CC BY
12
УДК 517.988.523
Смирнов А.И.
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК СУПЕРОДНОРОДНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Аннотация. Характеризуются свойства субоднородных отображений, являющихся обобщением положительно однородных первой степени отображений. При дополнительных условиях монотонности и непрерывности получены необходимые и достаточные условия существования положительных неподвижных точек. Используется также понятие локальной неразложимости отображения, гарантирующее положительность ненулевых неподвижных точек.
Ключевые слова: супероднородное отображение, неподвижная точка, неразложимость отображения.
Smirnov A.I.
EXISTENCE CONDITIONS OF POSITIVE FIXED POINTS OF SUPERHOMOGENEOUS MAPPING
Annotation. The properties of superhomogeneous mappings that generalize the positive first-degree homogeneous mappings are characterized. The necessary and sufficient conditions for the existence of positive fixed points such mappings are given under additional conditions ofmonotonicity and contiruity Is also used the concept of local irreducibility which guarantees the positivity of the nonzero fixed points.
Keywords: superhomogeneous mapping, fixed point, irreducibility of mapping.
1. Введение и основные определения
В математической экономике имеется хорошо развитая спектральная теория для монотонных положительно однородных первой степени отображений, обобщающая основные утверждения спектральной теории для линейных отображений [1; 2]. Еще одним шагом на пути от линейных отображений к нелинейным являются классы субоднородных и супероднородных отображений (соответствующие определения даны ниже). Для класса субоднородных отображений также имеется достаточно содержательная теория (см., например, [3]) - интерес к ним связан, в частности, с устойчивостью нетривиальных состояний равновесия дискретной динамической системы
= ' = 0,1,2,..., (1)
с субоднородным монотонным оператором шага р . Для частного случая субоднородных монотонных преобразований неотрицательного конуса К1={х = {х1,хг,...,хч): х^О (/ = 1,...,<?)}
пространства получены [4] необходимые и достаточные условия существования ненулевых неподвижных точек - нетривиальных равновесий итерационного процесса (1) Нетривиальные равновесия итераций супероднородных отображений свойством устойчивости, к сожалению, не обладают Тем не менее представляют интерес условия их существования.
В данной статье рассматриваются непрерывные монотонные супероднородные преобразования неотрицательного конуса Щ. Цель работы - получить необходимые и до-
статочные условия существования ненулевой неподвижной точки таких отображений.
Перейдем к обозначениям и определениям. Для стандартного частичного порядка, определяемого рассматриваемым конусом Щ, будем использовать следующие обозначения: х й у (соотв. х < у) означает, что у-хеЩ (соотв. у - х е Ы К1) Кроме того, будем использовать обозначение X < у в случае х й у, х Ф у. Неотрицательная часть числовой прямой Я обозначается Я .
Для краткости будем иногда записывать вектор х = (х1,х2у...ух(}) и отображение Р(х) = (/х{х),/2{х),...,/ч(х)) в виде Л' = (х ) и Р{х) = (л*)) соответственно. Если числа т,п - целые и т ^ п , то множество целых чисел в промежутке [т,п] будем обозначать т,п- Дадим необходимые определения.
Определение 1. Отображение .Р е \—> называется монотонно возрастающим, если
Чх,уеК1:хйу=>Р(х)йГ(у) (2)
Соответственно, в случае противоположного неравенства в заключении импликации (2) отображение называется монотонно убывающим.
Монотонно возрастающее отображение будем для краткости также называть просто монотонным или возрастающим; соответственно, монотонно убывающее будем называть обычно просто убывающим.
Определение 2. Отображение Р е I—» Я^ называется субоднородным,, если
УхеД? (3)
Примером субоднородного отображения является любое вогнутое на Щ отображение.
Определение 3. Отображение Т7 € называется супероднород-
ным,, если
\/хеЩ \/ссе(ОД) Г(ах)йаР(х) (4)
Примером супероднородного отображения является любое выпуклое на Я^ отображение, имеющее нулевую неподвижную точку.
Определение 4. Отображение называется положительно однородным степени т, если
Н(ах) = а"'Н(х) (Уа^О.хеЩ) (5)
Положительно однородное первой степени отображение (при т = 1) будем называть просто положительно однородным.
Заметим, что свойство (4), определяющее супероднородность, равносильно каждому из следующих условий:
У.теД' У/?е(],-кя) ЯДг^/ВД (6)
ОкцЩ^сО^ЩхШцТ1^) О)
Последнее свойство означает, что при каждом фиксированном л* е Я^ отображение
является возрастающим по ос > 0 и, следовательно, могут быть определены положительно однородные первой степени отображения
1тг а~1Е(ах),
У / 0£—>-+0 У '
р(х)=Ита~^(ах) (8)
являющиеся, соответственно минорантой и мажорантой отображения р на конусе Щ.
Заметим, что аналогичные свойства существуют и для субоднородных отображений; подробнее об этом см. в работе [4].
Определение 5. Число Я называется собственным значением отображения ^ е —» Я1}, если при некотором л- справедливо равенство Р(х) = Лх. Вектор х при этом называется собственным вектором отображения р, соответствующим собственному значению Я.
Для положительно однородного отображения Р доказана [1,2] разрешимость задачи о собственных значениях и показано существование наибольшего среди всех его собственных значений - числа Л(Р), которому соответствует неотрицательный
собственный вектор х Это число называется доминирующим собственным значением отображения р, поскольку многие его свойства аналогичны свойствам доминирующего собственного значения неотрицательной квадратной матрицы. Наряду с каждым собственным вектором х все элементы определяемого им луча {ах: а е (О,-Н»)} (называемого собственным лучом отображения р) также являются собственными векторами.
Справедливы (см., например, [2]), в частности, следующие свойства положительно однородных отображений, обобщающие соответствующие свойства линейных отображений:
(1) если при некотором у> 0, то
(2) если (УхеЩ),
то
(3) А(^) = 0
тогда и только тогда, когда = 0 на Щ при некотором
Р~ 1,2,....
Более сильные спектральные свойства положительно однородных отображений получены в предположении их неразложимости и примитивности.
2. Понятие неразложимости матрицы и его обобщения
В зависимости от специфики соответствующих разделов нелинейной теории Перрона-Фробениуса используются различные определения неразложимости отображений. Естественным общим исходным моментом этих определений является то обстоятельство, что они являются различными вариантами обобщения понятия неразложимости линейного отображения - в предельном линейном случае все виды неразложимости отображения означают неразложимость соответствующей матрицы.
Определение 6. Неотрицательная матрица А = |] порядка называется разложимой, если
31яХч, я, =0(\//£/,/е/) (9)
В противном случае матрица называется неразложимой.
Для разложимой матрицы ,4 координаты (Лх) вектора Ах с номерами / е,/.
где 3 = \ / , зависят только от координат вектора х с теми же номерами Действительно, имеем:
(л*), = 1Хл +1Хл =
(V/ е,/) Это означает, что итерационный процесс (1) с линейным оператором шага, определяемым разложимой матрицей, содержит изолированную подсистему - проекцию вектора д: исходной системы в подпространство с координатами из множества \ € 3 ■ Это обстоятельство дает основания рассматривать линейные процессы (1) только с неразложимыми матрицами.
В математической экономике общепринятым является определение неразложимости отображения, данное М. Моришимой в работе [5] для характеристики спектральных свойств монотонных положительно однородных отображений.
Дадим это определение в несколько иной форме, используя следующие группы координат векторов х, у еЩ:
( — , (Ю)
/+(х) = {/€ >0},
= =0}.
Определение 7. Отображение
Р е {Щ \—> } {(] ^ 2 ) называется разложимым, если
3 х,уе%:х>у,1°(хуу)*0,
(П)
Отображение называется неразложимым, если оно не является разложимым, те если
^Х^ е. Щ:х> у, Ф0=>
^>1о(х,у)\1о(г(хту))*0 (12)
Далее будет использоваться также локальное понятие неразложимости (будет дано определение неразложимости отображения в точке), поэтому неразложимое в смысле (12) отображение будем называть глобально неразложимым (на Щ^).
Поскольку далее отображение р всюду предполагается монотонно возрастающим, то условие / £означает ,/,(х) > /(V), и определение глобальной неразложимости отображения можно уточнить следующим образом:
=>1°(х9у)Г\Г(Р(хХР(у))Ф0 (13)
Линейное отображение, определяемое неразложимой матрицей, является глобально неразложимым в смысле этого определения Действительно, если матрица А разложима и } - множество из определения (9) разложимости матрицы, то, обозначая
.7 = 1 из равенств
(V/ е ./) получаем:
(Ах\ = ;х7 + = =
= (V/ е . Таким об-
№
разом, если координаты векторов х, У с номерами из множества ,/ = 1 \ / совпадают, то и образы Ах, Ду этих векторов при воздействии неразложимой матрицей имеют координаты, совпадающие на тех же
местах: (Лх)^ =(Ау). (У/еУ).
Наряду с понятием неразложимости отображения существенным требованием при исследовании свойств итерационного процесса (1) является также понятие примитивности отображения, являющееся обобщением понятия примитивности матрицы.
Определение 8. Неотрицательная матрица = е 1,<7, называется примитивной, если при некотором
к = 1,2,... матрица Ак положительна (т.е. все её элементы положительны).
Определение 9 [2]. Отображение F € (<?>2) называется при-
митивным в точке у € Щ, если
Ек(х)>Рк(у).
Примитивное в точке ^ = 0 отображение будем для краткости называть также примитивным в нуле.
В нелинейной теории Перрона-Фробе-ниуса свойство примитивности отображения в точке (или на некотором подмножестве исходного конуса) является существенным в ряде ключевых утверждений. С другой стороны, также активно используемое классическое свойство неразложимости отображения (см. определение 8) имеет, как уже отмечалось выше, глобальный характер. Вместе с тем для доказательства некоторых утверждений о свойствах положительно однородных и субоднородных отображений достаточно локального варианта свойства неразложимости (см. по этому поводу работы [6, 7]). Поэтому является оправданным использование следующего локального варианта понятия неразложимости, введенного в работе [6].
Определение 10. Отображение F е I{ (] ^ 2) называется разложимым в точке у £ Щ, если
3 х<ЕЯд+:х>у,1\х,у)*0, ¡«(х^яГ'^х^у)). (И)
Отображение, разложимое в каждой точ-
ке множества А/ с Щ называется разложимым на множестве М.
Соответственно, отображение Т7 называется неразложимым в точке у, если
\/хеЩ: х>у,1\х,у)Ф0=> ^>1о(х9у)Г\Г(Р(х\Р(у))*0 (15)
Отображение, неразложимое в каждой точке множества М с Щ, называется неразложимым на множестве М
В частности, отображение Р е \—> | называется разложимым в точке V = 0 (разложимым в нуле), если
ЗхеЩ:х>0,7°(х)Ф0,7°(х) с/^Ях)). (16)
Соответственно, отображение Т7 называется неразложимым в точке у = 0 (неразложимым в нуле), если
\fxeRl~. х>О,7°(х)*0=>. => 7°(х)П/+(/7(л'))^0 07)
В монографии [4] свойство неразложимости в нуле использовалось при характеристике некоторых спектральных свойств положительно однородных отображений и являлось существенным для характеристики свойств множества неподвижных точек субоднородных отображений.
Заметим, что аналогичное понятие в несколько иной форме использовал У. ОзЫте в работах [8; 9].
Глобальная неразложимость отображения по определению влечет за собой неразложимость в любой точке Щ и, в частности, неразложимость в нуле. Для линейных отображений верно и обратное, т.е. понятие неразложимости в нуле совпадает с понятием глобальной неразложимости (совпадающим, в свою очередь, с понятием неразложимости матрицы линейного отображения). Действительно, разложимость в
нуле линейного отображения Р(х) = Ах означает существование множества
0 ф J ф \уд, удовлетворяющего условиям
х; = 0 и /¡(х) = {Ах) = 0 (У/€</).Но последнее равенство в силу
(--Ц=IX л =1Хл= 0
уеУ ;€/
эквивалентно условию ^; = 0
где I = \,q\J, означающему разложимость матрицы А.
Для нелинейных отображений понятия неразложимости в нуле и глобальной неразложимости обычно не совпадают (соответствующие примеры см. в работе [6]).
Замечание 1. Множество точек из , в которых положительно однородное отображение является разложимым, вместе с каждой точкой содержит определяемый ею бесконечный луч, выходящий из начала координат: если отображение разложимо в точке у > 0, то оно разложимо и в любой точке Осу при СС > 0. Действительно, существование вектора х, удовлетворяющего условиям х > У^х, = у., /(х) =/(.V) при некотором / £ д приводит к существо-ванию вектора х=ах, для которого х>оги, х,=ауп /,(х) = /1(ау). Отсюда следует, что аналогичная ситуация справедлива для множества точек, в которых положительно однородное отображение является неразложимым.
Замечание 2. Важным является то обстоятельство, что свойство неразложимости в нуле, хотя и является более слабым по сравнению со свойством примитивности отображения в нуле, тем не менее также гарантирует положительность любой ненулевой неподвижной точки отображения Действительно, предположение 7°(х)^0 для некоторого х > 0 в силу равенства Р(х) = х при 7° (х) Ф 0 приводит к равенству 7° (х) = 7°(^(х)), что противоречит неразложимости отображения в нуле. Это относится и к неотрицательным собственным векторам МОНОТОННЫХ положи-
тельно однородных отображений. Соответствующие собственные значения также являются в этом случае положительными.
3. Некоторые свойства супероднородных отображений
В одномерном случае (строгая) супероднородность неотрицательной функции /(х) при д* > О означает, что относительная функция х-1 /\х) является (строго) возрастающей. Геометрически это означает, что всякая прямая, проходящая через начало координат, пересекает график строго субоднородной функции ровно в одной точке, причем начальная часть графика до точки пересечения находится ниже прямой, остальная - выше прямой. Если функция является супероднородной, но не строго супероднородной, отношение имеет участки постоянства.
Зд0 \/хе11+: х>х{) =>/(х)>0 (18)
Действительно, поскольку функция не равна тождественно нулю, существует точка х, в которой /(х)>0. В силу монотонности функции равенство /(у) — 0 для некоторого у > 0 приводит к равенству /(х) = 0 (Ухе[0,.у]), поэтому /(х)>0 (\/хе[х,+со)). Обозначая Д"0 = тГ{д-: /(дг)>0}, получаем свойство (18).
Всякая выпуклая функция, имеющая нулевую неподвижную точку, очевидно, является субоднородной. На рисунке 2 изображен случай выпуклой функции, для которой хо>0.
1»
А = ЛТ1
Рис.
График такой функции может содержать линейные участки, совпадающие с отрезками прямых, проходящих через начало координат.
На рисунке 1 изображены примеры графиков строго субоднородной (а) и строго супероднородной (б) возрастающих функций.
Супероднородная возрастающая функция одной переменной, не равная тождественно нулю, может равняться нулю лишь на некотором промежутке, примыкающем к началу координат:
Рис. 2.
Покажем, что это единственная возможность постоянства супероднородной функции.
Лемма 1. Пусть f(x) - нео-
трицательная супероднородная функция одной неотрицательной переменной. Тогда справедливы следующие свойства:
(1) /(0) = 0, функция f(x) МОНОТОННО возрастает;
(2) если f{x) не равна тождественно нулю, то существует предел lim f(x) = -ко.
(3) если к тому же выполнено условие (18) при Д"0 = 0 , то функция f(x) строго возрастает.
Доказательство. (1) Равенство /(0) = О справедливо не только для супероднородных функций одной переменной, но и для произвольных супероднородных отображений, и потому будет доказано далее.
Если 0 <х , то л* = ау при некотором ае(0,1] и, следовательно, f(x) = f(ay)^af(y)^f(y), т.е.
m^f(y)
(2) Если последовательность х( —> +со при t —> +оо, то, начиная с некоторого номера t0, выполнены неравенства х; > 0,
/(х,)>0 и Д=хг/л-,о > 1. Но тогда
f{x, ) = /( Д*(о ) > ßj{x4 ) +00, Т.к.
ßt —> +00 при t —» +00 .
(3) Доказательство аналогично доказательству для случая (1), с уточнением
а/(У)< /(У) при ае(ОД), поскольку
у > 0 в силу V > Л' и /(у) > 0 в соответствии с (18). Лемма доказана.
Покажем, что супероднородное отображение, в отличие от субоднородного, всегда имеет тривиальную неподвижную точку, в которой является непрерывным.
Теорема 1. (1) Если отображение F € |Rl I—» Rl I является супероднородным, то F(0) =0
(2) Если отображение F е R^ |
является супероднородным и возрастающим, то существует предел = О.
Доказательство (1) Неравенство F(ax)üaF(x) (Vae(0,l)) в определении супероднородности при х = 0 дает неравенство F(0) ^ ct.F(0), или (1 - a)F( 0) ^ 0. Учитывая, что 1 - а> О и F(0) ^ 0, получаем отсюда требуемое равенство.
(2) Если |х" | - любая неотрнцатель-
* *и=1
ная сходящаяся к нулю последовательность, то существует такой вектор J > 0, что
х"йх (V/? = 1,2,...). Обозначим X = (J;), = и пусть
а, = тр(</х,) Тогда при-
чем х" (xt) 1 ^ Oin ^ 1, т.е. справедливо
неравенство хп й ОСпХ . Из монотонности и супероднородности отображения F с учетом неравенства <Хп ^ 1 получаем:
QüF(x")<F(anx)üanF{x)^>Q при П +оо благодаря сходимости последовательности | к нулю. Это означает, что
Fix") —> +0 при п +со. Отсюда в силу произвольности последовательности
> получаем lim F(x) = 0. Доказа-тельство завершено.
Введем следующие обозначения: , , 0, д^
= {х > 0: Р(х)^х},
О0 = 1х > 0: Р(х)<х| °9)
р ' V / — )' Как мы видели выше, супероднородная
г -ч функция одной переменной является моно-
Рр ~ — ^ • — тонно возрастающей и не может быть огра-
0р = > 0; ^^ ниченной Некоторые из этих свойств можно сформулировать для супероднородных
р+ _ -> 0. /7 ^ > функций и отображений и в общем случае.
д* = > 0' ^(д:) < X | ^^ Теорема 2. Если функция /(х), не рав-
^ „ л .. ная тождественно нулю на Ря, является воз-
Очевидно, ^Й.Йс^сЙ. „ + „
растающеи и супероднороднои, то
Если 5 - одно из множеств РД Рр, Р*, у(х) = +0о
С?*-» >ТО соответствующее множе- Доказательство. Согласно свойству (18).
ство положительных векторов будем обо- существует такой вектор х0 >0 , что
л
значать £ ■ /(х) > 0 при х > х0. Пусть х > х0 и
Непосредственно из определения супе- , .
роднородного отображения вытекают еле- X = ) (/ = 0,1,2, ...) любая последо-дующие свойства этих множеств.
Лемма 2. Пусть отображение вательность с начальным вектором / =
все координаты которой неограниченно
Р е {Щ I—> Щ} является супероднород-
возрастают: х' —> +со (V/ е !,<:/) Можно
ным, непрерывным на Р^ и возрастающим.
Тогда справедливы следующие свойства: считать, что хг ^ х (V/ = 1,2...), тогда
X € 5, => рХ Е (\?{3 Е (1,-ко)) у ^ д<хо 5 где Д =/хо. ] еЦ ^ !
уе82=>ауе82 (Уае(0,1)) = )
где - любое из множеств Рр, Рр, Рр , в СИЛу монотонности и супероднородно-
р°р, рР, рр, 52 -любое из множеств сти Функции /(х) имеем:
а, а, в,, з; /ИМа-Ф А/И-+-.™
Замечание 3. Для монотонно возраста- Д при I +со и
ющего отображения р каждое из множеств , 0ч г/—\ А ,,/ д
(19)-(21), определенных выше, наряду с f(x ) = Д*) > 0. Поэтому Д* )-М«
любой его точкой х содержит также лю- при / —> +сс, что и требовалось доказать,
бую ее итерацию рк (х) : Будет полезным для дальнейшего сфор-
(к = 1,2,...)
к ч о /7 1 ч мулировать отдельно следующее простое
утверждение.
}0 о г>+ п^_____ -г г:^г.,,
где 5 - одно из множеств Р", Рр, Рр , Лемма 3. Если у е и отображение
Т7 е {я^ |—» Я1 | неразложимо в нуле, то
Доказательство. Если у е (Ур, то соглас-
но (19), у>0 и /ХуКу (^еП?).
Предположив 1°(у) /°(>') > по-
лучаем из этих неравенств, что /¡(у)=0, т.е. /е/°^00). Это означает, что
с (^(у)) и отображение р разложимо в нуле Поэтому предположение 1й(у)Ф0 неверно и, следовательно, у > 0, что и требовалось доказать.
4. Критерий существования положительной неподвижной точки супероднородного отображения
Как мы видели выше, субоднородное отображение всегда имеет тривиальную неподвижную точку. Мы получим здесь простые необходимые и достаточные условия существования нетривиальной неподвижной точки субоднородного отображения.
Обозначим через 5Г = {х е Я9: |х| = г|
гиперсферу радиуса г > 0 • Следуя работе [10], дадим следующее
Определение 11. Отображение
Р е I—> Я^ | называется растяжением конуса К С1Щ, если
3г>0 ЗЯ>г: (22)
Теперь мы можем сформулировать критерий существования ненулевой неподвижной точки возрастающего супероднородного отображения.
Теорема 3. Пусть супероднородное мо-
нотонно возрастающее непрерывное на Я^
отображение Р € {Я1 Я^ | неразложимо в нуле. При этих предположениях ненулевая неподвижная точка отображения р существует тогда и только тогда, когда
Рр ф 0, Ор Ф 0, причем в этом случае
любая ненулевая неподвижная точка является положительной.
Необходимость. Если х е А^, то при любых С£€(0,1), /?е(1,сю) имеем: Р(ах) ^ аР(х) = ах, Р(рх) ^рР(х)=¡Зх, т.е. ах<Е(?р, рхеРр.
Достаточность. Возьмем векторы X, у из множеств Рр ? соответственно; тогда х > 0 и согласно лемме 3 р>0. Если существует вектор л' е (У^, удовлетворяющий условию х ^ х , или вектор у е. Рр , удовлетворяющий условию у^у, то
N¡7 Ф 0 в силу теоремы Брауэра, и заключение теоремы справедливо. Осталось рассмотреть случай, когда выполнены условия
УхеЯ11:х^х^>х€(2* (23)
VуеЩ:уйу^>уеР» (24)
Возможны два следующих взаимоисключающих случая:
УД>0 Зх = х(Д): хе5дП0£ (25) ЗЯ>0:х€0° (26)
Покажем, что первый из них противоречит условию (23).
Действительно, предположим, что справедливо условие (25). Для неограниченно возрастающей последовательности значе-
ний , удовлетворяющих свойству
(25), имеем |х )| —;> +оо при /7_»+оо, поэтому существует хотя бы одна координата / 0, некоторая подпоследовательность значений которой неограниченно возрастает. Для удобства обозначений будем считать, что сама последовательность
(К) ->■ +с0 при п +оо. Возьмем вектор получающий-
ся из вектора X ) заменой всех его координат, кроме нулями:
\МЯЛ 1 = ч-
(/7 = 0,1,2,...) Поскольку Х1^(Яп)—> +СО при и —> +оо, можно считать, что X, о () ^ Л", о (Д)) > 0, так что справедливо равенство У0)(Я„)= ДУ0) (^о) > где
& = и-)
и —У +оо при п —> +оо. Отсюда в силу монотонности и супероднородности отображения р получаем:
Из неразложимости в нуле отображения Р следует, что существует положительная
координата вектора (^о)) с номе-
ром поэтому /|(Уо>(/^))>0.
Посшльку Д —> +оо при п +оо, из последнего неравенства следует, что и
Л(х(Л))->+со при
Итак, мы получили, что по крайней мере одна координата /, вектора
неограниченно возрастает при п —> +оо . Повторим использованный выше Прием ДЛЯ доказательства неограниченности еще одной координаты вектора )), для
чего построим теперь из вектора х (() вектор у{1)(К1}) тольш с двумя ненулевыми координатами /0,вектора х(^):
У1)(^)=Х-(Р„) (/ = /0,/,). пусть
Д = тт{х1(Рп)/х^Рд): / = /0,. Как и выше, можно считать, что хДДи)^хДД0)>0 (V/? = 1,2,...), те-перь уже для двух координат с номерами / = / 0, /1, так что Д ^ 1, и по-прежнему
Д —» +оо при п —> +оо. Аналогично получаем неравенство
из которого благодаря неразложимости отображения Р следует существование положительной координаты вектора Р (х ( ЯИ)) с номером /2, причем / 2 ф /0, / 2 ф /,, так
что /2(У1)Ю)>0.
Понятно, что, продолжая этот процесс, получим в конце концов существование координат вектора с номерами
Iу, 12,..., Iнеограниченно возрастаю-
щих при и —> +оо. Поскольку х(Я1] ) е Ор, то ^(^(^»^^(/г,,) (V/7 = 0,1,2,...) и, следовательно, х^Яп) —>+<х> (' = 7р ••• > 'у-1) при п —+оо Вспоминая, ЧТО И >+<» при п—>-+00, получаем хДД,)—>+°о при /? —> +оо
(У/е!^).
Итак, мы получили, что х(Яп)—>+<» при п —> +со. Это означает, что при достаточно большом значении п0 справедливо
неравенство х = ) > х , причем согласно предположению (25) х € 0°р . Таким образом, мы нашли вектор х, уцовлетворя-
ющий условиям х ^ х, хе Ор, что противоречит предположению (23).
Это противоречие показывает, что при выполнении условия (23) может выполняться только условие (26) В этом случае с учетом (24) получаем, что отображение Р является растяжением конуса Я^ и согласно
соответствующей теореме из [10] А^ Ф 0.
Таким образом, в любом из рассмотренных случаев NР Ф 0 . Согласно замечанию 2, из неразложимости отображения Р
в нуле следует
Ыр = Ыр Ф 0 Теорема доказана.
5. Заключение
Таким образом, для существования (положительной) неподвижной точки супероднородного монотонно возрастающего
непрерывного на Я9 отображения доста-
точно существования векторов х > О, у > 0, для которых выполнены неравенства р(х)^.х, ^(у)^ V Заметим, что в отличие от формулировки теоремы Брауэра для монотонных отображений, здесь не требуется соотношения х ^ у , более того, как мы видели при доказательстве необходимости, в случае существования ненулевой неподвижной точки существует бесконечное множество пар векторов х >0, у > 0, удовлетворяющих противоположным неравенствам.
Заметим, что для глобально неразложимых супероднородных монотонных непрерывных отображений неравенство х ^ у
для векторов х € РР , у € невозможно (если эти точки не совпадают с некоторой неподвижной точкой отображения р ). Действительно, предполагая противное,
получаем для векторов х* = осх , у , где а = инп->0 у / хг, неравенства а ^ 1, /7(х*)^х\ х'^ Т7, причем
, у ) Ф 0, 1+(х' ,у)Ф0 (в противном случае х* = у , что невозможно по нашему предположению). Отсюда для всех имеем Щ^/¡(х')^Ду)
Но х* = у{ (V/ € /°(х', У)), поэтому и
/,(х)=т, Т.е.
что противоречит глобальной неразложимости отображения Р.
Конечно, условия Рр Ф 0, ()(р Ф 0 непросто проверить, но значение теоремы 3 состоит в том, что она дает возможность получить более легко применяемые критерии существования положительных неподвиж-
ных точках субоднородных отображениях, с предположениями в терминах доминирующих собственных значений сопутствующих каждому субоднородному отображению Т7
положительно однородных отображений , определенных равенством (8), аналогично тому, как это было сделано для субоднородных отображений в работе [4].
ЛИТЕРАТУРА
1 Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост М.: Наука, 1972
2. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М : Мир, 1972
3. LemmensB., NussbaumR.D Nonlinear Perron-Frobebius Theory. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 189. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2012.
4. Смирнов А.И. Равновесие и устойчивость субоднородных монотонных дискретных динамических систем. Екатеринбург: Изд-во УИЭУиП, 2016 318 с.
5. Morishima М. Generalizations of the Frobenius-Wielandt theorems for non-negative square matrices. J London Math. Soc., 1961 Vol 36. P. 211-220
6. Смирнов А.И. О некоторых ослаблениях понятия неразложимости отображения // Вестник УИЭУиП. 2016. №2(35). С. 26-30.
7. Мазуров Вл.Д., Смирнов А.И. Условия неразложимости и примитивности монотонных субоднородных отображений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, №3. С. 169-177.
8 Oshime Y An extension ofMorishima's nonlinear Perron-Frobenius theorem // J. Math Kyoto Univ. 1983. Vol. 23. P. 803-830.
9. Oshime Y Perron-Frobenius problem for weakly sublinear maps in aeuclidean positive orthant. Japan J. Indust. Appl. Math. 1992. Vol. 9. P. 313-350.
10 Опойцев В И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения М.: Наука, 1977.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ
СМИРНОВ Александр Иванович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт математики и механики им. Н.Н Красовского УрО РАН, г Екатеринбург
E-mail: [email protected]
