Оценка скорости сходимости разностных аппроксимаций по функционалу в задаче оптимального управления для линейного уравнения Шредингера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

ОЦЕНКА СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ РАЗНОСТНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ПО ФУНКЦИОНАЛУ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

ESTIMATION OF SPEED OF CONVERGENCE DIFFERENCE APPROXIMATIONS ON FUNCTIONAL IN OPTIMAL CONTROL PROBLEM FOR LINEAR SCHRÖDINGER EQUATION

1. Постановка задачи

В этой работе рассматривается задача оптимального управления для линейного уравнения Шредингера с критерием качества Лионса, и к этой задаче применяется разностный метод. При этом устанавливается оценка скорости сходимости разностных аппроксимаций по функционалу в рассматриваемой задаче оптимального управления. Подобные исследования ранее проведены в работах [1 - 5] для задач оптимального управления для уравнения Шредингера в другой постановке. Отметим, что ранее в работе [б], изучен вопрос сходимости разностного метода решения задачи оптимального управления для нелинейного уравнения Шредингера, где множество допустимых уравнений состоит из квадратично суммируемых функций. При этом, в отличие от настоящей работы, установлена оценка сходимости разностных аппроксимаций по функционалу.

Рассмотрим задачу о минимизации функционала:

Н.М. Махмудов

N.M. Mahmudov

В этой работе устанавливается оценка погрешности аппроксимации и скорости сходимости разностных аппроксимаций по функционалу в задаче оптимального управления для линейного уравнения Шредингера с критерием качества Лионса.

Ключевые слова: разностный метод, уравнение Шредингера, критерии качества Лионса, сходимость по функционалу

In this work the estimation of an error of approximation and speed of convergence of difference approximations on functional in an optimal control problem for a linear Schrödinger equation with Lions’ criterion of quality is established.

Keywords: a difference method, a Schrödinger equations, Lions’ criterion of quality, a convergence on functional

(1)

n

на множестве V виях

{.=

= у(х) : V € (О, X), \ь(х)\ < Ьа,

с1у(х)

ёх

< Ь\, \/х е (0, /) > при уело-

г-д~ + «о- а{х)фр - ь(х)фр = /р(ж, ¿), (ж, ¿) е О,

фр(х, 0) = <рр(х), р = 1, 2, ж € (О, О,

■01(0, г) = фг(1, £) = 0, г € (О, Т),

002(0 ,*)_^2(и)=(}; 4е(0>п

(2)

(3)

(4)

(5)

дх дх

где г2 = —1, ао > 0, Ьо > О, Ь\ > 0 - заданные числа, О. = (0, ¿) х (О, Т), а(ж) - ограниченная измеримая функция, удовлетворяющая условиям

О < /хо < а(х) < /хх,

<1а{х)

¿х

о

< Ц2, Ухе (О, I),

(6)

а функции (рк{х), 1к{х, ¿), к = 1, 2 удовлетворяют условиям:

VI € ^23(0, 0, ^х(О) = VI(1) = ¥>"(0) = VI(0 = о,

.. игЗ/п /X ^2(0) (О _п

9?2 е 14^2 (0, /), —7— = —7— = о,

1.1

Леж2 («). /2е^1Лй.

с?ж «¿ж

д2/2

дхдЬ

еЬ2(П), р= 1,2,

(7)

(8)

/хг > 0, г = 0, 2 - заданные числа.

Задачу об определении функций фк = фк(х, ¿) = фк(х, и) из условий (2) - (5) при V ЕУ назовем редуцированной задачей. Под решением этой задачи будем понимать функции ф\ = ф\(х, <) и ^2 = 02(ж, ¿), принадлежащие 51 = С0 ([О, Т], И7! (О, /)) П С1 ([О, Т], 1/2 (0, /)) и .В2 = С0 ([О, Т], И7! (О, /)) П С1 ([О, Т], ¿2 (0, /)) соответственно и удовлетворяющие условиям (2) - (5) почти всюду. Из (2) - (5) ясно, что для функции ф\ = ф\ (ж, ¿) задача (2) - (5) является первой краевой задачей, а для Ф2 = '02 (ж, /<) второй краевой задачей для уравнения Шредингера (2).

Исходя из результатов работ [2, 3] можем установить справедливость утверждения:

Теорема 1. Редуцированная задача (2) - (5) имеет единственное решение ф\ £ В\, 02 € £2, и верны оценки:

ИФЛ-, *)11

+

1^2(0, О

!|02(-> 011^(0,г) +

дф2(-, ¿)

00г(-, *)

а*

< М1 | ||</?1|| о2 + ПЛ 1 ’

¿2(0,0 V ^2(0,г) /

<м2 (11^11 02 + И/гЦ^Мт) )

¿2(0,0 \ ^2(0, о у

(9)

(10)

\/£ € [О, Т], где Мх > 0 и М2 > 0 - постоянные не зависят от <£к, /к, к = 1, 2.

Из условий (6) - (9) ясно, что функции а(х), <Рк(%), /& (ж, 2), к = 1, 2 являются более гладкими. Поэтому при V £ V с помощью результатов работы [3] можем установить справедливость и следующих оценок:

т-

(•» ОН

+

^2(0, О

5^1 (•, г)

а*

+

¿2(0,0

<9201(-, *)

дхд1

<

¿2(0,0

<Мз |Ы|02 +Ц/1Ц01’1 +

V 1^2(0,0 ^2 (П)

52/1(‘, <)

дх(П

¿2(0,0,

, (И)

1102(', ¿)|1ту23(0,0 +

дф2{-1 ¿)

+

¿2(0,0

д2ф2(-, ¿) дхд1

<

¿2(0,0

<

д2/2(-, *)

дхск

¿2(П),

(12)

для V* е [0, Т], и^2(0,0 = и7! (о, 0П^2(0, 0, где Мз > 0 и М4 > 0 — постоянные не зависят от <рк, /к, к = 1,2.

С использованием результатов работы [2] можем утверждать, что имеет место:

Теорема 2. Задача оптимального управления (1) - (5) имеет хотя бы одно решение.

Произведя дискретизацию при каждом натуральном п > 1 рассмотрим задачу о минимизации функции:

N М-1

1п(Ш = тн'£'Е\*1»-*2»\2 (13)

к=1 з=1

на множестве Уп = {[«]„ :[«]„ = (г>ь у2, ..., Ум-г), ^ < Ь0, j = 1, М - 1, |<5^| < 61,

j = 2, М — 1} при условиях:

+ = ; = 1, М - 1, к = ТЖ (14)

Ф^0 = (^, ¿=0*, Р=1,2, (15)

Фо* = Фд^ = 0, к = 1ГМ, (16)

^г^1А; = ^я^мк = 0) к — 1, И, (17)

где сеточные функции а-7, /^, р = 1, 2 определены следующими формулами.

(18)

ь3 2

^-г 2

^ J (рр(х)ёх, ¿ = 1,М-1, р= 1,2, = = 0, ^1 = (^м = 0> (19)

^к = ~ь I J ¡р{х^)ёх<И, 3 = 1, М-1, к = 1, ЛГ, р=1, 2.

(20)

^-1 Ху - ^

Эти функции определены на сетке

/г

{(^ ^)„Ь п = 0, 1,2,..., Ху=зН-~, гк = Агт,.? = 1, Мп - 1, /г = 1,

/) — Ь — ———— -г — т — —— А-й>р — .7« 1 х лР _ .?« ^ 1«

Л п_М„-1’ П-ЛГП’ г ’ *

Фр , , - Фр,

к- — фр — 2ФР -I- Фр

.7 + 1/г .? к £ ^ .?+1 к jk ’ з-1к

их~*Эк ~ н > - к2

/г

, р = 1,2.

Здесь верхний индекс не является степенью. Обозначим М = Мп, ЛГ = _ЛГ„.

Следует отметить, что задача об определении сеточной функции Фрк = Фрк ([г>]га) при каждом [ьп] £ Уп из условий (14) - (17) является разностной схемой. Подобная разностная схема для нелинейного уравнения Шредингера изучена в работе [2]. Из этой работы в частном случае следует:

Теорема 3. Для решения разностной схемы (14) - (17) при [и] £ Уп верна оценка:

М-1 п / М-1 0 N М-1

2

2

К* Ь р = 1’2 (21)

3=1 У 3 = 1 к=1 3=1

для любого т £ {1,2,, Л'"}.

2. Оценка погрешности разностной схемы

Основной целью настоящей работы является установление оценки о скорости сходимости разностных аппроксимаций по функционалу в рассматриваемой задаче. Поэтому сначала оценим погрешность аппроксимации разностной схемы (14) - (17). С этой целью рассмотрим следующие усреднения решения редуцированной задачи (2) - (5), при V £ V:

хз~^ \

[фр (х,р,у)]п = = \ J Фр{х,гк)йх, 3 = 1, М-1, к = 1, ЛГ,

™

х3 2

^0 = ^, 3=0, М, р= 1,2,

"Фок = Фмк = 0) 'Фок = Фмк ~ 'Ф‘м-1к1 к = 1, N. (22)

Определим оператор <3п на множестве V формулой:

хз + %

<2п(ь) = {т^}, Щ = ^ I и(х)(1х, j = l,M-l. (23)

ГЛ . _ ^

х3 2

Обозначим [%р]п = = {^Р]к} — |ф1’к|■ Ясно, что 1г1’к} будет решением следующей

системы:

г81грк + а05х^к-а^рк-У:}грк= Ррк, j = 1, М - 1, к = 1, ЛГ, (24)

4 = 0, з=ЪГМ, р = 1,2, (25)

г0к — гМк = 0? к = 1) М, (26)

$х%1к = $х%Мк = 0, к = 1, IV, (27)

где

Ч Х3+2

Т?р

гзк

= ^ У J {а°~д^ ~ а(х)Ф>р ~ у(х)'Фр^ + юз'ф% - ао&ххФ]к + а3Ф%,

*3 2

3 = 1, М-1, к = 1,Ъ р= 1,2. (28)

Теорема 4. Пусть выполнено условие согласования: со < р- < с\, где со, с\ > 0 - постоянные, независящие от кит. Тогда верны оценки:

м-1

3=1

\гр-

\ Зт

< М6 (т + Н + ||<5П (и) - Мп||2) , р = 1,2,

(29)

для Vт Є {1, 2,... ,Ы}, где

М-1

11<3п («) - м

.7=1

1^' -ЧЛ

(30)

Доказательство. Аналогично получению оценки (21) можно доказать справедливость оценки:

М-1 . 2 N М-1

Н 12 4"

І=1

¿М’ЕЕ|Р#

&=1 і=1

, р = 1, 2,

(31)

Уш € {1,

Используя формулу (28), сеточную функцию Р?к можем представить в виде

рр _ рРІ I рр2 , Е,рЗ _ | 2

І* З* І* зк ’ Р —

(32)

где^1, определены формулами,

рР1 _ _________

>к тк

1г / / ~ ао<^^

(33)

*4-1

р!к = / J а(х)Фр (ж> *) І = 1> м - 1» к = 1, И, р = 1,2, (34)

**=-1 ж,'-#

а Ррк определяется формулой

% х)+ 2

Используя формулу (34) и (18), можем установить справедливость неравенств:

рг>3

2 < 2/х|т

ік Х3+2 //

дфр (ж, ¿) дь

¿хді +

2ц\к

3 2

^ ^+2 //

^к—1 х 4 — 4

(ж, ¿)

дхсіі,

І = 1, М-1, л = 1, ІУ, р = 1,2. (36)

С помощью леммы Брэмбла - Гильберта [7] можем получить следующие неравенства:

\Fjkl <М%айЬ^т 2

3~ 2

II

д3ф\

дх3

с1хсИ

+

1 _1 + щт2к 2

tк ^+1+2 / /

_ ^к~1хз+1-^

д2ф\ (ж, ¿) д2ф\ (х — к, £)

дхд1,

дхсН

(1х(И

+

/

+

( tk Х3 +1

II

\*к-1Х;-Ь

д2ф\ (х, ¿) д2ф\ (х — И, ¿)

дхд1

дхсИ,

2 у <1х(И

(37)

1-^1 < М^аок^т 2

II

д3ф2

дх3

с1х<И,

+

г* ^+1+1 / /

д2ф2 (ж, ¿) д2ф2 (ж - /г, г)

1

V

0x01

0x01

(1х(И,

+

( ч хз + % д2ф2 (ж, ¿) д2ф2 (ж - к, г) <Эж<9£ <Эжд£ 1 - 2

+ / I 2 \ I

^*-1 л3 2 /

, ^ = 2, М - 1, к = 1, ЛГ. (38)

Далее с помощью формулы для сеточной функции ; = 1, М- 1, к = 1, ТУ, р = 1, 2 имеем:

.РА! I < 2аот г к г

“Ь -М^19Т 2

II

\tk-i хг-%

( Ч

[I

\tk-i

д2фх (ж, г)

дхдЬ

д2ф1 (■, О

+

II

\*к-1 Ж1-|

д2^1 (ж, ¿)

\ 2

дхШ

(1х(И,

+

дх2

+

¿2(0,0

¿>3У>1 (-, *)

дх3

¿2(0,0.

\ 5

ей

+

+ Мцт 2/г2

*к Х1+2 _ . .2

(1х(И

II

\Jfc-i Я1-|

53^1 (ж, £)

дж3

, А; = 1, ЛГ, (39)

рм-1к\ < 2а0тг/1 а

0x01

\к~1

+

/

+

гк %М-2+2 / /

У*-1 ЖМ_2-|

д2фх{х,

\ 2

0x01

(1хсИ

ь2(о,/)

+

+ М12г 2

(•, *)

а#2

+

¿2(0,0

д3^1 (•, *) дх3

2

¿2(0,0]

ей

+

У

_1 1 + М13Г 2^2

4* ^М-2+1 \ 2

|^3^1(ж, <)1

/ /

\Jfe-l ЖМ_2-|

(ЬхМ

, к = 1, АГ, (40)

< 2<М)Т^Ь, 2

¿к *2+2

д2ф2(х, ¿)

0x01

(1х(Л

2 ( гк ^1+1

+

/

д2ф2(х, *)

А

(1хй1

+

+ М14Т 2/12

** Ж1 + ^, ч .2 ^ *

03ф2 (х, ¿)

1к~ 1 Ж1-|

5ж3

(1х(М,

к = 1,Н, (41)

рм-1к <2аот2/г 2

( гк хм-1+2, о ^

д2ф2(х, г)

0x01

йх(И

+

+

Ьк Хм-2+2

/ /

\Jfc-l ХМ-2-%

\ 2

д2ф2(х, ¿)

дхШ,

(1х(И

+

+ М15Т 2/12

гк хм-1+| \

г [ дгф1(х, г)'2

] У 5ж3

ёхйЬ

к = I, N. (42)

С помощью формулы (35) для Р?к, j = 1, М — 1, А; = 1, ЛГ, р = 1, 2 получим:

Ък 4+2 Ч 4 +1

~ / / (у(г)фр(х, г) - ук-фрк^ (1х(И = — ! J Ф^к(у^) -ьк)йх<и+

рръ

' зк

1 Х-]

'3 2

гк-1х,-^ *к 4 + 1

Учитывая, что [г?]«. Е Уп, V Е V, имеем:

tk 4 + 1

рР2

рзк

<

Цк

ёх<а,

1

¿ = 1, М-1, к = 1,К, р = 1,2. (44)

Теперь рассмотрим разность фр{х, ¿) — фрк, р = 1, 2. С помощью формулы (22), (23) можем написать следующие равенства:

Ж?' +

2

4+2 Г гк

^ J {Фр{х, *) - (С, **)) d£=Jlf J

4'-|

Тогда из (44) получим

! I дфрЬ, *)йг]

д$

т.-к и

4 2

дг)

<%,р = 1,2.

рР2

Зк

<

№

}к

1 /ТГ■ . _____________ Л> .

й 1 Х3 2 Х3 2

дфр(£,#)

+

/

дфр (»7, #)

077

ёг]

Ф7-

Зк

I™к - +

+

07?

Ьрт/т

\/к

Ьоу/Ъ,

М+

( *к 4+1 //

^+1 ( гк 4 + 1

II

^+14-|

07/>р(ж, ¿)

0£

<1х<И

+

дфр(х, г)

дх

\

(1хгИ

. (45)

В силу формулы для фрк имеем:

(

ф\

Зк

<

4 4+2

II

\ifc-i 4-&

00р(ж, ¿)

дЬ

+

йхсИ

+

л//г

| 2

J \Фр{х, *)|

\ 2

дх

, р = 1,2, ¿ = 1, М-1. (46)

\4“|

Используя эти неравенства, имеем:

м-1

^Е И*

3 = 1

2 < 2 { дфр

“ 1 дЬ

Ьоо(0,Т;Ь2(0,0) Отсюда в силу оценки (9), (10) имеем:

М-1 /I ^

з=1

< М16, р = 1,2, А; = 1, ./V.

Учитывая (48) в (45) и в силу оценок (11), (12) получим

(48)

N М-1 . 2 Я

г/г Е Е - Шпт ^ \тк -ук\2 + зьо ( т2 к=1 ,3=1

/г=1

дф 2 + /12 дф

Ь2(П) дх

<

<

м18(т2-Л2+ !№„(«)-МЛ2), р = 1,2. (49)

С помощью условия согласования шагов сетки и оценок (11), (12) из неравенств (36) (42) получим справедливость неравенств:

N М-1 2

гЛЕЕИ? -М19(г + /1)> Р = 1,2,

&=1 Д = 1

Я М-1 „

т/*ЕЕ|^3| <М2о(г2 + /12), р = 1,2.

&=1 з=1

(50)

(51)

Таким образом, используя неравенства (49) - (51) и формулы (32), получим справедливость неравенства:

N М-1

гЛЕЕИ** < М21 (т - Ь + \\Qniv) - , р = 1,2. (52)

к=1 з=1

Учитывая (52) в неравенстве (32) получим справедливость утверждения теоремы. □

3. Оценка скорости сходимости разностных аппроксимаций по функционалу

Теперь установим оценку о скорости разностных аппроксимаций по функционалу. С этой целью сначала оценим разность исходного функционала и дискретной функции.

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4■ Тогда для любого V € V и [г>]„ € V имеет место оценка

И«) - 1п (Мп)| < М22 (ут + \Гк + \\Qniv) - И„||) , П = 1, 2,...,

(53)

Доказательство. Используя формулу (1) и (13), имеем:

!•/(«)--ММп)| <м23

\ *

+

№ М-1

4ь_1 ~Л К 1 Х1 2

+

\

/ / МЖ’ <)-Ф?*|2

(1х(М,

-М24 (1/1 + </2) ■ (54)

С помощью формулы для ^ имеем

N М-1

N М-1 ** а:-'1’2 ^

(Л)2 < 2 ЕЕ / / |01(ж, ¿) — 0^|2е?ж<й + 2г/г ЕЕ |0]*-Ф)*|2 = .7ц + 712. (55)

к=1 3=1

£к-

Й=1 ¿ = 1

В силу утверждения теоремы 4 имеем:

«/12 < М25 (т + Н + ||<Эп(^) - Нп||2) • (56)

Рассмотрим разность ф1-к — ф±(х^ £). Тогда с учетом формулы (25) имеем

*3 ‘ 2 *3 1 2

^ **)<*£-01 (®, <) = ^ J (01 (£, **) -01 (я, *))<*£

1

Л

Г>+2 Г Ч

¡[!

._Л Л

$

0т/

(57)

Если это учесть в формуле для слагаемого «7ц, то имеем

</ц

7\Г Д4_1 *к Х3+2 ( Х3+2 Ч

к=1 3=1 Ч-- ь ь+- -

001 (£, 0)

+

1 ж,- — ^ ж

001 (г/, *)

00

\2

<Ш£+

и /

ж; 2 2

В силу оценки (11) отсюда получим

Ах < М26 (т2 + /г2) .

Тогда, складывая (56) и (57), получим

ш2 < М27 (т2 + /г2 + т + к + ||д„(г>) - НИ2) .

Серия «Математическое моделирование и программирование», вып. 6 63

дг/

с1хсИ < 4к2

001

дх

+ 4т2

/

¿г(П)

001

дг

Ь2(П)

. (58)

(59)

(60)

Аналогично получим следующее:

№)2 < М“2& (т2 + Н2 + г + /г + \Шу) — Н||2) . Отсюда и из (54) получим утверждение теоремы.

Теперь приведем две вспомогательные леммы.

(61)

□

Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 5. Пусть, кроме того, оператор С^п определяется формулой (23). Тогда С}п(у) ЕУп и имеет место оценка

- !п (<ЭпИ)| < М29 (л/т + у/К) , п = 1, 2,....

(62)

Доказательство этой леммы проводится с использованием утверждением теоремы 5. Пусть оператор Рп определяется формулой

Рп (Мп) = Нх),

(63)

где

ь(х) =

¡1

к

Хч — — < X < Хп + —, 7 = 2, М — 1 2

Щ + хз 2 J ’ 2 — л — Л'3 ' 2

п, к

VI,XI - П- < х < х 1 + 2'

(64)

Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 5. Пусть, кроме того, оператор Рп определяется формулами (63), (64). Тогда Рп ([«]„) £ V, и имеет место оценка

I«/ (Рп (Мп)) - 1п ([«]п)| < М30 (у¥ + л/л) , п = 1,2,....

(65)

Доказательство. С помощью формул (63), (64) и структуры множества V нетрудно установить справедливость соотношения:

Рп (М„) е V.

Поэтому в теореме 6, вместо V выбирая у(х) = Рп (¡г>]п) и проведя доказательство, получим справедливость оценки

№ (Рп (Нп)) - 1п (Ип)| < м31 (ут + \//г + ||<5П (и) - Н„||) , п = 1,2,.... (66)

Ясно, что

М-1 М-1

I Яп (V) - Ш\2 = \щ - ^'|2 = /г ^

з=1 3=1

хз +1

1 /■

— I Ъ(х)да

М-1

3=2

/

х — — — | дх

гр . _____

х3 2

М-1 = *£

3=2

~2Л

х — х* — — 3 2

сз~ %

<

Отсюда получим Учитывая данную оценку в (66), получим утверждение леммы.

Юп (у)-Ш<^ь.

□

Теперь приведем теорему о скорости сходимости разностных аппроксимаций по функционалу.

Теорема 6. Пусть выполнены условия леммы 1 и 2. Пусть, кроме того, v* € V и [w]* G Vn являются решениями задач (1)-(5) и (13)-(17) соответственно, то есть

J* = mf J(v) = /„* = inf in (Hn) = in (h;) .

v£V [v\neVn

Тогда последовательность разностных задач (13)~(17) аппроксимирует задачу (1)-(5), то есть

lim 7n* = J* (67)

п~>оо

и справедлива оценка о скорости сходимости:

|Лг* - J*\ < М32 [у/т + y/flj , п = 1, 2,- (68)

Доказательство этой теоремы проводится с использованием леммы 1 и 2 и методики работы [8].

Литература

1. Потапов, М.М. Аппроксимация и регуляризация задачи оптимального управления типа Шредингера / М.М. Потапов, A.B. Разгулин, Т.Ю. Шамеева // Вестн. Московск. ун-та. Вычислительная математика и кибернетика. - 1987. - Сер. 15, №1. - С. 8 - 13.

2. Искендеров, А.Д. Оптимальное управление кванто-механической системой с критерием качества Лионса / А.Д. Искендеров, Н.М. Махмудов // Изв. АНА, Сер. физ.-тех. матем. наук. - 1995. - Т. XVI, №5 - 6. - С. 30 - 35.

3. Ягубов, Г.Я. Оптимальное управление коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера: дис...д-ра...наук / Г.Я. Ягубов. - Киев, 1994. - 318 с.

4. Ягубов, Г.Я. Разностный метод решения задачи оптимального управления коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера с интегральным критерием качества по границе области / Г.Я. Ягубов // Проблемы математического моделирования и оптимального управления. - Баку, 2001. - С. 37 — 48.

5. Ягубов, Г.Я. Сходимость разностного метода решения задачи оптимального управления для нелинейного уравнения Шредингера с интегральным критерием качества / Г.Я. Ягубов // Вестн. Сумгаит, гос. ун-та. - 2001. - №1. - С. 37 - 42.

6. Махмудов, Н.М. Разностный метод решения задачи оптимального управления для уравнения Шредингера с критерием качества Лионса / Н.М. Махмудов // Изв. Челяб. науч. центра. - 2009. - №3(45). - С. 1 - 6.

7. Самарский, A.A. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями / A.A. Самарский, Р.Д. Лазаров, В.Л. Макаров. - М.: Высш. шк., 1987. -296 с.

8. Васильев, В.П. Методы решения экстремальных задач / В.П. Васильев. - М.: Наука, 1981. - 400 с.

Махмудов Нурмали Мехрали оглы, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Информатики», Нахичеванский государственный университет (Азербайджан), nur alimaxmudov@r ambler. ru.

Поступила в редакцию 24 июня 2009 г.