Разрешимость краевых задач для уравнения Шредингера с вещественнозначным коэффициентом Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С ВЕЩЕСТВЕННОЗНАЧНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

В данной работе рассматриваются краевые задачи для нелинейного уравнения Шредингера с квадратично-суммируемым вещественным коэффициентом при неизвестной функции. Изучен вопрос корректности постановки этих задач и доказаны теоремы существования и единственности решения.

Ключевые слова: уравнение Шредингера, краевая задача, квадратично-суммируемый коэффициент.

Введение

Краевые задачи для нелинейного уравнения Шредингера часто возникают в квантовой механике, ядерной физике, нелинейной оптике, теории сверхпроводимости и в других областях современной физики и техники [1; 2], поэтому их изучение представляет немалый интерес.

В данной работе рассматриваются краевые задачи для нелинейного уравнения Шредингера с вещественнозначным квадратично-суммируемым коэффициентом в нелинейной части этого уравнения. Подобные краевые задачи для нелинейного уравнения Шредингера с ограниченными измеримыми коэффициентами ранее изучены, например в работах [3-6] и др. Отметим, что задача Коши для нелинейного уравнения Шредингера с сингулярным коэффициентом ранее изучена, например в работах [7-9] и др.

1. Постановка задачи

Пусть I > 0, Т > 0 — заданные числа, 0 ^ х ^ /, 0 ^ ^ Т, П* = (0,1) х (0,£),

П = Пт, Ьр(0,1) — лебегово пространство измеримых функций на (0,/), суммируемых со степенью р ^ 1, Ск([0, Т]; В) — банахово пространство, состоящее из всех определенных и к ^ 0 раз непрерывно дифференцируемых на [0,Т] функций со значениями в банаховом пространстве В; (0,1), Ш£’т(П) — соболевские про-

странства функций с обобщенными производными порядка к ^ 0 по переменной х и т ^ 0 — по переменной £, соответственно, которые суммируемы со степенью

о

р ^ 1; (0,1) — подпространство пространства Ш2,(0,1), элементы которого

оо

обращаются в нуль на концах отрезка [0,1], Ш22 (0,/) = Ш%(0,1)^ (0,/).

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу об определении функции ф = ф(х,£) из условий

дф д 2ф

г— + ао- у(х)Ф + а1 \Ф\2Ф = I(х,£), (х,Ь) е П, (1)

ф(х, 0) = р(х), х е (0,1),

(2)

ф(0,Ь) = ф(1,Ь) = 0, Ь Е (0,Т), (3)

где г2 = —1, а0 > 0, —то < ах < — заданные числа, V — вещественнозначная

функция, а р = р(х), f = f (х,Ь) — заданные комплекснозначные измеримые функции, удовлетворяющие условиям

о

V Е Ь2(0,1), р Е Ж? (0,1), f Е Ш0’\П). (4)

Задача об определении функций ф = ф(х,Ь) из условий (1)-(3) является первой краевой задачей для нелинейного уравнения Шредингера. Под решением этой задачи будем понимать функцию ф = ф(х,Ь) из пространства

Бх = С0 ^[0,Т],Ж? (0,1)^ Р| С1 ^[0,Т],Ь2(0,1)^ , удовлетворяющую условиям

(1)-(3) для почти всех х Е (0,1) и для всех Ь Е [0, Т].

2. Разрешимость первой краевой задачи

Теперь изучим разрешимость первой краевой задачи (1)-(3).

Теорема 1. Пусть функции v(x), р(х), f (х,Ь) удовлетворяют условию (4). Тогда краевая задача (1)-(3) имеет единственное решение из Бх, и для этого решения справедлива оценка

к• ,т ◦ +

Ч2(о,0

дф( •, і)

Зі

+ ІІж0’1^) + ІМІІ2(о,і) + II/ІІІ2(пу Уі Е [0,Т] (5)

Доказательство. Для доказательства будем использовать метод Галеркина.

О

Возьмем какую-либо фундаментальную в W2 (0,1) и ортогональную в Ь2(0,1) систему функций ит = ит(х), т = 1, 2,..., например систему собственных функций следующей спектральной задачи:

IX(х) = XX(х), х Е (0,1), X(0) = X(I) = 0 (6)

при X = Хт, т = 1, 2,..., где оператор Ь определяется формулой

Т = №

Ь = -а0-Т2 ■ ах2

Известно, что задача (6) есть спектральная задача, изученная, например, в [9, с. 109-110]. Она имеет нетривиальные решения ит(х), т = 1, 2,... , при X = Хт, т = 1, 2,... , образующих спектр задачи (6), и эти решения образуют

О

базис в пространстве W2 (0,1). Ради удобства предположим, что эти функции ортонормированы в Ь2(0,1):

і

(ит,ик )ь2(0,і) = (ит,ик ) = ! ит (х)щ (х)дх = 8$,, т,к = 1, 2,...,

о

где 8т — символы Кронекера. Ясно, что они ортогональны и в следующих смыслах:

і

аит • аик ах = \ 8к

'ші(о,і) у ах ах

[ит,ик } — (Ьит,ик) — (ит,ик) ° — а0 I , "і ах — Хт8т,

о

{ит,ик} (Ьит, Ьик) (ит,ик) °2 Хт 8m,

Ж2 (0,1) т

т, к = 1, 2,... Все собственные значения X = Хт, т = 1, 2,... , вещественны,

положительны, пронумерованы по неубыванию с учетом кратности, и Хт ^ +ж

при т ^ ж. Наряду с этими предположим, что

І\итІІ ° ^ а.т, т = 1,2,. ■■ , (7)

Ж2 (0,і)

где ат, т = 1, 2,... , — некоторые положительные постоянные.

Согласно методу Галеркина приближения к решению краевой задачи (1)-(3) будем искать в виде

N

N ^ V"' NI

фN (х, і) = ^2 °т (і)ит(х),

т=1

где коэффициенты с$(і) = {фN(• ,і),ит)Ь20 і) удовлетворяют следующим условиям:

ді )ь2 (0,і) V дх ах /Ь2(0,і)

+ {у(^ф ,ит)ь2(0>і) - (а1 |фN|2 ^ ,ит^ь2 (0 і) + /т(і) , і Е [0,Т},

ст(0) = ф ( • , 0),ит)ь2{0>і) = (Р,ит)Ь2(0,і) = Рт, т = ^ 2,■■■,N, (9)

ЫЬ) = и(• ,Ь),ит)Ы0,1) , т =1, 2,...,М.

Система (8), (9) представляет собой задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой правая часть уравнения является суммой многочлена относительно ст(Ь) с постоянными коэффициентами и функций ^(Ь), т = 1, 2,... , N, где ^(Ь) непрерывно дифференцируема на отрезке [0,Т]. Известно, что эта задача Коши имеет хотя бы одно локальное решение [10], и для существования решения в целом достаточно установить равномерную ограниченность всевозможных решений уравнений (8) на отрезке [0,Т].

Лемма 1. Для галеркинских приближений справедлива оценка

(• ,і)\\ ° + 1 Ж22(0,і)

дф ( ^ Щ ІІРІІШ2(0 П + 11 /Ж1 (П) + ІМҐ°ип , +

ді

Ь2 (0,1) \ Ж2(0,і) 2 к 1 Жі(0,і)

+ І/ 11Ж2)’1(П) + \р\ь2(0,і) + II/\\ь2(П)\ У і Е [0,Т ]. (10)

Поскольку em(t) = faN(... ,t),um)T (0 і), из неравенства (lO) следует, что

N

N

ЕК м| + Е

m=1 m=1

m L2(0, l) l2

dem(t)

dt

^ M2 Vt є [0,T],

где М2 > 0 — постоянная, не зависящая от N и Ь. Из этой оценки нетрудно установить, что задача Коши (8), (9) имеет хотя бы одно решение, определенное на всем отрезке [0,Т].

Продолжим доказательство теоремы. Рассмотрим функции 1м,т{Ь) —

м(■ , Ь),ит)Ь2(0 ), N, т — 1, 2,... Из оценки (10) следует, что функции 1и,т (Ь)

т(Ь)

равномерно ограничены, кроме того, их производные

dt

также ограни-

чены. Покажем, что при фиксированном т и произвольных N ^ т функции равностепенно непрерывны на отрезке [0,Т]. Действительно, интегрируя т-е уравнение системы (8) на отрезке \Ь,і + Аї] и учитывая формулу для 1М, т(ї) , можно установить справедливость неравенства

t+At

1 lN, m (t + At) — lN, m (t)l ^ a0

N ф д m U d

дт L2(0,l) dx |

dт+

L2(0,l)

t+At

+ f \\v\\l2(0,)) ||фN(• ,т)| t

L00 (0, l)

Um \\l2(0,l)dT+

t+At

t+At

аі\

^( ■ ,т)і'Т6(0,1) \\Um\\L2(0,l)dт + I Ш- ,T)\\L2(0,l)\\Um\\L2(0,l)dт■

Отсюда с помощью оценки (10) и неравенства (7) легко доказать справедливость неравенства

I lN,m(t + At) — In, m (t) | ^ M3d m I At 12

при фиксированном т и при любом N ^ т, где М3 > 0 не зависит от N, т и ДЬ.

^И,т (Ь + ДЬ) Л1^,т(^) „

. С этой целью

Аналогично можно оценить разность систему (8) напишем в следующем виде:

dt

dt

дф

N

дt

Um

L2(0,l)

N d2 Um

=—Iаф ^

+

L2(0,l)

+ ^(■ф ,Um)b2{0J) — (ai ф |2 фN ,UmjL 0 ) + fm(t), m =1,N.

:і2)

Дифференцируем по Ь обе части уравнений (12) и интегрируем полученные соотношения по интервалу (Ь,Ь + ДЬ). Далее в полученных соотношениях, используя

оценку (10) и неравенство (7), рассуждая так же, как при доказательстве неравенства (11), получим, что

—ІМ,т(і + Аі) —їм,т (і)

—і —і

при фиксированном т и при любом N ^ т, где М4 > 0 — постоянная, не зависящая от N, т и ДЬ.

Из неравенств (11) и (13) следует, что функции IN т(г) и —м,т(г) при фикси-

—Ь

рованном т равностепенно непрерывны на отрезке [0,Т]. Кроме того, из оценки (10) следует справедливость неравенств

—Іи,т (і)

(і

при N, т = 1, 2,..., где М5 > 0 — постоянная, не зависящая от N и т. Дру. . —їМа,т(і) гп грі

гими словами, їN т(і) и ----------- равномерно ограничены на отрезке [0, Т ] при

аі

любых N и т. Тогда обычным диагональным процессом можно выделить подпоследовательность Ns, в = 1, 2,... , по которой функции їм т(і), —Мз\т( ) будут

—

сходиться равномерно на [0,Т] к непрерывным функциям їт(і) и —т—, соответ-

—і

ственно, для каждого т = 1, 2,... Введем в рассмотрение функцию

ГО

ф(х,і) = ^2 їт(і)ит(х),

т=1

которая имеет производную

дф(х,Ь) ^ —1т(г) , ,

— 1-—ит(х)'

т=1

тт Г / /V / \° Г дфИв (х,Ь)

Нетрудно проверить, что подпоследовательности |ф 8 (х,Ь)^ и <---—-----

дф(х, Ь)

равномерно по Ь Е [0, Т] слабо в Ь2(0,1) сходятся к функциям ф(х,Ь) и —^—, со-

ответственно. Из оценки (10) и свойств семейства функций ^в,т(Ь), в 1, 2, . . . , при фиксированном т следует, что функции фNs (х,Ь) принадлежат пространству С0 ([0, Т], Ь2(0,1)). Тогда в силу свойства сходимости подпоследовательности {фNs (х,Ь)} к функции ф(х,Ь) предельная функция ф(х,Ь) также будет элементом этого пространства. Далее, используя доказанные выше свойства функций

—lN3,m(t) 1 п I /1П\

----—----, 3 — 1, 2,... , при фиксированном т и оценку (10), аналогично выше-

ф й дф^(х,Ь) 1 2

изложенному устанавливаем принадлежность функций ------------------, в — 1, 2,... ,

дЬ

пространству С0 ([0,Т],Ь2(0,1)), а также равномерную относительно Ь Е [0,Т]

слабую в Ь2(0,1) их сходимость к функции Ф{ , ) при в — о. Тогда предель-

дЬ

дф(х, Ь)

ная функция —— также будет элементом С0 ([0,Т], Ь2(0,1)). Следовательно,

элементы подпоследовательности {фNs (х,Ь)} и предельная функция ф(х,Ь) принадлежат пространству С1 ([0,Т], Ь2(0,/)).

Благодаря оценке (10) из последовательности {ф^ при N — Ns, в — 1, 2, . . . , можно выделить подпоследовательность, которая сходится к функции ф слабо в Ш22(0,1) для каждого Ь Е [0, Т\. Для простоты изложения эту подпоследовательность снова обозначим через {ф^}. Докажем, что указанная сходимость является равномерной относительно Ь Е [0,Т]. Для этой цели достаточно уста-

дф^} \д 2ф^} б т

слабо в т2(0,1) и равно-

новить, что подпоследовательности

дх

дх2

дф д 2ф

мерно относительно Ь Е \0,Т\ сходятся к функциям —— , , соответственно, при

дх дх2

в - о.

Используя методику работ [4; 5; 11], можно установить, что имеют место неравенства:

д 2ф* ( • ,і) д 2ф( • ,і)

дх2

дх2

>д

Ь2(0,Ь)

С 2є,

:і4)

дф*- (• ,і) дф( • ,і)

дх

дх

Ь2(0,і)

С 2є

для всех Ь Е [0,Т] и для любых д ЕШ2; (0,1) и q ЕШ\ (0,1) при достаточно большом номере в. Здесь е > 0 — достаточно малое число. Эти нера-

(д2фNs} (дфNs 1

венства означают, что подпоследовательности < — > , < —— > удовлетворя-

дх2 дх

ют требуемым условиям. Следовательно, доказано, что подпоследовательности дф^\ (д 2ф^

{ф*-} ,

дх

дх2

при в — о слабо в Ь2(0,1) сходятся к функциям

дф д 2ф

ф,——, , соответственно, равномерно относительно Ь Е [0,Т]. Из этого следу-

дх дх2 Г 0

ет, что подпоследовательность {фNs (х,Ь)} при в — о равномерно относитель-

О

но Ь Е [0,Т] сходится к функции ф — ф(х,Ь) слабо в (0,1). Кроме того, из

свойства функций N,т(Ь) и ит(х) следует, что фNs (х,Ь) принадлежат пространству С0 ([0,Т],Ш2(0,/)). Поэтому из слабой сходимости подпоследовательности {фNs(х,Ь)} при в — о к функции ф — ф(х,Ь) в пространстве Ш^(0,1), равномерной относительно Ь Е [0,Т], следует, что предельная функция ф — ф(х,Ь) принадлежит пространству В1 = С0 ( [0, Т], Ш2^ (0,1) ] Р| С1 ( [0, Т], Ь2(0,1)], и для нее

верна оценка (5), которая получается из оценки (10) после перехода к пределу при N — Ns, в — о.

Теперь докажем, что предельная функция ф — ф(х, Ь) удовлетворяет уравнению (1) для почти всех х Е (0,1) и при любом Ь Е [0,Т]. С этой целью при

Ч

N — Ns т-е уравнение из (8) умножим на непрерывную функцию пт(Ь) и полученные уравнения просуммируем по т от 1 до N' ^ Ns. Тогда получим

.дфNs (х,Ь) д фNs (х,Ь)

дЬ

+ а0~

дх2

— у(х)ф1У- (х,Ь) +

+а11 ф^ (х, Ь) | 2ф(х, Ь) — /(х, Ь)

2„1 N

П N (х, Ь)—х — 0

15)

N'

для любой функции п^(х,Ь) — ^2 пт(Ь)ит(х), N, ^ Ns и для любого Ь Е [0,Т].

т=1

По доказанному подпоследовательность {ф^} при в — о равномерно относительно Ь Е [0,Т] сходится слабо в Ш22(0,1) к функции ф — ф(х,Ь), а пространство Ш22(0,1) в силу теоремы вложения компактно вложено в Ь2(0,1). Поэтому при в — о подпоследовательность {фNs (х,Ь)} равномерно относительно Ь Е [0,Т] сильно сходится в Ь2(0,!) к функции ф — ф(х,Ь), то есть

ф^ (■ ,Ь) — ф(■ ,Ь)\

Ь2(0,Ь)

— 0 при в — о

равномерно относительно Ь Е [0,Т]. Из этого соотношения следует, что из подпоследовательности {фNs (х,Ь)} можно извлечь подпоследовательность, которая будет сходиться почти всюду на интервале (0,1) равномерно относительно Ь Е [0,Т]. Эту подпоследовательность снова обозначим через {фNs (х, Ь) . Тогда из равномерной оценки

\\фЛ(■ .*)1и„ « М VЬ Е [О,Г],

которая следует из оценки (10) при N — Ns, в — 1, 2,... ,и известного неравенства [12, с. 79] следует, что

фм- (■ ,Ь)

Ь&{0,1)

дфNs ( ■ , Ь)

дх

1/3

Ь2{0,1)

фм- (■ ,Ь)

12/3

\Ь2(0,1)

VЬ Е [0,Т] (17)

при некоторой постоянной в > 0. В силу известной леммы [12, с. 530-531] получим, что подпоследовательность ||ф^ (х,Ь)\2 ф^ (х,Ь)| при в — о равномерно

относительно Ь Е [0,Т] слабо сходится в Т2(0,1) к функции 1ф(х,Ь)12 ф(х,Ь), то есть для любого Ь Е [0,Т] справедливо следующее предельное соотношение:

I I

/ К- (;М)|2 Г-(*,(),-— / \ф(ХЖ ф{х,Щ^{х,()—х (I8)

00 при в — о.

Если использовать неравенство (14) при N — N1!, то нетрудно установить справедливость оценки

V фNs (■ ,Ь)\

Ь2(0,Ь)

^ М7 VЬ Е [0,Т],

где М7 > 0 — постоянная, не зависящая от в и Ь. Тогда, рассуждая аналогично, как и при получении предельного соотношения (18), получим справедливость предельного соотношения

I I

!ф)Г-(х,г*г(Х,№ (Х,№ (19)

0 0

при в ^ то для любого Ь Е [0, Т].

Таким образом, учитывая предельные соотношения (18), (19), а также свойство сходимости подпоследовательности {фм° (х,Ь)} к функции ф(х,Ь), переходом к пределу при в ^ то в интегральном тождестве (15) получим равенство

I

.дФ(х,г) + д 2Ф(х,г)

г т + ао дх2-----------^(х)ф(х,Ь)+

0

+аі\ф(х,і)\2ф(х,і) - /(х,і)

П м (х, і)йх = 0 (20)

N'

' < , , , = , ,

х 11 У ЧшК

т=1

^'/

для любого Ь Е [0 , Т] и для любой функции пМ' (х,Ь) = ^ Пт(Ь)ит(х). Вви-

ду того, что п (х,Ь) принадлежит множеству пробных функций, плотному в С0 ([0,Т], Ь2(0,1)), из (20) непосредственно получим справедливость интегрального тождества

0

.дф(х,і) + аод фхг -ь(х)ф(х,г) + аі\ф(х,г)\2ф(х,г) -/і(х,г) ді дх2

■ п(х, і)в,х = 0

для любого Ь Е [0,Т] и любой функции п = п(х, Ь) из С0 ([0,Т], Ь2(0,1)). Отсюда следует, что предельная функция ф(х, Ь) для почти всех х Е (0,1) и любого Ь Е [0,Т] удовлетворяет уравнению (1).

Выполнение начального условия (2) следует из предельного соотношения (16), справедливости условия фМе (х, Ь) = (х), а также неравенства

\\ф( ■, 0) “ ф\\ь2 (0,1) ^ \\ф( ■, 0) — фМв ( ■, 0)Иь2(0,о + \\фМ“ (0, ■ ) — V( ■, 0)\\ь2(0,Т) •

Выполнение краевого условия (3) следует из того, что предельная функция ф(х, Ь) принадлежит пространству Б\.

Таким образом, доказано, что предельная функция ф = ф(х, Ь) принадлежит Б\ и является почти всюду решением краевой задачи (1)-(3), то есть краевая задача (1)-(3) имеет решение из Б!.

Теперь докажем единственность решения. С этой целью предположим, что функции ф(х, Ь) и Ф(х, Ь) — два разных решения краевой задачи (1)-(3). Тогда из соотношений (1)-(3) нетрудно получить следующую краевую задачу об определении функции т = т(х, Ь) = ф(х, Ь) — Ф(х, Ь) из условий:

дт д 2т

г-т.—+ а0^^г — ь(х)т = Р(х, Ь), (х, Ь) Е П, (21)

д дх2

т(х, 0) = 0, х Е (0,1), т(0,Ь) = т(1,Ь) = 0, Ь Е [0, Т],

где Р(х,Ь) = а! \ Ф(х, Ь)| 2 Ф(х,Ь) — а!\ф(х,Ь)\ 2ф(х,Ь).

Уравнение (21) умножим на функцию т(х,Ь) и проинтегрируем по области = (0,1) х (0,Ь). Тогда получим

дт д2т \ [

г——+ а0-р-— — у(х)^)7ш(х,г)dxdт = Р(х,т)т(х,т)dxdт ШЬ Е [0,Т]• дЬ дх2 ) I

Используя интегрирование по частям во втором слагаемом левой части этого равенства, вычтем его комплексное сопряжение и получим, что

^ dxdт = ^ (¥т — Рт) dxdт

для любого Ь Е [0,Т]. Отсюда следует неравенство

1К- ,Ь)\\ь2(0,1) с 2 ! \Р (х,т )\\т(х,т )\^т

0ь

для всех Ь Е [0,Т]. Используя формулу для Р(х,Ь), из последнего неравенства получим

1т0 ,Ь)\\ь2(0,1) < 4| а1\у (\ф(х,т)\2 + \ф(х,т)\2) |w(x,т)|2dxdт,

0ь

(22)

где Ф(х,Ь) и ф(х,Ь) являются решением краевой задачи (1)-(3), и для этих реше-

ний справедливы оценки:

(

+

дф( ■, Ь)

Цф(-м

п2(0,1)

+

дЬ д Ф( ■ ,Ь)

С М8

Ь2(0,Ь)

дЬ

С М8

Ь2(0,Ь)

для любого Ь Е [0,Т]. В силу этих неравенств и неравенства

\\Н ■ ,Ь)\\ьХ1(0,1) С М9 I \\Н ■ ,Ь)\ь2(0,1) +

дН( ■ ,Ь)

дх

Ы0,1),

нетрудно установить справедливость соотношений

Тогда, учитывая эти неравенства, из (22) имеем

,Ь)\\Ь2(0,1) С М11 11т0 ,т)\\ь2(0,1^т Ш Ь Е [0,Т }•

2

2

2

г

Применяя лемму Гронуолла, получим справедливость равенства

||т( - ,Ь)\\Ь2(0,1) = 0 ШЬ Е [0,Т]•

Отсюда следует, что ф(х,Ь) = Ф(х,Ь) при почти всех х Е (0,1) и при всех Ь Е [0, Т]. Следовательно, решение краевой задачи (1)-(3) единственно. Теорема 1 доказана.

□

3. Разрешимость второй краевой задачи

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу об определении функции ф = ф(х, і) из условий

дф д2ф

і— + ао- п(х)ф + аі\ф\2ф = /(х,і), (х,і) Є ІЇ, (23)

ф(х, 0) = р(х), х Є (0,1), (24)

дх(0,ґ) = ^(і,і) = 0, і Є (0,Т), (25)

где і2 = -1, а0 > 0, -то < а1 < — заданные числа, ь(х) — вещественнознач-

ная функция, а р = р(х), / = /(х,і) — заданные комплекснозначные измеримые функции, удовлетворяющие условиям

V Є І2(0,ї), р Є Ш22(0,ї), (0,і) = (0,1) = 0, / Є ш!0’1(п). (26)

ах ах

Задача об определении функций из условий (23)-(25) является второй краевой задачей для нелинейного уравнения Шредингера. Под решением этой задачи будем понимать функцию ф = ф(х,Ь) из пространства Б2 = С°([0,Т]; (0,1)) П

С!([0, Т]; Ь2(0,1)), удовлетворяющую условиям (23)-(25) для почти всех х Е (0,1) и для всех Ь Е [0, Т].

Теорема 2. Пусть функции ь(х), р(х), / (х,Ь) удовлетворяют условию (26). Тогда краевая задача (23)-(25) имеет единственное решение из Б2, и для этого решения справедлива оценка

,(■ ,г)\\ш2(о,1) +

дф( ■, і)

ді

Ь2 (0,1)

^ ІМІжКо.г) + \\/Нж°д(п) + ІМІж^о.г) +

+ \\/\П°’1(П) + \\^\\ь2 (0,1) + II/\\ь2 (0)) Ш Ь Е [0,Т ]•

Доказательство этой теоремы проводится аналогично теореме 1. Однако в отличие от доказательства теоремы 1 функции ит = ит(х), т = 1, 2, •• • , должны образовывать фундаментальную систему в (0,1). Поэтому в качестве таких функций выбирается система собственных функций следующей спектральной задачи:

IX(х) = XX(х), х Е (0,1), X'(0)= X'(1) = 0,

где оператор L определяется формулой

L

d

dx

{a°(x) dx)

Кроме того, встречающиеся далее функции на этот раз не обращаются в нуль на концах отрезка [0,1]. Поэтому вместо мультипликативных неравенств типа (17), имевших место для функций, равных нулю на концах отрезка [0,1], необходимо использовать их аналог для функций, не обязательно равных нулю на концах этого отрезка.

Список литературы

1. Буккель, В. Теория сверхпроводимости. Основы и приложения / В. Буккель. — М. : Мир, 1975.

2. Воронцов, М. А. Принципы адаптивной оптики / М. А. Воронцов, В. Н. Шмаль-гаузен. — М. : Наука, 1985.

3. Искендеров, А. Д. Вариационный метод решения обратной задачи об определении квантовомеханического потенциала / А. Д. Искендеров, Г. Я. Якубов // ДАН СССР. — 1988. — Т. 303, № 5. — С. 1044-1048.

4. Искендеров, А. Д. Оптимальное управление нелинейными квантовомеханическими системами / А. Д. Искендеров, Г. Я. Якубов // Автоматика и телемеханика. — 1989. — № 12. — С. 27-38.

5. Ягубов, Г. Я. Оптимальное управление коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера : дис. .. .д-ра физ.-мат. наук / Г. Я. Ягубов. — Баку, 1993. — 318 с.

6. Ягубов, Г. Я. О вариационном методе решения многомерной обратной задачи для нелинейного нестационарного уравнения Шредингера / Г. Я. Якубов, М. А. Мусае-ва // Изв. АН Азербайджана. Сер. физ.-тех. и мат. наук. — 1994. — Т. 15, № 5-6. —

7. Baudouin, L. Regularity for a Schrodinger equation with singular potentials and

application to bilinear optimal control / L. Baudouin, O. Kavian, J. P. Puel //

J. Differential Equations. — 2005. — Vol. 216. —P. 188-222.

8. Cances, E. Controle optimal bilineare d’uno equation de Schrodinger / E. Cances,

C. Le Bris, M. Pilot // C.R. Acad. Sci Paris. — 2000. — Vol. 330. — Ser. 1. —

P. 567-571.

9. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солоников, Н. Н. Уральцева. — М. : Наука, 1967.

10. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понтря-гин. — М. : Наука, 1982.

11. Искендеров, А. Д. Определение потенциала в нестационарном уравнении Шредингера / А. Д. Искендеров // Проблемы математического моделирования и оптимального управления : сборник. — Баку, 2001. — C. 6-36.

12. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. — М.: Наука, 1967. — 736 с.

C. Б8-б1.