Условия примитивности нелинейного оператора шага некоторых итерационных процессов в терминах матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБРАЗОВАНИЕ

УСЛОВИЯ ПРИМИТИВНОСТИ НЕЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА ШАГА НЕКОТОРЫХ ИТЕРАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

В ТЕРМИНАХ МАТРИЦ

Смирнов А.И.

Рассматриваются некоторые разновидности итерационного процесса с псевдовогнутым монотонно возрастающим оператором шага. Показано, что неразложимость и примитивность таких отображений, существенная для сходимости итерационного процесса к равновесию, определяется соответствующими свойствами некоторой матрицы, поставленной в соответствие псевдовогнутому отображению.

Ключевые слова: итерационный процесс, сходимость итерационного процесса, равновесие системы, неразложимое отображение, примитивное отображение.

CONDITIONS OF PRIMITIVENESS OF THE NONLINEAR STEP OPERATOR SOME ITERATIVE PROCESSES IN TERMS OF MATRIXES

Smirnov A.I.

Some species are considered an iterative process with pseudoconcave monotonically increasing operator step. It is shown that the irreducible and primitive such maps, essential for the convergence of the iterative process to equilibrium is determined by the corresponding properties of a matrix produced in accordance pseudoconcave map.

Keywords: iteration process, iteration process convergence, equilibrium of system, irreducible mapping, primitive mapping.

1. Введение

Математическое моделирование динамики природно-экономических систем нередко приводит к итерационным процессам [1]. Если оператор перехода от предыдущего состояния к следующему линеен, то он задается т.н. проекционной матрицей [2]; для нелинейных моделей оператор перехода от состояния к состоянию задается некоторым отображением F е ^ ® ^ R ® } .

Рассматриваемые далее модели являются аналитическими (качественными), поскольку имеют целью (в отличие от имитационных моделей) не воспроизведение во

всех подробностях поведения моделируемого объекта, а отражение лишь на качественном уровне важнейших его свойств, хотя, следует отметить, конкретные их реализации возникли в процессе моделирования реальных природных систем.

Таким образом, имеется некоторый итерационный процесс

хж = F(xt) , I = 0,1,2,... (1)

Подробные характеристики отображения F (называемого оператором шага итерационного процесса) неизвестны, но,

тем не менее, известны некоторые его качественные свойства. Одним из таких свойств является неотрицательность:

F (К (2)

Обычно будет предполагаться, что нуль О пространства К является неподвижной точкой отображения р, которой соответствует тривиальное состояние равновесия системы: Р (О) = О .

Нас интересуют асимптотические свойства итерационного процесса (1). Определяющим здесь оказывается, как мы увидим дальше, наличие или отсутствие ненулевых неподвижных точек отображения р , которые будем называть нетривиальными состояниями равновесия системы.

Далее предполагается также, что оператор шага является возрастающим на :

Ух, у е Щ. : х < у ^ Р (х)< Р (у) (3)

и псевдовогнутым в соответствии со следующим определением.

О п р е д е л е н и е 1. Отображение Р е {Щ^ ^ } называется псевдовогнутым, если

Ух е Щ У а е (0,1) Р (ах) > аР (х) (4)

Псевдовогнутость является требованием к скорости возрастания и позволяет, в частности, отражать так называемый "эффект насыщения", наблюдающийся во многих реальных системах с дефицитом ресурса. Понятие псевдовогнутости в работе [3] определяется с помощью строгого неравенства в (4); мы здесь такие отображения будем называть строго псевдовогнутыми.

Как известно [4], положительно однородное первой степени отображение имеет доминирующее собственное значение, которое определяет динамические свойства соответствующего итерационного процесса (при некоторых дополнительных предположениях). В работе [5] показано, что сходимость итерационного процесса (1) с псевдовогнутым возрастающим оператором шага определяется доминирующими собственными значениями некоторых отобра-

жений Р, F^, которые можно поставить в соответствие каждому псевдовогнутому отображению.

Теорема 1 [5]. Если отображение р псев-довогнуто, то существуют положительно однородные первой степени отображен и я F (X) = (fo (x)), рж (x) = (С (x)) , удовлетворяющие условию

Ух е Rq+ рж (X) й F (X) й F0 (X) (5)

Отображение Рх всюду на R+ конечно. Если отображение р возрастает, то каждая компонента отображения Р0 либо всюду на R++ конечна, либо всюду на int R+ есть +.

Если отображение р к тому же сепара-бельно, то Fs (х) = Fsx, где Fg = [ fs'j ,

fa'j = lm+a а -1 f, . (а ) (i, j е 1, q, s е {o,+

Напомним, что отображение Р е {R+ ^ R+} называется сепарабель-ным, если

q / \

yx е R++ р(x) = zр x), р x) = ( fj x) )

j=1

Для положительно-однородного первой степени отображения H существует обобщение понятия собственного числа для матриц [2], и, в частности, существует т.н. доминирующее собственное число Л (H).

Условия существования положительного равновесия возрастающего монотонно возрастающего псевдовогнутого отображения оказывается возможным сформулировать [5-8] в терминах доминирующих собственных значений положительно-однородных первой степени отображенийР0, Рх .

В частности, достаточным для существования положительного равновесия является условие

Л 1 < Л (р0 ), (6)

(при дополнительных условиях примитивности отображения F на некотором множестве, гарантирующих положительность ненулевого состояния равновесия).

При этих условиях итерационный процесс (1) сходится к некоторому равновес-

Смирнов А.И.

ному состоянию, зависящему от выбора начального приближения x0. Если состояние равновесия единственное, то имеется сходимость к нему независимо от ненулевого начального приближения.

При отсутствии нетривиального равновесия итерационный процесс (1) сходится к тривиальному состоянию равновесия.

Таким образом, при ограниченности отображения F для рассматриваемого итерационного процесса справедлива следующая альтернатива: имеет место сходимость либо к положительному состоянию равновесия, либо к нулевому.

Далее везде на протяжении этой статьи отображение р (x) = (fi (x)) предполагается возрастающим (р ( ©) = О), псевдовогнутым и сепарабельным на R+ .

Замечание. Будем предполагать в дальнейшем также, что

Уг е Бх е Щ : ¡г (х) > 0 (7)

Для псевдовогнутого возрастающего отображения в этом случае справедливо соотношение

F (гпЬ Rq+)C гпЬ Rq+ (8)

При изучении существования состояния равновесия отображения F предполагалось выполнение условия примитивности на некотором множестве, содержащем нулевой вектор О. В общем случае проверка этого условия довольно затруднительна.

Тем не менее, для сепарабельного отображения удается свести анализ примитивности к соответствующему анализу (значительно более простому и конструктивному) для некоторой матрицы.

Теорема 2 [6]. Если отображение р псевдовогнуто и отображение Р0 конечно, то отображение р примитивно в точке х = О тогда и только тогда, когда отображение Р0 примитивно в точке х = о .

Далее, псевдовогнутое сепарабельное отображение р примитивно в точке х = О тогда и только тогда. рая степень матрицы

^ =

а

г,] \

вия примитивности соответствующих матриц для некоторых часто встречающихся модификаций итерационного процесса (1).

2. Структура оператора шага некоторых разновидностей итерационного процесса (1) Рассмотрим итерационный процесс вида

1 ( X1, X2 ,..., Xq—1, xq ) ,

^ =

X2 =

Л2 ( X

г г , -V1, Xq

),

xt+1 =

Л, (X!

X+1 X+1 X+1 А л, , л-2 ,..., л,—1, л, у,

(9)

Очевидно, оператор шага F (X) = (Л1 (X)) для этого процесса определяется следующим образом:

(10)

Л1 ( X) = Л1 ( ^ X2,..., Х — 1, Xq ) , 12 (X)= Л2 (Л1 (X) , ^^ Xq—1, Х, ) ,

Л (^ = 1 (11 (X), 12 (X)Д.1 (X), X,).

Отображение р также является возрастающим (р (О) = О) псевдовогнутым и, хотя не является сепарабельным, но является суперпозицией сепарабельных отображений.

Элементы матрицы Ар можно задать индуктивно:

ар,, 1 =1 ]е1, q,

<, =

Е ааам, 1 е 2, q, уе1,1—1 (11)

1—1 _ _ _

р , V Р р ■ п ■ ■

ai + Е ai как , г е 2, q, ] е г, q.

Теорема 3. Матрица Ар неразложима тогда и только тогда, когда неразложима матрица

АР и ¿а5 > 0 (у е 1, q — 1) .

г=1

когда некото-

р 1

положи-

тельна, где ар = ^ (1) (Vг, ] е

Используя этот результат, найдем усло-

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Из равенств (11) видно, что, если аи = 0 (у г е 1, у ) при некотором у е 1, q — 1, то матрица Ар разложима как имеющая нулевой столбец.

Если разложима матрица Ар, то суще-

ствует такое множество 1, 0 ф I ^ 1, q , что afj = 0 (Vi е J, j е I, J = 1, q \ I). Индукцией по множеству J x I покажем, что матрица ^ разложима.

Пусть / = min J, jj = min I. Если / = 1,

1 = f (X1, X2 ,..., Xq-1, Xq ) ,

f (X1 , X2 ,..., Xq-1, Xq ) + .§2,1 (X1 ) ,

Xt+1 = q

fq(x+1, x2+1,...,xt+1

q-1

^ xq)+Л ^ (xj).

j=1

(12)

и

то а. = а. = 0 . Если . > 1, то ] = 1

_ г1, л г1, л 1

а,^ . = 0, так как 1,. -1 е I. Таким обра-

г1, Л _ ' 1 — 1

зом, а. . = 0 .

' г1, л

Предположим, что

а.] = 0 (V/ с J, ] с I: / < г, у < 5, / + у < г+^)

где г с J, 5 с I, и покажем, что аГ^^ = 0 .

Если 1, r -1 с I, то ar,s = 0 в силу равенства

ark при k е I. Если же I' = 1, r -1\ I ф0 , то

-r ,k

F F F

Ov = Л ar,A .

кеГ

Так как max I' „ r -1, к е J , то, по пред- неразложима и Л > 0 (Vj е 1, q -*) .

неразложима тогда и только тогда, когда

] ч , _.

Е а. + £ а* > 0 (V] с1, ч -1) (13)

/=1 г=]+1

и неразложима матрица

А.+е, * (х) = (я (х)), gi (х) = Е ^ (X])

]=1

Учитывая, что неразложимая матрица, имеющая положительный диагональный элемент, примитивна [4], получаем

Следствие 1. Матрица А. примитивна тогда и только тогда, когда матрица А.

положению индукции, в этой сумме все ак 5 = 0, и, следовательно, аг5 = 0, что и требовалось.

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть матрица А. разложима и I - то множество, о котором идет речь в определении разложимости. Если Ц = 1, то из (11) нетрудно заметить,

что а.} = 0 (V/ е I, ] с I) .

Предположим, что это равенство справедливо при всех I, для которых Ц < £ . Пусть Ц = £, I = {/!,...,/£} .

Если а. = 0 (V/ е I, ] с I), то заключение теоремы справедливо.

Если а.] ф 0 при некоторых /0 е I, ]0 с I, то из (11) следует, что ]0 с й- и а.,] = 0 (V] сI) .

Поэтому а.] = 0 (V/ е I', ] с I') , где I' = I \ {]0} и, по предположению индукции, матрица А. разложима. Теорема доказана.

Точно так же может быть доказана следующая

Теорема 4. Матрица Ан, где н - оператор шага итерационного процесса

Таким образом, проверка примитивности оператора шага итерационного процесса (9) сводится к проверке неразложимости матрицы А. и существования ненулевого элемента на главной диагонали или выше во всех столбцах, кроме последнего (существование такого элемента в последнем столбце вытекает из неразложимости матрицы А.).

Рассмотрим теперь случай, когда компоненты ] (] с р +1, ч ) вектора х,+1 не зависят явно от координат вектора х1 и полностью определяются значениями остальных координат вектора .

Пусть р с 1, ч -1 и для итерационного процесса (9) выполнено условие

aFj =

0 (V/ с р +1, ч, ] с /, ч) (14)

Тогда итерационный процесс (1) сводится к итерационному процессу меньшей размерности р:

ум = Н (у,), t = 0,1,2,..., (15)

где у, = х( (1, р) и отображение

H (y) = (h (y)) (H е R м- R+P }) определяется равенствами

где

Смирнов А.И.

h (y) = fi (У^ У2>.">y^-1. Ур. fp+1 (y)..... fq (y)). h2 (У ) = f2 (h (У). У2..... Ур-1. Ур. fp+1 (У)..... fq (У)).

hp (У) = fp (hi (У), h2(У),...,hp_i(у), Ур, (У),..., 7q (у)),

fp+1 (У) = fp+1 (Уi, У2,...,yp, 0, 0,..., 0, 0),

fp+2 (у) = fp+2 ^ У2..... Уp . 7p+i (У0..... 0 0).

(16)

7q (y) = fq (yi. У2 ..... yp . 7 p+1 (y) . fp+2 (y) ..... 7 q—1 (y) 0).

Теорема 5. Пусть выполнено условие

■1 , _, q , _,

Y< > 0 (V/ e p+1, q), Y< > 0 (V e p+1, q) (19)

В соответствии с теоремой 2, для нахождения условий неразложимости матрицы Ан, элементы которой задаются равенствами

aHH =

aF +

Y aF

k= p+1

,k"k, j

i = 1, j e 1, p,

/-1

j + Y a/,kak,j,

k=1 k=p+1

Y aF a^ +

i e 2, p, j e 1, i -1,

i-1 _ _

F H V™* F H • o, . .

i,kak,j Y aaak,j. i e 2 p. je q.

k=1 k=p+1

F f

a,j + Y a -a:

H

a=

ak,j. k = p +1 j e1, P.

a^5, j +

k-1 _ _

Y aFa,j. k e p+2 q.j e 1 p.

e=p+1

(17)

необходимо найти условия неразложимос-

ти матрицы Ag = I a/ j I

i, j G1, p) для отображения G (y) = (gi (y)), где

g (y)= 7/ (у,.... yp. fp+1 (y)..... ~7q (у)) (V e^)

p ' j p+1 vy / ' ' j q \

Эта матрица имеет элементы

<, = <j +

Y j. (i, j e1, p )

k = p+1

(18)

Введем понятие главной подматрицы квадратной матрицы.

О п р е д е л е н и е 2.

Главной подматрицей А (I) (I ^ 1, q) матрицы А = |аг,у| (г,у е 1,q) называется матрица, получающаяся из матрицы А вычерчиванием строк и столбцов с номерами из 1, q \ I.

j=1

Тогда матрица AG неразложима тогда и только тогда, когда неразложима матрица Af .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть матрица Af разложима. Тогда существует множество 1, 0 ф I с 1, q , удовлетворяющее условию aFJ = 0 (Vi e J = 1, q \ I, j e I) .

Покажем. что i n ф0, j n ф0 .

Действительно, если, например,

IП1, p = 0 , то J 31, p и afj = 0 (Vi e 1, p, j e I) . Пусть j0 = max I. Тогда j0 +1, q с J и <j0 = 0 (Vi e j +q) . Так как, согласно (14), aFh = 0 (Vi e p +1, j0), то = 0 (Vi e 1, q) , что противоречит нашим предположениям.

Итак, IП ф0, JП ф0 . Пусть I' = 1,p ПI, J' = 1, pП J . Покажем, что aG = 0 (Vi e J', j e I') .

Действительно, имеем

a

= 0 (Vi e J', j e I') .

Из (18) получаем:

a

ZF F

aa

г ,к к, }■

kеJ0

(V/ е J\ j е I') , где

J0 = p +1, q П J'

Пусть к0 = min J0 (к0... p +1).

Если к0 > p + 1, то

G F

а, , = а.

k0,j

'k0,1

= 0 (V] с I') . Если к0 = р +1, то учитывая соотношения р +1, к0 -1 е I, а.,г = 0 с р +1, к0 -1), опять получаем

а: , (Vj е I').

xG .

к0,j

Таким образом, если = 1, то ак!] = 0 (V] с I', к с J0) . Если же | J01 > 1, то последнее равенство доказывается индукцией по множеству J0. Отсюда

Т ) и мат-

a

/,j = Л a-FXj = 0 (V/е J', j е I')

ке30

рица А* разложима.

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть матрица Аа разложима. Тогда

= 0 (V/ с J, ] с I) 0ФI с 1ч, J = 1р \ I Из равенств (18) получаем

a.

a

^ j

= 0 (V/ е J, j е I), a

FF a/,kak,j = 1

= 0 (V/ е J, j еI)}.

Положим I0 = I 'и К и, предположив, что множество ^ построено, но множество

I, не удовлетворяет условию (21), построим множество I,

t+1 •

aF/,j = 0

aF/,i = 0

0 (vk с р +1, ч, / с J, ] с I) (20)

Нам необходимо построить множество II, удовлетворяющее условию

7 с 1ч, а.]} = 0 (у/ еJ=1ч\7, ] е7) (21)

Мы получим это множество в виде некоторого элемента 7 ,о последовательности множеств

7, = I и I, ^ е I 'и К (V, с 07^0) , где

I' = {к с р+1ч: <к = 0 (V/ с ^, 3] с I а.] > 0}, J' = {к с р+1, ч: а[]. = 0 (V с I), 3 / с J а. > 0}, К = {к с р+1, ч: а.к = ]

Заметим, что из определения множества I, и равенств (20) вытекает, что

(У/ е 1 = 1ч \7, ] е I), (У/ е J, ] е 1,) (22)

Поэтому условие (21) при 7 = 7, может быть невыполненным только тогда, когда существуют /0 с Jt, ]0 с ^, для которых а.к Ф 0. Так как главная подматрица А. (р +1, ч) матрицы А. имеет нули на главной диагонали и выше, то /0 > ]0 (и, следовательно, /0 > р +1). Так как /0 с Jt е J 'и К, то а.,; = 0 (V] с I) .

Используя (18), получаем равенства а.а] = 0 (V] с I, £ с р +1, /0 -1). Отсюда а.] = 0 (V] с I) и можно положить

I,+1 = I, \{]0} .

Итак, в результате мы получаем последователь ность множеств {I,},0, причем при ,0 > 0 справедливо 11,+11 = I | -1 (Vг с 0, ,0 -1).

Очевидно, ,0 „ I1. Если ,0 < ^ |, то построено множество I,, для которого ^ Ф 0 . Если же ,0 = |!01, то после ,0 - кратного повторения указанной процедуры получаем ^ =0, 7, = I. Это множество удовлетворяет (21) в силу условия (22).

Вернемся к рассмотрению итерационного процесса (15). Условие (13) для отображения (16) преобразуется в следующее:

j p q . _.

Л aFj +Л Л aFXj > 0 (Vj е 1, p -1) (23)

i=1 г=1 к= p+1

Лемма 1. Если столбцы матрицы А. с номерами р+1,..., ч - ненулевые, то условие (23) эквивалентно условию

Л aFj■ + Л aFj■ > 0 (Vj е 1, p - 1 )

г=p+1

(24)

G

Смирнов А.И.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если У г е к, q — 1: арг = 0 (Уг е 1, р) 0 (Уг е 1, у и р +1, q) при некото ром

ар, =

у е 1, р — 1, то, очевидно, справедливо отрицание условия (23).

Обратно, если условие (23) не выполнено, то при некотором справедливо

Обратно, если условие (23) не выполнено,

то при некотором у е 1, р — 1 справедливо

(уг е ТТу), 1 , '_ (25)

= 0 (Ук е р +1, q, г е 1, р).

ару = 0

р р агкаК3

Поэтому для завершения доказательства до-

статочно показать, что

аРк] = 0 (Ук е р +1, ?).

Предположим противное: пусть ак . > 0

при некотором к е р +1, q . Тогда в силу (25) справедливы равенства арк = 0 (Уг е 1, р) (и тем самым к < q, так как в противном случае столбец с номером q, согласно (14), является нулевым).

Заметим, что из (25) вытекает справедливость следующего утверждения:

Зае г + 1, q: а^г > 0 ^ ара = 0 (Уг е1, р) (26)

Применяя утверждение (26) последовательно для г = к, к +1,...,q — 1, получаем, что столбец с номером q - нулевой, что противоречит нашим предположениям. Поэтому ак-у = 0 (Ук е р +1, q) и справедливо отрицание условия (24). Лемма доказана.

Компиляцией теорем 3, 5 и леммы 1 является следующая

Теорема 6. Пусть выполнены условия (14),(19). Тогда матрица Ан неразложима тогда и только тогда, когда выполнено условие (24) и матрица Ар неразложима.

Таким образом, проверка неразложимости матрицы оператора шага итерационного процесса (15), т.е. итерационного процесса (9) с условием (14), сводится к проверке неразложимости матрицы Ар и проверке существования ненулевого элемента этой матрицы на главной диагонали или выше, либо ниже q -ой строки в каждом столбце матрицы , кроме последнего

ЛИТЕРАТУРА

1. Еремин И. И., Мазуров Вл. Д. Нестационарные процессы математического программирования. - М.: Наука, 1976. - 288 с.

2. Логофет Д.О., Белова И.Н. Неотрицательные матрицы как инструмент моделирования динамики популяций: классические модели и современные обобщения // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13, № 4. С. 145-164.

3. Опойцев В. И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения. -М.: Наука, 1977. - 245 с.

4. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. - М.: Мир, 1972. - 510 с.

5. Смирнов А. И. Динамика возрастно - генетического состава биологической популяции в одной математической модели. - В кн.: Мат методы в планировании промышленного производства. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР, 1977, вып. 22, с. 91 - 98.

6. Смирнов А. И. Анализ развития популяции в условиях нестационарной среды. - В кн.: Методы для нестационарных задач матем. программирования. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР, 1979, вып. 29, с. 94 - 103.

7. Смирнов А. И. Условия разрешимости задачи вывода биологической популяции на

заданную структуру. - В кн.: Классификация и оптимизация в задачах управления. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР, 1981, с. 90 - 102.

8. Смирнов А. И. О некоторых моделях управления структурой биологических популяций. - В кн.: Методы оптимизации и распознавания образов в задачах планирования. Свердловск: ИММ УНЦ АН СССР, 1980, с. 106 - 112.

ПРИЛОЖЕНИЕ. СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

N - множество натуральных чисел, М0 = N ^ {0};

|м| - число элементов конечного множества м (для бесконечного множества по определению \М\ = +сю );

^ М - внутренность множества м е К1; М - замыкание множества ;

{х} - множество, состоящее из единственного элемента х; к~1 = { е ^ : к Г I Г к,£ е N0);

- действительное 1-мерное векторное пространство столбцов

х = (хi ) = (Х1, Х2,..., Х1

) длины (- символ транспонирования);

1 = {1, ... ie} С 1,1 ^ х(1) = (Хг1,...,х )Г е ; Если х, у е К1, х = ( х1), у = (уг) ,то

х ^ у о хгГу. (VI е 1,1), х ^ у о х ^ у, х Ф у, х < у о х{ < уI (VI е 1,1);

А = Ц,] ] 1 ^ 1,1) - матрица порядка 1 с общим элементом а1 у;

рк - к -я итерация отображения F : Р0 (х) = х, ¥к+1 (х) = Р (¥к (х)) (Vk е ^ );

О ч = О - нуль пространства к1 ;

означает, что величина а принимает одно из значений

о^ р,.. ., Рк,

Запись а = а2 , .., а,

ап , R1,.

в зависимости от того, какое из условий

'=1 к

к О + ... + ак, 1 < k, а => г=а Ч. . . 1 [0, 1 > к,

> а = > I

П а =Пк=, а =

'=1

г г=1 г

\а ....а,, I Г к,

11 к> Г (1,1,к е N0) 1, 1 > к.

т

Запись а

а р • • р

а2, Ql;..; &,

ап, ^1;...; .

Смирнов А.И.

означает, что величина а принимает одно из значений а1, а2, ..., ап, в зависимости от того, какое из условий Р V...VРк , & V... V&, ... V... VЯт справедливо.