Сведение гидродинамической модели виброожиженного сыпучего материала к системе Лоренца Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕХНОЛОГИИ И СРЕДСТВА МЕХАНИЗАЦИИ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

УДК 534.111:63 Д.Н. Пирожков

СВЕДЕНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВИБРООЖИЖЕННОГО СЫПУЧЕГО МАТЕРИАЛА К СИСТЕМЕ ЛОРЕНЦА

Введение

Многие исследователи в своих работах проводят аналогию между подогреваемым снизу слоем жидкости и виброожи-женным слоем сыпучего материала [1-7]. Кроме того, в исследованиях были сформулированы требования, предъявляемые к динамическим системам, которые могут демонстрировать сложное поведение [8]. Также было доказано, что если отнести указанные требования к виброожиженно-му слою сыпучего материала, то можно отметить, что данные требования полностью выполняются.

Используемые методы

Для упрощения уравнений Навье-Стокса, описывающих тепловую конвек-

V

&

дt

1 др р дх

1 др Р дУ

дх2

ду2

дх2 ду2

Уу-Уу

дх х ду у

дУу дУу у-У__У. у

дх

3С р

вг в

ду

цию в подогреваемом снизу слое вязкой жидкости, можно использовать некоторую методику, основанную на принципах синергетики и приводящую к системе более простых дифференциальных уравнений. Такая методика была предложена американским физиком-метеорологом Эдвардом Лоренцом и впоследствии была названа системой Лоренца [9].

Теоретические исследования

Представим полученные ранее уравнения Навье-Стокса для сыпучего материала, подверженного вертикальным колебаниям (рис. 1) в сосуде прямоугольного профиля [10]:

\Гч

<Рч

хsign {Уу - аа cos аt ехр (-гу)) +-----(0у ехр (-8у )т аt - Уу )[/0у ехр (-8у )т аt - Уу

4^чрч

V V

где х, у - горизонтальная и вертикальная компоненты скорости;

Р - плотность виброожиженного материала;

Р

ґ — давление;

У — эффективная кинематическая вязкость;

& —

dVx dVv

ускорение свободного падения;

Рв -

плотность воздуха;

коэффициент внутреннего трения;

Рч - плотность частиц, составляющих сыпучий материал;

к - коэффициент подвижности материала;

/ -

ч - диаметр частицы;

а, а - амплитуда и частота колебаний;

г - коэффициент затухания колебаний в материале;

с

в - коэффициент сопротивления частицы при обтекании воздухом;

^0 - скорость воздуха у виброднища;

$ - коэффициент затухания скорости воздушного потока.

Рис. 1. Расположение координатных осей при решении плоской задачи

Используем указанную выше методику для сведения уравнений (1) к системе Лоренца.

К системе уравнений (1) добавим уравнение неразрывности

dx dy

= 0

(2)

граничные условия

у = 0, Vy = aш cos&t

у = h, Vy = p=p0

x = ±R Vx = 0- Vy = 0 (3)

и уравнения, описывающие изменение скорости воздушного потока и давления по высоте слоя виброожиженного слоя сыпучего материала. Скорости воздушного потока, генерируемого вибрирующим

у = 0 у = h контейнером, в сечениях ^ и ^

считаем заданными, поэтому закономерности распределения этих скоростей внутри слоя материала записываем в форме уравнения переноса:

—+v(uv ) = y2u

dt , (4)

где у - некоторый коэффициент.

Примем, что скорость воздушного потока изменяется по высоте слоя по следующему закону:

U = U0 + AU-^у + e(x, у, t)

h , (5)

в( x, у, t)

где - отклонение скорости от

линейного профиля;

^U - изменение скорости воздушного потока по высоте слоя.

Предположим, что плотность материала зависит от скорости воздушного потока, проходящего через материал, и изменяется по зависимости

Р = Ро (1 -n(U - U0))

(6)

где п - коэффициент расширения материала от скорости воздушного потока (аналог коэффициента теплового расширения).

Положим, что давление в слое материала изменяется по следующей зависимости:

р = ро-Ро £ I1 -п(и - и0)) у + р (х, у,(7) р (х, у, 0

где - отклонение поля давлений

от гидростатического давления.

Сведем все представленные уравнения в одну систему, которая и будет оценивать динамику виброожиженного слоя:

— + (УУ)У = -—Ур + уЧ2У + g р + р-1

ді

Р

\Рч Рч )

^Рч

4<Рч

+ Ч(ТГГ ) = ^12и ^ = 0

и = и0 +ли-Л^у + 0(х, у, г) п

Р = Ро (1 -п( - и0 ))

^ Р = Ро-Ро 8 X-п(и - и0 ))у + р (х у,г)

Представим первый член правой части первого уравнения системы (8) в виде:

1 у = у(р0-(11 -п(х - и0 ))у + Р (х,у,г)) = -р8 + Р8пХ> - и0) + У/Р Р Р р0 (1 -п( - и0 )) р0 (1 -п( - и0 ))

* -а+8п(и - и0))+—^р■

Р0

(8)

(9)

При получении выражения (9) было использовано приближение Буссинеска, как это делается в гидродинамике. Это приближение состоит в том, что жидкость (в нашем случае виброожиженный зернистый материал) предполагается слабосжимаемой, и зависимость плотности от температуры (в нашем случае — от скорости воздушного потока) учитывается только в одном месте правой части уравнения для скорости (4), то есть выражение

(1 -п(и - и0)

\ V и'/ в уравнении (9) принимается равным единице.

Перепишем векторные уравнения системы (8) в координатной форме с учетом (9):

1

р дх

■ + у

V ді

----- =-----------— + У

ді р ду

(д 2Гх д % } дх2 + ду2

%

дх

д% ду у

1

2т/ Л

дх2 ду2

ЗК дК

—-Кх —у К +g

дхх^у

ду

Рч А

ч

ч )

+ 6к(И -, ) +

+ Ъ-Ср(и-V)2 -^е

4<Рч

дКх дКу

дх

де

ді

ду

= О

( я2

= 7

д2Є д2е

екх еКу Аи

дх2 ду2) дх ду

и %

Продифференцируем первое уравнение по у, а второе по х:

(10)

1 д2 р р дхду

1 д2 р дідх р дхду

д V

ді ду

д 2V„

+ у

+ у

дх ду ду ) дхду

д 2К д%

и - хV

(д3У д3У )

дх3 дхду2

д V

дх2

-V. -

ду2 у

д V

----- V +7] g

дхду у

де

дх

дУ дVy

дх

де

ді

ду

= О

= 7

д2Є д2е

еvx еVy Аи

дх2 ду2) дх ду

(її)

Для исключения поля давлений вычтем из первого уравнения системы (11) второе уравнение:

^ дV 1 д2р 1 д2р ( д3^ д3^ ) (д3К, д3Г„ V

■ +-----— + у

д 2Ух

dtdy dtdx р дхду р дхду

d2V д2У д2Уу д 2Уу

у у +-у.у +

дхду х ду2 у дх2 х дхду

д3Ух д3Ух

- + -

дх2 ду ду3

-V

дх3 дхс)у2

уУу -ng^ .

дв

дх

После приведения подобных уравнение (12) примет вид:

(12)

д2Ух д2Уу

(

дtдy дtдx

= V

д3Ух д3Ух

+ -

д3Уу д3У„ )

дх2 ду ду3 дх3 дхду2

д2У д2У

х У _ х У + дхду х ду2 у

д У

' дх2

-Ух +-

д 2У

дхду

у У дв

Уу -ng—■

дх

(13)

Далее будем работать с двумя уравнениями, уравнением (13) и последним уравнением системы (11):

V д2К ( д3у дУ дV, д3К ^ дIV д2

х х

д 2Ух

дtдy дtдx

■ = V

д 2Уу

дх2

-Ух +

д 2У„

дх 2ду ду3

дв

дх дхду

д2У д У

х У _ х У дхду х ду2 у

—~У -ng—

дхду у дх

дв

дt

= Y

f д2 в д в

вУх вУу AU

дх ду I дх ду

Представим искомые поля в виде разложения в ряды по базису тригонометрических функций вида:

sin max sin n^y sin max cos n^y

cos max sin n^y cos max cos n^y (^

где

'=h .

і

= n = nc a~ R ~ ~h

m и n — целые;

с — отношение высоты ячейки к ее ширине (рис. 2).

У

h

(14)

На этом этапе необходимо четко представлять себе конфигурацию течения, что позволяет конкретизировать структуру разложения. Примем как известный из эксперимента факт наличие при определенных режимах вибрации контуров течения, похожих на ячейки Бенара в жидкости. Взяв одну ячейку, расположенную в

а 0 < x < R 0 < y < h

области , , можно счи-

тать течение периодически продолженным (рис. 2). В таком течении скорость воздушного потока должна быть четной функцией х и нечетной функцией у, то есть

ад ад

0(x, y, t ) = ^Y.Vmn (t )cos max sin nPy

m=0 n=0 (16)

Чтобы записать соотношение для компонент скорости по горизонтали и вертикали, необходимо заметить следующее.

R=h/c

дУх дУу

x

дх ду

= 0

Из условия непрерывности

V V

следует, что х и у должны выражаться через производные от одной и той же

¥( х у,г)

Рис. 2. К выбору структуры разложения решения в ряд по базисным функциям

функции

которая называется

к=-ди

функцией тока: ду

V =ÜE ' дх . Как

Vx

Далее, подставив выражения (16) и (18) в уравнения системы (14) и используя соотношения ортогональности для базисных функций, получим бесконечную систему

V K

уравнений для коэффициентов mn и mn . Так как работать с бесконечной системой невозможно, то получившиеся при этом ряды необходимо каким-то образом обрезать без ущерба для точности преобразований. Модель Лоренца получается,

к„

если считать существенными члены 11,

Vl1, V°2, их удобно обозначить, соответственно, через Х, Y и Z. Итак, мы полагаем

Vx = -Xв sin ax cos ву,

Vy = Xa cos a x sin в y,

9 = Y cosax sin ву - Z ^т2ву. (19)

Подставим эти выражения в первое уравнение системы (14):

dX dX

---в2 sinax sin ву +-a2 sinax sin ву = v(-Xa2 в2 sin ax sin ву - X в4 sinax sin ву -

dt dt v

- Xa4 sin ax sin ву - Xa2 в2 sin ax sin ву) + X 2aвъ sin ax cos ax sin ву cos ву -

- X 2aвъ sin ax cos ax sin ву cos ву + X2 a2 в sin ax cos ax sin в у cos ву -

-X2a2в sin ax cos ax sin ву cos ву + ngYa sin ax sin ву ■ (2q)

В полученном выражении все возникающие комбинации синусов и косинусов приводим

при помощи тригонометрических преобразований к суммам членов вида (15), а затем отбрасываем члены, отличные по структуре от единственной присутствующей в левой

qim /TV Clf) ft Л)

части комбинации вида . Приравнивая коэффициенты в левой и правой части,

получим:

ngYa

следует из рисунка 2, компонента должна быть нечетной по х и четной по у,

V

а компонента y - наоборот, четной по х и нечетной по у. Эти условия будут выполнены, если функцию тока представить в виде:

ад ад

y/(x, y, t ) = ^^Kmn (t) sin max sin nfiy

m=1 n=1 (17)

Тогда для компонент скорости имеем:

Vx (( y, t ) = XXKmn (t )nfisin max cos nPy,

m=1 n=1

ад ад

Vy (x, y, t) = XX Kmn (t) ma cos max cos nfiy.

m=1 n=1 (18)

X =

vX (a(+в)

Со вторым уравнением (14) поступаем таким же образом:

dY cos ax sin в y - dZ sinipy = / (-Ya2 cosax sin в y - Y p2 cosax sin в y + dt dt v +4Z p2 sin 2Py) + XY ap cos2 ax sin в y cos в y - XY ap sin2 ax sin в y cos в y -

- XZaP cosax cos в y sin 2Ру - 2 XYaв cos2 ax sin в y cos в y +

+XZoP cos ax cos вy sin2Py + 2 XZoP cos ax sin в y cos 2ву + Xa cos ax sin ву.

h

(21)

(22)

В левой части выражения (22) присутствуют две пространственные моды — комбинации

cosax sin в y sin2By ..

вида и , поэтому приравнивая коэффициенты в левой и правой частях

этого выражения, получим два уравнения:

Y = —Xa-yY (a2 + в2) + 2 XZoP h

z=XYap- 4Tzp*

(23)

(24)

Таким образом, нами была найдена система из трех обыкновенных дифференциальных уравнений для переменных Х, Y и Z. Чтобы с ней было удобнее работать, имеет смысл привести ее уравнения к безразмерному виду, используя методы теории подобия. Подставим в уравнения (22)-(24) выражения вида:

X = Ах Y = ву 2 = Cz і = Вт, (25)

где А, В, С, D — некоторые постоянные коэффициенты, получим систему уравнений:

Ах ПЯВуа

. -у Ах (а2+в)

Вт (а2 +в) 1 '

В- = ААи Аха - уВу ( + в) + 2 AxCzав

Вт И

Cz = АхВуа/З Вт ~ 2

- 4yCzв2

(26)

Несколько преобразуем данную систему, обозначив точкой производную по безразмерному времени т

BD паау

х =

А (а2 +в)

. Аи АВ у = —--------ха-

И В

АВВ

уВх (а2 + /32)

Вуу (а2 + в) + —СВВ авxz

В

z = -

2С

хуав- 4ВyzP

„ (27)

Подберем коэффициенты А, В, С, D таким образом, чтобы вид уравнений максимально упростился. Положим,

В =

1

ВВ ^¡а

—г--------т т-г = Г 2АСВ в = л

у(а2 + в2) А ( + в2) у ^ ав =1

АВВ

ав = 1

в ; 2С . (28)

Сочетая выражения (28) друг с другом, производя необходимые преобразования и сокращения, получим:

А =

У

(а1 +в)

В =

уу[а

(а1 +вг )3

ав . ПЕО1 в

;

Введем некоторые безразмерные параметры:

Лиа2пя V г =------------г ,

а=у; Пуу(а2 +в2) ; =

; ;

Тогда уравнения (27) примут вид:

х = а(у - х)

С =

4 в2

(а2 +в2 )3

уу[ а

2та в

а2 +в2 1 + с2

(29)

(30)

у = гх - у + xz Z = ху - bz

(31)

Выводы

1. Система уравнений (31) является моделью Лоренца. Она представляет собой динамическую систему с трехмерным фазовым пространством. Мгновенное состояние системы определяется набором трех переменных (х, у, z).

2. Физический смысл переменных, входящих в уравнения системы (31), сле-

дующий. Переменная х характеризует скорость вращения псевдожидкости в ячейке Бенара, переменная у характеризует изменение скорости воздушного потока по высоте слоя, переменная z характеризует отклонение вертикального профиля скорости воздушного потока от линейной зависимости. Абсолютную скорость движения материала можно полу-

чить, сочетая все три переменных одновременно.

3. Параметр с есть отношение эффективной кинематической вязкости к коэффициенту у, то есть у У У . Если провести аналогию с гидродинамикой, где знаменатель рассмотренного выражения является коэффициентом температуропроводности, то у при виброожижении сыпучего материала можно назвать «коэффициентом проводимости скорости воздушного потока» или, наоборот, «коэффициентом затухания скорости воздушного потока». Коэффициент у влияет на интенсивность изменения скорости воздуха по высоте слоя материала.

4. Параметр с в гидродинамике называют числом Прандтля, мы назовем его вибрационным аналогом числа Прандтля.

5. В гидродинамике существует такой критерий подобия, как число Рэлея, при определенных критических значениях которого в конвекционных потоках жидкости возникают ячейки Бенара. Число Рэлея записывается следующим образом:

я = а %^ЛТ

уХ , где X - коэффициент температуропроводности. Критическое значение числа Рэлея определяется по фор-

я =!£+£)

яс 2 ~

муле: с . Вибрационный ана-

лог числа Рэлея будет выглядеть следую-

я = ЛиПЕп

ЯВ

щим образом: у .

6. Параметр г, входящий во второе уравнение системы (31) и представленный в (30), есть не что иное, как отношение

Яс . То есть при значениях г <1 в вибро-ожиженном сыпучем материале не должно возникать циркуляционных потоков материала, подобных ячейкам Бенара в

жидкости, а при значениях г >1 такие ячейки должны появиться.

7. Параметр Ь, входящий в третье уравнение системы (31), определяется

размерами возникающих в материале ячеек.

Библиографический список

1. Блехман И.И. Вибрационное перемещение / И.И. Блехман, Г.Ю. Джанелидзе. М.: Наука, 1964.

2. Блехман И.И. Вибрационная механика / И.И. Блехман. М.: Физматлит, 1993.

3. Спиваковский А.О. Вибрационные конвейеры, питатели и вспомогательные устройства / А.О. Спиваковский, И.Ф. Гончаревич. М.: Машиностроение, 1972.

4. Федоренко И.Я. Анализ поведения сыпучей среды при вибрации на основе теории аттрактора Лоренца / И.Я. Федоренко // Известия Сибирского отделения АН СССР. Серия техн. наук, 1990. Вып. 3. С. 112-115.

5. Федоренко И.Я. Модели синергетики в технологиях перерабатывающих производств / И.Я. Федоренко // Вестник алтайской науки. Вып. 1. Проблемы агропромышленного комплекса. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2001. Т. 2. С. 119-125.

6. Федоренко И.Я. Самоорганизация и стохастичность в технологических машинах и аппаратах / И.Я. Федоренко // Техника в сельском хозяйстве. 1996. № 1. С. 24-27.

7. Членов В.А. Сушка сыпучих мате-

риалов в виброкипящем слое / В.А. Членов, Н.В. Михайлов. М.: Стройиздат,

1967.

8. Федоренко И.Я. Синергетические системы и поведение сыпучей среды под воздействием вибрации / И.Я. Федоренко, Д.Н. Пирожков / / Тр. 2-й Между-нар. науч.-техн. конф. Тобольск: Ново-сиб. гос. акад. водн. трансп., 2004. Ч. 2. С. 238-240.

9. Кузнецов С.П. Динамический хаос /

С.П. Кузнецов. М.: Физматлит, 2006.

356 с.

10. Федоренко И.Я. Критерии подобия гидродинамических моделей виброкипящего слоя сыпучего материала / И.Я. Федоренко, Д.Н. Пирожков // Вестник АГАУ. 2005. № 1. С. 105-108.

+ + +