Существование и единственность решения задачи оптимального управления для линейного нестационарного уравнения Шредингера с критерием качества Лионса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.97

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО НЕСТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА ЛИОНСА

© 2011 г. Н.М. Махмудов

Нахичеванский государственный университет, ул. А. Алиева, 1, Университетский Городок, г. Нахичевань, Азербайджан, AZ7012

Nakhichevan State University, Aliev St., 1, Campus, Nakhichevan, Azerbaijan, AZ7012

Задачи оптимального управления для систем, описываемых уравнением Шредингера, часто возникают в квантовой механике, ядерной физике, нелинейной оптике, теории сверхпроводимости и в других областях современной физики и техники. Поэтому исследование подобных задач представляется актуальным. Изучен вопрос корректности постановки задачи оптимального управления для линейного уравнения Шредингера с критерием качества Лионса, где управлением является неограниченный потенциал. При этом доказано существование и единственность решения рассматриваемой задачи оптимального управления.

Ключевые слова: оптимальное управление, уравнение Шредингера, критерий качества Лионса.

Problems of optimum control for the systems described, a a Schrödinger equation often arise in a quantum mechanics, the nuclear physics, nonlinear optics, the theory of superconductivity and in other areas of modern physics and technics. Therefore researches of similar problems it is represented actual. The problem of a correctness of statement of a problem of optimum control for a Schrödinger simple equation with criterion of quality of Lions where control is the unlimited potential is studied. Existence and uniqueness of a solution of a considered problem of optimum control is thus proved.

Keywords: optimal control, Schrödinger equation, criterion of Lions quality.

Задачи оптимального управления для линейного уравнения Шредингера с критерием качества Лионса часто возникают в квантовой механике, ядерной физике и в других областях современной физики и техники, в которых роль управления играет квантовоме-ханический потенциал в уравнении Шредингера [1, 2]. Ранее подобные задачи оптимального управления для уравнения Шредингера исследованы в [3-6] и др., когда управляющие параметры являются измеримыми ограниченными функциями.

В данной работе управлением является неограниченный потенциал. Подобные задачи в другой постановке ранее изучены в работах [7, 8].

Постановка задачи

Пусть D - ограниченная область п -мерного евклидова пространства En ; Г - граница области D , которая предполагается достаточно гладкой; T > 0 -заданное число; 0 < t < Т ; О, = D х(0, ,) ; 0 = 0, ;

= Гх(0, Г); х = (хь х2, •••,хп) - произвольная точка области D ; Ьр (D) - лебегово пространство измеримых функций, суммируемых по модулю со степенью р > 1 ; Ск ([0, Г], В) - банахово пространство, состоящее из всех определенных и к раз непрерывно дифференцируемых на [0, Г] функций со значениями

в банаховом пространстве В ; Шр (D), Шрк, т (о) -

Соболевы пространства функций с обобщенными производными порядка к > 0 по х и порядка т > 0 по ,, суммируемые по модулю со степенью р > 1 [9]. Ниже постоянные, не зависящие от оцениваемых величин, обозначены через М^, ] = 1,2,... .

Рассмотрим задачу о минимизации функционала:

Jа (v) = J ||i (x, t) - у2 (x, 112dxdt + a\|v -

Q

ip

\lp (d)

(1)

на множестве

V = jv = v(x): v e Lp (d\ ||v|L (D) — b, p > 2j при условиях:

ih ^^ + a0A ik - a(xlk - v(x)| = f (x,t),(x,t) e Q > (2)

dt

у к (x,0) = q>k (x), x e D,k = 1,2 ;

ills = 0

ду2

-v

= 0:

(3)

(4)

S

где i = -1 ; Д - оператор Лапласа; h = h/2ж ;

a0 = -—; h - постоянная Планка; m - масса элемен-2m

тарной частицы; а > 0, b > 0 - заданные числа; Wk = Wk (xt),k = 1,2 - волновые функции; v(x) - потенциал взаимодействия частиц с внешним полем, играющим роль управления; a(x) - вещественно-значная измеримая ограниченная функция, удовлетворяющая условию

о

0 < j < a(x)< Vx е D, ¿Uq, j = const > 0. (5) Функции q>k = q>k (x), fk = fk (x, t), k = 1,2 - заданные комплекснозначные измеримые, удовлетворяющие условиям " 2

cpieW 2 (D), cp2 eW22 (d) ,

dv

= 0,

г

fk eW20,1(Q), k = 1,2,

(6)

а е Ьр (р), р > 2 - заданный элемент; V - внешняя

нормаль границы Г.

Задачу определения функций у к = у к (х/) = Ук (х/; у) из условий (2)-(4) при V еК назовем редуцированной. Под ее решением будем понимать функции У1 =щ(х/) и у2 = У2 (х/) , принадлежащие

( о 2 ^

Б1 = С0 [0, Т], W 2 (Р)

п с1 ([о, t], l2 (d)) и

B2 =

С0 (о, T] W22 (D))n С1([0, T], L2 (d))

t)

1ю2 (d)

dy^, t)

dt

<

l2 (d)

< Ml(lb1l w02 (d)+I /ill w20,1 (Q)l' Vt e[0, T ] '

(7)

lb (• t)

W22 (D)'

9b2 (•, t)

St

l2 (d)

< M2

w22 (d)'

2 w^

(Q)

Vt e [0, T].

(8)

ционала J0(v) = ||b1 -b\L2(Q).

Пусть ¿V е Ьр (р) - приращение управления

V е V , такое, что V + Р е V . Тогда Ук (х, /; V), к = 1, 2 -

решение краевой задачи (2)-(4) при V е V - получит приращение

¿Ук = ¿Ук(х, /)=Ук(х, /; V + Р)-ук(х, /; v), к = 1, 2 . Из (2)-(4) следует, что эти функции являются решением следующей краевой задачи:

ih

dSbk dt

+ a0 ASbk - a(x]Sbk - (v + sv)syk =

2 (р)) и удовлетворяющие условиям (2)-(4) почти всюду. Из (2)-(4) ясно, что для функции У1 = у1(х,г) (2)-(4) является 1-й,

для у2 = У2 (х/) - 2-й краевой задачей для уравнения Шредингера вида (2).

Отметим, что 1-я краевая задача для уравнения Шредингера с потенциалом из Ьр (р), р > 2 , ранее

изучена в [7] для однородной правой части уравнения (2), и потенциал взаимодействия v(x) удовлетворяет дополнительному условию v(x) > 0, х е Р . Поэтому необходимо изучить корректность постановки редуцированной задачи (2)-(4) на множестве допустимых потенциалов-управлений V из Ьр (р) и вывести необходимые априорные оценки для ее решения. С этой целью, используя метод Галеркина, доказана

Теорема 1. Пусть функции

я(х), срк(х), /к(х, /), к = 1, 2,... удовлетворяют условиям (5), (6). Тогда для каждого V еV при

2 < р < п < 3р редуцированная задача (2)-(4) имеет

единственное решение У1 е Б1, у2 е Б2 и справедливы оценки

= SSv(x)ik, (xt) e Q'

Syk (x,0) = 0, x e D, k = 1,2,

SU s=0, S2-

=0,

(9)

(10)

где у к = у к (х, ,) = у к (х, /; V), к = 1, 2 - решение краевой задачи (2)-(4) при V е V .

Оценим решение краевой задачи (9), (10). С этой целью обе части уравнения (9) умножим на функцию дук = дук (х/) и проинтегрируем по а,. Тогда

J

qt

ih• Sbk -aV|k\2 - a(x\Syk\2 -(v + Av)s|kI

хСхСг = \д^Ук •дукСхСг а,

для V/ е [0, Т], к = 1, 2 . Вычтем из этого равенства

его комплексное сопряжение. Используя неравенство Коши-Буняковского и лемму Гронуолла, получим неравенство

РУк ^ С (р)< мъ\\\уь2 (р) аг, к =1,2. (11)

Оценим правую часть (11)

!Их)Ук(х,^2Сх < М1р(р)1|Ук(-, {]\12р (р),

р-2

V, е [0, т], к = 1, 2. (12)

Нетрудно установить справедливость следующих неравенств:

1С, tЛL^(D)<M4|И' t)W2(D),

p-2

У2 k 11L 2 p (D)< M5l У2 kt Л W22 (D)

2p p-2

(13)

для V/ е [0, T], при 2 < p < n < . С их помощью и

Корректность задачи оптимального управления

Изучим корректность постановки задачи (1)-(4). Сначала покажем, что при а > 0 она имеет единственное решение.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, а е Ьр (р) - заданный элемент. Тогда существует

плотное подмножество О пространства Ьр (р), р > 2, такое, что для любого а е О при а > 0

(1)-(4) имеет единственное решение.

Доказательство. Докажем непрерывность функ-

оценок (7), (8), из (11), (12) получим справедливость оценки:

№ki tJl 12(D)< M7|HIL2(D) ,

Vt е [0, T], k = 1,2. (14)

Рассмотрим приращение функционала J00 (у) на элементе у eV . Очевидно, имеет место равенство:

J0 (у) = J 0(у + 8у)" J 0 (у) =

= 2 j Re[(y 1 (x, t) - у 2 (x, t)) • (S^i (x, t) - 5^2 (x, ty]lxdt + Q

+\ы\L (Q)+\5У 2i L (Q)- 2 i Re(syi(x, t )5У2(x, t ))dxdt.

2

X

2

+

<

С помощью неравенства Коши-Буняковского и оценок (7), (8), (14) нетрудно установить справедливость неравенства \ЗГ0 И < М8 (|ИЬр (д) +N12Ьр (д)

из которого следует непрерывность функционала Jo (у) на любом элементе V е V , т.е. на множестве V , которое является замкнутым, ограниченным и выпуклым множеством пространства Ьр (д). Кроме того,

Ьр (д) , 2 < р <+да - равномерно выпуклое [10,

с. 182], J0 (у)> 0 , Уу е V . Тогда в силу известной теоремы о существовании и единственности решения невыпуклой оптимизации [11] существует плотное подмножество О пространства Ьр (д) , 2 < р < +да ,

такое, что для Ую е О при а > 0 задача (1)-(4) имеет единственное решение. Теорема 2 доказана.

Докажем, что при любом а > 0 задача (1)-(4) имеет хотя бы одно решение для любого

ю е Ьр (д), 2 < р <+да .

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для любого ю е Ьр (д), 2 < р < +да , задача (1)-

(4) при а > 0 имеет хотя бы одно решение.

Доказательство. Возьмем минимизирующую для

функционала (1) последовательность ут }е V

lim Ja (vm) = inf Ja (v) = Ja*.

veV

Ihm G t)[

w 2 (d) '

t1 w22 (d)

dt

d¥2m t)

< Mq

l2 (d)

dt

< M

l2 (d)

10 ,

(15)

торые для простоты изложения снова обозначим через {укт}, к = 1,2 . Подпоследовательности {укт} ,

j = 1,и , , , j,,=хп

dt

dxj dxs

к = 1, 2 при т ^да слабо в Ь2 (д) сходятся к функ-

д¥к д 2¥к

dyk . --

циям , —k , j = 1, п

dx ,■

dt

dxj dxs

у, 5 = 1, п У , е[0, Г].

Нетрудно проверить, что предельные функции у к = у к (х,,), к = 1, 2 удовлетворяют уравнениям (2) для почти всех х е Б и для каждого , е [0, Г]. Действительно, для подпоследовательностей {ум}, к = 1, 2 можно написать тождества

/ т ^^тМ + ^Ду к" - я(х)у кт(х,,)-

D

dt

- Vм (х)укт(х,,)- / (х, (х)оХ = 0, (17)

к = 1, 2 , т = 1,2,..., У, е [0, Г] для любых функций % е Ь 2р (д), и условия:

^-1

¥km(x,0) = % (x), x е D,k = 1,2,

Положим Укт(х,,) = у к (х,,; у), к = 1, 2. Поскольку {т }с V, то краевая задача (2)-(4) при условиях теоремы 1 имеет единственное решение У1т е В1 , у2т е В2, причем справедливы оценки:

д¥1т (%,)

m\S

= 0.

d^2n

dv

= 0, m = 1,2,....

(18)

У,е[0, Г], т = 1, 2,... , где постоянные М9,Мш обозначают правую часть оценок (7), (8) соответственно.

Поскольку V - замкнутое, ограниченное и выпуклое множество рефлексивного банахова пространства Ь (р), 2 < р < +да , оно слабо компактно и слабо замкнуто в нем. Поэтому из последовательности {гт } можно извлечь подпоследовательность, которую для простоты изложения снова обозначим через {гт }, у" ^ V слабо в Ьр (д) при т ^да и V е V . Следовательно, справедливо следующее предельное соотношение: | Vм (x)q(x)dx ^ | у(х^(х)ск, т ^ да,

Уq е (д). (16)

р-1

Из оценок (15) следует, что последовательности {укт}, к = 1, 2 , равномерно ограничены в нормах пространств В1 и В2 . Тогда из этих последовательностей можно выделить подпоследовательности, ко-

Используя компактность вложения пространств

о

Ш22 (д) и Ш22 (д) в пространство Ь 2р (д) при

р-1

2 < р < п < 3р/2 [9] и предельное соотнощение (16),

нетрудно доказать справедливость предельного соотношения:

|V" (х)укт(Х, ,)йк ^ |У(х)ук (х, ,)% (Х№ , (19) к = 1, 2 при т ^ да для любых функций

Лк е Ь 2р (д) >к =1, 2 и для каждого , е

[0, Г] .

р-1

В силу свойства сходимости последовательностей {Укт}, к = 1, 2, в В>1 и В2 и предельных соотношений (19), из интегральных тождеств (17) с осуществлением предельного перехода получаем, что предельные функции у к = У к (х,,), к = 1, 2 , удовлетворяют уравнениям (2) при почти всех х е д и для У , е [0, Г] . Далее, используя условия (18) и действуя, как и в [7, 8], устанавливаем, что предельные функции у к = у к (х,,), к = 1, 2 , удовлетворяют начальному условию (3) для почти всех х е д, краевым условиям (4) - для почти всех ,) е 5.

Таким образом доказано, что функции у к = у к (х,,), к = 1, 2 , являются почти всюду решением редуцированной задачи (2)-(4) при V е V , и в силу теоремы 1 эти решения принадлежат В>1, В2, т.е. ук = ук (х,,) = ук (х,,; V), к = 1, 2.

S

+

Ввиду того, что пространства Б1 и Б2 компактно вложены в Ь2 (а), имеем Ут ^ у к сильно в Ь2 (а), к = 1, 2 при т ^ да (тем более слабо в Ь2 (а)). Используя это и слабую непрерывность снизу норм Ь2 (а) и Ьр (р) , р > 2 , при а > 0 получаем, что

Jа(v) слабо полунепрерывен снизу. Поэтому

■7а* < •1а(У)< ^ -1 а ) = ■7а* .

т^да

Отсюда следует, что V е V есть решение задачи оптимального управления (1)-(4) для любого а еЬр(р),2 <р < +да , и а >0. Теорема 3 доказана.

Литература

1. Бутковский А.Г., Самойленко Ю.И. Управление кванто-

вомеханическими процессами. М., 1984. 256 с.

2. Воронцов М.А., Шмальгаузен В.И. Принципы адаптив-

ной оптики. М., 1985. 336 с.

3. Искендеров А.Д., Махмудов Н.М. Оптимальное управле-

ние квантомеханической системой с критерием качест-

Поступила в редакцию_

ва Лионса // Изв. АНА. Сер. физ.-тех. мат. наук. 1995. Т. XVI, № 5-6. С. 30-35.

4. Искендеров А.Д., Ягубов Г.Я. Вариационный метод ре-

шения обратной задачи об определении квантовомеха-нического потенциала // Докл. АН СССР. 1988. Т. 303, № 5. С. 1044-1048.

5. Ягубов Г.Я. Задача оптимального управления для уравне-

ния типа Шредингера // Численные методы и математическое обеспечение ЭВМ. Баку, 1984. С. 116-125.

6. Ягубов Г.Я. Оптимальное управление коэффициентом

квазилинейного уравнения Шредингера: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Баку, 1993. 318 с.

7. Искендеров А.Д. Определение потенциала в нестацио-

нарном уравнении Шредингера // Проблемы математического моделирования и оптимального управления. Баку, 2001. С. 6-36.

8. Iskenderov A.A. Identification problem for the time-

dependent Schrodinger type equation // Proceedings of the Lankaran State University. Lankaran, 2005. P. 31-53.

9. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической

физики. М., 1973. 408 с.

10. Иосида К. Функциональный анализ. М., 1967. 624 с.

11. Goebel M. On existence of optimal control // Math. Nachr.

1979. Vol. 93. P. 67-73.

20 июля 2010 г.