Необходимое условие оптимальности в задаче оптимального управления для линейного уравнения Шредингера с квадратично- суммируемым потенциалом, зависящим от времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.97

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С КВАДРАТИЧНО-СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ ВРЕМЕНИ

© 2013 г. Н.М. Махмудов, К.И. Сеидова

Махмудов Нурали Мехрали оглы - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра информатики, Нахи-чеванский государственный университет, ул. А. Алиева, 1, Университетский городок, г. Нахичевань, Азербайджан, AZ7012, e-mail: nuralimaxmudov@rambler.ru.

Makhmudov Nurali Mekhrali ogly - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Informatics, Nakhichevan State University, A. Aliev St., 1, Campus Nakhichevan, Azerbaijan, AZ7012, e-mail: nuralimaxmudov@rambler. ru.

Сеидова Конул Ибрагим кызы - аспирант, кафедра информатики, Нахичеванский государственный университет, ул. А. Алиева, 1, Университетский городок, г. Нахичевань, Азербайджан, AZ7012, e-mail: konul-seidova@rambler.ru.

Seidova Konul Ibragim kysy - Post-Graduate Student, Department of Informatics, Nakhichevan State University, A. Aliev St., 1, Campus Nakhichevan, Azerbaijan, AZ7012, e-mail: konul-seidova@rambler. ru.

Рассматривается задача оптимального управления для линейного уравнения Шредингера с квадратично-суммируемым потенциалом. Роль управления играет потенциал взаимодействия, который часто оказывается квадратично-суммируемой функцией, зависящей от времени. При этом устанавливается необходимое условие оптимальности в виде вариационного неравенства. С этой целью изучается дифференцируемость функционала. Для градиента устанавливается соответствующее выражение. Доказываются непрерывность градиента функционала, теорема о необходимом условии оптимальности.

Ключевые слова: оптимальное управление, уравнение Шредингера, критерий Лионса, условия оптимальности.

This paper considers optimal control problem for Schrodinger linear equation with quadratically summable potential. Control function in such equation is performed by interaction potential, which is often represented by quadratically summable time-dependant function. In addition this optimal control problem is provided with necessary conditions of optimality represented by variational inequality. To this extent first of all functional differentiability shall be studied resulting in valid expression for gradient of functional. Further, proving the continuity of functional gradient the theorem about necessary optimality condition in problem has been proved.

Keywords: optimal control, Schrodinger equation, Lions criterion, optimality conditions.

Задачи оптимального управления для линейного уравнения Шредингера часто возникают в квантовой механике, ядерной физике, нелинейной оптике и в других областях современной физики и техники, роль управления в которых играет потенциал взаимодействия. Часто этот потенциал оказывается квадратично-суммируемой функцией, зависящей от времени [1].

Постановка задачи

Пусть требуется минимизировать функционал

Ja{v)=ßo/И0' t )->0 (t ) 2 dt +

0

t

+ ß0 И(1' t)- >1 (th2 dt + a\v - \L2(0,

(1)

t )

на множестве V = = v(x): v e L2 (ö, T),

Hb2 (0, T)< Ь0 }

при условиях:

I—— + a, dt

д2и

0 X2

- а(хИ - v(tИ = f (x, t), (x,t) e Q, (2)

х е(0, /), = д1(А = о,, е(о, т),

дх дх

где ^ = -1; a0>0; Ьо>0; />0; 7>0; а > 0; во>0; Д>0 - заданные числа, причем во+ А ^0; a(x) - ограниченная измеримая функция, удовлетворяющая условиям: da(x)

0 < jU0 < a(x) < jU1,

dx

<ju2 , V x e(0, l), (3)

/и. >o, j = 0,2 , - заданные числа; фх),f x,t), yo(t),yi(t), a>(t) - заданные функции, удовлетворяющие условиям:

V^W (0, l ),

dç(0)_ dy(l) = 0

dx dx

/ е^ (п), ММ =Ш = 0, (4)

дх дх

юе Ь2 (0, Г), >>о, л еИ^12 (0, Г) .

Задачу об определении функций щ=щ(х/) из условий (2) при заданном V е V назовем редуцированной. Под её решением будем понимать функцию щ=щ(х,()

с0 (о, t J w22 (0, i ))n 1 (n)

2 V0, 4P 1 "2 (2) при почти всех

из пространства B = < удовлетворяющую условиям (x, t)е П.

Редуцированная задача (2) является второй краевой задачей для уравнения Шредингера [2 - 6]. Однако результаты этих работ недостаточны для решения задачи (1), (2). Поэтому возникает необходимость рассмотреть сначала краевую задачу (2) с потенциалом v = v(t) из множества V с Z2 (0, T).

С помощью метода Галеркина можно доказать, что для Vv е V задача (2) имеет единственное решение из B, и для него справедлива оценка

M t)

< cf

w22 (о, l )

II W22 (о, l ) "

dy

dt

¿2 (n)

(5)

"2,0(П)) Vt е[0, T] ,

где с0 > 0 - постоянная, не зависящая от t, р, /.

Дифференцируемость функционала

Установим необходимое условие оптимальности в задаче (1), (2).

Пусть функция п=п(х,{) является решением следующей сопряженной задачи:

I + а0 д г - а(х)г - v(t)/ = 0, (х,/) е П,

dt

ddx

)(x,T) = 0, x e(0, l),

(6)

=(у(0, t)-y(t)), t e(0, T),

dx a0

= ißl(y(l, t)-yi(t)), t e (0, T), (7)

I

дФ d2 Ф -ir—- + а0Г—2

dt dx

- a(x)rФ - v(t))Ф

dxdt =

для любой функции Ф еЖ221(п), удовлетворяющей

условиям: Ф(х, 0) = 0, дф(0"t) = дф(1, t) = 0.

дх дх

Используя методику из [4] для доказательства существования и единственности решения сопряженных задач с неоднородными граничными условиями, покажем, что сопряженная задача при принятых предположениях (3), (4) имеет единственное решение из С0 ([0, г] Ь2 (0, /)) , для которого справедлива оценка

I) t)

¿2 (0, l ) '

(8)

< с^И0, •)-У0II"2(0, T) + И •)-y\W2(0, t)) ' Vt e I0, T]

где c19 > 0 - постоянная, не зависящая от t. Используя неравенство

И°, •Ь у4 (0, t )+lk(l, у yi\\w} (0, t ) < c201ИI w2» ,

которое следует из вложения W22,1 (n) с W22 (0, T), из (5) и (8) получим

< c

L2 (0, l ) '

211 niwi (0, l ) ■ Vt e [0, T],

(9)

llw22 (n) + lly°ll w2 (0, t )+llyill w2 (0, t )

-NI

дх а0

где щ = щ(х,() - решение редуцированной задачи (2) при V е V .

Под решением однородной сопряженной задачи (6), (7) с неоднородными граничными условиями понимается функция п = п(х,^) из пространства С0 ([0, Г] Ь2 (0,1)), удовлетворяющая интегральному тождеству

где с2о>0 - постоянная, не зависящая от ф,/, у0, у1 и /.

Используя методику работы [7], докажем следующее утверждение:

Теорема 1. Пусть функции а(х), ф(х), Ах,(), у0((), у1(() удовлетворяют условиям (3), (4). Тогда функционал ^(у) дифференцируем по Фреше на множестве V и для его градиента справедливо выражение

I I

За (V) = Яе((х, /)/(х, /))& + 2а^(/) - ю (/)), (10)

0

где щ= щ (х, /) = щ (х, /; у ); п=П (х, ^) = п (х, ^; у ) - решения задач (2) и (6), (7) при V е V .

Условие оптимальности

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы

*

1, кроме этого, V е V является решением задачи (1), (2). Тогда для Vv е V выполняется неравенство

| | Яе(|/ (х, t* (х, t))йх - 2а(у* ^) - ю(/)) ) - V* (/^Р/ < 0,

0 [0 \

где ((х, /) = ((х, V*), г/*(х, /)= ^(х, V*) - решения

* Тг

редуцированной и сопряженной задач при V е V .

Доказательство. По утверждению теоремы 1 функционал у) является дифференцируемым по Фреше на множестве V и для его градиента справедливо выражение (10).

Докажем непрерывность этого градиента на множестве V. Для Vv е V

Ja (v + Av)- Ja (v) =

(11)

T — T — 1

= -2Д | (И(0, t ) - У0(t ))Ф(0, t )dt ~2ßi J (и(1, t ) - У1(t ))ф(1, t )dt = -| Яе(и (x, t Г (x, t ) + A y(x, t )r (x, t ))dx + 2«Av(t ),

<

n

где (х, t)=^(х, V + Ау) - решение редуцированной задачи (2) при v + Ау е v , А](х, t) = ](х, t; V + Ау) - ](х, t; у) - решение краевой

задачи

, ¿А] + ао д А] - а(х)А ] - (v(t) + Av(t))А т] = (12)

дt дх

= Ау(/](х, t; у), (х/) е ^, А](х,Т) = 0, х е (0, /),

¿атМ =-2Аа„(0, 4 t е (0, Т),

дх а0

дА]М=М. а^(/,t), tе(о,Т).

дх а0

Здесь ](х, t; у) - решение сопряженной задачи (6), (7) при V еV , ](х, ^ у + Ау) - при у + Ау е V. Эту задачу можно рассматривать как отдельную краевую задачу для уравнения Шредингера с неоднородной правой частью и с неоднородными граничными условиями. Ввиду того, что Ау] е ¿2,

м-. И

Il2 (0, l) ■

- c23

с2з(|М0, •!w2(0,r)+||Ak(l, •!(0,Г)+llAv'/||L2(П)

для Vt e [0, T]. Тогда в силу неравенства llAk(0, -ilwl(0,t)+lla^(1, -il(0,t)

< Ak|lW2, ) П0ЛУЧИМ

-

IM^ 11L2(0,1)- C2s||4,(0,

T),

(13)

где c25 > 0 - постоянная, не зависящая от Av , t.

С помощью формулы (11)

Ja'(v + Av)-J^(v)

Je'(v + Av)-Je'(V| ^(, t) L2 (0,T )|| A^ t) L2 (0,

T ) +

-3JM•, t)lL2(0,D+HHlL^i). (14)

По обозначению ^д(x,t) является решением редуцированной задачи (2) при у + Ау е V. Оценка (5) имеет место для Уу е V. Поэтому для функции ^д^О справедливо неравенство

З^а

k t)

- С0 Ы

iw22 (0, l)

+

dt

<

¿2 )

0 um w22 (0, l)

+

W2

(15)

Используя (9), (13), (15), из (14) получим для

Vv eV

Ja' (v + Av)-J„'(vl a< 4 Avil

II (0, t )

(16)

А^(0, •), А^(/, ')еЖ22 (о, Т), используя методику из [4], можно установить справедливость оценки для решения краевой задачи (12):

(0, Т) 11 (° ТУ

где с1 > 0 - постоянная, не зависящая от Дv. Это означает, что функционал Jа(v) непрерывно дифференцируем по Фреше на множестве V. Кроме того, V - выпуклое множество в L2(0,T). Тогда выполняются все условия известной теоремы [8, с. 28], по которой для Уу е V имеет место неравенство

' / * \ * *

(у ) у - V >¿2(07-)— 0, если у еV - элемент,

^ I(^а(х, ^|А](х, ^ + |А^(х, /)](х, фх + 2|Ау(/) .

о

Используя неравенство Коши-Буняковского, после простых преобразований получим

< •1а

доставляющий минимум функционалу.

Литература

1. Бутковский А.Г., Самойленко Ю.И. Управление квантово-механическими процессами. М., 1984. 256 с.

2. Якубов Г.Я. Равномерная корректность задачи Коши для эволюционных уравнений и их приложения // Функциональный анализ и его приложения. 1990. Т. 4, вып. 3. С. 86 - 94.

3. Искендеров А.Д., Ягубов Г.Я. Вариационный метод решения обратной задачи об определении квантово-механи-ческого потенциала // Докл. АН СССР. 1988. Т. 303, № 5. С. 1044 - 1048.

4. Ягубов Г.Я. Оптимальное управление коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера : автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Киев, 1994. 200 с.

5. Искендеров А.Д., Ягубов Г.Я. Оптимальное управление квантово-механическим потенциалом // Тр. ИММ АНА. 1998. Т. VIII. С. 75 - 80.

6. Искендеров А.Д. Определение потенциала в нестационарном уравнении Шредингера // Проблемы математического моделирования и оптимального управления. Баку, 2001. С. 6 - 36.

7. Махмудов Н.М. Об одной задаче оптимального управления для уравнения Шредингера с вещественнознач-ным коэффициентом // Изв. вузов. Математика. 2010. № 11. С. 31 - 41.

8. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М., 1981. 400 с.

Поступила в редакцию

4 февраля 2013 г.

<