CC BY
2ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N. 4, 2022 Электронный журнал, рег. Эл. N ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172
http://diffjournal, spbu. ruf e-mail: [email protected]
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений
О разрывности крайних показателей колеблемости на множестве линейных однородных дифференциальных систем
Сташ А. X.
Адыгейский государственный университет [email protected]
Аннотация. В данной работе изучаются вопросы разрывности крайних показателей колеблемости на множестве линейных однородных дифференциальных систем с непрерывными на положительной оси коэффициентами. Установлено существование точек на множестве дифференциальных систем, в которых все старшие и младшие показатели колеблемости нулей, корней и гиперкорней не только не являются непрерывными, но и не являются непрерывными ни сверху и ни снизу. Более того, доказана неинвариантность крайних показателей колеблемости относительно бесконечно малых возмущений. При доказательстве результатов настоящей работы, отдельно рассмотрены случаи четности и нечетности порядка матрицы системы.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения, линейные системы, колеблемость, число нулей, показатели колеблемости, показатели Ляпунова.
1. Введение
Для заданного п € N обозначим через Мп множество линейных систем
Х = A(t)x, x G Rn, t G R+ = [0, +œ),
с непрерывными оператор-функциями A : R+ ^ End Rn (каждую из которых будем отождествлять с соответствующей системой). Подмножество множества Mn, состоящее из автономных систем, обозначим через Cп, подмножество систем отвечающих линейным однородным уравнениям n-го порядка, обозначим через Eп. Пространство решений системы A £ Mn обозначим через S(A), а подмножество всех ненулевых решений — через S*(A). Далее, звездочкой снизу будем помечать любое линейное пространство, в котором выколот нуль. Положим
sn = U S*(A).
AeMn
В работах [1, 2, 3, 4] П.Н. Сергеева на полупрямой вводились и исследовались различные характеристики ляпуновского типа ненулевых решений линейных дифференциальных уравнений и систем. Эти характеристики отвечают за колеблемость и блуждаемость решения. В статье [5] были систематизированы все введенные П.Н. Сергеевым к настоящему моменту характеристики ляпуновского типа, что привело к изменению названий некоторых из них. В частности, полные и векторные частоты переименованы соответственно в сильные и слабые показатели колеблемости. В работах [6, 7, 8, 9, 10] характеристические показатели [1, 2] стали называться частотами Сергеева.
В настоящей работе будем рассматривать следующие их разновидности:
- показатели колеблемости нулей, корней или гиперкорней;
- верхние или нижние показатели колеблемости (в случае их совпадения
— точные);
- сильные или слабые показатели колеблемости (в случае их совпадения
— абсолютные).
Подсчет последних происходит путем усреднения числа нулей (или корней, или гиперкорней) проекции решения x дифференциальной системы на какую-либо прямую, причем эта прямая выбирается так, чтобы полученное среднее значение оказалось минимальным: если указанная минимизация производится перед усреднением, то получаются слабые показатели колеблемости, а если после, то — сильные показатели колеблемости. При этом для вычисления этих характеристик решения y линейного уравнения n-ro порядка осуществляется переход к вектор-функции x = (y, y,..., y(n-1)).
Как известно [11, 12, 13], показатели колеблемости нулей, корней и гиперкорней линейной дифференциальной системы совпадают в автономном случае с множеством модулей мнимых частей собственных значений матрицы
системы. В силу непрерывной зависимости корней многочлена от его коэффициентов следует, что сужение любой из крайних показателей колеблемости па топологическое подпространство Сп С Мп есть непрерывная функция.
Кроме того, непрерывность крайних показателей колеблемости наблюдается и па топологичеком подпространстве Е2 С М2 (см. [3, 14]).
В работе [15] на множестве М2 были найдены не только точки разрыва, но и точки неинвариантности крайних показателей колеблемости нулей относительно возмущений, исчезающих на бесконечности. Утверждения и рассуждения, проводимые в этой работе, справедливы и для крайних показателей колеблемости корней. Аналогичное свойство для показателей колеблемости гиперконей было установлено И.Н. Сергеевым в [16].
Поиски точек разрыва и неинвариантности относительно бесконечно малых возмущей при п > 2 па множестве Мп для некоторых отдельных крайних частот продолжались в работах [17, 18].
Настоящая работа посвящена исследованию на непрерывность крайних показателей колеблемости на множестве линейных однородных дифференци-
п > 2
множества Мп, в которых крайние показатели колеблемости нулей, корней и гиперкорней не являются непрерывными и инвариантными относительно бесконечно малых возмущений.
2. Показатели колеблемости решений дифференциальных систем
Определение 1 [1, 2]. Для ненулевого вектора т € ^П и вектор-функции х € БП через Vа(х,т,^) при а € {0, +, *} соответственно обозначим:
_ числ0 НуЛе{1 скалярного произведения (х, т) на промежутке (0,£];
_ числ0 Корней (т.е. нулей с учетом их кратности) скалярного произведения (х, т) на промежутке (0,£];
_ числ0 гиперкорней скалярного произведения (х, т) на промежутке (0, £], где в процессе подсчета этого количества каждый некратный корень берется ровно один раз, а кратный - бесконечно много раз независимо от их фактической кратности.
При каждом а € {0, +, *} к определению 1 добавим обозначение (х,т,^1,^2) = ^(х,т,£2) — ^(х,т,£1), 0 <Ь\ < £2.
Определение 2 [1-3]. Верхние (нижние) сильный и слабый показатели колеблемости нулей, корнейи гиперкорней функции х € БП при а € {0, +, *}
соответственно зададим формулами (х)
(х)
По каждому из перечисленных показателей колеблемости ¡х>а = >а, ^, >а Образуем крайние показатели колеблемости системы А £ Мп с помощью формул
п I п ■
= inf lim — vа(x,m,t) (x) = inf lim —va(x,m,t) J,
mgrj £ \ mgrj £
- п I п .
= lim inf — va(x,m,t) (x) = lim inf —va(x,m,t) J.
^£ у t^+to m€rn t
^(A) = inf (x), <(A) = sup (x), a e {0, +, *}
которые будем рассматривать как функционалы на линейном топологическом пространстве Mn с естественными для функции линейными операциями и равномерной на R+ топологией, задаваемой метрикой
p(A,B) = sup min{|A(t) - B(t)|, 1}, A, B e Mn.
ter+
Определение 3. Назовем спектром показателя к : S*(A) ^ R+ для системы A e Mn множество
SpecK(A) = {к(х) | x e S*(A)}. Определение 4 [19]. Для системы A e Mn введем обозначение
B(A) = {B GMn| lim |A(t) - B(t)| =0},
t^+TO
при котором возмущение B — A назовем бесконечно малым.
Будем говорить, что функционал ¡^определенны й на Mn, не инвариантен в точке A Е Mn относительно бесконечно малых возмущений, если существует система B Е B(A), удовлетворяющая условию ¡x>(B) = w(A).
3. Формулировки вспомогательного и основного результатов
Лемма. Пусть последовательность положительных чисел t\ < t2 <
...
lim tp = +to, lim t^Ü = 1.
p^+то p^+то tp
Тогда для любого решения, x G S* (A) любой системы A G Mn при, каждом а £ {0, +, *} выполнены равенства
п - п
г>а (x) = inf lim — (x,m,tp), (x) = inf lim — (x,m,tp),
m£rn m£rn
п п
(x) = lim inf — (x,m,tp), (x) = lim inf — (x,m,tp),
p^+то mgrn ^p p^+то m£rn tp
а при дополнительном условии lim (tp+i — tp) = верно еще и следую-
p^+to
щее: если для некоторого числа p ^ 0 б последнем пределе каждое из чисел tp уменьшить на Tp ^ pT7 а каждое из чисел v(x,m,tp) — на vp ^ pT7 то значение предела, от этого не изменится.
Доказательство этой леммы сводится к повторению рассуждений, проведенных при доказательстве леммы 7 [4].
Имеет место
Теорема. Для любого n ^ 3 в пространстве Mn существует точка, в которой ни один из крайних показателей колеблемости не является ни непрерывным, ни полунепрерывным сверху, ни полунепрерывным снизу, ни даже инвариантным относительно бесконечно малых возмущений.
4. Доказательство основного результата
1. Выбор вспомогательных функций.
Зафиксируем достаточно малое е > 0. Возьмем 2п периодические непрерывно-дифференцируемые функций 3(t), ф (t), ^(t) и ^1(t), возрастающие па отрезках [0, п/2], [3п/2, 2п], убывающие па [п/2, 3п/2], а па концах указанных промежутков принимающие значения
3(0) = з(п) = з(2п) = 3(0) = 3(2п) = = ф(0) = ф(п) = ф(2п) = ф(0) = ф(2п) = 0, (0) = (п) = 3i (2п) = 31(0) = 3 i(2n) = = ^i(0) = ф^п) = ф^2п) = ф i(0) = ф i(2n) = 0, 3(n/2) = п/2, з(3п/2) = —п/2, ф(п/2) = п/2 — е, ф(3п/2) = —п/2 + е, 3i(n/2) = п, з(3п/2) = —п/2, ф^п/2) = п — е, ф^3п/2) = —п/2 + е, 33(t) • ¿(t) • 33i(t) • фi(t) = 0, Vt G (0, п/2) U (3п/2, 2п) U (п/2, 3п/2), 3(2п(k — 1)) • ф(2п(к — 1)) • 3^2п(к — 1)) • ф^п(k — 1)) = 0.
Далее, на выбираем непрерывно-дифференцируемые функций
ф(г), возрастающие при каждом к £ N па промежутках
4-1 = (2п(к-1), 2п(к-1)+ п/2), 4+1 = (2п(к- 1)+3п/2, 2п(к- 1) + 2п),
убывающие на
4 = (2п(к - 1) + п/2, 2п(к - 1) + 3п/2), к £ N,
а на концах указанных промежутков принимающие значения
ф(пк) = ф(2п(к - 1)) = ф1(пк) = <ф 1(2п(к - 1)) = 0,
ф(2п(к - 1)) • ф1(2п(к - 1)) = 0,
ф(г) • ф 1 (г) = 0, Vг £ 4-1 и 4 и 4+1, ф(2п(к - 1) + п/2) = п/2 - бк, ф(2п(к - 1) + 3п/2) = -п/2 + бк, ф1(2п(к - 1) + п/2) = п - бк, ф1(2п(к - 1) + 3п/2) = -п/2 + бк, где {бк} - последовательность положительных чисел, стремящаяся к нулю. Эти функций подберем так, чтобы для некоторых /1, , 13,14 £ выпол-
нялись условия
|^(t) — <£(t)| ^ ¿16, t Е [0, 2п], ^i(t) — р 1 (t) | ^ /26, t Е [0, 2п], |0(t) — <£(t)| ^ /36k, t Е [2n(k — 1), 2nk], k Е N, |фФ 1 (t) — ^ 1(t)| ^ /46k, t Е [2n(k — 1), 2nk], k Е N.
(1) (2)
(3)
(4)
Определим последовательность промежутков Дк = (2(к - 1)п, 2кп] и зададим следующие функции
Y(t) = <
f ^(t) ^(t) P(t) ^(t)
t Е Ai, t Е A2, t Е A3, t Е A4,
Yi(t) = <
' ^i(t), t Е Ai,
^l(t), t Е A2,
^i(t), t Е A3,
^i(t), t Е A4,
2. Рассуждения при, любом четном п ^ 2.
2.1. Нетрудно проверить, что матрица
( cos ¿(t) — sin ¿(t) sin ¿(t) cos ¿(t) 0 0
Xn(í) — (xn, xn, . . . , xn) —
0 0
0 0 0
V
0
0
cos ф (t) sin ^(t)
— sin ф(£) cos ф(£) У
является фундаментальной для системы
^ 0 —¿(t) 0 ¿(t) 0 0
An(t) —
V
0
0
0
0
. . 0 . . 0
0
0 — #)
... де)
0
G ЛГ.
/
Пусть в общем решении же = cix^ + с2жП + • • • + спжП G S*(An) ненулевой коэффициент имеет вид: C2k—i или c2k- Тогда для вектора
mc = (0,..., 0,c2k—i,C2k, 0,..., 0)
скалярное произведение (xe(t),me) = 0 при любом t > 0, поэтому
V0(xc) = V+ (Же) = V* (xc) = V0(xc) = V+(Xc) = V.*(xc) = 0.
Следовательно, все старшие и младшие показатели колеблемости равны нулю.
2.2. Все рассуждения предыдущего пункта повторяются и для фундаментальной матрицы
( cos 0(t) — sin 0(t) sin 0(t) cos 0(t) 00
Yn(t) —
0 0
0 0 0
\
V
0
0
системы
Bn(t) —
/ 0 —0(Í) 0
cos 0(t) — sin 0(t) sin 0(t) cos 0(t) У
0 \
V
ф(г) 0 00
00
0
. . . 0
0
0 — 0(í) 0(t) 0 j
G Л47
2.3. Возьмем фундаментальную матрицу
( cos ^>(t) — sin ^>(t) 0 sin ^>(t) cos ^>(t) 0
Zn(t) — (zn, zn,
zn) —
V
0
0
0
0
0 0 0
системы
ад —
( 0 —<¿(t) 0
V
^(t) 0
0
0 0
0
0
... 0 . . . 0
0
0 —^(t) ^(t) 0 y
cos ^>(t) — sin ^>(t)
sin ^>(t) cos ^>(t) У \
G Л47
Для любых zc = ci^n + + • • • + cnzn G S*(Cn) и m G Rn скалярное произведение (zc(t),m) = hsin(^>(t) +^>0) тождественно равно нулю или имеет на каждом промежутке вида (2п(к — 1), 2nk] два пуля. Поэтому в последнем случае остается следить за тем, чтобы эти нули не были кратными. Если один из коэффициентов c2k—1 ми c2k отличен от нуля, то выбираем вектор вида m1 = (0,... , 0, m2k—1, m2k, 0,..., 0). Понятно, что решение zc является 2п периодическим и
inf va(zc,m, 2п) = va(zc, m1, 2п) = 2, a G {0, +, *},
mGm^
1 c m1 mc
v*(zc,mc, 2п) =
Следовательно, для выбранного решения при любом a G {0, +, *} справедливы равенства
п
v^ (zc) = lim inf —va (zc,m,t) =
t^ + TO ^rn t
— lim (zc,m:,t)— lim ^r^-v"(z^m1, 2nk) — lim 2nk
t^+TO t
П
v^ (zc) — inf lim —va (zc,m,t) —
tog Rn t ^+TO t
— lim —va(zc,m:,t)— lim —-va(z^m1, 2nk) — lim ^f — 1.
t^+TO t k^+TO 2nk k^+TO 2nk
2nk
— 1,
2.4. Система
Dn(t) —
( 0 —y(Í) 0
V
y(Í) 0 00
00
0
0 0 0
0 —7(Í)
Y(Í) 0
G Л47
/
вместе с фундаментальной матрицей
/ cos y(t) — sin y(t) 0
Un(t) — (un, un, . . . , Un) —
0 0 0
\
sin y (t) cos y(t) 0 00
: : ... cos y (t) — sin Y (t)
y 0 0 ... sin y (t) cos y (t) у
является 4п периодической.
Для любых ue = с1иП + с2иП + • • • + cnun G S*(Dn) и m G R скалярное произведение (ue(t),m) = hsin(Y(t) + Yo) также является 4п периодическим и па промежутке (2п, 4п] тождественно равно нулю или не имеет вовсе нулей или имеет два нуля. Тогда если один из коэффициентов C2k—i или c2k отличен от нуля, то выбираем вектор вида m2 = (0,... , 0, m2k—1, m2k, 0,..., 0), чтобы выполнялось равенство
inf Va(ue, m, 2п, 4п) = Va(ue, m2, 2п, 4п) = 0, a G {0, +, *},
mgrj
при этом вектор m2 можно выбрать пепропорциональным вектору me. Поэтому
inf Va(uc, m, 4п) = Va(ue, m2,4п) = 2, a G {0, +, *}.
mgrj
Следовательно, для выбранного решения при любом a G {0, +, *} справедливы равенства
п
К (uc) — inf lim —va (uc , m,t) —
mgrj t
П
П «Л. к _ П „а/.. ..... 2nk
— lim —va(uc,m , t) — lim -—-va(uc,m , 4nk) — lim
— 1/2,
П
va (uc) — lim inf —va (uc ,m,t) —
t^ + to ^rn t
П П 2 П k I/
= lim —(uc,m2,t) = lim -—-(uc,m2,4nk) = lim = 1/2.
2nk
t^+to t
3. Рассуждения для всех старших показателей колеблемости при любом нечетном п ^ 3.
3.1. Для заданного нечетного к € N на выберем п-мерные (п = к + 2) вектор-функций
x:(t) =
/et\ 0 0
\0/
, x2(t) =
0
et
0 0
,...,xk (t) =
0
0
et
0 0
xk+:(t) =
0 0
cos ^(t) ^ sin ^(t) У
x
k+2/,4 _
(t) =
0
0
— sin ^(t) ^ cos ^(t) У /
y:(t) =
0
0 0
cos 0(t) ^ sin 0(t) У /
y2(t) =
0
0
\
— sin 0(t) ^ cos 0(t)
z :(t) = 0
cos ^>(t)
^ sin ^(t) у
( 0 X
u:(t) = 0
cos y (t)
\ sin Y(t) у
Нетрудно проверить, что матрицы
z2(t) =
0
0
\
— sin ^>(t) ^ cos ^>(t) У
0
u2 (t) =
0
— sin y (t)
^ cos y (t) )
X(t) = (x:(t),...,xk+2(t)) , Y(t) = (x:(t),...,xk(t),y:(t),y2(t)) ,
Z (t) = (x:(t),... ,xk (t), z :(t),z2(t)) , U (t) = (x:(t),... ,xk (t),u:(t),u2(t))
являются фундаментальными для следующих систем
/1 . .0 0 0
0..
А(£) = Х(£)Х-1(£) = 0 1 0 0
.0 0
I0 . .0 #) 0
1.. .0 0 0 У
0 .
В (£) = У(£)У-1(£) = 0 1 0 0
.0 0 -ф(£)
.. .0 0 У
.. .0 0 0
0 ..
С (£) = £(£)£-1(£) = 0 1 0 0
.0 0
V0 .. .0 0 У
1. . . 0 0 0
0.
£(£) = Ц/(£)и-1(£) = 0 1 0 0
. . 0 0 —г(£)
0. . . 0 -у(£) 0
е М
е М
е Л4Г
е М
соответственно.
3.2. Пусть выполняется условие с^ + с2 + • • • + с) > 0 и номер отличного от нуля коэффициента равен г. Тогда для произвольного решения же = С1Ж1 + • • • + ск+ ск+1жк+1 + ск+2жк+2 Е (А) и векторашг с ненулевыми
г
^°(жс,шг, £) = ^+(жс,шг, £) = V 0(же ,тг, £) = 0 при любом £ > 0.
Если с1 = с2 = • • • = ск = 0, с|+1 + с|+2 = 0, то для решения хс = с;+1хк+1 + с;+2жк+2 справедлива цепочка равенств (см. пункт 2.1 настоящего доказательства)
^(Же) = (Же) = ^0(же) = ^(жс) = ^+(же) = ^0(же) = 0.
из которой при любом ш = V0, V*, V0, V* вытекает шп(А) = 0. 3.3. Аналогичные рассуждения приводят к равенствам
шп(В) = 0, шп(С ) = 1, шп(Я) = 1/2
при каждом ш = V0, ^, V*, V0, , V*.
п=3
4.1. Выбираем фундаментальную матрицу
Xs(t) — (xj(t),x2(t),xi(t))
/ et cos2 ^i(t) e3t sin ^i(t) 0 ^
0 e3t cos ^1(t) e2t sin2 ^1(t)
^ et sin ^1(t) 0 e2t cos (t) У
некоторой системы A3 G M3 и в зависимости от вида решения
Xc(t) = ClXg(t) + С2Ж3 (t) + С3Ж3 (t)
выбранной системы подберем соответствующие векторы, которым они реже всего будут ортогональны или вообще не будут.
а). В самом деле, для решения ж3 G S*(A3) справедливо разложение (ж1, ш) = et (m1 cos2 (t) + m3 sin (t)) =
0, если mi = m3 = 0, et(-mi sin2 + m3 sin+ m1).
Если m1 = 0 и m3 = 0, то при любом k G N выполняются равенства
v0(x3,m, 2(k - 1)n, 2kn) = 3, v+(x1 ,m, 2(k - 1)n, 2kn) = 5,
vm, 2(k — 1)n, 2kn) =
m3 = 0 m1 = 0 k G N
v0(x3, m, 2(k — 1)n, 2kn) = 3, v+(x£, m, 2(k — 1)n, 2kn) = 8,
vm, 2(k — 1)n, 2kn) =
Если m1 • m3 = 0, то равенство (x3,m) = 0 равносильно квадратному уравнению относительно sin ^1(t) :
sin2 (t) — — sin (t) — 1 = 0. m1
Заметим, что оно имеет два корня, причем один из них по модулю больше 1, а другой меньше 1. С другой стороны, из условия е — п/2 ^ ^i(t) ^ п — е следует двусторонняя оценка
— cos е ^ sin ^1(í) ^ 1, — cos е ^ cos ^1(t) ^ 1.
Число 61 выберем так, чтобы выполнялось равенство cos е = 1 — 61. Через S2(6) и Sf(6) обозначим множество векторов m = (ш1,ш2,шз) Е R единичной сферы, удовлетовряюгцих соответственно условию m3 = 6-^ и m3 = 6m2 при 6 Е (0, .
Для решения x3 и любого вектораm Е S2(6) меньший по модулю 1 корень квадратного уравнения (получаемого из условия (x3,m) = 0 sin2^1(t) — 6 sin (t) — 1 = 0 относительно sin (t) удовлетворяет соотношению
1 6 — ^+4
—1 <-< 6 — 1 < 61 — 1 = — cos е.
2 1
Поэтому скалярное произведение (x3, m) не будет иметь пул ей на R+.
Для решения x3 и вектоpa m Е S|(6) проводятся аналогичные рассуждения. Следовательно, при каждом а Е {0, +, *} выполняются соотношения
inf Va(x3,m, 2(k — 1)п, 2kn) = Va(x3,m1(6), 2(k — 1)п, 2kn) = 0, inf Va(x3,m, 2(k — 1)п, 2kn) = Va(x3,m3(6), 2(k — 1)п, 2kn) = 0,
mGmf
из которых следует цепочка равенств
V0(x1) = V+(x1) = V0*(x1) = V0(x1) = V+(x3) = v:(x1) =
= V0(x3) = Vo+(x3) = V0(x3) = V0(x3) = V+(x3) = v:(x3) = 0.
б). Решение x2 вращается против часовой стрелки на угол п — е, затем по часовой стрелке вращается па угол 1, 5п — 2е, далее, возвращаясь назад, занимает исходное положение. За это время решение бывает ортогонольно не менее двух раз любому напред заданному направлению. Поэтому при каждом а Е {0, +, *} и m2 = (л/2, л/2,0) имеет место
inf Va(x3, m, 2(k — 1)п, 2kn) = Va(x2, m3, 2(k — 1)п, 2kn) = 2,
me r3
a значит, справедливы равенства
V0(xc) = V+ (xc) = V*(xc) = V0(xc) = V+(xc) = V*(xJ = 1.
в). Для остальных решений хс € £*(С3) при с2 = 0 в силу теоремы 2 работы [4] найдутся такие 61, е2, е3 € [0, е], что при любом £ > 0 для вектора т3(б) = (л/2 - 6l, л/2 - 62, 63) справедливо неравенство V*(жс, т2(е),£) < и
т£ V"(жс,ш,£) = V"(жс,ш3(б),£), а € {0, +, *}.
При этом функция Va(жс,ш2(е), t) при t ^ эквивалентна Va(x2,m3,t).
Если же c2 = 0, то найдется вектор mj(d, e) G R при котором функция Va(жс, e), t) при t ^ будет эквивалентна функции Va(ж3, mj(£), t). Следовательно, в рассматриваемом случае
Spec^AO = {0; 1}, к = vo0, v.0, v+ , v+, vo, v*.
4.2. Все рассуждения предыдущего пункта полностью повторяются для слабых показателей колеблемости решений некоторой системы B3 G M3 с фундаментальной матрицей
Í et cos2 01(t) e3t sin 01(t) 0 \
0 e3t cos 01(t) e2t sin2 01(t) ^ et sin 01(t) 0 e2t cos 01(t) )
Y3(t) —
за исключением тех случаев, когда векторы (на которых реализуется минимум) не зависят от д. В остальных случаях к рассуждениям из предыдущего пункта добавляем условие д ^ 0, поэтому
SpecK(B3) = {0; 1}, к = v0,vo+vo*.
4.3. Рассмотрим систему C3 G M3 с фундаментальной матрицей
Í et cos2 ^1(t) e3t sin ^1(t) 0 ^
Z3(t) = (z3(t),z2(t),z33(t)) = 0 e3tcos^(t) e2tsin2^(t)
y et sin ^1(t) 0 e2t cos ^1(t) )
Заметим, что при изменении ^1(t) G [—|, п] функции sin ^1(t) и cos ^1(t) принимают все значения из отрезка [—1, 1].
Докажем, что для любого вектора ш = (ш1, ш2, ш3) G R и произвольного решения
Zc(t) = C1z1(t) + C2Z2(t) + C3Z33(t) G S*(C3)
скалярное произведение (zc, ш) либо тождественно равно нулю, либо имеет на каждом полуинтервале длины 2п не менее двух нулей, быть может начиная с некоторого достаточно большого момента времени.
m
а). В самом деле, для решения z3 Е S:(C3) справедливо разложение (z|, m) = e2t(m2 sin2 ^1(t) + m3 cos 31(t)) =
0, m2 = m3 = 0,
e2t(—m2 cos2 31(t) + m3 cos ^1(t) + m2).
Если m2 = 0 и m3 = 0, то фикция (z3,m) = m3e2t cos ^1(t) на каждом
2п
ней.
Если m2 = 0 и m3 = 0, то функция (z3\m) на каждом полуинтервале 2п
Если m2 • m3 = 0, то равенство (z3\m) = 0 равносильно квадратному уравнению относительно cos ^1(t)
cos2 (t) — m cos (t) — 1 = 0. m2
Заметим, что оно имеет два корня, причем один из них по модулю больше 1, а другой меньше 1, обозначим его через l.
Если вектор m Е R подобран так, что 0 < l < 1, то справедливы равенства
Vo(cos 31(t) — l, m, 2п) = v+(cos ^1(t) — l, m, 2п) = v:(cos ^1(t) — l, m, 2п) = 4.
Если вектор m Е ^подобран так, что —1 < l < 0, то справедливы равенства
Vo(cos 31(t) — l, m, 2п) = v+(cos ^1(t) — l, m, 2п) = v:(cos ^1(t) — l, m, 2п) = 2.
Для решения z3 проводятся аналогичные рассуждения, а для решения z2 повторяются рассуждения из пункта 4.1. б) настоящего доказательства. Следовательно, выполнены равенства
V0(z1) = V+(z1) = v:(z3) = v0(z1) = V+(z1) = V.*(z3) =
= V0(z2) = v+ (z2) = V0(z2) = V.0(z2) = V+(z2) = v.:(z2) =
= V0(z3) = Vo+(z3) = Vo:(z3) = v0(z3) = V+(z3) = V.:(z3) = 1.
Значения показателей колеблемости на остальных решениях zc Е S:(C3) не меняются (см. пункт 4.1. в). Таким образом, имеем
SpecK(C3) = {1}, к = vo0, , v+, v+ vG:, .
Дифференциальные уравнения и процессы управления,N. 1, 2023 4.4. Возьмем общее решение
Uc(t) = C1U1(t) + C2U2 (t) + C3U3 (t)
некоторой системы D3 G M3 с фундаментальной матрицей
/ et cos2 Y1(t) e3t sin y1 (t) 0 N
U3(t) — (u!(t),u3(t),u3(t))
0 e3t cos Y1(t) e2t sin2 Y1(t) ^ et sin Y1(t) 0 e2t cos y1 (t) )
С помощью рассуждений, проводимых в пункте 4.1 настоящего доказательства, для решений м1(£),м2(£),и3(£) подберем векторы т € на которых реализуются минимумы в определениях показателей колеблемости:
inf Va(u1, m, 2(k - 1)n, 2(k + 1)п) — Va(u3, m1, 2(k - 1)n, 2(k + 1)n) — 2,
me r3
inf Va(u2, m, 2(k - 1)n, 2(k + 1)n) — Va(u3, m2, 2(k - 1)n, 2(k + 1)n) — 4,
me r3
inf Va(u3, ш, 2(k — 1)п, 2(k + 1)п) = Va(u3, ш3, 2(k — 1)п, 2(k + 1)п) = 2, где ш2 = (л/2, л/2, 0). Откуда при любом a G {0, +, *} следуют равенства
va(u3) = V.a(u1) = V0a(u3) = V.a(u3) = 0, 5, V0a(u3) = V.a(u2) = 1.
Понятно, что новых значений показателей колеблемости на других решениях uc, отличных от 0,5 и 1, не будет, поэтому
SpecK(D3) = {0, 5; 1}, к = V0, V.0, Vo+, v.+ , vO, v.*.
5. Рассуждения для младших показателей колеблемости при любом нечетном n > 3.
Выберем фундаментальные матрицы
diag [Z$(t), A^(t),... A^(t)], diag [Z$(t), A¿(t),... A^(t)],
diag [Z3(t), A^t),... A^(t)] , diag [Z$(t), A7 (t),... A7 (t)],
где Z3(t) взята из п. 4.3 настоящего доказательства и Au(t) =
cos u(t) — sin u(t) \ . ^ „ ^ . .
, некоторых систем An, Bn, Cn, Dn G M .
sin u(t) cos u(t) I
Если в формулах общих решений этих систем коэффициентыc4, c5,..., cn равны нулю, то вектор ш G R с первыми тремя ненулевыми компонентами
выбираем согласно рассуждениям, проводимым в пункте 4.3 настоящего доказательства. Пусть в формуле общего решения второй системы хотя бы один из коэффициентов с4, с5,... , сп отличен от нуля и его ном ер равен г. Тогда выбираем вектор т Е с нулевыми компонентами за исключением г-го. Тогда при любом к = V0, V*, V0, V* справедливы равенства
8реск(Ап) = 8реск(£п) = {0; 1}, 8реск(Сп) = {1}, 8реск(£п) = {0, 5; 1}.
6. Существование точек неинвариантности для младших сильных показателей колеблемости при, п = 3.
6.1. Сначала выберем вспомогательные монотонные функции п Е Собладающие свойствами
#(t) =
0, если t ^ 0,
1, если t ^ 1,
n(t) =
1, 0,
если если
t ^ 0, t > 1.
Для множества М = [д/1,125 — е, 1,125 + е] зададим семейство систем Дй Е М3, зависящее от последовательности параметров Д = (д^ д2,...) Е Мто, фундаментальная матрпца Х^(^) которой при любом фиксированном значении р имеет соответственно представление:
f cos t sin t ^
0 — sin t cos t у 0 — cos t — sin t у
при t E [tp_1 + 2n, rp] ,
/ д + tf(2/n(t _ rp))(1 _ Др) 1 + tf(2/n(t _ fp))(Mp _ 1) sint \
0(2/n(t _ rp)) V 0(2/n(t _ rp))
при t E [rp, rp + n/2] ,
/ sin t Др
sin t
_1 + tf(2/n(t _ rp)) _ sin ty
1
1 _1 + tf(2/n(t _ rp)) 1 1 0 _1
при t E [rp + n/2, rp + n]
/sin t 1 \ 1 0 1
^ 1 0 _1J
при t E [rp + n, rp + 3n/2]
1
( sin t
1 \
0 — sin t
при t G [rp + 3n/2, rp + 2n]
у — sin t 0 —1 у
sin t
Mp
cos t \
cos t 0 — sin t у — sin t 0 — cos t у
/ sint Mp + $(2/n(t — sp))(1 1 tf(2/n(t — Sp))
при t G [rp + 2n, sp] ,
V
sin t
0(2/n(t — Sp))
Mp) 1 + tf(2/n(t — Sp))(Mp — 1) ^ — sin t
— 1 + 0(2/n(t — sp)) )
при t G [sp, sp + n/2] , 1 sin t
Mp
\
1
1 —1 + tf(2/n(t — Sp)) —1 1 0
при t G [sp + n/2, sp + n]
1 sin t Mp 1 1 0 —1 1 0
1 sin t Mp — sin t 1 0
—1 — sin t 0
при t G [sp + n, sp + 3n/2] ,
при t G [sp + 3n/2, sp + 2n] ,
при t G [sp + 2n, tp]
cos t sin t Mp
— sin t cos t 0
— cos t — sin t 0
1 sin t mp + $(2/n(t — Tp))(1 —
sin t
1
\ —П (2/n(t — tp)) — sin t
0 0
/
при t G [Tp, Tp + n/2] ,
1
1
V
—1 1 + #( 4 (t 01
П (t tp 2
)) *>(П (t
з (t — Tp
4tf( П (t
3 (t — Tp
!)) 2))/
1
1
при t E [rp + 2, Tp + ^л] , / (t
±lt _ Tp _ ))
tE
V
3п
Tp + -4, Tp + п
V
11 _1 2 2 0 _1 4 J
( e_ t(cos t + 1) 1 1\
_1 + 0(П (t _ Tp _ п)) 2 2
_e_t(cos t + n(П (t _ Tp _ п))) _1 _ 30(П (t _ Tp _ п)) 4) при t E [Tp + п, Tp + ^n] ,
/ e_t(cos t + 1) 1 sin 2t ^ 0 2 2 \ _e_t cos t _4 4 )
f e_t(cos t + 1) 1 sin 2t \ 0 2 2 cos 2t
—e_t cos t —4 cos 2t 4
tE
5п
3п
Tp + 4 , Tp + 2
tE
/
3п 7п
Tp + "2, Tp + 4
У _e t cos t
tE
/ e_t(cos t + 1) 1 sin 2t
0 _2 sin 2t 2 cos 2t
_4 cos 2t _4 sin 2t
i e_t(cos t + 1) cos 2t sin 2t ^
0 _2 sin 2t 2 cos 2t
у _e_t cos t _4cos2t _4sin2t У
/ e_t(cos t + 1) 1 sin 2t N\
0 _2 sin 2t 2
_e_t cos t _4 _4sin 2t J
( e_(cos t + 1) 1
20(4 (t _ qp _ n)) _2
_e_t cos t _4 + tf (П (t _ qp _ n)) (^e_ при t E [qp + 4, qp + f] ,
( e_t(cos t + 1) n(4 (t _ qp _ |)) 1 2 -2 2
7п
Tp + —, Tp + 2п
при t E [tp + 2п, qp]
п"
tE qp, qp + 4
V
V
1
2 4
V
—e tcost
У2 e_3n/4
_4
при t G [qp + 2, qp + ^f] ,
/ e-t(cos t + 1)
2
0
-2
i
2
^-e-t (cos t + 4 (t - qp - 3f ))) -e-t cos t -4/
при t G [qp + 31, qp + n] ,
/ (t - qp - n 2
\4tf(4 (t - qp - n)) -e-t cost -4/ при t G [qp + n, qp + ^p] ,
/ sin 2t e-t(cos t + 1) 1 \
-)) e-t(cos t + 1) 1 ^ 22
2 -2n(4 (t - qp - )) 2
V
4
—e tcost
tG
4
5n
3n
qp + -4, qp + 2
/ sin 2t e-t(cos t + 1) 1 \
2 0 2 при t G
у 4 -e-t cos t -4 у
/ sin 2t e-t(cos t + 1) 1 N
2 0 -2 sin 2t
у -4 sin 2t -e-t cos t -4 J
3n 7n
qp + TT , qp +
2
4
tG
7n
qp + 4, qp + 2n
f sin 2t e t(cos t + 1) 2 cos 2t 0
—4 sin 2t —e-t cos t
\
cos 2t -2 sin 2t -4 cos 2t У
f sin 2t e-t(cos t + 1) 1 \
2 0 -2 sin 2t
ч -4 sin 2t -e-t cos t -4
/ 1 e-t(cos t + 1) 2 20(4 (t - hp -у -4 -e-t cos t
при t G [qp + 2n, hp]
V
У
tG hp + 4
1
2
-4 + 0(4 (t - hp - 4)) (^e-hp-3n/4 + 4) у
при t е [hp + 4, hp + f] ,
-,-t
/ 1 e-t(cos t + 1) n(4 (t - hp - f)) \
V
2 2
—4 —e-t cos t
1
2
—2
Vf e—hp—3n/4
при t е
/
e %cos t + 1)
h П h
hp + 2 ' hp +
о \
2
^ — 4 —e—t (cos t + (t — hp — f))) —e—t cos t)
при t е [hp + 3f ' hp + П '
/ 1 f (t — hp — n)) e—t(cost + 1)\
2
2
V —4 4tf(f (t — hp — n))
при t е
—e tcost у
5n
hp + n ' hp + 4
/ 1 sin 2t e—t(cos t + 1) ^ 2 2 —2n(f (t — hp — f)) 44
\
'4 _
V6 hp 4
—e—t cost
при t е
/
5n
hp + 4 ' hp + rT"
3n ¥
—e tcost у
/ 1 sin 2t e—t
2 2 0 при t е
-4 4
/ 1 sin 2t e—t
—2 sin 2t 2 0 пр и t е
^ —4 —4 sin 2t —e—t cos t у
/ cos 2t sin 2t e—t
—2 sin 2t 2 cos 2t 0
^ —4 cos 2t —4 sin 2t —e—t cos t У
/ 1 sin 2t e—t
-2 sin 2t 2 0
3n
7n
hp + 2 ' hp + 4
7 7n
hp + ' hp + 2n
при t е [hp + 2П' tp] '
П"
при t е tp' tp + 4
/ 1 1 e—t(cos t + 1) \
—2 2 4 (t — tp — f)) при t е ^ —4 —4 —e—t cos t у
n
6p +4' 6P +2
2
2
/1 + (t - tp - 2)) (Mp -1) 1
e %cos t + 1)
V
■2n(2 (t - tp - 2)) 2 1
-4n(2 (t - tp - 2)) -4 -e-t(cos t + 0(2 (t - t.
— i —
/
при t G [tp + 2, tp + П ,
/
0, 50(4 (t - tp - п)) \
Mp 1
0 2 - 0(4 (t - tp - n)) V 0 -4 + 3^(4 (t - tp - n)) ^(4 (t - tp - п)) у
при t G [tp + n, tp + ,
/ Mp 1 0, 5 sin 2t ^ 0 1 1 0 -1 1
/ Mp 1 0, 5 sin 2t \ 0 - sin t 1 0 -1 - sin t
tG
5n
tp + 4 , tp + n
3n ¥
tG
3n
Y
tp + ¿-4 , tp + 2n
где ¿о = 0 и
гр = ¿р-1 + 2п + 2пр, йр = гр + 2п + 2пр, тр = йр + 2п + 2пр, др = тр + 2п + 2пр, = др + 2п + 2пр, ¿р = + 2п + 2пр.
6.2. Зафиксируем произвольное р С N и для заданного решения х С 5* (Ад), вектора т С К3 при любом а С {0, +, *} обозначим
V"(х, т, 1р) = V"(у, т, ¿р-1+2п, гр)+^а(х, т, гр+2п, (х, т, йр+2п, тр)+
(х, т, тр + 2п, др) + V"(х, т, др + 2п, ^р) + Vе*(х, т, + 2п, ¿р).
Пусть задано отображение ^: К3 ^ (Ад), переводящее каждую ненулевую точку с = (с1, с2, с3) С в решение
<^(с) = хс = С1Ж1 + с2ж2 + С3Ж3 С (Ад). (5)
Последовательность
t0 = 0, tp = tp_i + 12п + 12np, p G N,
удовлетворяет условиям
Нш £р = +то, 11ш (£р — £р—1) = +то,
р^+то р^+то
а значит, обладает свойством
£р п • 24п ^ Р —1 11ш —= 1 + 11ш--Ь 12п • 11ш -= 1.
р^+то 1 р^+то 1 р^+то 1
Последовательность {£р} удовлетворяет условиям леммы, поэтому при использовании формул для сильных показателей колеблемости можно не брать в расчет при каждом р € N полуинтервалы
(£р_1, £р_1 + 2п] , (гр, Гр + 2п] ,..., (#р, ^р + 2п] , (Лр, Лр + 2п] (6)
т.е. не учитывать их вклад ни в длину промежутка, на котором подсчиты-вается число нулей, корней или гиперкорней, ни в само это число).
Для этого в зависимости от точки с € ^ укажем такой вектор т € К3, при котором функция (хс, т) на каждом из указанных участков будет иметь ограниченное число гиперкорней (6) и наименьшее общее число нулей, корней или гиперкорней на промежутках
(£р_1 + 2п, Гр], (гр + 2п, 5р], ($р + 2п, Тр],..., (#р + 2п, Лр], (Лр + 2п, £р]. (7)
6.3. Для любых векторов д, Л € ^ через С(д, Л) обозначим любую содержащую их двумерную плоскость, а через - объединение осей Ос1, Ос2, Ос3 (ниже в доказательстве теоремы начало координат всюду игнорируется). Для векторов е1 = (1, 0,0), е2 = (0,1,0), е3 = (0,0,1) введем обозначение
¿2 = С(б1, б2) и С(б2, 63) и С(б1, б3).
Введем в рассмотрение вектор т^ = (1_е1, е2,1_е3). Для любого решения х € (Ад) в силу теоремы 2 работы [4] найдутся такие е1,е2, е3 € [0, е], что при любом £ > 0 справедливо неравенство V*(х,т3,£) < +то.
а). При с € £1 и а € {0, +, *} минимумы в ^(хс) реализуется на векторе т3, поскольку на функция (у,т3), где у = (б_*(сов £ + 1), 0, _б— сое £)Т,
отделена от нуля, а значит, при любом р € N выполняется V"(хс,т3,1р) =
лена иг иулл, л лиачи!, при лшиим р € N выиилнжпи V (хс, т3 12р.
Следовательно, для ненулевых решений построенного уравнения имеет
место следующие соотношения
р
пХ>а (хс,ш,/г)
Iа ( /V! \ _ 1 ТЛ -С 1 1 1 Iа / ^^ ^ - 1 - ^ 1
(xc) = inf lim — va (xc,m,tp) = inf lim p —
togR3tp togR3 ^ i2ni ^
г п(1 • 12 + 2 • 12 + ••• + р • 12) 1
= 11т —-;---- = 1.
12п(1 + 2 +-----Ь р)
б). Пусть с € Ь2 и а € {0, +, *}. При любом фиксированном р € N (быть может начиная с некоторого номера ро) для любой функции
] € {схЖх(^) + С2Ж2Й I С1,С2 € К, сх • С2 = 0, г € (тр + 2п, др] и (^р + 2п, Лр]}и
и {С2Ж2(^) + Сзжз(г) I С2, сз € К, С2 • сз = 0, г € (^ + 2п, Лр] и (Лр + 2п, ¿р]}и
и {схЖх(^) + сзХз(г) I сх,сз € К, сх • сз = 0, г € (тр + 2п, зр и (Лр + 2п, гр]},
любого ненулевого вектора т € неколлинеарного вектору т4 = (4, 0,1), скалярное произведение (/, т) на соответствующих промежутках из (7) имеет 12р нулей, среди которых нет кратных.
Для любых р € N5 функции д € {сххх(г) + с2^2(г) | сх,с2 € К, сх • с2 = 0, г € (¿р-х + 2п, Гр] и (гр + 2п, йр]}и и {с2Х2(г) + сзХз(г) | с2, сз € К, с2 • сз = 0, г € (Гр + 2п, 5р] и (5р + 2п, Тр]}и
и {сххх(г) + сзХз(г) | сх,сз € К, сх • сз = 0, г € (¿р-х + 2п, Гр] и (йр + 2п, Тр]}
скалярное произведение (д,тз) на соответствующих промежутках из (7) вовсе не будет иметь пулей, поэтому при любыхр € N и а € {0, +, *} справедливо равенство V"(жс,тз,/р) = 14р. Откуда получаем
p
v^ (xc) = inf lim —va (xc,m,tp) = inf lim p-=
togR3 tp togR3 ^ i2ni (9)
= 11т
¿=1
14n(1 + 2 + ••• + p) 7
12п(1 + 2 +-----Ь р) 6'
в). Для любого а € {0, +, *} обозначим через множество точек с € \ Ь2, для которых минимум в ^ (хс) реализуется на векторе т4. Действительно, на каждом из промежутков
(тр + 2п, ^р], (^р + 2п, Лр], (Лр + 2п, ¿р] (10)
функция (хс,т4) отделена от нуля, а при любом другом неколлинеарном векторе т £ ^ функция (хс,т4) на каждом из полуинтервалов (10) будет иметь 12р нулей (быть может начиная с некоторого номера р).
Теперь для вычисления значений сильных показателей колеблемости указанных решений остается посчитать число нулей, корней и гиперкорней функции (хс, т4) на каждом из промежутков
(¿р-1 + 2п,Гр], (гр + 2п, (вр + 2п,Тр]. (И)
На том из трех промежутков (11), па котором х^) = др функция (хс, т4 представима в виде
4
(хс
или
,m4) = ^/l8(c2_1 + c?+1) sin(t + ф) + Acißp
(x im) /
C= V c2_1 + c2+1 sin(t + ф) + CiPp ,
У18
где ф £ К — вспомогательный угол и рр = .
Пусть для векторов с £ Са и номера г £ {1, 2,3} выполнено условие
с2рр > с2-1 + с2+1 (12)
(здесь и всюду ниже индекс 0 отождествлен с индексом 3, а индекс 4 — с индексом 1). Тогда имеет место оценка
^/c2_i + c2+i < |cipp1,
гарантирующая отсутствие пулей функции (хс,т4) на рассматриваемом промежутке.
Аналогично, при условии
2 2 <2 + 2 ррс1 < Сг-1 + Сг+1
па упомянутом промежутке функция (хс,т4) имеет 2р нулей, корней и гиперкорней, а при условии
2 2 = 2 + 2 рpci Сг —1 + Сг+1
— столько же корней, ровно вдвое меньше нулей и бесконечно много гиперкорней. Понятно, что в данном случае с £ С*, и минимум в определении сильных показателей колеблемости гиперчастот решений ^(с), с £ \ Ь2) \ С* реализуется на векторе т^, так как на промежутках (11) функция (хс,т3),
не имеет гиперкорней, а на каждом из промежутков (10) имеет 4р гиперкорней. Эти рассуждения справедливы и для остальных сильных показателей колеблемости в случае если \ Ь2) \ Оа = 0. Следовательно, выполняется
V?(х) = 1, С е \ ¿2) \ О а, а е {0, +, *}.
г). Обозначим через У подмножество пространства^3, состоящее из точек, удовлетворяющих неравенству (12), и представляющее собой в пространстве круглый конус (точнее, его внутренность, каковую и будем подразумевать в дальнейшем под словом конус), ось которого совпадает с ¿-ой осью координат (натянутой на вектор б^), а раствор — тем больше, чем больше значение рр.
Следуя И.Н. Сергееву (см. [1]), через С ^ обозначим множество точек, принадлежащих ровно г из трех конусов У, У, У и при этом лежащих на границе ровно ^ из оставшихся. Тогда для величин V0, ^ и V* при любом с е \ Ь2 справедливы равенства
0,
V0(Xc) = {
1 12, 1 6, 1
4, 1
3,
12; 1 2;
c G Цз)0, С G U2,1, С G U2,0 U U1,2, c G UM U Uo,3, c G U1,o U Uo,2, c G Uo,1, c G Uo,o,
v.+ (xc) = <
0,
0,
1 6, 1 3 , 1 2 ,
c G U3,o, c G U2,1 U U2,o, c G U1,2 U UM U U1,o, c G Uo,o U Uo,1 U Uo,2 U Uo,3,
V» (Xc) = < 2
С е Цз,о, С е Ц1,о,
с е Цо,1 и Цо,2 и Цм и Цо,з и Ц1,2 и ^д, С е Ц2,о, с е Цо,о,
причем здесь перечислены все возможные значения этих величин.
6.4. Проследим за изменением возможных спектров сильных показателей колеблемости системы Ад при изменении последовательности Д е .
а). Если выполняется равенство др = д/1,125 (которое равносильно рр = 1) при люб ом р £ М, то конусы V!, У2 и У только касаются друг друга, причем только попарно, и все точки касания лежат на шести конкретных прямых (см. п. Б. доказательства леммы 16 [1]). Поэтому непустыми являются только множества ио,о, Цод, и1?о и ио,2, поэтому, учитывая равенства (8)-(9), искомые множества значений оказываются следующими
117
Spec„o (Ад) =
15 17
3' 12,2' ,6
Specv* (Ад) =
spev <^>={3, 2,16},
1,1, 1,7'
3'2' '6
При с = (2,1,1) £ и1?о скалярное произведение (хс,т4) на каждом из промежутков (6) вовсе не имеет нулей, поэтому младшие сильные показатели колеблемости пулей, корней и гиперкорней системы Ад действительно равны 1/3.
б). Если же выполняется неравенство др > у/1, 25 (из которого следует 1 < рр < л/2) при любом р £ М, то конусы уже попарно пересекаются, но не имеют общих для них всех точек, даже граничных (см. п. В. доказательства леммы 16 [1]). При этом также и граница любого конуса пересекается с любым другим конусом, как и с его границей.
Следовательно, к предыдущему списку непустых множеств добавляются еще два множества и2,о и и1;1, поэтому
Specvo (Ад) =
^ Ч i 111,7
SpeV(Ад) = (б' 3' 2'1' 6
111 5 1 1 7'
6' 4' 3' 12'2' '6
Specv* (Ад) =
'1117'
6' 3' 2' ' 6
В этом случае 1/6 действительно является наименьшим значением сильных показателей колеблемости нулей, корней и гиперкорней системы Ад. В самом деле, решения с = (с1, с2, с3) £ и2,о системы
ррс1 > с2 + с2, ррс2 > с1 + с2, ррс3 <с2 + с2
выберем следующим образом: с3 = 1, а с1,с2 - положительными, достаточно
с1 = с2
c G Ga скалярное пронзведенне (xc,m4) на каждом из промежутков (6) будет отделена от нуля.
6.5. При любом a G {0, +, *} примером точки неинвариантности относительно бесконечно малых возмущений для младших сильных показателей колеблемости wf служит система А-1,125 из построенного в настоящем доказательстве семейства, взятое при постоянной последовательности Д 1 = Д2 = ••• = \/1,125, т.е. относящееся к пункту 6.4. а), в котором W f (АуТД25 ) = 1/3.
Действительно, эта система обладает тем свойством, что в любой ее окрестности (в силу непрерывности семейства систем по Д) найдется возмущенная система Ад из того же семейства, но попадающее под пункт 6.4. б) доказательства настоящей теоремы, а значит, удовлетворяющее равенству wf (Ад) = 1/6.
Более того, если возмущенную систему Ад подчинить дополнительному условию др ^ д/1,125 при p ^ то, то для пего, помимо указанного равенства, будет выполнено условие Ад G В(Аутдзб)? из которого следует, что функционал ¡x>f не инвариантен в точке А-1,125 относительно бесконечно малых возмущений.
7. Завершение доказательства при, n ^ 3.
В пунктах 2-5 настоящего доказательства построили при любом n ^ 2 системы А(£), B(t), C(t), D(t) G Mn.
7.1. Из условия (1) и оценок
р(ДА) = ||D - А|| = sup |D(t) - АВД| =
tgr+
= sup^(Y(t) - #))2 + (-Yy(t)+ #))2 = ^2 sup |-y(t) - #)| ^ 2^2e,
tgr+ tgr+
p(D,C) = ||D - C|| = sup |D(t) - C(t)| = -2 sup |-y(t) - <£(t)| < 2-2e
tgr+ tgr+
следует, что возмущения D - А, D - C являются равномерно малыми. Поэтому в любой достаточно малой окрестности системы D, все крайние частоты
1/2 А C
крайними частотами соответственно. Последнее означает не только разрыв-
D
D
сверху.
7.2. Возмущение D -B является бесконечно малым при t ^ +то посколь-
ку на основании оценки (3) имеем
tlim |D(t) - B(t)| = tlim ^(¿(t) - Y(t))2 + (-¿(t) + Y(t))2 =
t—+TO t—+TO v
= 1lim |0(i) - Y(t)l =0'
t—>-+TO
но соответствующие крайние частоты систем B и D не совпадают. Последнее означает, что все крайние частоты не являются инвариантными в точке D.
Теорема полностью доказана.
Автор выражает глубокую благодарность профессору И.Н. Сергееву за постановку задачи и внимание к работе.
Список литературы
[1] Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения//Труды Семинара им. И. Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294.
[2] Сергеев И.Н. Свойства характеристических частот линейных уравнений произвольного порядка//Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2013. Вып. 29. С. 414-442.
[3] Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы// Известия РАН. Серия математическая. 2012. Т. 76. № 1. С. 149-172.
[4] Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем// Мат. сб. 2013. Т. 204. 1. С. 119-138.
[5] Сергеев И.Н. Ляпуновские характеристики колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем// Труды семинара им. И. Г. Петровского. 2016. Вып. 31. С. 177-219.
[6] Барабанов Е.А., Войделевич A.C. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линейных дифференциальных уравнений. ¡//Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 10. С. 1302-1320.
[7] Барабанов Е.А., Войделевнч A.C. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линейных дифференциальных уравнений. II// Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 12. С. 1595-1609.
[8] Барабанов Е.А., Войделевич A.C. Спектры верхних частот Сергеева нулей и знаков линейных дифференциальных уравнений// Доклады HAH Беларуси. 2016. Т. 60. № 1. С. 24-31.
[9] Быков В.В. О бэровской классификации частот Сергеева нулей и корней решений линейных дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 4. С. 419-425.
[10] Войделевич A.C. О спектрах верхних частот Сергеева линейных дифференциальных уравнений// Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. 2019. № 1. С. 28-32.
[11] Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейной системы// Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. 6. С. 908.
[12] Бурлаков Д.С., Цой C.B. Совпадение полной и векторной частот решений линейной автономной системы// Труды Семинара им. И. Г. Петровского. 2014. Вып. 30. С. 75-93.
[13] Сташ А.Х. Свойства показателей колеблемости решений линейных автономных дифференциальных систем// Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2019. Т. 29. Вып. 4. С. 558-568.
[14] Сергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений дифференциального уравнения второго порядка// Вестник Моск. ун-та. Серия 1. Математика. Механика. 2011. № 6. С. 21-26.
[15] Сташ А.Х. О разрывности крайних частот на множестве линейных двумерных дифференциальных систем// Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2013. - Вып. 4 (125). С. 25-31.
[16] Сергеев И.Н. О показателях колеблемости, врагцаемости и блуждаемости дифференциальных систем, задающих повороты плоскости // Вестник Моск. ун-та. Серия 1. Математика. Механика. 2019. № 1. С. 21-26.
[17] Сташ А.Х. О разрывности младших частот нулей и корней на множестве линейных однородных дифференциальных уравнений третьего
порядка // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2016. - Вып. 1 (176). С. 17-24.
[18] Сташ А.Х. О разрывности старших частот на множестве линейных однородных многомерных дифференциальных систем//Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2018. - Вып. 4 (231). С. 28-32.
[19] Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений// Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1983. Вып. 9. С. 111-166.
On the discontinuity of extreme exponents of oscillation on a set of linear homogeneous differential systems
Stash A.Kh.
Adyghe State University [email protected]
Abstract. In this paper, we study the questions of the discontinuity of the extreme oscillation exponents on the set of linear homogeneous differential systems with continuous coefficients defined on the positive semiaxis. The existence of systems, for which all the higher and lower exponents of the oscillation zeros, roots and hyper-roots are not continuous either from above or from below, is established. Moreover, the non-invariance of the extreme exponent of oscillations with respect to infinitesimal small perturbations is proved. When proving the results of this work, the cases of evenness and odd order of the system matrix are considered separately.
Keywords: differential equations, linear systems, oscillation, number of zeros, exponents of oscillation, Lyapunov exponents.
