CC BY
16
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 519.86
Н. Б. Мельников
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ФУНКЦИИ ЦЕНЫ В МНОГОМЕРНОЙ МОДЕЛИ РАМСЕЯ
(кафедра оптимального управления факультета ВМиК)
Введение. Модель экономического роста, предложенная Ф. Рамсеем [1], является основой для большинства оптимизационных моделей макроэкономики (см., например, [2]). Две важные особенности возникающей задачи оптимального управления [3, 4] — это неограниченность интервала (бесконечный горизонт планирования) и наличие фазовых ограничений (неотрицательность переменной состояния).
В работе [5] в отличие от рассмотренной в [3, 4] задачи на бесконечном интервале была рассмотрена задача на конечном отрезке с дополнительной терминальной функцией. При этом фазовое ограничение было заменено смешанным ограничением на управление, зависящим от фазовой переменной. В классе вогнутых неубывающих функций было доказано существование и единственность функции цены, не зависящей от отрезка времени. Следствиями этого факта являются, во-первых, однозначный выбор терминальной функции (априори в значительной мере произвольной), и, во-вторых, возможность использовать принцип "наращивания горизонта" для корректного определения задачи на бесконечном интервале.
Возможность рассматривать динамику нескольких производимых продуктов, а не одного, как в классической модели Рамсея [1], отмечалась многими авторами начиная с 1960-х гг. (см. дискуссию в [4]), однако так и не была в полной мере реализована, кроме случаев малой размерности (см. [6]).
В настоящей работе предлагается описание динамики п производимых продуктов при помощи дифференциального включения со смешанным ограничением на управление. Основной результат — существование и единственность функции цены, общей для произвольного конечного горизонта в модели Рамсея с несколькими производимыми продуктами. Теорема доказана в классе вогнутых неубывающих функций (ранее аналогичные результаты были получены в дискретном времени для однородной гейловской динамики [7] и в непрерывном времени для задачи Больца в классе ограниченных функций [8]). Центральную роль в доказательстве, как и в работах [5, 8], играет полугруппа операторов Беллмана, связанная с исходной задачей.
Постановка задачи. Пусть вектор ж = (ж1,..., ж") 6 К" — это набор ресурсов, а выпуклый компакт £)(ж) С К", содержащий начало координат, — производственное множество. Пусть далее у 6 0(х) — выпуск продуктов, и — потребление и (у — и) — инвестиции. Часть выпуска Аж = (А1Ж1,..., А„ж"), А¿ 6 [0,1], отвечает износу исходных ресурсов, оставшаяся часть (у — и — Ах) идет на наращивание производства. Таким образом, динамику в многомерной модели Рамсея мы задаем дифференциальным включением
¿еС(х)-и, С(х) = £>(ж) - Аж, ж(0) = (1)
где функция состояния ж(£) абсолютно непрерывна, а управление и(£) измеримо и подчинено ограничению и е -О(ж).
Напомним, что отношение частичного порядка х\ ^ Ж2 на конусе М" определяется соотношением: Ж2 — Х\ 6 К". Обозначим через УУ класс неубывающих вогнутых функций Ф : М" —> М и {оо}, ограниченных снизу:
(1) Ф(0) = 0;
(и) Ж1 ^ ж2 => Ф(Ж1) ^ Ф(ж2);
(ш) дФ(ж!) + (1 - д)Ф(ж2) «С Ф(дж1 + (1 - ц)х2), д 6 [0,1].
Пусть функция полезности -Р(и) и терминальная функция ф(х) принадлежат классу УУ. Рассмотрим задачу максимизации функционала
т
.1(х(£)1и(£)) = J ехр(-сй) (Й + ф(х(Т)) ехр(-аТ) тах, (2)
о
где а > 0 — коэффициент дисконтирования и пара (ж(£),и(£)) удовлетворяет (1). Максимальное значение функционала (2) как функцию начального состояния £ Е М" и параметра Т > 0 назовем функцией цены.
Относительно многозначного отображения х > 1?(ж), аналогично условиям (1)-(ш), предполагаем неубывание и вогнутость: (Б1) £>(0) = {0}; (Б2) Ж! <С ж2 £)(ж1) С £)(Ж2);
(БЗ) /1%) + (1-Д)%)СБ(№ + (1-Д)12), Дб[0,1].
Замечание. Перечисленным условиям удовлетворяет, в частности, однородная производственная модель Гейла [9]. Для этой модели в силу положительной однородности рО(х) = О(рх), р > О, вогнутость отображения 0{х) эквивалентна его субаддитивности: И^хф) + 0(х2) С 1?(ж1 + жг).
Вспомогательные утверждения. Обозначим через ||-|| евклидову норму пространства М™.
Лемма 1. Существует верхний предел
р = Итвир ||С(ж)|| / ||ж|| , \\G\l = тах{||#|| : д Е С},
x—уоо
и для любых существует постоянная а > 0 такая, что имеет место оценка
1Ж1К Ш| + а)ехр(7*) -а, х(0) = *е[0,оо). (3)
Доказательство. Нетрудно видеть, что Сг(ж) удовлетворяет свойствам (01), (ИЗ). Из (ОЗ) вытекает включение С{рх) Э рС{х), р Е [0,1], которое эквивалентно С{рх) С рС{х), р Е [1,оо). Отсюда следует оценка
Нт вир ||С(ж) || / ||ж|| ^ тах ||С(ж) || < оо.
■Г-5-ОО 1И1=1
Пусть 7 > р, тогда б?||ж||/(Й ^ ||б?ж/(Й|| ^ ||Сг(ж)||. Поскольку ||Сг(ж)|| ^ т||ж|| Для всех достаточно больших ||ж||, существует константа Ь > 0 такая, что ||Сг(ж)|| ^ т||ж|| + Ь для всех х Е К™. Отсюда следует требуемое неравенство (3) с константой а = Ь/у.
Лемма 2. При каждом Т > 0 функция Ут принадлежит классу УУ.
Доказательство. Обозначим через и пару функций, отвечающую начально-
му состоянию Ж1(0) = £1 Е К" и доставляющую максимум функционалу (2). Из (1) следует ¿1 = ¿(хх) — Кх\ — и\, где ¿(хх) Е 0{хф) и щ Е 0{хф). Для произвольного ^ £1 положим ж2(0) = £2, = ^(х 1(0) — Аж2(^) — По свойству (02) функция Х2^) корректно определе-
на: ¿(хх^)) Е И{х2^)) и Е И{хг(£)) при всех £ таких, что Х2^) ^ х\{1). Это неравенство верно
при всех £ ^ 0. Действительно, если х\(г) = х\(г), I Е /, и х\ (г) < х32 (г), ] Е </, где Iи <7 = {1,..., га}, в момент г ^ 0, то равенства = хг2^),г Е /, сохраняются при всех£ ^ г. Теперь монотонность функции цены следует из монотонности функций Риф: ^(£1) = ,1(х1(Ь), и\(Ь)) ф. ,1(х2ф), Ф г)-
Докажем вогнутость Пусть £1,^2 £ — произвольные начальные состояния, (жх (¿), щ^))
и (^2 (£), и2 (£)) — отвечающие им оптимальные пары. Для всех р Е [0,1] положим = рх\ф) +
+ (1 — р)х2(4) и = ри\(Ь) + (1 — р)и2(Ь), так что жм(0) = + (1 — Тогда по свойству
(БЗ) имеем хц = рх\ + (1 — р)х2 Е рС{х\) + (1 — р)С{х2) — С С{хф) — и^ ж и^ Е И{хЗначит и^)) — допустимая пара. С учетом вогнутости ^ и ф отсюда следует вогнутость
Основные результаты. Лемма 2 позволяет при каждом Т > 0 ввести оператор Беллмана Вт, действующий в пространстве УУ:
®(о) = Л, Феж (4)
тах ^ / ехр(-а£) (Й + Ф(ж(Т)) ехр(-аТ)
Оператор Беллмана переводит терминальную функцию Ф в функцию цены Vt = -ВтФ-На классе функций W определим метрику:
¿Г(ФЬФ2) = max ~ ф2(ж)1 ф ф G w
зависящую от скалярного параметра г > 0.
Лемма 3. (W,dr) — полное метрическое пространство.
Доказательство. Сходимость в метрике dr пространства W влечет поточечную сходимость (более того, равномерную сходимость на любом компакте из R"). Свойства (i)-(iii) при поточечной сходимости сохраняются, значит предельная функция также принадлежит классу W.
С этого момента дополнительно к сделанным вначале предположениям наложим на систему (1) условие ограниченности роста: р < а.
Лемма 4. Пусть 7 G (р,а) и а > 0 — константа, определенная в лемме 1. Тогда при любом Т > 0 оператор Беллмана (4) является сжимающим в пространстве (W, da) с константой ехр(—(а — у)Т) < 1:
da(BT$i,BT$2) ^ ехр(-(а-7)Г)<*а(Ф1,Ф2), ФьФ2еЖ (5)
Доказательство. При любом £ G M" справедливы неравенства
\{ВТФ!)(0 - (БтФ2)(0| ^ ехр(-аГ) ^(Г)) - Ф2(ж(Г))| <С ехр(-аТ) da(*u Ф2)(||ж(Г)|| + а).
С учетом (3) отсюда следует (5).
Теорема. При каждом Т > 0 е классе вогнутых неубывающих функций существует и единственна неподвижная точка оператора Беллмана (4), и она не зависит от параметра Т: ВтФ = Ф, Ф G W, VT > 0.
Доказательство. Из лемм 1-4 следует [10, с. 72] существование и единственность неподвижной точки оператора Беллмана: Вт^т = Фт G W при каждом Т > 0. Операторы Беллмана Bs и Bt перестановочны в силу полугруппового свойства: BsBt = Bs+t = BtBs, s,t ^ 0. Легко проверяется
Утверждение. Пусть В : X —> X — сжимающий оператор, действующий в полном метрическом пространстве X, и х G X — неподвижная точка этого оператора: Вх = х. Пусть далее А : X —т- X — произвольный оператор, перестановочный с В: АВ = ВА. Тогда х — неподвижная точка оператора А: Ах = х.
Отсюда немедленно следует, что неподвижная точка оператора Bs является также неподвижной точкой оператора Bt. Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть ф = Ф в задаче (2). Тогда функция цены Vt не зависит от Т: Vt = Ф, VT > 0.
В [7] функционал (2) с терминальной функцией Ф назван объективным.
Следствие 2. При любой терминальной функции ф EW функция цены Vt = Втф сходится в метрике da к функции Ф при Т —> оо.
Доказательство. В силу (5) для произвольных 7G (р, а), Т > 0 и ф Е W имеет место оценка
da(BT4>, ф) = da(BTi>, Втф) ^ ехр(-(а - 7)Г) da^, Ф).
Отсюда следует сходимость Втф —> Ф при Т —> сю в метрике da.
Автор благодарен В.З. Беленькому за постановку задачи и полезное обсуждение.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ramsey F. P. A mathematical theory of saving // The Economic Journal. 1928. 38(152). P. 543-559.
2. Blanchard О. J., Fischer S. Lectures on macroeconomics. Massachusetts. Cambridge: The MIT press, 1989.
3. Cass D. Optimal growth in an aggregative model of capital accumulation // Review of Economic Studies. 1965. 32. P. 233-240.
4. Koopmans T.C. On the concept of optimal economic growth // Cowles Foundation Paper. N 238. Yale Univ. Connecticut. New Haven, 1963. P. 1-76.
5. Беленький В.З. Теорема о стационарном решении обобщенной модели Рамсея-Касса-Купман-са // Анализ и моделирование экономических процессов. М.: ЦЭМИ РАН, 2004. Вып. 1. С. 95-108.
6. W h е 1 а п К. Balanced growth revisited: two-sector model of economic growth // Finance and Economics Discussion Series. 2001. N 4. P. 1-34.
7. Беленький В.З. Объективные функционалы в стационарных моделях экономической динамики // Моделирование механизмов обмена в экономических системах. М.: ЦЭМИ РАН, 1979. С. 93121.
8. Яковенко С.Ю. Неподвижные точки полугруппы операторов Беллмана и инвариантные многообразия гамильтоновых субдифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика. 1989. № 6. С. 43-52.
9. Яковенко С.Ю. Асимптотика оптимальных траекторий в гейловских моделях, функционирующих в непрерывном времени // Автоматика и телемеханика. 1986. № 9. С. 144-153.
10. Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.
Поступила в редакцию 29.11.04
УДК 519.62/.642
Методы решения обратных задач для модели популяции / Макеев A.C. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2005. № 3. С. 3-16.
Рассматриваются обратные задачи для модели популяции биологических объектов. Первая обратная задача состоит в определении функции, характеризующей скорость смертности, по измерению плотности популяции объектов определенного возраста. Другая обратная задача состоит в определении начальной плотности популяции по функции, характеризующей плотность объектов популяции определенного возраста. Для обеих задач получены итерационные методы и сформулированы условия их сходимости. Рассмотрены некоторые вопросы, связанные с применением метода регуляризации Тихонова для решения обратных задач.
Ил. 2. Библиогр. 7.
УДК 517.958:535.14
О разностном методе нахождения собственных мод нелинейного уравнения Шредин-гера / Варенцова С. А., Трофимов В. А. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2005. № 3. С. 16-22.
В работе предложен эффективный разностный метод нахождения собственных функций нелинейного уравнения Шредингера, описывающего распространение светового пучка в оптическом волноводе с кубичной нелинейностью и фиксированным размером области по поперечной координате. Даны методические рекомендации по построению собственных функций любого порядка в зависимости от коэффициента нелинейности и характерного поперечного размера волновода.
Ил. 2. Табл. 1. Библиогр. 13.
