Ng(&), такое, что для любых е > 0 и х € X найдется окрестность U € Af, для которой f(mt(cl(Uх))) С 0(f(x),e). Аналогично теореме 2 доказывается
Теорема 4. G-пространство X с d-открытым действием ш-узкой (ш-уравновешенной) группы является т-факторизуемым (М-факторизуемым) тогда и только тогда, когда оно обладает, сильным, свойством ш-U.
Замечание. Изменив соответствующим образом определения 2 и 4, можно перенести полученные результаты на G-пространства с открытым действием. Для этого всюду в указанных определениях и доказательствах следует заменить int(cl(f7ж)) на Ux.
В частности, верны следующие результаты, являющиеся следствием теоремы 1 и предложения 1 настоящей работы и примера 3.12 из работы [4].
Теорема 5. М.-факторизуемое факт,орпрост,ранет,во G/H топологической группы G с естественным действием группы G левым,и сдвигам,и является М.-факторизуемым факт,орпростран-ством ш-узкой группы.
Компактное пространство X является факт,орпространетвом ш-узкой группы в том и только в том случае, когда X — R-факторизуемое факт,орпрост,ра,нет,во.
Автор приносит благодарность профессору К. Л. Козлову за внимание к работе. Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 15-01-05369.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Arhangel'skii A.V., Tkachenko M.G. Topological groups and related structures. Paris: Atlantis Press, 2008.
2. Tkachenko M.G. Factorization theorems for topological groups and their applications // Topol. and Appl. 1991. 38, N 1. 21-37.
3. Xie L.H., Lin S. R-factorizability and uniform continuity in topological groups // Topol. and Appl. 2012. 159, N 11-12. 2711-2720.
4. Kozlov K.L. R-factorizable G-spaces // Topol. and Appl. 2017. DOI: 10.1016/j.topol.2017.01.024.
5. Успенский В.В. Топологические группы и компакты Дугунджи // Матем. сб. 1989. 180, № 8. 103-128.
6. Эпгелькипг Р. Общая топология// Пер. с англ. М.: Мир, 1986.
7. Kozlov K.L. Spectral decompositions of spaces induced by spectral decompositions of acting groups // Topol. and Appl. 2013. 160, N 11. 1188-1205.
8. Козлов К. JI., Чатырко В. А. Топологические группы преобразований и компакты Дугунджи // Матем. сб. 2010. 201, № 1. 103-128.
Поступила в редакцию 28.03.2016
