Оценка доходности инвестиционных проектов в модифицированной модели Кантора-Липмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.865.5

М.П. Ващенко1

ОЦЕНКА ДОХОДНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ В МОДИФИЦИРОВАННОЙ МОДЕЛИ КАНТОРА-ЛИПМАНА*

В работе анализируется доходность инвестиционных проектов в модифицированной модели Кантора-Липмана. Исследуется возможность оценок снизу на доходность инвестиционных проектов путем поиска периодических траекторий. Найдены необходимые и достаточные условия существования траектории периода 2. Найдены достаточные условия, сформулированные в виде явных требований к структуре инвестиционного проекта, гарантирующие существование определенной траектории периода 2.

Ключевые слова: инвестиционные проекты, оценка доходности, модифицированная модель Кантора-Липмана.

1. Общее описание модели. Рассматривается модель инвестиционной деятельности, в которой финансовые потоки поступают в дискретные моменты времени с равномерным единичным шагом £ = 0,1,... . Инвестиционный проект описывается вектором а = {ао, а\,..., аг} финансовых потоков в последовательные моменты времени, где 1 ^ г < оо — продолжительность реализации проекта. Положительные значения щ определяют доход, получаемый в г-ш момент времени после запуска инвестиционного проекта, а отрицательные значения — вложения в тот же момент времени, необходимые для его осуществления. Предполагается, что инвестиционная деятельность ведется в условиях самофинансирования, т. е. вложения в проект могут осуществляться за счет имеющихся у инвестора денежных средств или доходов, полученных от ранее осуществленных проектов. Если проекты доступны для инвестиций, то они могут осуществляться в произвольном объеме и ^ 0, чему соответствуют финансовые потоки у,а, = {иао, иа\,..., иаг}.

2. Модель Кантора-Липмана. Дополнительно делаются следующие предположения:

• горизонт планирования деятельности инвестора конечен (п), цель инвестора — максимизация терминального дохода за п шагов, доходом считаются деньги, оказавшиеся на руках у инвестора;

• первоначальный капитал инвестора равен 1;

• инвестиции разрешены в первые (п — г) моментов времени (горизонт инвестирования);

• инвестиционный проект стационарен, т. е. доступен для вложений в любой момент времени на горизонте инвестирования.

Вводятся следующие обозначения: ит — интенсивность вложений в проект в момент времени т, 8т — сальдо счета инвестора. В соответствии с общим описанием модели накладываются следующие ограничения:

ит ^0, т = 0,1, 2,..., п — г,

ит = 0, т > п — г,

г

— 8т—1 "I" ^ ^ т 1,

i=Q

«о = 1 + а о«о,

«то ^ 0, т = 0,1, 2,..., п.

Так как инвестиции разрешены только в первые (п — г) моментов времени, а г — время реализации проекта, то все операции будут завершены к моменту времени п, т. е. можно считать, что Уп = ,эп —

хФакультет ВМиК МГУ, асп., e-maihm_vashchenkoQmail.ru.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 08-07-00158-а); РГНФ (проект N0 08-02-00347а); программы по поддержке ведущих научных школ НШ 2982.2008.01; ПФИ ОМН РАН 3; ПФИ РАН 14.

15 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 2

терминальный доход. Цель инвестора — выбрать вектор и = (щ) таким образом, чтобы максимизировать Vn. Будем считать характеристикой проекта темп роста капитала инвестора: д = lim VnJn

п—>со

(IRR, Internal Rate of Return — внутренняя ставка доходности проекта).

г

Вектору а, задающему инвестиционный проект, ставится в соответствие полином a(z) = a%z% ■

%=о

Результаты Кантора и Липмана говорят о том, что характеристика инвестиционного проекта д тесно связана с корнями полинома a(z).

Теорема 1 [1]. Если а(1) ^ 0, тогда Vn = 1 для Vn. Если а(1) > 0 и a(z) не имеет корней на интервале (0,1), тогда существует конечное п : Vn = ос. Если а(1) > 0 и a(z) имеет корни на интервале (0,1), тогда существуют положительные константы Ai < Аг, такие, что

где в 5 = 1-

А ф~п!пи А 2в~п/п\

максимальный из корней a(z), принадлежали,их интервалу (0,1), (h +1)

кратность в, т. е.

3. Модель с неопределенностью. Как и в [2], будем описывать финансовое состояние инвестора вектором ¿*(£) € Кг+1, ¿-я компонента которого равна денежным остаткам в момент времени (¿ + г) при условии, что начиная с момента времени £ новые проекты не начинались. Если обозначить через и(1) объемы вложений в инвестиционный проект в момент времени то динамика финансовых состояний будет описываться уравнением

+ 1) = А(Щ

(1)

где

Ь = (b0,bu .. .,br);

г

bi = Y,a

3=0

/О О

■31

А

(г+1)х(г+1)

1 О

0

1

О

\о

О

о

о о

0\

о

1 1/

Условие самофинансирования означает, что денежные остатки у инвестора должны быть неотрицательны в любой момент времени: s¿(í) ^ 0, г = 1,..., г.

Откажемся от предположения о стационарности инвестиционного проекта. Будем предполагать, что в каждый момент времени возможны два события: либо проект остается по-прежнему доступным для инвестиций, либо проект "закрывается" (исчезает спрос на инвестиции) и тогда инвестор должен завершить все уже начатые инвестиционные проекты, не начиная при этом новых. При этом делается предположение, что вероятность наступления второго события постоянна и равна А = const. Обозначим через V(s) функцию Беллмана, которая будет оценивать наилучший результат инвестирования в описанных условиях при начальном финансовом состоянии s. Тогда

V(s) = max [A(s + ub)r + (1 - A)V(A(s + ub))}.

{к| и^О, s+ub^Q}

Этому уравнению соответствует оператор Беллмана:

BW(s)= max [A(s + ub)r + (1 - A)W(A(s + ub))].

{k| s+ub^Q}

Стратегию, соответствующую решению уравнения Беллмана,

u(s) = argmax [A(s + ub)r + (1 - A)F(A(s + ub))}

{u\u^Q, s+ub^Q}

назовем оптимальной стратегией инвестирования.

4. Решение уравнения Беллмана

Лемма 1 [3]. Пусть \¥(з) — монотонная, вогнутая, положительно однородная функция, тогда ее образ (под действием оператора) ВШ{я) — также монотонная, вогнутая, положительно-однородная функция.

Лемма 2 [3]. Пусть К — выпуклый компакт, такой, что 0 € К, К С С Со К. Обозначим

||F(s)|| = sup |V(s)|. Тогда для любых линейно-однородных функций Vi(s) и V2(s), определенных на век

Ж++1, справедливо неравенство

||BV2(s) - ВУгШ < а~1{1 - A) \\V2(Z) - ,

где

а= sup inf{g ^ 0| l/q(A(s + üb)) € К}.

и^О, s+ub^Q 9

Теорема 2 [3]. Если 0 ^ 1 — А < а, то уравнение Беллмана имеет единственное решение V(s) в классе положительно-однородных функций. При этом функция V(s) — монотонная, вогнутая, положительно однородная функция.

Отметим, что в общем случае гарантировать единственность решения уравнения Беллмана нельзя.

Пример 1. Рассмотрим следующий проект: b = (—1 ;q). Это проект депонирования средств под ставку q. Тогда уравнение Беллмана выглядит следующим образом:

V(su s2) = A(s2 + qsi) + (1 - A)V(s2 + qsi, s2 + qsi).

Если обозначить V{s\, s2) = f(s2 + qsi) = /(ж), где x = s2 + qs\, то уравнение перепишется как

/(ж) = Ах + (1 — Д)/((1 + q)x).

При условии, что (1 + д)(1 — Д) < 1, решениями данного уравнения будут являться функции

Дт

ш = ДЖ£((1 + g)(l - Д)Г = l4l + g)(1^A),

f2(x) = f1(x) + x-lo^+^1~A\

Первое решение является дисконтированным потоком платежей, порождаемых проектом, где ставка дисконтирования зависит от ставки депонирования и вероятности исчезновения спроса на инвестиции. Второе решение представимо в виде суммы дисконтированного потока платежей, составляющей первое решение, и функции, отражающей оценку инвестором платежей, приходящихся на бесконечно удаленные от начала инвестирования моменты времени.

Представляет интерес поиск такой вероятности 0 < А < 1, при которой оптимальной будет "осторожная" стратегия, т. е. когда u(s) = argmax [A(s + tib)r].

{к| и^О, s+ub^0}

г

Для начала определим, какова же эта осторожная стратегия. Отметим, что Ьг = ^ a,:j > 0, так как

3=0

мы считаем проект априори прибыльным (иначе нам незачем было бы инвестировать в него деньги). Это означает, что функция f(u) = sr + ubr возрастающая, а значит, ее максимум будет достигаться на границе рассматриваемой области D(u) = {и\и^ 0, s + ub ^ 0}. Значит, оптимальной "осторожной" стратегией будет <f>(s) = min^l1^. Заметим, что ф(в) > 0, так как в условиях сделанных выше

предположений s0 > 0, Ьо < 0.

Теорема 3 [4]. Обозначим В\ = max |bt|, В2 = min |bt|, тогда при условии А > 1 — -Ш-

lsctsjr 1 sCtsCr: bt<0 1

верно, что

где

ф(в) = argmax [A(s + ub)r + (1 - A)V(A(s + ub))},

{к| s+ub^0}

ф(з)= min (-£). (2)

0<г<г: bi<0 V bj 1

5. Оценка темпа роста капитала. Будем далее рассматривать систему (1) при А > 1

в2

4Bi

Как было показано [4, теорема 3], при таком условии оптимальной стратегией инвестирования является (bis) = min (). Таким образом, мы приходим к динамической системе 0<г<г: bi<О V bi J

g(t + 1) = As(t) = A(s(t) + ф(Щ)Ь), t = 0,1,2,

s(0) = so,

т. е. на каждом шаге t = 1,2,... применяется один из операторов

Лг ■ AiS(t) = А ¡^s(t) -

Каждый из операторов Ai задается матрицей

Ai = [a,Q, а,\,..., а,г] ,

Vb

где г : bi < 0.

<Н =

0...0 1 0...0

»t+i

0...0

гф{г- 1 ),r,

Щ-i = [о... 0]

аг =

0...0 --!- 0...0 1

(3)

(4)

Попробуем найти оценки снизу на темп роста капитала в системе (3). Один из способов, которым это можно сделать, — поиск периодических траекторий. Мы попробуем найти классы инвестиционных проектов, для которых можно найти вектор ¿о, на котором реализуется определенный темп роста. В работе [4] были найдены необходимые и достаточные условия существования у системы (3) векторов сбалансированного роста. Анализ схемы поиска вектора сбалансированного роста, реализованной в работе [4], говорит о том, что при исследовании существования периодических траекторий существенную роль играет специфический вид функции (2) и операторов (4). Поэтому несколько следующих фактов будет посвящено именно им.

Замечание. Поскольку элементы вектора Ь нумеруются начиная с 0, то при описании строения матриц, которые будут использоваться в дальнейшем, мы будем предполагать, что нумерация строк и столбцов матриц также наминается с 0.

Для начала заметим, что в соответствии с видом функции (2) весь положительный ортант (область определения системы (3)) можно разбить на конусы, для векторов которых будет известно, какой оператор из набора (4) должен применяться к ним в соответствии с системой, т. е.

Г+1 -

Kjk =

= {JKjk,

3k

s> 0 :

Jk

bjk < 0,

D3k

^ 8

3

-b

11L

-bi

3

bj< 0

Определение конуса можно записать в следующем виде: = ^ 0 : в ^ 0}, где

|ПХ(г+1)

Ыо, (¿1,..., (1п-г] ,

Dh е

D:h =

dt =

0...0

3t+1

-К

0...0

3k 1

0...0

dk-i = [0...0].

Здесь и далее индексами 31,32-, ■■■ -,3к-, ■■■ -,3п-, обозначаются отрицательные компоненты вектора Ь. Для дальнейших рассуждений нам будет удобно записать конус К^к через его направляющие. Лемма 3. Справедливо следующее представление конуса К^к :

Кзи = {« : * = вз*Р, Р >

где

В.к еК(г+1)х(г+1)5

В3к — [^О; %!■>•••■> яг]

Зк

Ч =

Х3к ~

0...0 1 0...0 -\bt\_ 0...0

* Ф Зк,

Зк

0...0 — \bjj_ о... о

Доказательство.

В3к = N,«1

, . . . , иГ1 ,

уг= 0...0 1 0...0

Зк

0...0 0...0

Ь3к

В)ЗкВЗк = [ио-,и1-, ■ ■ ■ 1ип-1} ,

Зь+1

Зк

Кг

Ь3к

0...0

* Ф Зк,

щ =

Ь>

Зк

0...0 0...0 1 0...0

Зк

= [о...о], < о.

Предположим, что 5 = В^кр, р ^ 0. Из определения матрицы В^к следует, что 5^0. Тогда

Г>3** = Е)ЗкВЗкР <

Предположим, что в : ^ 0. Это означает, что 5

вектор р следующим образом: р = В:1 в. Распишем каждую компоненту вектора р:

0 V* = 1,...,

п. Тогда определим

Зк

Рг = «г ^ 0, Ъ ф I = 1

Рк = ~ -Г- ' *3к > 0-

и3к

, . . . , IV,

п,

Утверждение леммы 3 доказано.

Определение 1. Будем говорить, что у системы (3) существует периодическая траектория

длины к, задаваемая операторами А],. *4/.......А]к. обеспечивающая темп роста капитала А, если

выполнено следующее:

ЗТ ^ 0 : + 1) = Щ, + 2) = Л]2+ 1),

я(г + к) = А:)кЩ + к - 1),

<г(г + к) = АзкА,к... т = хт т > т.

Запишем теперь формально условия существования у системы (3) периодической траектории длины 2, задаваемой операторами А^ и А^2, обеспечивающей темп роста А:

Р > о,

о,

ВЗкАЗи2АЗи1ВЗи1Р = Х'Р-

(5)

Рассмотрим класс инвестиционных проектов, для которых Ъ\ < 0, и рассмотрим вариант = 0 и Зк2 = 1; т-е. попытаемся найти периодическую траекторию системы (3), которая бы реализовывалась путем применения операторов А^ и А\. В таком случае

В3к2 ~ [ж°'Ж1'''''Жг]

о

хг =

Ы-

2

КГ

0...0

1ф 1,

х\ =

1

ь[

0...0

Взн Азн взн = [?о, 91, • • •, Яг]' до = [0...0],

% =

[к+2]+ + Ы.

Ъ+1

Яг-1 =

ьг к

1 г+2

0...0 1

1ф 0, ¿<(г-2),

Яг =

Ьг к

О —0...0 1

Теорема 4. Рассмотрим класс инвестиционных проектов, для которых Ь\ < 0. Необходимым и достаточным условием существования у системы (3) периодической траектории длины 2, задаваемой операторами До и обеспечивающей темп роста капитала А, является совместность следующей системы:

к= 1 А1 2 ] .(А —1)

— 1, 3,»»»^ т'^

к= 1

А^

А1 2 ] .(А —1) ^ 0.

ь, =0,

(6)

к=1

•(А-1)

Доказательство. В матрице В^ А,-^ Л | до = [0 ... 0]. Это означает, что ра = 0. Тогда система (5) с учетом Ъг > 0 запишется следующим образом:

'т ^ о, г = 1,...,г,

Х-рг=рг+2+р2- * = 1, - - -, (г- — 2),

А'Рг-1 =Рг+Р2- '

А'Рг =Рг +Р2 • (-|г) ' Л+1+Р2- (-тг) ¿ = 2,...,(г-1),

(7)

Лемма 4. В соответствии с системой (7) элементы вектора р можно записать в следующем

виде:

Рг =

Р 2

Е

/г=1

А*

2 ] . (л - 1)

Доказательство. Будем доказывать утверждение леммы 4 по индукции. Базой индукции фактически являются третье и четвертое равенства (7). Предположим, что утверждение леммы верно для некоторого р1, докажем его для 2- В соответствии со вторым равенством (7)

Рг . Ьг-1 Рг-2 = -г + Р2 ■ —г—г = А —61 • А

Р 2

Е

Ь+2к-1

-Ъ1 V ^ Л"+1

лт+1.( л-1)

Ъг-1 А

Р2

Е

/г=1

—1

хк

А^] • (А - 1)

Лемма 4 доказана.

Положим р2 = 1 (это эквивалентно нормировке вектора р). Тогда, подставив в систему (7) выражение для рг, можно записать эквивалентную систему:

£

к=1

> - \Ы-

А1 2 ] .(А —1)

'г-Ц- ,

— 1 ► 3 ► > > > ►

Р(Х)= £ +

к=1 А1 2

= о,

А1 2 ] .(д_1)

£ ^ + ->0.

I, к= 1

А1 2 ] .(д_1)

Теорема 4 доказана.

Лемма 5. Рассмотрим произвольное В ^ 0 и введем следующие обозначения:

Ьтт(*) = г г Ь+2к-Ъ ^тах(^) =

тах

^тах(^)

III; IX

|^+2/г —11 ; Кпт^) —

тт

1 '

*»»(*) = Г г тах (А;-*), /р(1) = тт (А;-*).

Если 1 < А < '•»(')+.

ь+{п(г)

1, то выполнено неравенство

Е

к=1

Хк

дт • (л -1)

> в.

Если А ^ fli>(2^Jj^j^j + 1 ч то выполнено неравенство

fc=i

хк AL^J • (А - 1)

Доказательство. Проверим первое утверждение леммы:

ftt+2fc-i__Ьг > in(t) _ ^ Q+in(t) + bmax(t)) ■ I{bt+2i_1<0} b^in(t) >

h Afc лИ . (А - 1) " (Л -1) • лМ " ¿i А* к xk ^

fi+Ji) , fi+Ji) ■ (xW+1-M*) _ 1) (6+ (i) + b-ax(t)) • (A'» « - 1)

>

(А-1).А[т] (Л -1) - (A-l)-AM*)

b+n(i) (b+n(i) + b-ax(t)) ■ (A^W - 1) > b+in(t) - (b+in(t) + b-ax(t)) • (A^'H1 - 1) > B

(Л- 1) -A/pW"1 (А — 1) • Аг«(*) " л'»(*)+1-1

Проверим второе утверждение леммы:

yj b2+2k-i br b+ax(2) _ b-in(0) У Ь+ах(2)

к » AM.(A-I) 1S(A-1).AM" fro А* Afc

bi«(2) , btax(2) • (A^H1"*^) - 1) b-n(0) • (A^2) - 1)

(A - 1) • A^] (A - 1) - Al^] (A-1)-A/p(=M

A^(2)-b-in(0) + b+ax(2) + b-in(0) (А - 1) • \U(2)~l

Утверждение леммы 5 доказано.

/ ь+ (t)

Следствие. Введем обозначение: Ль = min 'n(t}+\ 7+—, , , _ m'°, г,-;-.Если

t=l,3,...,r- у i>min(t) + i>max(t)-[bt-l]_ + l

< 0.

V тт\и/

то у системы (3) существует периодическая траектория длины 2, задаваемая операторами Д0 ш обеспечивающая темп роста капитала А, где А — корень уравнения А) = 0, принадлежащий интервалу (1; Ль].

Доказательство. Воспользуемся первым утверждением леммы 5 для системы (6). Условие 1 ^ А ^ Ль является достаточным для выполнения первого и третьего неравенств (6). Значит, для совместности системы (6) будет достаточно, чтобы у второго уравнения (6) существовал корень на интервале 1 ^ А ^ Л&. Поскольку ^ Нт^^(А) = +оо, то достаточным условием существования интересующего нас корня будет -Р(Ль) < 0. В соответствии со вторым утверждением леммы 5 достаточным условием отрицательности -Р(А) будет

Ль ^ +

V min V/

Утверждение следствия доказано.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Cantor D. G., Lipman S. A. Investment selection with imperfect capital markets // Econometrica. 1983. 51. N 4. P. 1121-1144.

2. Sonin I. M. Growth rate, internal rates of return and turn pikes in an investment model // Economic theory. 1995. 5. P. 383-400.

3. Шананин A.A., Биккинина JI. И. К теории доходности инвестиционных проектов в условиях несовершенного финансового рынка // Сб. трудов XLVI конф. МФТИ. Москва; Долгопрудный: МФТИ, 2003. С. 136-137.

4. Ващенко М. П. Исследование уравнения Беллмана в одной задаче оптимального инвестирования // Сб. статей молодых ученых факультета ВМиК МГУ. Вып. 3. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2006. С. 32-43.

5. Dorfman R. The meaning of internal rates of return // J. of Finance. 1981. 36. N 5. P. 1011-1021.

6. Cantor D.G., Lipman S.A. Optimal investment selection with a multitude of projects // Econometrica. 1995. 63. N 5. P. 1231-1240.

7. Беленький В.З. Экономическая динамика: анализ инвестиционных проектов в рамках линейной модели Неймана-Гейла // Препринт WP. 137. М.: ЦЭМИ РАН, 2002.

8. Макаров В. Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1979.

9. Рубинов A.M. Экономическая динамика // Современные проблемы математики. 1982. 19. С. 59-110. 10. Нечепуренко М. И. Итерации вещественных функций и функциональные уравнения. Новосибирск: Изд-

во ИВМиМГ СО РАН, 2005.

Поступила в редакцию 21.05.08

УДК 517.938, 519.715

В.Н. Закройщиков1

МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ ГИБРИДНЫХ СИСТЕМ ПРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯХ*

Описывается понятие областей достижимости гибридных систем, а также использование эллипсоидальных методов для их вычисления в случае, когда имеют место последовательные переключения на нескольких заданных гиперплоскостях или полосах. Приводится алгоритм вычисления множеств достижимости для гибридной системы при помощи эллипсоидальных аппроксимаций для случаев, когда множества переключения являются плоскостями или полосами. Получена параметризация невыпуклых областей достижимости как объединение пересечений соответствующих эллипсоидальных оценок.

Ключевые слова: гибридные системы, область достижимости, эллипсоидальные аппроксимации.

Введение. Данная работа описывает понятие областей достижимости гибридных систем, а также использование эллипсоидальных методов для их вычисления в случае, когда имеют место последовательные переключения на нескольких заданных гиперплоскостях или полосах.

Как известно [1], гибридными называются системы с взаимодействующими элементами системной динамики — непрерывной составляющей (моделируемой, например, дифференциальными уравнениями) и дискретной составляющей (моделируемой, например, конечным автоматом). Таким образом, имеется набор режимов, в каждом из которых система развивается непрерывным образом, причем возможно дискретное переключение между режимами. Изучение областей достижимости — важный элемент теории управления. Их вычисление имеет большое значение для построения синтезирующих

хФакультет ВМиК МГУ, асп., e-mail:vadimzkrQmail.ru.

* Работа выполнена при финансовой поддержке программы "Государственная поддержка ведущих научных школ" (грант НШ-4576.2008.1), а также научной программы "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект № РНП 2.1.1.1714).