CC BY
58
УДК 517.984.3+517.988.525
Смирнов А.И.
СУБОДНОРОДНЫЕ МОНОТОННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ И АДДИТИВНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПЕРРОНА-ФРОБЕНИУСА
Дается обзор результатов о свойствах орбит некоторых классов сохраняющих порядок нелинейных динамических систем в банаховых пространствах. Основное внимание уделяется дискретным динамическим системам, порождаемым так называемыми субоднородными отображениями. Анализируются нелинейные обобщения теоремы Перрона-Фробениуса для различных классов монотонных отображений.
Ключевые слова: динамическая система, монотонные отображения, субоднородные отображения, нелинейная теория Перрона-Фробениуса.
Smirnov A.I.
THE USE OF SUBHOMOGENEOUS MONOTONE MAPS IN MULTIPLICATIVE AND ADDITIVE NONLINEAR PERRON-FROBENIUS THEORY
An overview of results on the properties of orbits of some classes of order-preserving nonlinear dynamical systems in Banach spaces is provided. The article focuses on discrete dynamical systems generated by the so-called subhomogeneous mappings. The nonlinear generalizations of the theorem of Perron-Frobenius for various classes of monotone maps are analyzed.
Keywords: dynamical system, monotone maps, subhomogeneous maps, nonlinear Perron-Frobenius theory.
Монотонные динамические системы обычно определяются на упорядоченных банаховых пространствах. Приведем соответствующую терминологию. Упорядоченное банахово пространство есть действительное банахово пространство X с непустым замкнутым конусом K (который вводит упорядочение и потому иногда называется положительным). Банахово пространство -это нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Действительное банахово пространство является векторным пространством над полем действительных чисел.
Динамическая система (поток, flow) -это непрерывное отображение
<: X х R ^ X , для всех x е X , s, t е R , удовлетворяющее свойствам
<(x, 0) = x, <(x, t + s) = < <(x, t), s), где R -
множество действительных чисел. Часто рассматривают динамические системы только для неотрицательных моментов времени t е R+ (в англо-язычной литературе -semidynamical systems); в этом случае используется термин полупоток (semiflow). Кроме того, проводят различие между непрерывными и дискретными системами, в зависимости от того, непрерывна или дискретна область значений времени в системе. В непрерывной динамической системе время меняется на всей числовой прямой
(для потоков) или на ее неотрицательной части (для полупотоков); в дискретной динамической системе время принимает либо целочисленные значения, либо неотрицательные целочисленные. Дискретные динамические системы обычно определяются с помощью итераций отображений р : X ^ X , их порождающих:
(р( х, г) = Р ' (х) для всех г = 0,1,2, ....
Траекторию точки х под воздействием отображения р в теории динамических систем обычно называют орбитой (или по-луорбитой,подчеркивая, что используются только неотрицательные моменты времени): 0(х) = {рг(х) : г = 0,1,2, ...} . Если пространство х метризуемо, омега-предельным множеством для х е X называют множество всех предельных точек полуорбиты: с(х) = {у е х : р'к (х) ^ У} , где
{ Ргк (х)} - некоторая подпоследовательность из 0(х). Если О(х) имеет компактное замыкание, то с( х) не пусто, компактно и инвариантно относительно отображения Р, т.е. Р(с(х)) = со(х) [1] (Lemmens В., Nussbaum R.D., 2012). Аттрактор отображения Р определяется как Ог = и с(х)
хеХ
Если рк (х) = х для некоторого к ^ 1, то такая точка х называется периодической. Минимальное число р ^ 1 среди всех таких чисел к называется периодом точки х и ее орбиты (точка х при этом называется р -периодической). Заметим, что в этой терминологии неподвижная точка отображения Р также является периодической (1-периодической).
Пусть X - действительное банахово пространство. Выпуклое подмножество К из X называется конусом, если ХК е К для
всех 0 и K П (-K) = {©} , где О - нулевой элемент пространства. Конус к называется открытым (замкнутым), если это открытое (замкнутое) подмножество пространства X . Конус называется телесным, если он имеет непустую внутренность.
Конус K в банаховом пространстве X индуцирует частичный (нестрогий) порядок:
х < y о y - x е K . Если конус телесен, то можно определить строгий частичный порядок: х < y означает y - х е intK (здесь
intM означает внутренность множества M ). Обычно используется еще одна промежуточная разновидность этих отношений, обозначаемая х < y, когда х < y и х Ф y. Конус неотрицательных векторов конечномерного пространства Rn будем обозначать RП.
Ненулевой вектор х называется (мультипликативным) собственным вектором отображения F, соответствующим собственному значению X, если F(х) = Хх .
Динамическая система является монотонной, если р(х, t) < р(y, t) при х < y для t е R+ (непрерывный случай) или для
t = 0,1,2, ... (дискретный случай). Многие из наиболее интересных результатов в теории монотонных динамических систем требуют некоторых более сильных свойств сохранения порядка. Мы далее будем рассматривать непрерывные и дискретные динамические системы только в неотрицательном времени (полупотоки), уделяя основное внимание дискретным системам.
Динамическая система является строго монотонной, если х < y о р(х, t) < р(y, t)
для t е R+ или, для дискретных систем, для
t = 0,1,2, .... Для (строго) монотонных отображений в теории динамических систем обычно используется термин «(строго) сохраняющие порядок отображения».
Более ограничительным является усло-
вие сильной монотонности. Динамическая система является сильно монотонной, если x < y о p(x, t) < p(y, t) для всех t > 0 или, в дискретном случае, для t = 1,2, .... Свойство сильной монотонности является достаточным для многих результатов, но оно неприменимо к конусам, имеющим пустую внутренность. Такие системы часто возникают в приложениях, связанных с запаздываниями или с дифференциальными уравнениями в частных производных. В этом случае обычно привлекается более слабое свойство сильного сохранения порядка, также достаточное для многих результатов: динамическая система является сильно сохраняющей порядок (strongly order preserving), если она монотонна и всякий раз, когда x < y, найдутся такие открытые окрестности U и V точек х и y соответственно, что p(U, t0) < <p(V, t0) для некоторого положительного t0. В этом случае из монотонности вытекает, что <p(U, t) < <p(V, t) для всех
t ^ t0. Если непрерывная динамическая система является сильно монотонной или сильно сохраняющей порядок и обладает некоторыми свойствами компактности (например, если ограниченные полуорбиты имеют компактные замыкания), то в принципе ее динамика существенно упрощает-ся[1] (Lemmens B., Nussbaum R.D., 2012).
В дискретном случае отображение F: X ^ X, порождающее сильно сохраняющую порядок (strongly order preserving) динамическую систему, называется сильно сохраняющим порядок отображением (SOP-отображением). В этом случае для любых x, y е X условие x < y гарантирует
существование таких окрестностей U, V точек x, y соответственно, что
F' (U) < F' (V), для всех целочисленных
моментов времени, начиная с некоторого
момента t = t„ > 1.
Сильная монотонность была введена М. Хиршем в работах [2; 3] (HirschM. W., 1983, 1984), в то время как понятие SOP-отображения было предложено позднее в работах [4, 5] (Matano H., 1984, 1986) и модифицировано в работах [6; 7] (Smith H., Thieme H.R., 1990, 1991). Заметим, что существует и иное понимание SOP-отображе-ния (см., например, работу [8] (Dancer E., Hess P., 1991)).
В теории монотонных динамических систем обычно рассматриваются сильно (или строго) монотонные дискретные и непрерывные динамические системы. Пионерские работы в этой области выполнил М. Хирш [9] (Hirsch M.W., 1988), установивший, в частности, фундаментальное свойство сильно монотонных динамических систем - их в некотором смысле «универсальную» («generic» - в терминологии М. Хирша) сходимость. В непрерывном времени почти все (в смысле некоторой меры) предкомпактные орбиты сильно монотонных динамических систем сходятся к равновесиям. Обстоятельное и достаточно полное изложение результатов нелинейной теории динамических систем содержится в относительно недавно вышедшей книге Б. Лемменса и Р. Нуссбау-ма «Non linear Perron-Frobebius Theory» [1] (Lemmens B., Nussbaum R.D., 2012). Подробный обзор этих результатов также представлен в недавней работе [1 0] (Смирнов А.И., 2016).
Изучались также различные дополнительные условия, гарантирующие сходимость всех орбит вместо почти всех орбит. Одним из таких условий оказалось свойство субоднородности отображения. Такого рода отображения (названные им вогнутыми) рассматривал М.А. Красносельский [11] (Красносельский М.А., 1962) при изучении спектральных свойств некоторых классов отображений в банаховых пространствах с конусом. Заметим, что определение вогнутости у М.А. Красносельского отличается от общепринятого в выпуклой теории.
Ряд существенных динамических свойств субоднородных отображений определяется тем обстоятельством, что в некоторой метрике они являются нерасширяю-щими. Класс нерасширяющих (в той или иной метрике) отображений является важным классом отображений, позволяющим ограничить многообразие траекторий соответствующих динамических систем.
Отображение Р некоторого метрического пространства (X, р) в себя называется нерасширяющим, если
р(Р(х), Р(у)) < р(х, у) для любых точек
х,у этого пространства.
Пусть X - действительное банахово пространство, упорядоченное конусом К . Элементы х, у е X называются сравнимыми (обозначение: х ~ Ку ), если х ^ а у и
у ^ ах при некотором а > 0 . Конус к распадается на классы сравнимых друг с другом элементов; эти классы называют компонентами [12] (Забрейко П.П., Красносельский М.А., Покорный Ю.В., 1971).
Для сравнимых элементов х, у е X определим величину
М (х / у) = ^ {ре R : х ^ Ру}.
Версия Биркгофа метрики Гильберта может быть определена следующим образом:
dн (х, у) = ^ (М (х / у) • М (у / х) )
для х ~к у при у ф О, dн (О, О) = 0, и dн (х, у) = в противном случае.
Очевидно, что dн(ах, Ру) = dн (х,у) для всех а, р > 0 и х ~к у . Если к является замкнутым конусом, то dн (х, у) является псевдометрикой (полуметрикой, по другой терминологии), поскольку dн (х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = а у при некотором а > 0. Вместе с тем dн (х, у) опре-
деляет метрику на множестве лучей в каждой компоненте сравнимых элементов конуса (свойства метрики Гильберта можно найти, например, в уже упоминавшейся монографии [1] (Lemmens B., Nussbaum R.D., 2012), а также в обзоре [10] (Смирнов А.И., 201б).
С аналитической точки зрения версия Биркгофа метрики Гильберта имеет один недостаток - а именно: это метрика на парах лучей, а не на парах точек. Поэтому в приложениях часто рассматривается вариант этой метрики, введенный в диссертации Э. Томпсона [13] (Thompson A.C., 1963). Эту широко используемую в исследованиях по динамическим системам разновидность проективной метрики Гильберта впоследствии стали называть метрикой Томпсона. Именно в этой метрике монотонные субоднородные преобразования внутренности конуса в банаховом пространстве оказались нерасширяющими [1] (Lemmens В., Nussbaum R.D., 2012). Эффективность такого рода метрик впервые независимо обнаружили в 1950-х годах Г. Биркгоф [14] (Birkhoff G., 1957) и Г. Самельсон [15] (Samelson H., 1957). Их результаты являются основополагающими для последующего развития нелинейной теории Перрона-Фро-бениуса.
Если задан замкнутый конус K в банаховом пространстве X, то метрика Томпсона определяется как
dT (х, y) = log max (M(x / y),M(y / x)}
для x ~K y при y ф о, dT (О, O) = 0, и
dT (x, y) = в противном случае. Легко
убедиться, что dT (х, y) является метрикой на каждой компоненте сравнимых векторов конуса K .
Как уже отмечалось, метрика Томпсона широко используется в исследованиях по линейному и нелинейному анализу (см., например, обзор в статье [16] (Lemmens В., Roelands M., 2015).
В некоторых отечественных исследованиях метрика dT (x, y) называется также метрикой Биркгофа [15; 17; 18] (Забрей-ко П.П., Красносельский М.А., Покорный -Ю.В., 1971; Опойцев В.И., 1977, 1986), поэтому будем называть ее в дальнейшем метрикой Биркгофа-Томпсона.
В последние десятилетия идеи Биркго-фа и Самельсона были развиты многими авторами, усилиями которых получила развитие новая область нелинейного анализа - нелинейная теория Перрона-Фробениу-са. Достаточно полное введение в эту область дано в недавней монографии [1] (Lemmens B., Nussbaum R.D., 2012).
Нелинейная теория Перрона-Фробени-уса содержит две взаимосвязанных ветви -мультипликативную и аддитивную, использующие, соответственно, либо мультипликативные собственные векторы и собственные значения (как принято в обычной теории Перрона-Фробениуса), либо аддитивные собственные векторы и собственные значения.
В нелинейной теории Перрона-Фробе-ниуса обычно рассматриваются дискретные динамические системы, которые являются не только монотонными, но и удовлетворяют дополнительным предположениям, таким как положительная однородность (аддитивная или мультипликативная), выпуклость (вогнутость), а также их ослаблениям типа аддитивной или мультипликативной субоднородности (сублинейности) или p -выпуклости ( p -вогнутости). Здесь получен ряд обобщений классической теоремы Фробениуса-Пер-рона, гарантирующих существование собственных векторов различных классов отображений и сходимость орбит к некоторому собственному вектору.
Если собственные векторы отображения заполняют сплошь единственный луч, выходящий из начала координат, за исключением нуля (как это происходит для монотонных положительно однородных первой
степени отображений), их множество будем для краткости называть собственным лучом.
Естественным объектом для обобщений результатов, справедливых для линейного случая, является класс монотонных положительно однородных первой степени отображений. В конечномерном случае для
конуса Rn неотрицательных векторов из Rn первые результаты для этих отображений получили Р. Солоу и П. Самуэльсон [19] (Solow R.M., Samuelson P.A., 1953) в математической экономике. В частности, они обобщили свойство сходимости к собственному лучу
lim (Anx/Г) = c(x)x*
установленное теоремой Перрона для положительной матрицы a с собственным вектором x*, соответствующим доминирующему собственному значению Г = Г(A), на положительно однородные первой степени отображения, назвав это свойство относительной устойчивостью орбит. Затем их результаты были усилены в работах М. Моришимы [20] (Morishima M., 1964). Дальнейшие пионерские результаты в этом направлении были получены в работах [21-25] (Nikaido Н., 1968; Morishima M., Fujimoto T., 1974; Kohlberg E., 1982; Oshime Y., 1983; Krause U., 1986).
Относительная устойчивость играет важную роль в моделях сбалансированного роста в экономике и в нелинейных моделях экологических популяций. Если это свойство установлено для некоторого нелинейного отображения, для соответствующей динамической системы это означает асимптотический рост со скоростью Г-1.
Достаточно полное изложение этих результатов содержится в отечественных переизданиях [26; 27] (Моришима M., 1972; Никайдо Х., 1972) перечисленных выше монографий.
Одним из основополагающих результатов для бесконечномерных пространств является теорема Крейна-Рутмана [28] (Крейн М.Г., Рутман М.А., 1948) о существовании доминирующего собственного значения и соответствующего ему собственного вектора вполне непрерывного линейного отображения, оставляющего тотальный конус в банаховом пространстве инвариантным. Напомним, что конус называется тотальным, если его замкнутая линейная оболочка есть всё пространство. Это означает, что каждый элемент пространства представляется в виде разности двух элементов конуса или является пределом таких разностей.
Теорема Крейна-Рутмана стимулировала множество исследований. В частности, большой вклад в развитие нелинейной спектральной теории внесли работы [29-32] (Bonsall F.F., 1954, 1955, 1958, 1962) и [3335] (Schaefer H., 1955, 1959, 1960). Подробное изложение этих результатов можно найти в работах [36-37] (Schaefer H., 1974; Mallet-Paret J., Nussbaum R.D., 2010).
Пионерскими в нелинейной теории Пер-рона-Фробениуса являются также работы М. А. Красносельского и других представителей его научной школы [11, 15, 38-40] (Красносельский М. А., 1962; Бахтин И.А., 1963; Забрейко П.П., Красносельский М.А., Покорный Ю.В., 1973; Красносельский М.А., Забрейко П.П., 1975; Красносельский-М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А. В., 1985).
В частности, для монотонного субоднородного отображения показано, что наряду с каждыми двумя собственными значениями X, Х2, которым соответствуют положительные собственные векторы хх(Х) , х2 (X ), собственными значениями являются также все X е (X, Х2), причем соответствующие им собственные векторы х(Х) также положительны и функция х = х(Х) является неубывающей на интервале
(А, А) (при некоторых дополнительных предположениях типа миниэдральности конуса). Слабые производные по конусу F '(О) и асимптотическая производная F '(да) (в случае их существования) являются, соответственно, мажорантой и минорантой отображения F, а собственные значения соответствующих сильных производных по конусу (при некоторых дополнительных предположениях на отображения f ,
F'(О), F'(да)) дают верхнюю АО и нижнюю Ада границы спектра отображения
F [11] (Красносельский М.А., 1962, теоремы 6.10, 6.11). Это дает возможность получать условия существования положительных неподвижных точек в терминах собственных значений миноранты и мажоранты отображения F , требуя 1е (Ада, АО) (иногда, в зависимости от свойств отображения F, в промежуток собственных значений могут входить и граничные точки этого интервала). Заметим, что в предположениях вышеупомянутой теоремы 6.11 о нижней границе спектра используется условие u0 -вогнутости отображения F, являющееся усилением свойства субоднородности в направлении строгой субоднородности.
Нелинейная теория Перрона-Фробениу-са для класса монотонных положительно однородных первой степени отображений в бесконечномерных банаховых пространствах развивалась в работах многих авторов, среди которых отметим работы Р. Нус-сбаума [41-44] (Nussbaum R.D., 1981, 1988, 1989, 1996), а также работы [37; 45-46] (Chang K.C., 2009; Mallet-Paret J., Nussbaum R.D., 2002, 2010). В этих работах исследуются условия существования и единственности (нормализованного) собственного вектора в банаховом пространстве и сходимости к нему итераций (нормализованного) отображения (при некото-
рых дополнительных предположениях о свойствах пространства и отображения).
Как уже упоминалось выше, в нелинейной теории Фробениуса-Перрона наряду с обычным, мультипликативным представлением задачи о собственных векторах и собственных значениях используется также аддитивное ее представление: вектор о е X и число X е R являются, соответственно, аддитивным собственным вектором и аддитивным собственным значением отображения F е{X ^ X} , если F(о) = к + о ,
где к = (X, ... , X) и к + о = (A + Uj, ... ,A + un)
Аддитивное представление задачи о собственных векторах связано с использованием понятия аддитивной однородности. Отображение f называется аддитивно однородным, если для всех x е X, X е R выполнено F (x + к) = F (x) + к.
Мотивация разработки теории аддитивно однородных отображений связана с потребностями моделирования процессов, инвариантных по отношению к операции сдвига компонент вектора состояния системы на одну и ту же постоянную величину. Например, в задаче моделирования дискретных событийных систем времена наступления всех событий могут быть сдвинуты на одну и ту же константу.
Дискретная событийная система (discrete event system) неформально может быть определена как система, состоящая из конечного множества событий, каждое из которых может происходить неоднократно (подробности см., например, в работе [47] (Cassandras C. G., Lafortune S., 2008)). Это удобная абстракция для исследования разнообразных систем, функционирующих в реальной жизни: цифровых схем, сетей связи, автоматизированных производственных систем и т.д.
Упорядочим события в дискретно-событийной системе так, чтобы каждое событие было связано с одним из чисел 1,2, ... , n .
Пусть xi обозначает момент наступления события i относительно некоторого произвольно выбранного начального момента времени. Предположим, что эволюция системы во времени такова, что момент следующего наступления события i определяет функция f : Rn ^ R+. В этом случае эволюция системы определяется итерациями отображения F(x) = (f(x), ... , fn(x)) .
Поскольку начальный момент времени выбирается произвольно, времена наступления всех событий могут быть изменены на одну и ту же константу. Это и означает наличие свойства аддитивной однородности отображения F.
Кроме того, если время наступления событий задерживается, то это должно отразиться в задержке наступления следующих событий. Это в точности соответствует монотонности отображения f по отношению к частичному порядку в Rn. Таким образом, аддитивная однородность и монотонность в такой постановке задачи возникают вполне естественно [48] (Gunawardena J., 2003).
Заметим, что существует тесная связь между двумя видами собственных векторов, поскольку существует преобразование, переводящее множество монотонных аддитивно однородных отображений в множество монотонных мультипликативно однородных отображений (или, по используемой
в случае R!l терминологии, в множество положительно однородных первой степени отображений). Этим преобразованием является так называемое log-exp-преобразо-вание вида f ^ E ° F о L , ставящее в соответствие отображению F е {Rn ^ Rn} отображение G(x) = E(F (L(x))) , где L(x) = (logxl, ... ,logxn) (x е intR+n) ,
E(x) = (ex 1, ... ,ex-) (xеRn) [49] (Akian M., Gaubert S., 2003). Соответственно обратное
exp-log-преобразование, ставящее в соответствие отображению G е {int R" ^ int R"}
отображение F(х) = L (G(E(х))), переводит множество монотонных мультипликативно однородных отображений в множество монотонных аддитивно однородных отображений. Действительно, для всех
а
> 0, х е int R+ имеем:
G(ax) = E (F (L(ax))) = E (F (L^) + lna)) = = E (F (L( х)) + lna) = E (F (L^) ))• E (lna) =
= aE(F(L^))) = aG(х) , поскольку
F(L(х) + lna) = F(L(х)) + lna в силу аддитивной однородности отображения F .
Далее, если вектор х - аддитивный собственный вектор, соответствующий (единственному) аддитивному собственному значению X аддитивно однородного отобра-
жения
F е{я" ^Rn}, то F(х) = к + X и,
следовательно, G (E (х) ) =
=E( F( L( Р(х)})) = E( F^)) = E(X+х) = (¿Efä
так что вектор E (х) является мультипликативным собственным вектором, соответствующим мультипликативному собственному значению eX отображения G. Обратно, мультипликативным собственному вектору y е int R" и собственному значению U > 0 мультипликативно однородного отображения G е {int R" ^ int R"} соответствуют аддитивные собственный вектор L(y) и собственное значение ln и отображения F е {Rn ^ Rn} .
Заметим, что единственность аддитивного собственного значения вполне согласуется с тем, что это значение при exp-log-преобразовании соответствует единствен-
ному положительному собственному значению положительно однородного первой степени отображения - его доминирующему собственному значению [27] (Никайдо-Х., 1972).
Между собственными векторами и неподвижными точками существует тесная связь, поскольку собственный вектор, соответствующий аддитивному собственному значению Х = 0, является неподвижной точкой отображения Р, так же, как и собственный вектор, соответствующий мультипликативному собственному значению ц= 1.
Рассмотрим простой пример отображений, связанных указанными преобразованиями. Отображение Р(х) с компонентами /(х) = х) = (х1 + х2)12 является монотонным аддитивно однородным отображением. Решая систему уравнений Р (х) = X + х,
получаем х1 + Х = х2 + Х = (х1 + х2)/2, т.е. х1 = х2 и Х = 0. Таким образом, все собственные векторы вида х = (а, а) (а > 0) этого отображения являются его неподвижными точками. Соответствующее отображение
G( х) = Е ( Р ( L( х) )) имеет вид
G(х) = (Тхх, ^хх2) и является монотонным положительно однородным первой степени отображением, имеющим доминирующее собственное значение и = 1 и соответствующие ему собственные векторы у = (а, а) (а > 0), также являющиеся его неподвижными точками.
Естественно, что два вида субоднородных отображений также связаны этим преобразованием: множеству монотонных мультипликативно субоднородных отображений при exp-log-преобразовании соответствует множество монотонных аддитивно субоднородных отображений. Существование этой связи позволяет из утверждений,
справедливых для однородных (субоднородных) отображений одного вида, получать аналогичные утверждения для однородных (субоднородных) отображений другого вида. Так, для сохраняющих порядок отображений равносильность мультипликативной субоднородности свойству быть нерас-ширяемым в метрике Томпсона позволяет сформулировать следующее утверждение: сохраняющее порядок отображение является аддитивно субоднородным тогда и только тогда, когда оно является нерасширяю-щим в sup-норме [1] (Lemmens В., Nussbaum R.D., 2012, Lemma 2.7.2). Это утверждение основано на результатах работы [50] (Crandall M.G., Tartar L., 1980).
В аддитивной спектральной теории оказалась полезной функция
t (x) = max {xj, x2, ... , xn}, на неотрицательном ортанте R+ совпадающая с нормой ||Х| ш и сохраняющая свойство субаддитивности (присущее норме) на всем Rn. Вслед
за работой [51] (Gunawardena J., Keane M., 1995) эта функция активно использовалась при исследовании свойств аддитивно однородных отображений. Используя представление
||Х| ж = max {t (х), t (-х)} покажем, что отображение L(x) = (logx1, ... ,logxn) (x e intR+) является изометрией пространства (int R+, dT) в пространство (Rn, || • ||ю) [42]
(Nussbaum R.D., 1988), см. также [1] (Lemmens В., Nussbaum R.D., 2012). С учетом очевидных соотношений
log max — = max log — = max(log xt - log yi) =
i=1,..,n y i=1,..,n y i=1,..,n
= t (L(x) - L(y)) имеем:
ёт (x, y) = max{t (L(x) - L(y)), t (L(x) - L(y))}
= | |L( x) - L( y)|| e
Таким образом, sup-норма в Rn соответствует метрике Томпсона
dT (x, У) = ||log x - log y||ш .
В работе [50] (Crandall M.G., Tartar L., 1980) впервые было замечено, что аддитивно однородное отображение является монотонным в том и только в том случае, если оно является нерасширяющим в sup-норме
(Ixll = max Ix.I)
V ||ш i=1,..., J г|/'
Интересно, что монотонное аддитивно
субоднородное отображение F : Rn ^ Rn может быть представлено монотонным аддитивно однородным отображением
G(x, y) = (F(x - y) + y, y) ( x e Rn, y e R ) , действующим в пространстве большей размерности [52] (Gaubert S., 2005). Поскольку G' (x, 0) = F (x), 0) для всех t = 0,1,2, ..., это означает, что асимптотическое поведение итераций субоднородного отображения F может быть получено исследованием асимп-■готического поведения итераций соответствующего однородного отображения G.
Этот переход в пространство большей размерности (в частном случае одномерного пространства - для n = 1) впервые предложили Дж. Гунавардена и М. Кин в вышеупомянутой работе [51] (Gunawardena J., Keane M., 1995). В этой же работе монотонные аддитивно однородные отображения были названы ими максимальными (topical). Характеристическим свойством этих отображений является свойство
t (F(x) - F(y)) < t (x - y) - максимальные
отображения являются в этом смысле «не-расширяющими» по отношению к функции t(x).
Максимальные отображения являются также нерасширяющими в полунорме Гильберта. Полунорма Гильберта, определяемая
= как
xII = max x - min x
и я
не является нор-
мой, поскольку ||Х|Н = 0 означает лишь совпадение всех координат вектора х. Заме-
тим, что полунорма Гильберта соответствует проективной метрике Гильберта
^ (^ У) = |N х " ^ у||н.
При исследовании динамики итераций аддитивно однородных (в частности максимальных) отображений естественно использовать аддитивную спектральную теорию. Если вектор и является аддитивным собственным вектором и X - аддитивное собственное значение, то в силу однородности отображения f справедливы равенства Fk (и) = кк + и (к = 0,1,2, ...) . Поскольку, как мы видели, монотонное аддитивно однородное отображение является нерасши-ряющим в sup-норме, отсюда получаем
Fk (jj) - kk-v = Fk (jj) - Fk (v)
^ \x-v
т.е. Fk(x) = kk + 0(1) при k для всех
x e Rn и все орбиты имеют линейную скорость роста X . Это означает, в частности, единственность аддитивного собственного значения X для монотонного аддитивно однородного отображения.
Таким образом, в случае существования аддитивного собственного значения все траектории максимальных (topical) отображений асимптотически эквивалентны. Кроме того, из равенства Fk (x) = kk + 0(1) следует, что существует не зависящий от выбора вектора x предел
X(F) = lim (Fk(x)/k) = (X, ... , X), назван-
k v ' '
ный в работе [53] (Gunawardena J., 1994) «cycle йте»-вектором. Интерпретацию этого вектора в качестве асимптотического среднего времени до следующего события проясняет его представление в виде
X(F) = Hm k1 £ (F (x) - F-1(x)).
i=1
В мультипликативной постановке вектору х( F) соответствует вектор
$(G) - lim (Gk (х)) , определяющий геометрическую скорость роста орбиты. Действительно, известно, что в замкнутом конусе R монотонное положительно однородное первой степени отображение G е {R ^ R"} всегда имеет ненулевой собственный вектор v, соответствующий собственному значению / е Я+ [27] (Никайдо
Х., 1972). Если х е R - любой вектор, удовлетворяющий условию I+ (х) -1+ (v),
где I+ (х) - {/ е 1, n : xt > о} , то av g х g ßv при некоторых положительных константах a, ß. Но тогда aXkvg Gk (х) g ßXkv при всех k - 0,1,2, ... и, следовательно,
Hm(gk (х))1'k - / (V/ е I + (х)) , где
Gk (х)-( gk (х),..., gk (х)) . В частности, если vе int R, то I+ (х) -1, n и Jiin (gk (х))1'k - / (V/ е 1, n) , так что
&(G) - E (х(F)) (здесь и далее 1, n обозначает множество {1,..., n} ).
Существование вектора x(F) связано с существованием неподвижной точки отображения f . Действительно, если существует неподвижная точка х отображения
f, то х(F) - нулевой вектор. Поэтому если
вектор X(F) не существует или не все его компоненты нулевые, отображение F не может иметь неподвижной точки.
Нас прежде всего будут интересовать неподвижные точки монотонных отображений, в первую очередь, мультипликативно субоднородных, а также условия сходимости орбит к этим неподвижным
точкам.
да
да
Как уже отмечалось, впервые конкретное условие типа субоднородности появилось в диссертации [13] (Thompson A.C., Diss. Ph.D., 1963). Здесь же использовалось и более простое условие вида
x^ay ^F(x)^apF(y) (0 < p < 1), которое также гарантировало существование единственной неподвижной точки отображения F и сходимость к ней последовательных приближений.
Для линейного случая в конечномерном пространстве с неотрицательной примитивной матрицей отображения (т.е матрицей, некоторая степень которой положительна), согласно теореме Фробениуса-Перрона, возможны лишь три ситуации - все орбиты, стартующие из любой ненулевой точки, либо стремятся к бесконечности, либо сходятся к нулевой неподвижной точке, либо сходятся к положительной неподвижной точке (причем неподвижная точка в последних двух случаях является единственной). Это свойство предельного множества впоследствии было названо трихотомией (limit set trichotomy - LST-свойство). В классическом линейном случае эти три возможные ситуации определяются соотношением доминирующего собственного числа матрицы с единицей. Оказывается, и в более общем случае, в нелинейной теории Перрона-Фробениуса, для положительно однородных первой степени примитивных (на некотором множестве точек) преобразований конуса R+ ситуация аналогична [27] (Никайдо Х., 1972). Напомним, отображение f является примитивным в точке
y e R+, если для любого x > y существует
такое k > 0, что Fk (x) > Fk (y).
Дальнейшие результаты в этом направлении получили М. Хирш и Х. Смит. Так, в работе [3] (Hirsch M.W., 1984, Theorem 6.1) LST-свойство доказано для сильно монотонных отображений на R+, имеющих строго антимонотонный якобиан DF (x) (антимо-
нотонность означает DF(х) < DF(y) при х > y ). Эти результаты были усилены в статье [54] (Smith H.L., 1986, Theorems 2.1, 2.3). В частности, в случае существования тривиального равновесия здесь доказана сходимость ограниченных орбит либо к этому
равновесию (при р(DF(О)) ^ 1), либо к положительному равновесию (при р( DF (О) )> 1). В работе [55] (Krause U.,
Ranft P.,1992) LST-свойство было установлено для непрерывных монотонных примитивных преобразований конуса RП, некоторая степень которых является строго субоднородным отображением.
В работе [56] (Krause U., Nussbaum R.D., 1993) LST-свойство впервые было получено в бесконечномерном пространстве - в случае нормального конуса в банаховом пространстве с непустой внутренностью, для непрерывных примитивных на конусе преобразований внутренности конуса, некоторая степень которых является сжатием в метрике Томпсона (при дополнительных предположениях компактности).
Еще один класс бесконечномерных дискретных динамических систем, имеющих LST-свойство - вогнутые положительно однородные отображения, удовлетворяющие определенным условиям ограниченности (см. обзоры в изданиях [1; 57] (Lemmens В., Nussbaum R.D., 2012; Krause U., 2015)).
Заметим, что вогнутое на всем R" отображение является монотонным и непрерывным [57] (Krause U., 2015, Lemma 2.1.3),
а также субоднородным на R".
В недавней работе [58] (Cavalcante R.L. G., Shen Y., Staeczak S, 2015) используются монотонные строго субоднородные отображения (авторы, следуя работе [59] (Yates R.D., 1993), называют их «стандартными интерференционными» (standard interference mappings). Их неподвижные точки позволяют быстро оценить
технико-экономический проект развития систем беспроводной сотовой связи. Для обозначения свойства субоднородности авторы используют термин «масштабируемость» (scalability).
Более интересен случай, когда положительное равновесие не является единственным. Для субоднородного отображения в этом случае можно определить величины
a = inf {a > 0: F(ax) = ax},
a2 = sup {a > 0: F(ax) = ax }.
Нетрудно показать, что при aj < a2 множество неподвижных точек монотонных субоднородных отображений наряду с точкой x e int K либо целиком содержит бесконечный луч {ax : a e [0, +^)}, либо его часть
{ax :ae[a,a2]} при aj > 0, a2 < + ю .
При некоторых дополнительных предположениях можно показать отсутствие положительных неподвижных точек, лежащих на разных лучах. Так, А.И. Смирновым [6061] (Смирнов А.И., 1977, 1979) эти свойства были получены (при исследовании некоторых моделей экосистем) первоначально для монотонных вогнутых отображений и затем для монотонных субоднородных отображений на R+. П. Такач [62] (Takac P., 1990)
установил эти свойства для дискретной субоднородной сильно монотонной динамической системы в банаховом пространстве. М. Хирш и Х. Смит показали справедливость этого свойства в банаховом пространстве в условиях сильной монотонности субоднородного отxбражения на конусе (при некоторых предположе ниях компактности) [63] (Hirsch M. W., Smith H. L., 2005, Theorem 5.22).
Ряд авторов (вслед за М. А. Красносельским) использовали для доказательства существования неподвижной точки (или собственного вектора) усиление свойства субоднород-
ности вида F(ax) > <p(a)F(x) (Va e (0,1)),
где <(a) - некоторая непрерывная положительная функция, заданная на промежутке [0,1] и удовлетворяющая условию
<(a) > a при 0 < a < 1. Заметим, что отображения, удовлетворяющие этому свойству, являются сильно субоднородными. Так, М.А. Красносельский [39] (Красносельский М.А., Забрейко П. П., 1975) изучал
u0 -вогнутые отображения, для которых
<(a) = [1 + r(x,a)]a, где r(x,a) > 0. В работе [64] (Li F Y., Liang Z.D., 1994) изучались отображения (названные авторами < -отображениями), для которых функция < с теми же свойствами зависит также и от элемента пространства. У Краузе рассматривал отображения, удовлетворяющие свойству <(a)F(x) < F(y) при ax < y [65] (Krause U., 1986), названные им ascending-отображениями. В работе [66] (Guo D., Lakshmikantham V., 1988) использовались т -вогнутые отображения, для которых
<(a) = aT при Te (0,1). В работе [67] (Chen Y.-Z., 1993) сходимость к единственной неподвижной точке в банаховом пространстве с конусом, имеющим непустую внутренность, была доказана для обобщения т -вогнутых отображений, когда т = т(а, b) зависит от отрезка [a, b] с [0,1], содержащего a.
В работе [68] (Jiang J.-F., 1996) для субоднородных отображений, удовлетворяющих следующему усилению свойства монотонности:
Vx, y e R+ : x < y, x < y (Vi e I) ^ F(x) < F(y), f (x) < f (y) (Vi e I)
доказана глобальная сходимость к равновесиям. Отображения, удовлетворяющие этому условию, были названы в этой работе отображениями типа K.
П. Такач [62] (Takac P., 1990) установил сходимость всякой ограниченной орбиты к
неподвижной точке (вообще говоря, не единственной) для субоднородной сильно монотонной динамической системы. В его же работе [69] (Такас Р., 1996) эти результаты были обобщены на введенный им класс отображений - сжатий на лучах в абстрактных хаусдорфовых топологических конусах. Нерасширяющее отображение Р: К ^ К называется сжатием на лучах, если из справедливости равенств
d ( ¥п (х), ¥п (у) ) = d (х, у) при
всех
n = 1,2, ... следует х = ay при некотором а е (0, +да). Заметим, что схожие отображения рассматривал также Р. Нуссбаум в работе [42] (Nussbaum R.D., 1988).
В работе [63] (Hirsch M.W., Smith H.L., 2005) для непрерывного сильно монотонного субоднородного отображения, удовлетворяющего некоторым условиям компактности, показана сходимость ограниченных орбит к некоторой неподвижной точке.
Эти результаты являются ключевыми для анализа итерационного поведения сохраняющих порядок субоднородных отображений, действующих в банаховых пространствах.
Если отображение F имеет собственный вектор (единичной нормы), соответствующий некоторому положительному собственному значению X, то для нормализованных отображений Gk(х) = Fk(х)/||Fk(х)|| (k = 1,2,...)
этот собственный вектор является общей неподвижной точкой. В связи с этим естественно ожидать сходимости (при определенных условиях) последовательности значений этих отображений при k ^ +да к собственному
вектору исходного отображения F .
С тех пор, как Г. Биркгоф [14] (Birkhoff G., 1957) получил сходимость такого рода для линейных преобразований банаховых решеток, было получено большое количество результатов подобного рода для различных классов отображений как в об-
щих банаховых пространствах, так и для R+.
Кроме указанных нормализованных отображений, на сходимость итераций к собственному вектору исходного отображения исследовались также отображения Hk (х) = Fk (х) / Xk, а на сходимость к собственному значению -
функции вида fk (х) = ||Fk+1(х)||/||Fk (х)||,
II k ||1/k
gk (х) = F (х) , переводящие собственный вектор в соответствующее собственное значение.
Так, в частности, в R+ для вогнутых и
однородных отображений справедливы следующие утверждения.
Теорема [70] (Krause U., 2001, Theorem
1). Пусть отображение F: R+ ^ R+ является вогнутым и F(х) > О для всех х > О . Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) задача о собственных значениях F(х) = Xx при X е R , х е K, ||х|| = 1 имеет
* Л Л *
единственное решение х = х , X = X , причем х* > О, XX > 0.
(2) для нормализованного отображения
F(х) = F(х)/||F(х)|| (х > 0) существует
limFk (х) = х для всех х > О .
Теорема [70] (Krause U., 2001, Theorem 3). Пусть отображение F: R+ ^ R+ является вогнутым, положительно однородным первой степени и примитивным в любой точке х > О. Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) задача о собственных значениях
F(х) = Хх имеет решение х* > О, X > 0 . Если х > О, X е R еще одно ее решение, то X = X* и х = rx для некоторого г > 0;
Fk (х)
(2) Vx > О 3 ^ > 0: lim
V / х k ^да
*\ k
(X')
= s X
lim Fk (x)
(3) k-m.1 Fk (x)||
= x
для всех x > О;
(4)
F (x) * ,, k ,1k
lim11,, , = X = lim \Fk (x)
k ^w
Fk (x)
k^w II
для
всех x > О.
Для субоднородных отображений в банаховых пространствах соответствующее утверждение имеет следующий вид.
Теорема [1] (Lemmens В., Nussbaum R.D., 2012, Theorem 6.5.6). Пусть отображение
F e {int K ^ int K} является сохраняющим
порядок отображением, где K - телесный замкнутый конус банахова пространства V и F(u) = ru для некоторого u e intK .
Пусть Я (x) = r(x) при x e int K . Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) если отображение F является субоднородным и отображение я удовлетворяет условиям (L) и (U), то для любого
x e intK существует такое Xx > 0, что Hmя(x) = Xxu . Более того, множество
{X > 0 : F(Xu) = Xru} является интервалом;
(2) Если отображение f является однородным и удовлетворяет одному из условий
(L) или (U), то lim (Fk (x)/ <(Fk (x))) = u
для всех x e int K и < e K* при <(u) = 1.
Условия (L) или (U) являются условиями типа локальной примитивности: отображение F удовлетворяет условию (L) в точке y e int K, если существует такая открытая окрестность U с int K точки y, что для каждого x e U выполнено
x < y ^3 к > 1: Fky (x) < Fky (y).
Условие (U) получается из условия (L) заменой последней импликации следующей:
х > y ^3 ky > 1: Fky (x) > Fky (y).
В статье [23] (Kohlberg E., 1982) для нормирования отображений использовались так называемые шкалы - положительно однородные монотонные функции
p е {Rm ^ R+} , являющиеся обобщением монотонной нормы, т.е. нормы, удовлетворяющей свойству х ^ y ^ ||х|| ^ ||y|| (см. также понятие нормирующего функционала [28] (Крейн М.Г., Рутман М.А., 1948)). Для слабо однородного отображения f (при некоторых дополнительных предположениях) здесь доказана сходимость итераций
отображения F (х) = F (х)/ p ( F (х) ) к собственному вектору, принадлежащему множеству P = {х е Rm : p(х) = l} . Отображение f называется (положительно) слабо однородным на множестве M, если для всех х е M , ае R+ справедливо F(ах) = f (a)F(х), где функция f : R+ ^ R+ такова, что отношение f (х)/х является невозрастающим и f (0) = 0 (т.е. эта функция является субоднородной).
Аналогичные утверждения (при более слабых предположениях) доказаны в работах [25; 71] (Fujimoto T., Krause U., 1985; Krause U., 1986]. В этих статьях также используется еще одно обобщение однородности - понятие сохраняющего лучи (ray-preserving) отображения, для которого
F(Хх) = X'F(х) при некотором X' е R+ одновременно для всех х е M , X е R+ .
*
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Lemmens B., Nussbaum R.D. Nonlinear Perron-Frobebius Theory. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 189. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2012.
2. Hirsch M.W. Differential equations and convergence almost everywhere in strongly monotone flows // Contemporary Mathematics. 1983. Vol. 17. P. 267-285.
3. Hirsch M.W. The dynamical systems approach to differential equations // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 1984. Vol. 11. P. 1-64.
4. Matano H. Existence of nontrivial unstable sets for equilibriums of strongly order preserving systems // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. 1984. Vol. 30. P. 645-673.
5. Matano H. Strongly order-preserving local semi-dynamical systems // Theory and Applications, in Semigroups. Vol. I / H. Brezis, M. G. Crandall, and F. Kappel, eds. Res. Notes in Math., 1986. Vol. 141. Longman Scientific and Technical, London. P. 178-185.
6. Smith H.L., Thieme H.R. Quasi convergence for strongly ordered preserving semiflows // SIAM J. Math. Anal. 1990. Vol. 21. P. 673-692.
7. Smith H.L., Thieme H.R. Convergence for strongly ordered preserving semiflows // SIAM J. Math. Anal. 1991. Vol. 22. P. 1081-1101.
8. Dancer E.N., Hess P. Stability of fixed points for order-preserving discrete-time dynamical systems // J. ReineAngew. Math. 1991. Vol. 419. P. 125-139.
9. Hirsch M.W. Stability and convergence in strongly monotone dynamical systems // J. ReineAngew. Math. 1988. Vol. 383. P. 1-53.
10. Смирнов А.И. Субоднородные отображения в теории монотонных динамических систем // Вестник УИЭУиП. 2016. №1(34). С. 68-80.
11. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962.
12. Забрейко П. П., Красносельский М.А., Покорный Ю.В. Об одном классе линейных положительных линейных операторов // Функциональный анализ и приложения. 1971. Т. 5, вып. 4. С. 9-17.
13. Thompson A.C. Generalization on the Perron-Frobenius theorem to operators mapping cone into itself. Ph.D. thesis. Univ. of Newcastle upon Tyne, 1963.
14. Birkhoff G. Extension of Jentzschrs Theorem // Trans. Amer. Math. Soc. 1957. Vol. 85. P. 219-227.
15. Samelson H. On the Perron-Frobenius theorem // Michigan Math. J. 1957. Vol. 4, no. 1. P. 57-59.
16. Lemmens B., Roelands M. Unique geodesics for Thompsons metric // Ann. Institut Fourier. 2015. Vol. 65, no. 1. P. 315-348.
17. Опойцев В.И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения. М.: Наука, 1977.
18. Опойцев В.И. Нелинейная системостатика. М.: Наука, 1986.
19. Solow R.M., Samuelson P. A. Balanced growth under constant return to scale // Econometrica. 1953. Vol. 21. P. 312-424.
20. Morishima M. Equilibrium, Stability and Growth. London, New York: Oxford Press (Klarendon), 1964.
21. Nikaido H. Convex Structures and Economic Theory // New York: Academic Press, 1968.
22. Morishima M., Fujimoto T. The Frobenius theorem its Solow-Samuelson extension and the Kuhn-Tucker theorem // J. Math. Econom. 1974. Vol. 1. P. 199-205.
23. Kohlberg E. The Perron-Frobenius theorem without additivity // J. Math. Econ. 1982. Vol. 10. P. 299-303.
24. Oshime Y. An extension of Morishimas nonlinear Perron-Frobenius theorem // J. Math. Kyoto Univ. 1983. Vol. 23. P. 803-830.
25. Krause U. Perrons stability theorem for non-linear mappings // J. Math. Econom. 1986. Vol. 15. P. 275-282.
26. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972.
27. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.
28. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха // Успехи матем. наук. 1948. Т. 3, вып. 1 (23). С. 3-95.
29. Bonsall F.F. Sublinear functionals and ideals in partially ordered vector spaces // Proc. London Math. Soc. 1954. Vol. 4. P. 402-418.
30. Bonsall F. F. Endomorphisms of partially ordered vector spaces // J. London Math. Soc. 1955. Vol. 30. P. 133-144.
31. Bonsall F.F. Linear Operators in Complete Positive Cones // Proc. Lond. Math. Soc. 1958. Vol. s3-8, Issue 1. P. 53-75.
32. Bonsall F.F. Lectures on Some Fixed Point Theorems of Functional Analysis. Bombay: Tata Inst. Fund. Res., 1962.
33. Schaefer H. Positive transformationen in lokalkonvexenhalbgeordnetenvekton^umen // Math. Ann. December 1955. Vol. 129, Issue 1. P. 323-329.
34. Schaefer H. On nonlinear positive operators // Pacific J. Math. 1959. Vol. 9(3). P. 847860.
35. Schaefer H. Some spectral properties of positive linear operators // Pasific J. Math. 1960. Vol. 10. P. 1009-1019.
36. Schaefer H. Banach Lattices and Positive Operators // Grundlehren der MathematischenWissenschaften. New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 1974.
37. Mallet-Paret J., Nussbaum R.D. Generalizing the Krein-Rutman theorem, measures of noncompactness and the fixed point index // J. Fixed Point Theory Appl.2010. Vol. 7, Issue 1. P. 103-143.
38. Бахтин И.А. О нелинейных уравнениях с равномерно вогнутыми операторами // Сиб. матем. журн. 1963. Т. 4. № 2. С. 268-286.
39. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.
40. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы. Метод положительных операторов. М.: Наука, 1985.
41. Nussbaum R.D. Eigenvectors of nonlinear positive operators and the linear Krein-Rutman theorem // Lect. Notes Math. 1981. Vol. 866. P. 303-330.
42. Nussbaum R.D. Hilbert's projective metric and iterated nonlinear maps // Mem. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 75, no. 391.
43. Nussbaum R.D. Iterated nonlinear maps and Hilbert's projective metric. Part II // Mem. Amer. Math. Soc. 1989. Vol. 79, no. 401.
44. Nussbaum R.D. Eigenvectors of order preserving linear operators. J. Lond. Math. Soc. 1996. Vol. 2. P. 480-496.
45. Chang K. C.A nonlinear Krein-Rutman theorem // J. Syst. Sci. Complex.2009. Vol. 22. P. 542-554.
46. Mallet-Paret J., Nussbaum R.D. Eigenvalues for a class of homogeneous cone maps arising from max-plus operators // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2002. Vol. 8 (3). P. 519-562.
47. Cassandras C.G., Lafortune S. Introduction to Discrete Event Systems. Springer Verlag, 2008.
48. Gunawardena J. From max-plus algebra to nonexpansive mappings: a nonlinear theory for
discrete event systems [Electronic resource] // Theoret. Comput. Sci. 2003. Vol. 293(1). URL: http://www.jeremy-gunawardena.com/papers/fmpatnm.pdf (дата обращения: 25.05.2015).
49. Akian M., Gaubert S. Spectral theorem for convex monotone homogeneous maps, and ergodic control // Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl.2003. Vol. 52, no. 2. P. 637-679.
50. Crandall M.G., Tartar L. Some relations between nonexpansive and order preserving mappings // Proc. Amer. Math. Soc. 1980. Vol. 78(3). P. 385-390.
51. Gunawardena J., Keane M. On the existence of cycle times for some nonexpansive maps / / Technical Report HPL-BRIMS-95-00. Hewlett-Paccard Labs, 1995.
52. Gaubert S. Nonlinear Perron-Frobenius theory and discrete event systems // RS-JESA-39/ 2005. MSR05. P. 175-190.
53. Gunawardena J. Min-max functions. Discrete Event Dyn. Syst. //1994. Vol. 4, Issue 4. P. 377-407.
54. Smith H.L. Cooperative systems of differential equations with concave nonlinearities // Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl. 1986. Vol. 10. P. 1037-1052.
55. Krause U., Ranft P. A limit set trichotomy for monotone nonlinear dynamical systems // Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl.1992. Vol. 19, Issue 4. P. 375-392.
56. Krause U., Nussbaum R. D. A limit set trichotomy for self-mappings of normal cones in Banach spaces // Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl. 1993. Vol. 20. P. 855-870.
57. Krause U. Positive Dynamical Systems in Discrete Time: Theory, Models, and Applications. Berlin-Munich-Boston: Walter de Gruyter GmbH, 2015.
58. Cavalcante R.L.G., Shen Y., Sta^zak S. Elementary properties of positive concave mappings with applications to network planning and optimization [Electronic resource]. URL: http://arxiv.org/ pdf/1505.03006.pdf (дата обращения: 15.12.2015).
59. Yates R.D. A framework for uplink power control in cellular radio systems // IEEE J. Select. Areas Commun. 1995. Vol. 13, no. 7. P. 1341-1348.
60. Смирнов А.И. Динамика возрастно-генетического состава биологической популяции в одной математической модели // Математические. методы в планировании промышленного производства. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР. 1977. Вып. 22. С. 91-98.
61. Смирнов А.И. Анализ развития популяции в условиях нестационарной среды // Методы для нестационарных задач математического программирования. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР. 1979. С. 94-103.
62. Takac P. Asymptotic behavior of discrete-time semigroups of sublinear, strongly increasing mappings with applications to biology // Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl. 1990. Vol. 14 (1). P. 35-42.
63. Hirsch M.W., Smith H.L. Monotone Maps: a review // J. Dierence Eqns. Appl. 2005. Vol. 11. P. 379-398.
64. Li F.Y., Liang Z.D. Fixed point of ф-concave (-ф-convex) operator and application // J. Syst. Sci. Math. Sci. 1994. Vol. 14(4). P. 355-360.
65. Krause U.A nonlinear extension of the Birkhoff-Jentzsch theorem // J. Math. Anal. Appl. 1986. Vol. 114. P. 552-568.
66. Guo D., Lakshmikantham V. Nonlinear Problems in Abstract Cones. New York: Academic Press, 1988.
67. Chen Y.-Z. Thompsons metric and mixed monotone operators // J. Math. Anal. Appl. 1993. Vol. 117. P. 31-37.
68. Jiang J.-F. Sublinear discrete-time order-preserving dynamical systems // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1996. Vol. 119. P. 561-573.
69. Takac P. Convergence in the part metric for discrete dynamical systems in ordered topological cones // Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl. 1996. Vol. 26. P. 1753-1777.
70. Krause U. Concave Perron-Frobenius theory and applications // Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl. 2001. Vol. 47, no. 3. P. 1457-1466.
71. Fujimoto T., Krause U. Strong ergodicity for strictly increasing nonlinear operators // Linear Algebra Appl. 1985. Vol. 71. P. 101-112.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ
СМИРНОВ Александр Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент, проректор по инновационному образованию, Уральский институт экономики управления и права; старший научный сотрудник ИММ УрО РАН, г. Екатеринбург. E-mail: sm@urep.ru
