CC BY
37
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 45-53
Математика
УДК 517.977
Сходимость разностных аппроксимаций по функционалу в задаче оптимального управления для уравнения Шредингера с чисто мнимым коэффициентом
Аннотация. Рассматривается вопрос о сходимости разностного метода для решения задачи оптимального управления для уравнения Шредингера с чисто мнимым коэффициентом в нелинейной части уравнения с критерием качества Лионса, когда множество допустимых управлений состоит из ограниченных измеримых функций, имеющих квадратично суммируемые производные.
Ключевые слова: оптимальное управление, уравнение Шредин-гера, критерий качества Лионса.
Вопрос о сходимости разностного метода для решения задачи оптимального управления для уравнения Шредингера исследовался в работах [1-3] и др. Рассмотрим следующую первую задачу оптимального управления о минимизации функционала:
Н.М. Махмудов
(1)
на множестве
фр(х, 0) = фр(х), х Є (0,1), р = 1, 2,
фі(0,і) = (1,і) = 0, і Є (0,Т),
(2)
(3)
(4)
где г2 = -1, 1 > 0, Т > 0, Ь > 0, ао > 0, а1 ^ 0, Ь0 > 0, 61 > 0 — заданные числа, О = (0,1) х (0,Т), а(ж) — ограниченная, измеримая функция, удовлетворяющая условию
О
0 < ^0 ^ а(ж) ^ ^1, Vх е (0,1), ^0,^1 = соп^ > 0,
(6)
а функции (ж), /к = /к(ж,£), к = 1, 2 — являются заданными и удо-
влетворяют условиям:
¥>1 е Ш22(0,1), ^2 е Ш22(0,1),
^(0) _ ^^2(1)
йж
йж
0,
/к е ^(П), к = 1, 2,
(7)
(8)
При принятых предположениях можем утверждать, что редуцированная задача (2)-(5) при каждом V е V имеет единственное решение
^1 е С0 ([0,Т], Ш2(0,1)) П С1 ([0,Т], ^2(0,1)), ^2 е С0 ([0,Т], Ш22(0,1)) П С1 ([0,Т], ^2(0,1)) и справедливы оценки д^М)
-(V
^2(','ОНж2(0,0 +
д*
3^2(-,^)
д*
М0,о
^2(0,1)
(9)
(10)
для ^ е [0,Т], где М1 и М2 положительные постоянные.
Теперь проводим дискретизацию задачи (1)-(5). Используя последовательность сеток
|(ж^, 4к)п} , п = 0,1, 2,..., ж^ = ^'Л — Л/2, -£к = кт, ^ = 1,Мп — 1,
к = 1,А,„ Л = Лп = 1/(М„ — 1), т = тп = Т/Л'тс, 5,^Фрк = (фрк — Фрк-1) /т,
<Ик = (фк — ф?-1 к) /м.»?к = (*?+1 к - фРк) /л.
«XX ФРк =
(5-н к — 2фРк+ф?-1 к) /л2, р = 1-2
Здесь верхний индекс не является степенью. Обозначим М = Мп, N = = Ап.
При каждом натуральном п ^ 1 рассмотрим задачу о минимизации функции
N М-1
1п (Мп) = |Ф‘к — Ф?кI2
к=1 ^ = 1
0
0
на множестве
V* = <( [v]n : Мп = (V1, V2, . . . , VM-1),
М-1 ^ 1 /2
«XV |2
__________ / М-1 о\ 1/2 ^
К| < 60, 3 = 1,М — 1, ^ |«хV]| ^ < 611
ях:
г«1ф/к + а0«жхфрк — а фрк — ^ фрк + га1|фрк |2фрк = //к,
3 = 1,М — 1, к = 1,А, (12)
Ф^0 = <^р, 3 = 0,М, р =1,2, (13)
ф0к = фМк =0, к = 1,А, (14)
«хФ1к = «ХФМк = 0, к = ^ ^ (15)
где сеточные функции а], ^>Р, /рк, Р = 1, 2 определяется формулами . 1 Г х] +Ь/2 __________
а] = т а(ж)йж, 3 = 1,М — 1, (16)
Л Ух]-Ь/2
1 Г х] +Ь/2 __
^Р = т ^р(ж)йж, 3 = 1,М — 1, р = 1,2,
Л А]-Ь/2
^0 = ^М = 0, «х^2 = «х^М = 0, (17)
1 Г *к Г X] +Ь/2 __ _____
/Рк =^ /р (ж,£)йж^, 3 = 1,М — 1, к = 1,А, р = 1,2.
тЛ Jtk-l JX] -Ь/2
(18)
и соответственно, с дополнительным условием, что
У0к = Ум к = 0, «х/2к = «х/М к = 0 к = 1, А.
С помощью сумматорных тождеств имеем:
Теорема 1. Для решения разностной схемы (12)-(15) при Мп е Кп и любом т е {1, 2,..., N} верны оценки:
М-1 М-р+1 т М-1
1Фрт|2 + Л £ |«хФрт|2 + а1тЛ^ ^ |фрк ]=1 ]=р к=1 ] = 1
✓ М-1 М-р+1 N М-1
< Мз(^ |^Р|2 + Л ^ |«х^р|2 + тЛЕЕ|/р
^ ] = 1 ]=Р к=1 ] = 1
N М-р+1 2.
+тЛ^ ^ «/ Ь р = 1,2. (19)
к=1 ] =р '
4
2
+
Будем оценить погрешность разностной схемы (12)—(15). С этой целью рассмотрим усреднения решения редуцированной задачи (2)—(5) при V е V в виде: ^р(ж, ■£; v)]n = {^}, р = 1, 2, где ^, р =1, 2 определяются формулами:
^р (х,і)йхйі, з = 1,М — 1, к = 1,Ж, / = /
3 =0,M, р =1, ^ ^ = ^Мк = 0, ^ = ^к, ^Мк = ^М-1к, к = 1,Ж (20)
Кроме того, определим оператор на множестве V формулой:
Зп(и) = [Ш]п = (ШЬ Ш, . . . , Шм-і), Ш =
к
'X] -Ь/2
v(ж)dж, 3 = 1, М — 1.
(21)
Если обозначим [гр]п = {^рк} = {Фрк} — {^к}, р = 1, 2, то |2^ |, р = 1, 2 — сеточные функции будут решением следующей системы:
г<%/к + «о^хх/к — «/к — V/к = / + г«1 (^к|2/ — |фрк|2фрк) ,
3 = 1,М — 1, к = 1, Ж,
=
/о =
0, 3 = 0, М, р =1,2,
^0к = *мк = 0, к «хг2к = «х^М к = 0, к = 1, А,
где сеточные функции ^Рк, р =1, 2 определяются формулами:
1 /* ^ /* х] +Ь/2 / тН Ух] -Ь/2
32^„ , . , , . , . . , |2 ,
г-^- + ао-^х# — а(х)^р — «(х)^р + гаї |^р|
3 = 1,М — 1, к = 1,А, р = 1,2.
Теорема 2. Пусть т > 0 при а1 > 0 удовлетворяет условию:
т ^ < 8а1 тах
К/^М-1 1<к<М
/к
+
/к
1
, Р = 1, 2.
(22)
(23)
(24)
(25)
йх йі—
(26)
(27)
Пусть, кроме того, выполнено условие согласования: С0 ^ т/Л ^ С1, где С0 > 0, С1 > 0 — постоянные, не зависят от т и Л. Тогда для т е {1, 2,... ..., N} верны оценки:
М1
2
2
где втЬ > 0, втЬ ^ 0, при т ^ 0, Л ^ 0 и , М-1
||Фп^) — М„|| = К — V,-12
' ,=1
В этой работе будем изучать сходимость разностных аппроксимаций по функционалу. С этой целью сначала найдем оценку для разности функционала (1) и дискретной функции (11).
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда для Vv е V и е КП имеет место оценка:
I^М — (Мга)| ^ М5 ^а/^Ть + — Мга||) . (29)
Для установления оценки сходимости по функционалу сначала докажем две вспомогательные леммы.
Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 3. Пусть, кроме того, оператор определяется формулой (21). Тогда фп^) е КП и имеет место
оценка: ___
|^(V) — /„(д„^))| < М5ч/вТ*. (30)
Доказательство. Пусть V е V произвольное допустимое управление. Покажем, что фп^) е РП, то есть ^„: V ^ РП. По формуле (21) можем написать следующее равенство:
«'"' = V Г* ^ 3 =2'М—Т■ (31)
В силу формулы (21) и условий V е V имеем
1 Г хз +*/2 1 Г хз +*/2 __
|ад, | <т / ^(ж)|^ж < - Ь = Ь, 3 = 1,М — 1,
Л их^ —*/2 Л У х.; —*/2
то есть ________
К | < Ь0, 3 = 1,М — 1. (32)
В силу формулы (21) и условий
Применяя теорему Фубини [4], получим
1/2
5=2
(33)
В силу (32) и (33) получаем, что ^га(ь) Є РП. Тогда выбирая ^га(ь) Є Є V вместо дискретного управления [ь]п Є РП и оценивая левую часть (29), получим справедливость леммы 1.
Пусть оператор Рп определяется формулой:
у(ж) = Рп([ь]п) = <
+ £х Ьу (ж — жу — к/2), жу — к/2 ^ ж ^ жу + к/2, з = 2, М — 1, ь1, ж1 — к/2 ^ ж ^ ж1 + к/2.
(34)
Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 3 и оператор Рп определяется формулой (34). Тогда Рп действует из РП на V, то есть Рп([ь]п) Є РП, и имеет место оценка:
(Рп([ь]п)) — 1«(М„)| ^ Меу7^.
(35)
Доказательство. Пусть е V — произвольное дискретное управление. Сначала покажем, что Рп: ^ V. Действительно из структуры
множества РП ясно, что
/ М-1 ч 1/2
К| < Ьо, 3 = 1,М — 1, |$хЬу|2) < &1.
V у=2 /
(36)
Из формулы (33) ясно, что функция г>(ж) имеет обобщенную производную
(37)
в/О (х)
^, которая имеет вид
Оу(ж) = Г/£хьу, ж1 — к/2 ^ ж ^ ж1 + к/2, з = 2, М — 1, йж \0, ж1 — к/2 ^ ж ^ ж1 + к/2.
Поэтому имеем
йгі ГГ Оу(ж)
йж Мо,г) о йж
М-1 ГХІ +Ь/2
^2 І |^хVҐ йж
- у=2 Ухі -Ь/2
Следовательно,
2 \ 1/2 /М 1 г- х, +Ь/2
аж і = ( Е /
V у=1 Ух, -Ь/2
1/2 / М-1
«ж)2 1/2
аж /
к Е Му|
у=2
1/2
йж
ь2(о,г)
(38)
2
Теперь рассмотрим г (ж). В силу формулы (34) имеем
|гТ(ж)| = М| ^ Ьо, ж е [ж1 — Л/2,ж1 + Л/2]. (40)
Для точек ж е [ж, — Л/2, ж, + Л/2], 3 = 2, М — 1 имеем
г(ж)=.,+«х(ж—ж,—л/2)=.,—. () +., (1—). (41)
Ясно, что для Vж е [ж, — Л/2, ж, + Л/2], 3 = 2, М — 1 7'(ж) е [0,1], 1 — 7,(ж) е [0,1].
Тогда с учетом этих соотношений из (39) имеем
|гТ(ж)| < 7,(жЖ-1| + (1 — 7?(ж)Ж| < 7,(ж)Ьо + (1 — 7,(ж))Ьо = Ьо,
Vж е [ж, — Л/2,ж, + Л/2], 3 = 2,М — 1.
Таким образом, нами доказано, что
|г(ж)| < Ьо, Vж е [0,1]. (42)
Из (38) и (42) заключаем, что г е V, то есть Рп(Мп) е V. Выбирая управление г (ж) = Рп(Мп) вместо допустимого управления V = v(ж) е V и оценивая левую часть (29), получим справедливость неравенства
|Л(Рп(Мп)) — 1«(М„)| < М1^л/вТ* + ||Фп(Рп(Мп)) — Мп||) . (43)
Теперь рассмотрим второе слагаемое в правой части этого неравенства:
МЩ = Л |г, 'У,| = Л
,=1 ,=1
М-1 М-1 ^ +*/2 2
1 Г хз +*/2_
— г(ж)^ж — V,
Л Ухз- -*/2
М 1 1 у хз- +*/2 2 М 1
Л -л «хV, (ж — ж, — Л/2)йж ^ Л У"'
,=2 з-*/2 ,=2
г, 2
Л* /
2 «х^' ^
Л3 М-1 Ь21Л2
^ Л_ у- Ь2 < МЛ
Следовательно,
4 ^ 1 4
,=2
||Фп(Рп(Мп)) — [V]™! < Л.
ьМ:
2
Если учесть это неравенство в (43), то получим справедливость неравенства
^(Рп(Мп)) — 1п([V]™)| < Ме^УвТ*).
Теперь сформулируем теорему о сходимости разностных аппроксимаций по функционалу в задаче (1)—(5).
Теорема 4. Пусть выполнены условия леммы 1 и леммы 2. Пусть, кроме того, v* € V — решение задачи оптимального управления (1) —(5), а [v]n € V — решение дискретной задачи оптимального управления (11)-(15), то есть
J* = J(v*) = inf J(v), /„* = In([v]n) = inf In([v]n).
Тогда последовательность разностных задач (11)-(15) аппроксимирует задачу (1)-(5), то есть
lim /„* = J* (44)
n——^o
и справедлива оценка сходимости:
|1n - J*| < n = 1,2,... (45)
Доказательство этой теоремы проводится методами, которые можно найти в [5].
Список литературы
1. Потапов М.М., Разгулин А.В., Шамеева Т.Ю. Аппроксимация и регуляризация задачи оптимального управления типа Шредингера // Вестник МГУ. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1987. №1. С.8-13.
2. Ягубов Г.Я. Разностный метод решения задачи оптимального управления коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера с интегральным критерием качества по границе области //В сб.: Проблемы матем. модел. и опт. управления. Баку, 2001. С.37-48.
3. Ягубов Г.Я. Сходимость разностного метода решения задачи оптимального управления для нелинейного уравнения Шредингера с интегральным критерием качества // Вестник Сумгаитского государственного университета. 2001. №1. С.37-42.
4. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 392 с.
5. Васильев В.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.
Махмудов Нурали Мехрали оглы ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра информатики, Нахичеванский государственный университет, Азербайджан.
Convergence difference of approximations on functional in the task of optimum control for equation Schrodinger’s with imaginary in factor
N.M. Mahmudov
Abstract. The question of convergence difference method for the decision of a task of optimum control for equation Schrodinger’s with only imaginary factor in a nonlinear part of the equation with criterion of quality Lions when the set of allowable managements will consist from is considered is limited the measurable functions having square summable derivatives.
Keywords: optimum control, Schrodinger’s equations, Lions criterion of qualities.
Mahmudov Nurali ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of computer science, Nakhichevan State University, Azerbaijan.
Поступила 20.10.2009
