СУЩЕСТВОВАНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ, ВСЮДУ РАЗРЫВНЫХ СПЕКТРОВ ВЕРХНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КОЛЕБЛЕМОСТИ ЗНАКОВ, НУЛЕЙ И КОРНЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

которое качественно означает, что при малых y равномерно по П (а также по р и Q) асимптотические мощности в схемах с засорениями и без засорений близки. Это свойство свидетельствует об асимптотической качественной робастности теста.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Koul H.L. Weighted empiricals and linear models. Hayward: Michigan State University, 1992.

2. Болдин М.В., Симонова Г.И., Тюрин Ю.Н. Знаковый статистический анализ линейных моделей. М.: Наука, 1997.

3. Koul H.L. Asymptotics of some estimators and sequential residual empiricals in nonlinear time series // Ann. Statist. 1996. 24. 380-404.

4. Boldin M. V. On empirical processes in heteroscedastic time series and their use for hypothesis testing and estimation // Math. Methods Statist. 2000. 9(1). 65-89.

5. Anderson T. W. The statistical analysis of time series. N.Y.: John Wiley and Sons, 1971.

6. Martin R.D., Yohai V.J. Influence functionals for time series // Ann. Statist. 1986. 14. 781-818.

7. Орлов А.И. О проверке симметриии распределения // Теор. вероятн. и ее примен. 1972. XVII, вып. 2. 372-377.

8. Boldin M. V. On the asymptotic power of test of fit under local alternatives in autoregression // Math. Methods Statist. 2019. 28, N 2. 144-154.

9. Болдин М.В. Оценка распределения возмущений в схеме авторегрессии //Теор. вероятн. и ее примен. 1982. 27, вып. 4. 905-910.

10. Мартынов Г.В. Критерии омега-квадрат. М.: Наука, 1978.

11. Boldin M. V. On the power of Pearson's test under local alternatives in autoregression with outliers // Math. Methods Statist. 2019. 28, N 1. 57-65.

Поступила в редакцию 23.09.2022

УДК 517.926

СУЩЕСТВОВАНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ, ВСЮДУ РАЗРЫВНЫХ СПЕКТРОВ ВЕРХНИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КОЛЕБЛЕМОСТИ ЗНАКОВ, НУЛЕЙ И КОРНЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

А. Х. Сташ1, А. Е. Артисевич2

Построены примеры двух линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка, спектры верхних сильных показателей колеблемости знаков, нулей и корней одного из которых совпадают с множеством рациональных чисел отрезка [0,1], а другого — с множеством иррациональных чисел отрезка [0,1], дополненным числом нуль.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, колеблемость, число нулей, показатели колеблемости, частоты Сергеева, показатели Ляпунова.

Examples of two linear homogeneous differential equations of the third order are constructed, the spectra of the upper strong exponents of oscillation of signs, zeros and roots of one of which

1 Сташ Айдамир Хазретович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа и методики преподавания математики, декан ф-та математики и компьютерных наук Адыг. гос. ун-та, e-mail: [email protected].

Stash Aydamir Khazretovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Dean, Adyghe State University, Faculty of Mathematics and Computer Science, Chair of Mathematical Analysis and Methods of Teaching Mathematics.

2 Артисевич Анжела Евгеньевна — ст. преп. каф. математического анализа и методики преподавания математики ф-та математики и компьютерных наук Адыг. гос. ун-та, e-mail: [email protected].

Artisevich Angela Evgenievna — Senior Lecturer, Adyghe State University, Faculty of Mathematics and Computer Science, Chair of Mathematical Analysis and Methods of Teaching Mathematics.

coincide with the set of rational numbers of the segment [0,1], and the other with the set of irrational numbers of the segment [0,1] augmented with the number zero.

Key words: differential equations, oscillation, number of zeros, exponents of oscillation, Sergeev frequencies, Lyapunov exponents.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-64-5-3

Для заданного натурального n рассмотрим множество En линейных однородных уравнений n-го порядка

y(n) + ai(t)y(n-1) + ... + On-i(i)y + fln(% = 0, t € R+ = [0;

задаваемых наборами a = (ai,..., an) : R+ ^ Rn непрерывных функций, с которыми в дальнейшем и будем отождествлять сами уравнения. Множество всех ненулевых решений уравнения a € En обозначим через S*(a). Далее звездочкой снизу будем помечать любое линейное пространство, в котором выколот нуль. Положим

sn = U S*(a).

a€fn

Определение 1 [1]. Скажем, что в точке t > 0 происходит строгая смена знака функции y € Sn, если в любой окрестности этой точки функция y принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Определение 2 [1—3]. Для момента t > 0 и функции y € Sn введем следующие обозначения:

v-(y,t) — число точек ее строгой смены знака на промежутке (0, t];

v0(y,t) — число ее нулей на промежутке (0, t];

v +(y,t) — число ее корней (т.е. нулей с учетом их кратности) на промежутке (0,t].

Далее, для a < в положим vY(y; a, в) = vY(y, в) — vY(y, a), а для векторов ^y = (y, y,..., y(n-1)) и m € Rn положим vY(y, m,t) = vY((0y, m),t), где y € {—, 0, +}, а (^y(-),m) — скалярное произведение.

Определение 3 [1]. Верхнюю (нижнию) частоту Сергеева знаков, нулей и корней любой функции y € S n зададим при y € {—, 0, +} равенством

- 7Г / 7Г

г>7(у) = lim -v<(y,t) И>7(у) = M тv<(y,t)

t^+OD t \ t^+OD t

Определение 4 [2,3]. Верхний (нижний) сильный показатель колеблемости знаков, нулей и корней функции y € Sn зададим при y € {—, 0, +} равенством

- 7Г / 7Г

02(у) = inf lim — z/7(w,m,t) [ i>2(y) = inf lim — z/7(w,m,t)

•KyJ m€Rj i—>+oo t Vy' ,J V meRït~ooÎ

Определение 5. Множество всех значений показателя к\ <S*(a) —> R = R U {—оо,+оо} на нетривиальных решениях уравнения a € En назовем спектром этого показателя уравнения a € En.

Для решений линейных однородных уравнений первого порядка все показатели колеблемости равны нулю, так как эти решения не имеют нулей, а для всех решений любого уравнения второго порядка все верхние (как и все нижние) показатели равны между собой [3].

В работе [4] доказано существование уравнения третьего порядка с периодическими коэффициентами, спектры показателей колеблемости которого содержат конечные подмножества, состоящие из сколь угодно большого наперед заданного числа метрически и топологически существенных значений. Кроме того, построено линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с переменными ограниченными коэффициентами, спектры показателей колеблемости которого содержат одно и то же счетное множество метрически и топологически существенных значений. В [5] приводится линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с неограниченными коэффициентами, спектры показателей колеблемости которого содержат один и тот же отрезок числовой прямой.

В работе [6] построены примеры двух линейных дифференциальных уравнений третьего порядка с непрерывными на временной полуоси коэффициентами, спектры частот Сергеева нулей и знаков одного из которых состоят из рациональных чисел отрезка [0,1], а другого — из иррациональных чисел отрезка [0,1] и числа нуль. В настоящей работе все эти свойства перенесены и на верхние сильные показатели колеблемости знаков, нулей и корней.

9 ВМУ, математика, механика, № 5

Теорема 1. Существует дифференциальное уравнение а € <?3, для которого выполняются равенства

(5*(а)) = >°(5*(а)) = ¿.+(5*(а)) = >"(5*(а)) = >°(5*(а)) = >+(5*(а)) = [0,1] П ф. Теорема 2. Существует дифференциальное уравнение а € £3, обладающее свойством >"(5*(а)) = >°(5*(а)) = >+(5*(а)) = >"(5*(а)) = >°(5*(а)) = >+(5*(а)) = ([0,1] ПI) и {0}. Сначала докажем вспомогательный результат.

Лемма 1. Если набор функций {уь у2, у3} является фундаментальной системой решений некоторого уравнения а € £3, то при любом а > 0 набор функций

= уг({) ехр(ехр(а:£)), £ € М+, ¿ = 1,3,

(1)

также является фундаментальной системой решений некоторого уравнения Ь € <?3.

Доказательство. Обозначим через ^ЬУ2)У3(¿) и (¿), £ € М+, определители Вронского

систем функций уьу2,у3 € 5*(а) и -1,-2,-3 соответственно. Имеем

¿¿(¿) = ехр(ехр(а*)) («осеа*у¿(¿) + , г = М; ЭД = ехр (ехр (а1))(а2 еаЬ (еаЬ + 1)уг(£) + 2аеаЬуг{1) + &(*)), г = ТД

Тогда

^1,^3 № =

= exp(2exp(аt))

-1^) -2^) -$(*) ¿1^) -¿2 (¿) ¿3^)

ЗД ¿2^) ¿3(*)

У1(*) У2(*) У3(*)

-¿2 (¿) ¿3^)

¿1^)

У2(*) У3(*) У^) /2^) 2/3(*) ЗД ¿3(^)

= exp(exp(аt)) = exp(3exp(аí))WyЬУ2)У3(¿) = 0, £ € М+.

уравнения Ь € £3:

W¡

•21,-22,23

является [7, с 86]

- 00

¿2(*) N 00

00

-'2 -3

0.

Лемма 1 доказана.

Определение 6 [8]. Назовем функцию у € С3([а, в]) правильно колеблющейся порядка р € N на отрезке [а, в], если существует последовательность а = т1 < т2 < ... < т4р+2 = в вещественных чисел, такая, что

1) на отрезках [т2г_1,т2г], % = 1,2р + 1, функция у имеет постоянную производную т^, при этом справедливы неравенства Г\ > 0 и < 0, г = 1,2р;

2) на интервалах (т2г, 721+1), г = 1,2р, ее вторая производная у отлична от нуля.

Определение 7 [8]. Назовем функцию у € С3(К+) правильно колеблющейся на положительной полуоси М+, если существует такая строго возрастающая последовательность (¿¿) неотрицательных чисел с первым членом ¿1 = 0, что для каждого г € N сужение у|[г4,г4+1] является правильно колеблющейся на отрезке , ¿¿+1] функцией некоторого порядка р^ € N.

Классы функций, введенные в определениях 6 и 7, обозначим соответственно через Яр [а, в] и Я(М+).

В работе [6] установлено следующее утверждение.

Лемма 2. Для любых натурального числа р € N и действительных чисел а < в и Ь < й существует функция / (■) = /(■; а, в; Ь, й; р) : [а, в] ^ [Ь, й], правильно колеблющаяся порядка р на отрезке [а, в], обладающая свойствами:

1) для любых вещественного числа т € (а, в], символа 7 € {0, —, +} и чисел с1 € [Ь, й], с2 € (Ь, й) и с3 € [Ь, й] справедливы соотношения

^(/(■) — С1; а, т) < (2р + 1)(т — а)/(в — а) + 1, ^(/(■) — С2; а, в) = 2р + 1, ^(/(■) — 03; а, в) = 0;

1

2) уравнение f (£) = Ь имеет ровно (р + 1) 'решение ^ < ... < уравнение f (£) = й имеет ровно (р + 1) решение < ... < причем а = < < < < ... < = в;

3) для некоторой константы М > 0 выполнены неравенства

|Д*)| < М(2р + 1)(й - Ь)(в - а)-1, |/(£)| < М(2р + 1)2(й - Ь)2(в - а)-2, £ € [а, в].

В следующей лемме уточняется следствие 3 работы [6] и при ее доказательстве используются рассуждения [6, лемма 2, лемма 3 и следствие 2].

Лемма 3. Существуют ограниченные функции Ж1(-),Ж2(-) € Д(М+), обладающие свойствами: для любых функций из : М+ —> М, ] = 0,2, удовлетворяющих для некоторых положительных постоянных С и а условию |и0(£)| + |и1 (£)| + |и2 (£)| ^ Се-а4, £ € М+, при каждом с € М справедливы соотношения

г>~(Жг(-) +«о(0 +иг(-)Хг(-) +и2(-)Хг(-) ~ с) ^ (Хг(-) - с) = г>+(ж»(-) - с), % = 1,2;

|г>-(ж1 (■) - с) : с € М} = [0,1] П <0 = X, |г>-(ж2(-) - с) : с € М} = ([0,1] П I) и {0} = Х2,

где Q и I — множества рациональных и иррациональных чисел соответственно.

Доказательство. 1. Зафиксируем какую-либо последовательность (Тр) чисел, удовлетворяющих неравенствам

Т1 ^ 1, Тр+1 ^ (р + 1)(Т1 + Т2 + ... + Тр), р > 1,

и по ней определим новую последовательность (£р):

р

£о = 0, = ^ Т*, р € N.

г=1

Занумеруем элементы множества [0,1] П Q натуральными числами: «1, «2,.... Зафиксируем какую-либо биекцию

т(■) = (Т1(-),Т2(-)) : ^ N х N = N и{0}, (2)

и заметим, что для любого р € N найдется бесконечно много чисел I € таких, что Т1(1) = р. Далее построим последовательность натуральных чисел ), элементы которой зададим формулой

= шах{ 1, [(2п)-1 Т2й+1й^)] } , к €

где [■] — целая часть числа. Для всех к € при £ € [¿2&, £2^+1] положим х1(£) = f (£; , , ;

), где величины < принадлежат отрезку [1 - (2т1 (к) - 1)-1, 1 - (2т1 (к))-1 ] и делят его в отношениях 1 : (2Й+2 - 1) и (2Й+2 - 1) : 1 соответственно. На полуось М+ функцию ж1(-) продолжим так, чтобы ж1(-) € Я(М+) и

^[^ь^]^ € ^2[£2й+1 , £2Й+2], к € N.

Построенная функция ж^-) является ограниченной на положительной полуоси, как это вытекает из следствия 3 [6] и определения функции f (■; а, в; Ь, й;р). Кроме того, согласно лемме 2 сужения функций ж1(-) и ж1(-) на объединение отрезков [¿2^, ¿2&4+1], г € N ограничены.

Если существует такое целое к € что с € (1 - (2т1(к) - 1)-1, 1 - (2т1 (к))-1), то справедливо равенство V-(ж1(-) - с) = V0(ж1(-) - с) = «Т1 (*.), в противном случае г>0(ж1(-) - с) =0. Так как ) = N, то {г>-(ж1 (■) - с) : с € М} = {V0(ж1(-) - с) : с € М} = [0,1] П Q (см. доказательство леммы 2 [6]).

Заметим, что из условия с € (1 - (2т1 (к) - 1)-1, 1 - (2т1(к))-1) следует существование такой последовательности (к), что при любом г € N выполнено включение с € (Ь^, ), причем последовательность (Ь^) убывает, а последовательность (й^) возрастает. Из сказанного следует, что, с одной стороны, при любом с € М имеет место равенство ^,-(ж1 (■) - с) = г>+(ж1 (■) - с), а с другой — на отрезке [£2^ , ¿2*^+1] найдутся точки

^ = ^ < < ... < +1 < +1 = ^¿+1, 10 ВМУ, математика, механика, №5

в которых функция ж1 (■) + и°(■) + и1 (-)ж 1(-) + и2(-)ж1(-) — с принимает поочередно отрицательные и положительные значения. Таким образом, в силу определения числа п* справедливо неравенство

V_(Ж1(-) + «°(-) + «1(-)ж 1(-) + и2(-)ж1(-) — с; ¿2^, ^ V_(ж1(-) — с; ¿2^, ¿2й4+1),

откуда по лемме 1 [6] получаем, что

>"(Ж1(-) + и°(■) + «1(-)ж 1(-) + и2(-)Ж1(-) — с) ^ >"(Ж1(-) — с).

2. Для к € и I € {0,..., 2* — 1} через Д* обозначим отрезок [2-*I, (I + 1)]. Занумеруем отрезки Д* натуральными числами: Д(1), Д(2),... Пусть Д(т) = [£т, Пт], т € N.

Зададим элементы последовательности (пк), полагая пк = тах {1, [(47г)_1Т^_|_1(^ + ш)\ } ) к € и определим функцию ж[0, !)(•) € Д(М+) так, что Ж[0;1)(Т) = /(¿5^,^+1; Ьк,~5к]пк), где бд, = 6: - ("Пк - бс)/4 и 4 = г]к + (т]к - &0/4, если г]к ф 1, и ~д,к = г]к - (щ - £к)/А в противном случае. Доопределим функцию Ж[°, 1) (■) на интервалах (¿4*+ь ¿4*+4), к € , так, чтобы она стала правильно колеблющейся порядка 2.

Если с € [0, 1), то (ж[°, 1)(■) — с) = >°(ж[°, 1)(-) — с) = 0. Если с € [0, 1), то >-(ж[°, 1)(-) — с) = >°(ж[°, 1)(') — с) = с (см. доказательство леммы 3 [6]).

3. Пусть (д*) — последовательность всех рациональных чисел полуинтервала [0, 1). Для каждого к € N выберем иррациональное число 0* таким, чтобы выполнялась цепочка неравенств

0* — к-1 < д* < 0* < 1.

Положим ж2(£) = ж[°, 1)(^), £ € [¿4*к € Рассмотрим последовательность (п*), определенную равенством (см. (2)) п* = шаж {1, [(2п)_1Т4й+3 ■ 0^*)] }, и определим ж2(£) = /(¿; ¿4*+2, ¿4*+3; Ь*, сг*;п*) при £ € [¿4*+2,^4*+3], где Ь* = дп(*) — 2"*, 4 = шт {(1 + дГ1(*))/2, дп(*) + 2"^. На полуось М+ функцию ж2(■) продолжим так, чтобы ж2(-) € Я(М+) и

Ч^+ь^^ € ^^Ь^Ь Ч^+З,^]^ € я^4^4^ к € N•

Ограниченность функции ж2(-) на М+ вытекает из следствия 3 [6] и определения функции /(■; а, в; Ь, й;р), а ограниченность функций ж2(-) и ж2(-) — из построения ж2(-) и леммы 2.

Если с € [0, 1), то >°(ж2(-) — с) = >°(ж[°, 1)(-) — с) = 0. Если же с € [0,1) П0>, то существует такой номер к € N что с = д* и выполнено >_(ж2(-) — с) = >"(ж2(-) — д*) = >°(ж2(£) — с) = >°(ж2(-) — д*) = 0*. Наконец, если с € [0,1] П I, то >"(ж2(-) — с) = >°(ж2(-) — с) = с (см. доказательство следствия 2 [6]).

4. Из условия с = д* € [0,1)ПQ на основании п. 3 настоящего доказательства вытекает существование такой последовательности (кг), что при любом г € N выполнено с = П+ — 2-^-1]. Кроме того, на основании предложения работы [6] из условия £ € [¿4^ +2, ¿4^ +3] следует

неравенство £ ^ (4кг + 2)!. Следовательно, на отрезке [¿4^.+2, ¿4^.+3] для всех достаточно больших г выполнена оценка

|и°(£) + и1(£)ж2(£) + «2(£)ж2(£)| <

Откуда получаем, что не только выполнено равенство >-(ж2(-) — с) = >+(ж2(-) — с) при любом с € М, но и существуют точки

¿4^+2 = < Vf < . . . < № +1 < С, +1 = t

в которых функция ж2() + м°(-) + и1(-);с2() + и2(-)ж2(-) — с принимает поочередно отрицательные и положительные значения. Поэтому в силу определения числа п* справедливо неравенство

V" (ж2(0 + и°0 + и1(')ж2() + и2(-)ж2(-) — с; ¿4^+2^+3) ^ V" (ж2(0 — с; t4fci+2, .

Из условия с € [0,1] П I на основании п. 2 настоящего доказательства следует существование такой последовательности (кг), что с = Пгем!^- — 2~к*~2]. Далее, аналогично преды-

дущему можно убедиться в том, что для всех достаточно больших г € N на отрезке [i4fc.ji4fc._1_1] функция ж2(-) +ио(-) +и\(-)х2(-) +*и2(')ж2(') — с имеет не менее (2щ. +1) точки строгой смены знака.

Таким образом, при любом с € М в силу леммы 1 [6] получим оценку

V-(ж2(-) + Ио(-) + «1 (-)ж2(-) + «2(-)ж2(-) - с) ^ г>-(ж2(') - с). Лемма 3 доказана.

Доказательство теорем 1 и 2. 1. Пусть ж1 (■) и ж2(-) — функции, построенные в лемме 3. Зафиксируем г € {1,2}. Согласно теореме [6] существует функция у^(-) € С3(М+), такая, что у(£) = и набор функций {1,ж^(-),Уг(■)} является фундаментальной системой решений некоторого уравнения аг € £3.

Выберем произвольно и зафиксируем а > 0. По лемме 1 набор функций

ехр(ехр(а£)), ехр(ехр(а£))ж^(£), ехр(ехр(а£))у^(£), £ € М

+,

является фундаментальной системой решений некоторого уравнения а1 € £ .

Положим с = (с1, с2, с3) € М3. Каждому ненулевому решению уС(£) = с1 + с2ж^(£) + с3у^(£), £ € М+, уравнения аг € ¿3 поставим в соответствие решение = ехр(ехр(а:£))у,?;(£) € ¿>*(аг), ^ € М+.

Очевидно, что для любого набора с = 0 нули и точки строгой смены знака двух функций уС и ¿С совпадают между собой. Более того, если в некоторой точке функция уС имеет кратный нуль, то это же верно и для функции и наоборот. Следовательно, справедливы равенства

V7(уС)= V7(4), 7 €{-, 0, +}. (3)

Покажем, что верхний сильный показатель колеблемости знаков V-) всякого ненулевого решения хгс € £*((?) совпадает с верхней частотой Сергеева знаков соответствующего решения уС € 5*(аг). Из очевидного неравенства V- (¿С) ^ V- (¿С) и соотношения (3) вытекает неравенство V- (,г£) ^ V-(уС). Установим обратное неравенство.

Пусть с3 = 0. Тогда для любого решения у£ найдется момент времени £(с), начиная с которого функция уС будет отлична от нуля. Поэтому выполняется цепочка равенств

0 = )= ) = V-(yС ) = 0. (4)

При с3 = 0 для скалярного произведения (^¿С(£), ш) имеем представление ш) _ / , „ „, , _

= Ш1(с1 + с2жг(£)) + Ш2(аеа (с1 + с2жг(£)) + с2ж»(£)) +

ехр(ехр(а£))

+Ш3((а2 е2а + а2еа4)(с! + с2ж,(£)) + 2аеа с2ж,(£) + с2ж,(£)).

(а) Если ш3 = 0, то указанное скалярное произведение принимает вид

ш)

ш3(ае2а + а2еа4) ехр(ехр(а£))

= с1 + с2ж»(£) + «о(£) + «1(£)жг (£) + «2(£)жг (£),

где функции = 0, 2, экспоненциально стремятся к нулю при £ —>■ +оо.

(б) Если ш2 = 0, ш3 = 0, то скалярное произведение представимо в виде

(^¿С(£), ш) . . . . . . . .

= С! + С2Хг{Ь) + ио(*) + гл(4)Жг(4),

ш2аеа ехр(ехр(а£))

где функции = 0,1, экспоненциально стремятся к нулю при £ —>■ +оо.

(в) Если ш2 = ш3 = 0, то скалярное произведение примет вид

Х 7 = С1 + С2Хг(г).

ш1 ехр(ехр(а£))

Во всех случаях а-в если с2 = 0, то начиная с некоторого момента £(с) функция уС будет отлична от нуля, поэтому справедлива цепочка (4). Если с2 = 0, то в силу леммы 3 имеем V- ) ^ V-(уС). Таким образом, равенство

) = V- (уС) (5)

установлено для всех с € М3.

11 ВМУ, математика, механика, №5

Из равенства (5), леммы 3 и определений 3 и 4 для любого c € М^ получаем цепочку

¿-(у1)=К(г1)^и1(г1)^иЦггс) = иЦугс) = и-(угс), г = ТД 7€{"Л+},

в которой все неравенства являются равенствами.

Следовательно, при каждом i € {1,2} спектры верхних сильных показателей колеблемости и верхних частот Сергеева знаков, нулей и корней уравнения аг совпадают со спектром верхней частоты Сергеева знаков уравнения аг, который в силу леммы 3 есть в точности множество X. Теоремы 1 и 2 доказаны.

Авторы приносят благодарность профессору И. Н. Сергееву за обсуждение результатов, а также доценту В. В. Быкову за ценные советы и замечания, способствовавшие улучшению настоящей работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения //Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 2006. 25. 249-294.

2. Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейного уравнения // Дифференц. уравнения. 2008. 44, № 11. 1577.

3. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Серия матем. 2012. 76, № 1. 149-172.

4. Сташ А.Х. О существенных значениях характеристик колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка // Вестн. Адыг. гос. ун-та. Сер. Естеств.-матем. и техн. науки. 2013. 2 (119). 9-22.

5. Сташ А.Х. О существовании линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальными спектрами полной и векторной частот // Вестн. Адыг. гос. ун-та. Сер. Естеств.-матем. и техн. науки. 2013. 3 (122). 9-17.

6. Войделевич А.С. Существование бесконечных всюду разрывных спектров верхних характеристических частот нулей и знаков линейных дифференциальных уравнений // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. 2015. № 3. 17-23.

7. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.

8. Барабанов Е.А., Войделевич А.С. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линейных дифференциальных уравнений. II // Дифференц. уравнения. 2016. 52, № 12. 1595-1609.

Поступила в редакцию 25.12.2022

УДК 517.984.5

СПЕКТР ОПЕРАТОРА ШРЁДИНГЕРА В НАКРЫТИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО КОЛЬЦА

М. А. Никулин1

Изучается стационарное уравнение Шрёдингера в ограниченной двумя софокусны-ми эллипсами области и в ее накрытиях. Для собственных значений оператора Лапласа установлен порядок их зависимости от малых значений расстояния между фокусами. Вычислены и приведены коэффициенты разложения собственных значений по степеням половины фокального расстояния до второго порядка включительно.

Ключевые слова: функции Матьё, стационарное уравнение Шрёдингера, спектр оператора Лапласа, зависимость собственных значений от фокусного расстояния.

The stationary Schrodinger equation is studied in a domain bounded by two confocal ellipses and in its coverings. The order of dependence of the Laplace operator eigenvalues on

1 Никулин Михаил Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ; Моск. центр фунд. и прикл. матем., e-mail: [email protected].

Nikulin Mikhail Aleksandrovich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics.