CC BY
64
УДК 517.988.525
Смирнов А.И.
СУБОДНОРОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ТЕОРИИ МОНОТОННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Дается обзор результатов о свойствах орбит некоторых классов сохраняющих порядок нелинейных динамических систем в банаховых пространствах. Основное внимание уделяется дискретным динамическим системам, порождаемым так называемыми субоднородными отображениями.
Ключевые слова: динамическая система, монотонные отображения, субоднородные отображения.
Smirnov A.I.
SUBHOMOGENEOUS MAPS IN THE THEORY OF MONOTONE DYNAMICAL SYSTEMS
Provides an overview of results about the properties of orbits of some classes of order-preserving nonlinear dynamical systems in Banach spaces. Focuses on discrete dynamical systems generated by the so-called subhomogeneous mappings.
Key words: dynamical system, monotone maps, subhomogeneous maps.
Монотонные субоднородные отображения активно используются в анализе динамических систем, теории неподвижных точек и нелинейной теории Перрона-Фробе-ниуса. В настоящее время субоднородным принято называть отображение F : K ^ K действующее в банаховом пространстве X с конусом К, удовлетворяющее свойству
F(ах)^ aF(х) (V ае (0,1), Ух еК) (1)
Отображения, удовлетворяющие аналогичным свойствам (иногда со строгим неравенством) в банаховых пространствах, рассматривались в целом ряде работ (см., например, обзоры в недавних монографиях [1; 2] (Ьеттеш В., Nussbaum R.D., 2012;
Krause U., 2015). При этом такие отображения различными авторами назывались по-разному При исследовании положительных операторов, действующих в пространствах с конусом, в работах М.А. Красносельского и его последователей [3; 4] (Красносельский М.А., 1962; Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В., 1985) использовался термин «вогнутость». В работах В.И. Опойцева [5; 6] (Опойцев В.И., 1977, 1986) в частном случае пространства R отображения, удовлетворяющие условию (1) со строгим неравенством, назывались псевдовогнутыми. В работах А.И. Смирнова [7; 8; 9] (Смирнов А.И., 1977, 1979, 2015) для свойства (1) использовались термины квазивогнутость и псевдовогнутость. В
учебнике В. Босса [10] (Босс В., 2005; В. Босс - псевдоним В.И. Опойцева) отображения (1) называются супероднородными. В работе [11] (Potter A.J. B., 1977) для отображений, удовлетворяющих неравенству F (ax aj F (x ) при а е (0,1) , был введен термин «j -вогнутые отображения», который использовался впоследствии и другими авторами, например, в работах [12; 13; 14] [Zhai C., Guo C., 2006; Huang M. J., Huang C.-Y., Tsai T.-M., 2006; Sang Y., 2013]). Некоторые авторы - см., например, [15; 16] (Isac G, Tammer C., 2009, Definition 22.31; Bullen P., 2015) - для этих отображений используют термин «субоднородные отображения степени j ».
В некоторых работах - см., например, обзоры [17; 18] (Hirsch M.W., Smith H., 2005) и работы [19; 20; 21; 22] (Taka^ 1990; Jiang J.-F., 1996; Zhao X.-Q., Jing Z.-J., 1996; Neseman T., 1999) используется также термин «сублинейность» (иногда наряду с термином «субоднородность»). Но термин «сублинейность» чаще используется для обозначения выпуклых положительно однородных первой степени функций.
В настоящее время за отображениями, действующими в банаховых пространствах с частичным порядком (порождаемым некоторым конусом) и удовлетворяющими условию (1), закрепилось название «субоднородные отображения» - см. монографии [1; 2; 23] (Pallaschke D., Rolewicz S., 1997; Lemmens B., Nussbaum R. D, 2012; Krause U., 2015) и работы [24-32] (Weller D., 1987; Nussbaum R.D., 1988; Nussbaum R.D., 1989; Krause U., Ranft P., 1992; Krause U., Nussbaum R.D., 1993; Hirsch M.W, 1994; Akian M., Gaubert S., 2003; Lemmens B., Scheutzow M., 2005; Lemmens B., Nussbaum R.D., 2013) и многие другие. Подробный анализ исследований такого рода по популяционной биологии в предположении субоднородности можно найти в книге [33] (Zhao X.-Q., 2003).
Интерес к монотонным динамическим системам постоянно растет, в том числе в связи с растущей необходимостью постро-
ения и анализа адекватных математических моделей процессов в экономике, технике, химии, биологии, экологии и т.д. Рассматриваемые в этих моделях величины (плотность населения, концентрация химических веществ и т.д.) обычно по сути своей являются положительными и зачастую имеют дополнительные свойства монотонности или сохранения порядка.
Монотонные динамические системы обычно определяются на упорядоченных банаховых пространствах (более общие постановки возможны, но встречаются реже). Приведем соответствующую терминологию.
Упорядоченное банахово пространство есть действительное банахово пространстве X с непустым замкнутым конусом K (который вводит упорядочение и потому иногда называется положительным). Банахово пространство - это нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Действительное банахово пространство является векторным пространством над полем действительных чисел.
Пусть X - действительное банахово пространство. Выпуклое подмножество K из X называется конусом, если XK с K для всех Я ^ 0 и K П (- K ) = {О }, где О - нулевой элемент пространства. Конус K называется открытым (замкнутым), если это открытое (замкнутое) подмножество пространства X. Конус называется телесным, если он имеет непустую внутренность.
Конус K в банаховом пространстве X индуцирует частичный (нестрогий) порядок: x < y -ö y — x е K . Если конус те-лесен, то можно определить строгий частичный порядок: x < y означает y — x е int K . Обычно используется еще одна промежуточная разновидность частичного порядка, обозначаемая x < y, когда x < y и x Ф y .
Динамическая система (поток, flow) -это непрерывное отображение р : X х R ^ X , удовлетворяющее свойствам р(x,0) = x и (px,t+s) = p((px,t),s)
для всех х е X, s, t е R . Часто рассматривают динамические системы только для неотрицательных моментов времени (в англо-язычной литературе -semidynamical системы); в этом случае используется термин полупоток (semiflow). Кроме того, проводят различие между непрерывными и дискретными системами, в зависимости от того, непрерывна или дискретна область значений времени в системе. В непрерывной динамической системе время меняется на всей числовой прямой (для потоков) или на ее неотрицательной части (для полупотоков); в дискретной динамической системе время принимает либо целочисленные значения, либо неотрицательные целочисленные. Дискретные динамические системы обычно определяются с помощью итераций отображений F : X ^ X , их порождающих: ((х,t) = F '(х) для всех t = 0,1,2, ....
Как отмечается в обзоре [34] (Cosner C., 1996) монографии Х. Смита «Monotone dynamical systems: an introduction to the theory of competitive and cooperative systems» [35] (Smith H. L., 1995), хотя результаты для непрерывных динамических систем пока сильнее соответствующих результатов для дискретных или итерационных систем, но значительная их часть относится к обоим видам динамических систем.
Динамическая система является монотонной, если ((х, t) ^ ((y, t) при х ^ y для t е R+ (непрерывный случай) или для t = 0,1,2, ... (дискретный случай). Многие из наиболее интересных результатов в теории монотонных динамических систем требуют некоторых более сильных свойств сохранения порядка. Мы далее будем рассматривать непрерывные и дискретные динамические системы только в неотрицательном времени (полупотоки), уделяя основное внимание дискретным системам.
Динамическая система является строго монотонной, если х < y ^ (х, t) < ((y, t) для t е R+ или, для дискретных систем, для t = 0,1,2, .... Для (строго) монотонных ото-
бражений в теории динамических систем обычно используется термин «(строго) сохраняющие порядок отображения».
Более ограничительным является условие сильной монотонности. Динамическая система является сильно монотонной, если х < y о р(x, t) < р(y, t) для всех t > 0 или, в дискретном случае, для t = 1,2, .... Свойство сильной монотонности является достаточным для многих результатов, но оно неприменимо к конусам, имеющим пустую внутренность. Такие системы часто возникают в приложениях, связанных с запаздываниями или с дифференциальными уравнениями в частных производных. В этом случае обычно привлекается более слабое свойство сильного сохранения порядка, также достаточное для многих результатов: динамическая система является сильно сохраняющей порядок (strongly order preserving), если она монотонна и всякий раз, когда х < y, найдутся такие открытые окрестности U и V точек х и y соответственно, что p(U, t0) < р(V, t0) для некоторого положительного to . В этом случае из монотонности следует, что р (U, t) < р (V, t) для всех t ^ t0. Если непрерывная динамическая система является сильно монотонной или сильно сохраняющей порядок и обладает некоторыми свойствами компактности (например, если ограниченные полуорбиты имеют компактные замыкания), то в принципе ее динамика существенно упрощается.
В дискретном случае отображение F : X ^ X , порождающее сильно сохраняющую порядок (strongly order preserving) динамическую систему, называется сильно сохраняющим порядок отображением (SOP - отображением). В этом случае для любых х, y е X условие х < y гарантирует существование таких окрестностей U, V точек х, y соответственно, что F' (U ) < F' (V ), для всех целочисленных моментов времени, начиная с некоторого момента t = 10 ^ 1 .
Сильная монотонность была введена М. Хиршем в работах [36; 37] (Hirsch M. W, 1983, 1984), в то время как понятие SOP-отображения было предложено позднее в работах [38; 39] (Matano H., 1984, 1986) и модифицировано в работах [40, 41] (Smith H., Thieme H. R., 1990, 1991). Заметим, что существует и иное понимание SOP-отображения (см., например, работу [42] (Dancer E., Hess P., 1991).
Траекторию точки x под воздействием отображения F в теории динамических систем обычно называют орбитой (или полуорбитой, подчеркивая, что используются только неотрицательные моменты времени): O (x) = {f'(x ): t = 0,1,2, ...} . Если пространство X метризуемо, омега-предельным множеством для x е X называют множество всех предельных точек полуорбиты:
с(x) = {У е X : F'k (x) ^ y }, где
{ F k (x)}^=1 - некоторая подпоследовательность из O( x). Если O (x) имеет компактное замыкание, то с(x) непусто, компактно и инвариантно относительно отображения F , т.е. F (с(x)) = с(x) [1] (Lemmens B., Nussbaum R. D., 2012). Аттрактор отображения F определяется как
Q
= и с (x)
xe X
Если Fk (x ) = x для некоторого k ^ 1, то такая точка x называется периодической. Минимальное p ^ 1 среди всех таких чисел k называется периодом точки x и ее орбиты (точка при этом называется p -периодической). Заметим, что в этой терминологии неподвижная точка отображения F также является периодической (1-периодической).
Обстоятельное и достаточно полное изложение результатов нелинейной теории динамических систем содержится в упомянутой выше относительно недавно вышедшей книге Б. Лемменса и Р. Нуссбаума «Nonlinear Perron-Frobebius Theory» [1]
(Lemmens B., Nussbaum R. D., 2012). Здесь, в частности, приводятся интересные замечания о соотношении нелинейной теории Перрона-Фробениуса и теории монотонных динамических систем. Отмечается, что в теории монотонных динамических систем обычно рассматриваются сильно (или строго) монотонные дискретные и непрерывные динамические системы. Пионерские работы в этой области выполнил М. Хирш [43] (Hirsch M. W, 1988), установивший, в частности, фундаментальное свойство сильно монотонных динамических систем - их в некотором смысле «универсальную» («generic» - в терминологии М. Хирша) сходимость. В непрерывном времени почти все (в смысле некоторой меры) предкомпакт-ные орбиты сильно монотонных динамических систем сходятся к равновесиям [3638; 43-44] (Hirsch M., 1983, 1984, 1985, 1988; Hirsch M., Smith H. L., 2004].
Это означает, что омега-предельное множество с( x ) содержится в множестве равновесий этой системы для почти всех (в смысле некоторой меры) точек x пространства. Сходные результаты были получены также в работе [39] (Matano H., 1986). В дальнейшем эти результаты были усилены в работах ряда авторов, среди которых работы [40; 41; 45] (Smith H. L., Thieme H. R., 1990, 1991; Takaи P., 1992]).
Для дискретных сильно монотонных динамических систем имеется сходимость к периодическим орбитам (и, в частности, к равновесиям) при наличии соответствующих условий - см., например, работы [42; 46; 47] (Dancer N., Hess P., 1991; Polacik P., Terescak I., 1992; Hess P., Polacik P., 1993). Подробный обзор этих результатов дают M. Хирш и Х. Смит в работах [17; 18] (Hirsch M. W., Smith H. L., 2005), см. также обзор в монографии [3 5] (Smith H. L., 1995).
Изучались также различные дополнительные условия, гарантирующие сходимость всех орбит вместо почти всех орбит. Одним из таких условий оказалось как раз
свойство субоднородности отображения. Такого рода отображения (названные им вогнутыми) рассматривал М.А. Красносельский [3] при изучении спектральных свойств некоторых классов отображений в банаховых пространствах с конусом. Заметим, что определение вогнутости у М.А. Красносельского отличается от общепринятого в выпуклой теории. Отображение, действующее в пространстве X с конусом, является вогнутым в терминологии М.А. Красносельского, если существует такой ненулевой элемент u0 е K , что для любого ненулевого x е K справедливы неравенства axu0 % F(x) % а2u0, где ах > 0, a2 > 0, и если для каждого x е K, удовлетворяющего неравенствам ßi(x)u0 % x % ß2(x)u0 (где ß(x) > 0, ß2(x) > 0), справедливы соотношения (1).
Вогнутое отображение М. А. Красносельский называл ^-вогнутым, если для любого а0 е (0,1) найдется такое ] = ](x,a0) > 0, что справедливо более сильное неравенство:
F(a0x) ^(1 + ])a0F(x).
В.И. Опойцев в работе [5] называл вогнутыми преобразования конуса R , удовлетворяющие строгому неравенству в (1).
Как отмечается в монографии [Krause U., 2015], впервые конкретное условие типа субоднородности появилось в диссертации [48] Э. Томпсона (Thompson A. C., Diss. Ph.D., 1963). Для доказательства варианта теоремы о сжимающих отображениях на выпуклом конусе он использовал слабую форму субоднородности вида
x а, У % ßx ^F(x) a(y), F(y) ßx) (2)
где max {а ', ß '} < m ax {a p, ß p } , 0 < p < 1. Основные результаты, полученные в этой диссертации, можно найти в другой его работе [49] того же года.
Динамическое поведение итераций сохраняющих порядок субоднородных отображений исследовалось в целом ряде иссле-
дований, среди которых новаторскими являются работы [19; 24-27; 29-31; 50-56] (Akcoglu M. A., Krengel U., 1987; Weller D., 1987; Nussbaum R. D., 1988, 1989, 1990; 1991; Krause U., Ranft P., 1992; Krause U., Nussbaum R. D., 1993; Hirsch M. W., 1994; Jiang J.-F., 1996; Takac P., 1990, 1996; Akian M., Gaubert S., 2003; Gaubert S., Gunawardena J., 2004; Hirsch M. W., Smith H.L., 2005; Lemmens B., Scheutzow M., 2005; Akian M., Gaubert S., Lemmens B., Nussbaum R. D., 2006).
Следует отметить, что всякое сохраняющее порядок субоднородное отображение F : int K ^ K является непрерывным и имеет непрерывное расширение F : K ^ K , также сохраняющее порядок и субоднородное [57] (Burbanks A.D., Nussbaum R.D., Sparrow C. T., 2003).
Ряд существенных динамических свойств субоднородных отображений определяется тем обстоятельством, что в некоторой метрике они являются нерасширяю-щими. Класс нерасширяющих (в той или иной метрике) отображений является важным классом отображений, позволяющим ограничить многообразие траекторий соответствующих динамических систем.
Отображение F некоторого метрического пространства (X, р) в себя называется нерасширяющим, если р (F ( x ), F ( y ) ) ^ р( x, y ) для любых точек x, y этого пространства.
В вышеупомянутой диссертации Э. Томпсона также была введена широко используемая в исследованиях по динамическим системам разновидность проективной метрики Гильберта, которую впоследствии стали называть метрикой Томпсона. Известно, что монотонные субоднородные преобразования внутренности конуса в банаховом пространстве являются нерасширяющими в метрике Томпсона [25] (Nussbaum R. D., 1988). Более того, для топологических векторных пространствах с замкнутым конусом показано, что (мультипликативная) субоднородность сохраняющих порядок ото-
бражений равносильна их нерасширяемости в метрике Томпсона [1] (Lemmens В., Nussbaum R. D., 2012, Lemma 2.1.7).
Эффективность такого рода метрик впервые независимо обнаружили в 1950-х годах Г. Биркгоф [58] (Birkhoff G., 1957) и Г. Самельсон [59] (Samelson H., 1957), которые благодаря использованию метрики Гильберта в банаховых пространствах и принципа сжатых отображений получили элегантное доказательство существования положительного собственного вектора линейного отображения, оставляющего конус инвариантным. Их результаты можно рассматривать как прямое обобщение теоремы Перрона о существовании и единственности положительного собственного вектора для квадратных матриц с положительными элементами.
Версия Биркгофа метрики Гильберта -это расстояние между парами лучей в замкнутом конусе. Частные случаи метрики Гильберта рассматривались в более ранних работах А. Кэли, Э. Бельтрами и Ф. Клейна - см. подробнее [60-62] (Bushell P. J., 1973, 1986).
Пусть X - вещественное банахово пространство, упорядоченное конусом K . Элементы x, y е X называются сравнимыми (обозначение: x ~K y), если x й ay и y й ax при некотором a > 0. Конус K распадается на классы сравнимых друг с другом элементов; эти классы называют компонентами [63] (Забрейко П.П., Красносельский М.А., Покорный Ю.В., 1971).
Для сравнимых элементов x, y е X определим
M( x / y) = inf {a е R : x й ay} (3)
(используются обозначения статьи [60] (Bushell P. J., 1973)). Версия Биркгофа метрики Гильберта может быть определена следующим образом:
dH (x, y) = log (M( x / y)M(y / x)) (4)
для x ~Ky при y Ф О ,
dH (О, О) = 0, и dH (x, y ) = в противном случае.
Очевидно, что dH (ax, fiy) = dH (x, y) для всех a, fi > 0 и x ~K y . Если K является замкнутым конусом, то dH (x, y ) является псевдометрикой (полуметрикой, по другой терминологии), поскольку dH ( x, y ) = 0 тогда и только тогда, когда x = ay при некотором a > 0 . Вместе с тем dH (x, y) определяет метрику на множестве лучей в каждой компоненте сравнимых элементов конуса (свойства метрики Гильберта можно найти, например, в изданиях [25, 63] (Забрейко П.П., Красносельский М.А. Покорный Ю.В., 1971; Nussbaum R.D., 1988), в монографии [1] (Lemmens B., Nussbaum R.D., 2012), а также в недавних статьях [64-67] (Cobzas §., Rus M.-D., 2014; Akian M., Gaubert S., Nussbaum R., 2015; Lemmens B., Nussbaum R.D., 2015; Lemmens B., Roelands M., 2015).
Уникальность проективной метрики Гильберта заключается, в частности, в том, что неотрицательные линейные преобразования (как и некоторые другие классы отображений) являются (при определенных условиях) банаховыми сжатиями [58] (Birkhoff G., 1957), т.е. существует такая константа k е (0,1), что в соответствующем метрическом пространстве выполняется неравенство
р (F(x),F(y)) ^ k • р(x, y)
Более того, как показали Э. Кольберг и Дж. Пратт в работе [68] (Kohlberg E., Pratt J. W., 1980), в любой другой проективной метрике d (x, y) на замкнутом конусе пространства R, в которой линейные преобразования являются сжатиями, расстояние d ( x, y ) является непрерывной положительной строго возрастающей функцией от расстояния в метрике Гильберта, причем коэффициент сжатия kd (A ) в метрике Гильберта является наименьшим:
kd„(A)< kd (A X где коэффициент сжатия определяется как
kd(A)=inf {k: d (A(x), A(y)) <k • d(x, y) (x, y^O)}
Сильные утверждения такого рода получены также для некоторых важных разновидностей субоднородных отображений. Так, в работе [60] (Bushell P., 1973) для монотонного положительно однородного степени p отображения F показано, что в банаховом пространстве с телесным конусом K коэффициент сжатия
k(F)=inf {Я: d (F(x),F(y)) <Ad(x, y) (Vx, yeint K)}
в проективной метрике Гильберта dH не превышает степени однородности p . В частности, это означает, что в этой метрике положительно однородное степени 0 < p < 1 отображение является банаховым сжатием:
dH (F( x), F( y)) ^ p • dH (x, y) (Vx, y е int K)
и, следовательно, имеет единственную положительную (т.е. принадлежащую внутренности конуса) неподвижную точку, к которой сходятся последовательные приближения при любом положительном начальном векторе.
В работе [11] (Potter A. J. B., 1977) аналогичный результат был получен для введенного автором более широкого класса отображений, названных p -вогнутыми, Отображение F : K ^ K называется p -вогнутым, если
F(ax) ^ apF(x) (Vx е K, 0 ^ Я^ 1)
Заметим, что в некоторых дальнейших работах эти отображения называются также p -субоднородными, или субоднородными степени p . Для p -вогнутых отображений Э. Поттер на телесных конусах исследовал условия существования и свойства собственных векторов. Заметим, что в работе [13] (Huang M. J, Huang С. Y, Tsai T. M., 2006) эти результаты были развиты в отсутствие предположения о телесности конуса.
Для получения такого рода результатов использовался принцип сжимающих отображений Банаха. Отображение F некоторого метрического пространства (X, р) в себя называется банаховым сжатием, если
существует такая константа 0 < k < 1, что р (F ( x ), F ( y ) ) ^ k • р( x, y ) для любых точек x, y этого пространства.
Некоторые отображения, не являющиеся банаховыми сжатиями, в подходящем метрическом пространстве тем не менее удовлетворяют более слабому свойству:
Vx, y е X: x ф y ^ d(F(x), F(y)) < d(x, y) (5)
Такие отображения будем называть просто сжатиями (в отличие от банаховых сжатий, определенных выше). Их использование обусловлено, прежде всего, справедливостью следующего обобщения принципа сжимающих отображений.
Теорема Эдельштейна о сжатиях [69] (Edelstein M., 1962). Пусть (X, d) - метрическое пространство, и пусть F : X ^ X - сжатие. Если F удовлетворяет условию:
3x, x е X : lim d(Fki (x), x) = 0 (6)
для некоторой подпоследовательности {Fk/ (x )}да=1 с {Fk (x )}да=х, то отображение F имеет единственную неподвижную точку xе X и lim d(Tk(x),x) = 0 .
k ^ да
Условие (6) можно заменить условием компактности метрического пространства X; заключение теоремы сохраняется. Отображения, удовлетворяющие предположениям этой теоремы, будем называть сжатиями Эдельштейна.
Теорему о сжатиях Эдельштейна использовал Э. Кольберг [70] (Kohlberg E., 1982) при доказательстве нелинейного обобщения теоремы Перрона-Фробениуса для положительно однородного первой степени отображения F : RП ^ R" (в дополнительном предположении непрерывности и примитивности отображения).
В работе [71] (Song Y., Qi L., 2014) показано, что эвентуально (eventually) сильно возрастающие положительно однородные отображения в банаховых пространствах с
телесным конусом также являются сжатиями Эдельштейна. Отображение F называется эвентуально сильно возрастающим (eventually strongly increasing), если при некотором целом k выполнено Fk(x) < Fk (y) для всех x < y (т.е. отображение G ( x ) = Fk ( x ) является сильно возрастающим).
Используя теорему о сжатиях Эдельш-тейна, У Краузе [72] (Krause U., 1986) показал существование положительного собственного вектора и сходимость к нему итераций нормированного отображения для отображений, удовлетворяющих условию
0 ^ X ^ 1, Xx ^ y ^ XT (x) ^ T ( y) , 0 < X< 1, Xx < y ^ XT (x) < T (y)
(при некоторых дополнительных предположениях компактности).
С аналитической точки зрения версия Биркгофа метрики Гильберта имеет один недостаток - а именно: это метрика на парах лучей, а не на парах точек. Поэтому в приложениях часто рассматривается вариант этой метрики, введенный Э. Томпсоном в работе [48] (Thompson A. C., 1963). Если задан замкнутый конус K в банаховом пространстве X, то метрика Томпсона определяется как
dT (x, y) = log max {M (x / y), M(y / x)} (7) для x ~K y при y Ф О, dT (О, О) = 0,
в дальнейшем метрикой Биркгофа-Томпсона.
Авторы работы [50] (Akcoglu М. А., Krengel и., 1987) первые показали сходимость орбит нерасширяющего в ^ (с нор-
п
И 1 = ^ \Xi |) отображения
мой
компак-
i=1
тного подмножества Я" в себя к периодическим орбитам. Более точно, справедливо следующее утверждение.
Теорема (Акес^и М. А., Кге^е1 и., 1987). Пусть р ; О ^ О - нерасширяющее в отображение замкнутого подмножества О ^ Я" в себя. Если последовательность {р (х0)} для некоторого х0 е О ограничена, то для каждого X е О существуют та-
и
dT (X, у ) = в противном случае. Легко убедиться, что dT ( X, у ) является метрикой на каждой компоненте сравнимых векторов конуса К.
Метрика Томпсона широко используется в исследованиях по линейному и нелинейному анализу - см., например, обзор в статье [67] (Ьеттеш В., Roelands М., 2015).
В ряде отечественных исследований (см., например, работы [5; 6; 63] (Забрейко П.П., Красносельский М.А., Покорный Ю.В., 1971; Опойцев В.И., 1977, 1986) метрика dт (X, у ) называется также метрикой Биркгофа, поэтому будем называть ее
кие положительное целое число p = px и точка £= £ е D, что £ - периодическая точка отображения F с минимальным периодом p и lim Fkp (x) = £ .
k ^да
Д. Веллер [24] (Weller D., 1987) обобщил этот результат на отображения, нерасширя-ющие в некоторой полиэдральной норме. В пространстве Rn полиэдральными нормами являются, в частности, нормы i и i (sup-норма).
Таким образом, характеристическое свойство динамики нерасширяющих в полиэдральной норме отображений заключается в том, что либо все орбиты являются неограниченными, либо каждая орбита сходится к периодической орбите.
Напомним, что замкнутый конус K в векторном пространстве X называется полиэдральным, если он является пересечением конечного числа замкнутых полупространств, т.е. если существуют такие линейные функционалы р1( x ), ... ,рт ( x ), что K = |x е X : рг(x) ^ 0 (vi е 1,т)} .
Линейные функционалы (р1, ... ,фт являются элементами двойственного конуса K , определяемого как
K* = {(р е X*: <р(x) ^ 0 (Vx е K)},
*
где X - двойственное по отношению к X пространство (пространство линейных непрерывных функционалов на X ).
Примером полиэдрального конуса является неотрицательный ортант R" протай
странства R .
Как показано в работе [28] (Krause U., Nussbaum R. D., 1993), свойство сходимости ограниченных орбит к периодическим справедливо и для полиэдральных конусов в произвольных конечномерных банаховых пространствах - для непрерывных примитивных на конусе отображений, некоторая степень которых является нерасширяющим отображением в метрике Томпсона.
Для субоднородных отображений в работе [56] (Akian M., Gaubert S., Lemmens B., Nussbaum R. D., 2006) получен следующий результат.
Theorem 2.1. Пусть K - полиэдральный конус в конечномерном банаховом пространстве V и отображение F : K ^ K является непрерывным сохраняющим порядок субоднородным отображением. Тогда для любой точки x е K, имеющей ограниченную (по норме) орбиту, существует
такая p -периодическая точка | е K , что
lim Fkp (x) =
k ^да
Для конуса Rq А. И Смирновым показано [7], что каждая периодическая точка монотонного субоднородного примитивного на некотором множестве отображения F е {rq ^ Rq } является его неподвижной точкой. При этом условия существования положительной неподвижной точки даны в терминах доминирующих собственных значений двух положительно однородных первой степени отображений, сопутствующих каждому монотонному субоднородному отображению.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Lemmens B., Nussbaum R. D. Nonlinear Perron-Frobebius Theory. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 189. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2012.
2. Krause U. Positive Dynamical Systems in Discrete Time: Theory, Models, and Applications. Berlin-Munich-Boston: Walter de Gruyter GmbH, 2015.
3. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962.
4. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы. Метод положительных операторов. М.: Наука, 1985.
5. Опойцев В.И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения. М.: Наука, 1977.
6. Опойцев В.И. Нелинейная системостатика. М.: Наука, 1986.
7. Смирнов А.И. Квазивогнутые отображения в некоторых моделях эволюционирующих систем: Дисс.. .канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург: ИММ УНЦ АН ССР, 1983.
8. Смирнов А.И. Алгоритм решения задачи оптимизации использования ресурса при-родно-экономической системы // Методы оптимизации и классификации в прикладных задачах. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР, 1988. C. 9-19.
9. Смирнов А.И. Условия примитивности нелинейного оператора шага некоторых итерационных процессов в терминах матриц // Вестник УИЭУиП. 2015. №1(30). С. 70-78.
10. Босс В. Лекции по математике. Том 5. Функциональный анализ. М.: КомКнига, 2005.
11. Potter A. J. B. Applications of Hilberts projective metric to certain classes of nonhomogeneous operators // Quart. J. Math. Oxford. 1977. Vol. 28(1). P. 93-99.
12. Zhai C., Guo C. On б-convex operators // J. Math. Anal. Appl. 2006. Vol. 316. P. 556-565.
13. Huang M.-J., Huang C.-Y., Tsai T.-M. Application of Hilberts projective metric to a class of positive nonlinear operators // Linear Algebra Appl. 2006. Vol. 413(1). P. 202-211.
14. Sang Y. Existence and uniqueness of fixed points for mixed monotone operators with perturbations [Electronic resource] // Electronic J. Differential Eqns. 2013. Vol. 2013, no. 233. P. 1-16. URL: http://ejde.math.txstate.edu or http://ejde.math.unt.edu (дата обращения: 18. 12.2015).
15. Isac G, Tammer C. Application of a vector-valued Ekeland-type variational principle for deriving optimality conditions // Nonlinear Analysis and Variational Problems. Series Springer Optimization and its Applications. Vol. 35, Chapter 23 / Pardalos P., Rassias T., Khan A.A. (Eds) New York: Springer Verlag, 2009. P. 343-366.
16. Bullen P. Dictionary of inequalities. Boca Raton: CRC Press, 2015.
17. Hirsch M. W., Smith H. L. Monotone Maps: a review // J. Dierence Eqns. Appl. 2005. Vol. 11. P. 379-398.
18. Hirsch M. W., Smith H. L. Monotone Dynamical Systems // Handbook of Differential Eqns: Ordinary Differential Eqns. / Canada A., Drabek P., Fonda A. (Eds.) Elsevier B. V., Amsterdam. 2005. Vol. II. P. 239-357.
19. Takac P. Asymptotic behavior of discrete-time semigroups of sublinear, strongly increasing mappings with applications to biology // Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl. 1990. Vol. 14(1). P. 35-42.
20. Jiang J.-F. On the analytic order-preserving discrete-time dynamical systems in Rn with every fixed point stable // J. Lond. Math. Soc. 1996. Vol. 53. P. 317-324.
21. Zhao X.-Q., Jing Z.-J. Global asymptotic behavior in some cooperative systems of functional differential equations // Canad. Appl. Math. Quart. 1996. Vol. 4, no. 4. P. 421-444.
22. Neseman T. A limit set trichotomy for positive nonautonomous discrete dynamical systems // J. Math. Anal. Appl. 1999. Vol. 237. P. 55-73.
23. Pallaschke D., Rolewicz S. Foundation of Mathematical Optimization. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1997.
24. Weller D. Hilberts metric, part metric and self mappings of a cone. PhD thesis. Universitat Bremen, Germany, 1987.
25. Nussbaum R. D. Hilbert's projective metric and iterated nonlinear maps // Mem. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 75, no. 391.
26. Nussbaum R. D. Iterated nonlinear maps and Hilbert's projective metric. Part II // Mem. Amer. Math. Soc. 1989. Vol. 79, no. 401.
27. Krause U., Ranft P. A limit set trichotomy for monotone nonlinear dynamical systems // Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl. 1992. Vol. 19, Issue 4. P. 375-392.
28. Krause U., Nussbaum R. D. A limit set trichotomy for self-mappings of normal cones in Banach spaces // Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl. 1993. Vol. 20. P. 855-870.
29. Hirsch M. W. Positive equilibria and convergence in subhomogeneous monotone dynamics // Comparison methods and stability theory. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. New-York: Marcel Dekker, 1994. Vol. 162. P. 169-187.
30. Akian M., Gaubert S. Spectral theorem for convex monotone homogeneous maps, and ergodic control // Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl. 2003. Vol. 52, no. 2. P. 637-679.
31. Lemmens B., Scheutzow M. A. On the dynamics of sup-norm nonexpansive maps // Ergodic Theory Dynam. Syst. 2005. Vol. 25 (3). P. 861-871.
32. Lemmens B., Nussbaum R. D., 2013
33. Zhao X.-Q. Dynamical Systems in Population Biology. New York: Springer Verlag, 2003.
34. Cosner C. Book Reviews. Smith H. L. Monotone Dynamical Systems: an Introduction to the Theory of Competitive and Cooperative Systems // Mathematical Surveys and Monographs. 1995. Vol. 41. Amer. Math. Soc., Providence, RI // Bull. Amer. Math. Soc. (New Series). 1996. Vol. 33, no. 2. P. 203-209.
35. Smith H. L. Monotone Dynamical Systems: an Introduction to the Theory of Competitive and Cooperative Systems // Mathematical Surveys and Monographs. Amer. Math. Soc. 1995. Vol. 41.
36. Hirsch M. W. Differential equations and convergence almost everywhere in strongly monotone flows // Contemporary Mathematics. 1983. Vol. 17. P. 267-285.
37. Hirsch M. W. The dynamical systems approach to differential equations // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 1984. Vol. 11. P. 1-64.
38. Matano H. Existence of nontrivial unstable sets for equilibriums of strongly order preserving systems // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. 1984. Vol. 30. P. 645-673.
39. Matano H. Strongly order-preserving local semi-dynamical systems // Theory and Applications, in Semigroups. Vol. I / H. Brezis, M. G. Crandall, and F. Kappel, eds. Res. Notes in Math., 1986. Vol. 141. Longman Scientific and Technical, London. P. 178-185.
40. Smith H. L., Thieme H. R. Quasi convergence for strongly ordered preserving semiflows / / SIAM J. Math. Anal. 1990. Vol. 21. P. 673-692.
41. Smith H. L., Thieme H. R. Convergence for strongly ordered preserving semiflows // SIAM J. Math. Anal. 1991. Vol. 22. P. 1081-1101.
42. Dancer E. N., Hess P. Stability of fixed points for order-preserving discrete-time dynamical systems // J. Reine Angew. Math. 1991. Vol. 419. P. 125-139.
43. Hirsch M. W. Stability and convergence in strongly monotone dynamical systems // J. Reine Angew. Math. 1988. Vol. 383. P. 1-53.
44. Hirsch M. W., Smith H. L. Generic quasiconvergence for strongly order preserving semiflows: a new approach // J. Dynam. Differential Eqns. 2004. Vol. 16, Issue 2. P. 433-439.
45. Takac P. Asymptotic behavior of strongly monotone time-periodic dynamical processes with symmetry // J. Differential Eqns. 1992. Vol. 100. P. 355-378.
46. Polacik P., Terescak I. Convergence to cycles as a typical asymptotic behavior in smooth strongly monotone discrete-time dynamical systems // Arch. Rational Mech. Anal. 1992. Vol. 116. P. 339-360.
47. Hess P., Polacik P. Symmetry and convergence properties for nonnegative solutions of nonautonomous reaction-diffusion problems, Comenius University, 1993. Preprint No. M1-93.
48. Thompson A. C. Generalization on the Perron-Frobenius theorem to operators mapping cone into itself. Ph.D. thesis. Univ. of Newcastle upon Tyne, 1963.
49. Thompson A. C. On certain contraction mappings in a partially ordered vector space // Proc. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 14. P. 438-443.
50. Akcoglu M. A., Krengel U. Nonlinear models of diffision on a finite space // Probab. Theory Related Fields. 1987. Vol. 76. P. 411-420.
51. Nussbaum R. D. Some nonlinear weak ergodic theorems // SIAM J. Math. Anal. 1990. Vol. 21. P. 436-460.
52. Nussbaum R. D. Convergence of iterates of a nonlinear operator arising in statistical mechanics // Nonlinearity. 1991. Vol. 4(4). P. 1223-1240.
53. Takac P. Convergence in the part metric for discrete dynamical systems in ordered topological cones // Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl. 1996. Vol. 26. P. 1753-1777.
54. Gaubert S., Gunawardena J. The Perron-Frobenius theorem for homogeneous, monotone functions [Electronic resource] // Trans. Amer. Math. Soc. 2004. Vol. 356. P. 4931-4950. URL: http://arxiv.org/ pdf/math/0105091v2.pdf (дата обращения: 25.05.2015).
55. Hirsch M. W., Smith H. L. Monotone Maps: a review // J. Dierence Eqns. Appl. 2005. Vol. 11. P. 379-398.
56. Akian M., Gaubert S., Lemmens B., Nussbaum R. D. Iteration of order preserving subhomogeneous maps on a cone // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 2006. Vol. 140, no. 1. P. 157-176.
57. Burbanks A. D., Nussbaum R. D., Sparrow C. T. Extensions of order-preserving maps on a cone // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A. 2003. Vol. 133(1). P. 35-59.
58. Birkhoff G. Extension of Jentzschrs Theorem // Trans. Amer. Math. Soc. 1957. Vol. 85. P. 219-227.
59. Samelson H. On the Perron-Frobenius theorem // Michigan Math. J. 1957. Vol. 4, no. 1. P. 57-59.
60. Bushell P. J. Hilbert's projective metric and positive contraction mappings in a Banach space // Arch. Ration. Mech. Anal. 1973. Vol. 52, no. 4. P. 330-338.
61. Bushell P. J. On the projective contraction ratio for positive linear mappings // J. Lond. Math. Soc. 1973. Vol. 6. P. 256-258.
62. Bushell P. J. The Cayley-Hilbert metric and positive operators // Linear Algebra Appl. 1986. Vol. 84. P. 71-280.
63. Забрейко П.П., Красносельский М.А., Покорный Ю.В. Об одном классе линейных положительных линейных операторов // Функциональный анализ и приложения. 1971. Т. 5, вып. 4. С. 9-17.
64. Cobzas §., Rus M.-D. Normal cones and Thompson metric // Springer Optimization and Its Applications. 2014. Issue 94 / Topics in Mathematical Analysis and Applications. Rassias T. M., T^h L. (Eds.) P. 209-258.
65. Akian M., Gaubert S., Nussbaum R. D. Uniqueness of the fixed point of nonexpansive semidifferentiable maps [Electronic resource] // Trans. Amer. Math. Soc. 2015. URL: http:// arxiv.org/pdf/1201.1536.pdf (дата обращения: 14.08.2015)
66. Lemmens B., Nussbaum R. D. Birkhoff's version of Hilbert's metric and its applications in analysis [Electronic resource] // Handbook of Hilbert Geometry / G. Besson, A. Papadopoulos and M. Troyanov (eds). Zurich: European Math. Soc. Publishing House, 2015. URL: https:// ia600902.us.archive.org/27/items/arxiv-1304.7921/1304.7921.pdf (дата обращения: 25.05.2015).
67. Lemmens B., Roelands M. Unique geodesics for Thompsons metric // Ann. Institut Fourier. 2015. Vol. 65, no. 1. P. 315-348.
68. Kohlberg E., Pratt J. W. The contraction mapping approach to the Perron-Frobenius theory: why Hilberts metric? // Math. Oper. Res. 1980. Vol. 7, Issue 2. P. 198-210.
69. Edelstein M. On xed and periodic points under contractive mappings // J. Lond. Math. Soc. 1962. Vol. 37. P. 74-79.
70. Kohlberg E. The Perron-Frobenius theorem without additivity // J. Math. Econ. 1982. Vol. 10. P. 299-303.
71. Song Y., Qi L. Positive eigenvalue-eigenvector of nonlinear positive mappings // Frontiers of Mathematics in China. 2014. Vol. 9, Issue 1. P. 181-199.
72. Krause U. Perrons stability theorem for non-linear mappings // J. Math. Econom. 1986. Vol. 15. P. 275-282.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ
СМИРНОВ Александр Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент, проректор по инновационному образованию, Уральский институт экономики, управления и права; старший научный сотрудник ИММ УрО РАН, г. Екатеринбург. E-mail: [email protected]
