CC BY
5
УДК 517.926 ББК 22.161.616 Т 49
Тлюстангелова Мадина Султановна
Магистрант факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905 Сташ Айдамир Хазретович
Доцент, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905, e-mail: [email protected]
Строгие неравенства между верхними и нижними показателями колеблемости решений двумерных дифференциальных систем
(Рецензирована)
Аннотация. На множестве решений линейных однородных двумерных дифференциальных систем (не сводящихся с помощью канонической замены переменных к уравнениям второго порядка) с непрерывными ограниченными на положительной полуоси коэффициентами найдена функция, нижние показатели колеблемости которой не совпадают с верхними.
Ключевые слова: линейная дифференциальная система, колеблемость решений, число нулей функции, показатель колеблемости, полная частота, векторная частота.
Tlyustangelova Madina Sultanovna
Master's Degree Student of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop,
ph. (8772) 593905
Stash Aydamir Khazretovich
Associate Professor, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593905, e-mail: [email protected]
Strict inequalities between the top and lower indicators of variability of solutions of two-dimensional differential systems
Abstract. A function, the lower variability indicators of which do not coincide with the top ones, is found on a set of solutions of the linear homogeneous two-dimensional differential systems (which are not coming down by means of initial replacement of variables to the equations of the second order) with the continuous coefficients limited on a positive semiaxis.
Keywords: linear differential system, variability of solutions, number of zero function, variability indicator, full frequency, vector frequency.
Введение
Для заданного натурального n обозначим через Mn множество линейных однородных дифференциальных систем
X = A(t)x, x е Rn, t e R+ - [0, да), с непрерывными ограниченными оператор-функциями A, отождествляемые с самими
J—Г n
системами, а также его подмножество E , отвечающих линейным однородным уравнениям n -го порядка
y(n) + a! (t) y(n^ +... + an_x (t) y + an (t) y = 0, сводимым к системе каноническим переходом от скалярной переменной y к векторной x = {y, y,..., y(n V)). Кроме того, обозначим через S*(A) множество всех ненулевых решений системы A е Mn и положим
SM - U S*(A), SE - U S*(A).
AeMn AeEn
Определение 1 [1-3]. Скажем, что скалярная функция y е Cn(R+ ) имеет смену знака в точке t > 0, если в любой окрестности этой точки она принимает как положительные, так и
отрицательные значения, а через va(y, t2, tl) при ае{-,0,+,*} соответственно обозначим:
- число ее смен знака на промежутке (^, t2 ];
- число ее нулей на промежутке (^, t2 ];
- число ее корней на промежутке (tj, t2 ], то есть нулей с учетом их кратности;
- число ее гиперкорней на промежутке (tj, t2 ], то есть при его подсчете каждый некратный корень берется ровно один раз, а кратный - сразу бесконечно много раз.
Далее для ненулевого вектора m е R" и вектор-функций х е Rn введем обозначение
va (х, m, t2, tj) = va(x, m, t2, tj), где (х(-), m) - скалярное произведение, R*n = Rn \ {o}.
Определение 2 [2, 3]. Каждому решению х е S*(A) системы A е Mn поставим в соответствие верхнюю (нижнюю) полную и векторную частоты
öa (х) = inf lim -va (х, m, t,0) \ öa (х) = inf lim —va (х, m, t,0) |,
meR*n tt ^ meR*n tt J
£а(х) = lim inf-va(х,m,t,0) \ £а(х) = lim inf ^а(х,m,t,0) |.
tmeR*n t ^ tmeRÜ t J
знаков, нулей, корней или гиперкорней при а е {-,0,+,*} соответственно.
В случае совпадения какой-либо полной или векторной верхней частоты с одноименной нижней будем называть ее точной.
Замечание. Из определений 1 и 2 следует, что для любого ненулевого решения х е S*(A) справедливы цепочки соотношений
г (х) <Г (х), ö (х) <ö- (х), £0(х) <£0(х), ö0(х) <ö0(х),
£+ (х) <£+ (х), Ö + (х) < ö + (х), £\х) <£», ÖXх) < а\х).
Из результатов работ [4-6] следует, что на множестве решений линейных однородных автономных дифференциальных систем все определенные в настоящей работе показатели колеблемости являются точными. Единственная точка (то есть решение) из множества SE, в которой все нестрогие неравенства в замечании превращаются в строгие, была предъявлена И.Н. Сергеевым в [5]. Поиску аналогичной точки из множества SM \S2E посвящена настоящая работа.
Основной результат
Теорема. Существует функция х е S^\ SE, удовлетворяющая соотношениям £- (х) = Ö- (х) = £0(х) = Ö0(х) = £+(х) = <г + (х) = £*(х) = *(х) < < £ - (х) = ö- (х) = £ 0( х) = Ö 0( х) = £ + (х) = Ö + (х) = СХ х) = ö * (х).
Доказательство теоремы.
1. Зададим 2— периодическую непрерывно-дифференцируемую функцию <p(t), возрастающую на отрезке [0,—], убывающую на участке [—,2—] и принимающую на концах отрезков значения
<(0) = <(2—) = 0, <(—) = —, < (0) = <—) = < (2—) = 0.
Выберем последовательность {tk-1}, значения которой кратны 2—, и обладающую свойствами
0 = t0 < t1 < t2 < t3 <..., lim tk-1 = .
k
Далее выбираем достаточно малое s > 0 и на R + зададим матрицу второго порядка
X(t) = (x\t), x2(t)),
где при каждом натуральном r имеем представление
Л
x\t) =
x'(t) =
cos(1 - s)p(t )л sin(1 - s)p(t)
( cos(1 + s)p(t) ^ sin(1 + s)g>(t)
(
x2(t) =
- sin(1 - s)y(t) ^ cos(1 - s)q(t)
-
x 2(t) =
sin(1 + s)p(t) ^ cos(1 + s)g>(t)
t e [[2r-2' t2r-11 , t G [[2r-1' t2 r ]•
Понятно, что при любом натуральном r выполняются равенства
A(t) = X (t) X-1(t) =
0
(1 -s)<p (t)
- (1 -s)<P (t) ^
0
' t e[[
e [[2r-2' t2r-1.
, ( 0 - (1 + sWt)^ r i A(t) = X(t)X (t) = _ ..... Л , t g[-1, t2r ]
(1 + s)(p (t)
0
из которых, с учетом определения функции (р(Х), следует Л([) е М2.
2. Решение х1 на промежутках вида [¿2г_2, t2r_ ] за время ж совершает повороты в ж(1 _е) радиан и каждый раз занимает исходное направление (1, 0), поэтому вектор т1 = (пе, сове) ни в одной точке указанных промежутков не будет ортогонален решению х1.
На промежутках вида [[ _1, t2r ] решение х1 за время ж совершает повороты в ж(1 + е) радиан и каждый раз занимает исходное направление (1, 0), а значит, за время ж произвольный вектор т е Е* один или два раза будет ортогонален решению х1. Заметим, что вектор т1 за время ж ровно в одной точке ортогонален решению х1. Следовательно, при любых а е {_,0,+,*} и t > 0 выполняется цепочка равенств:
ЫУ (х1, т, t,0) = шГ у° (х1, т, t,0) = Ыу+ (х1, т, ^0) = тГ х1, т, ^0) = уа(х1, т1, t,0),
meR*2
откуда
шеЯ2
шеЯ2
шеЯ2
С(x1) = о (x1) = С0(x1) = äV) = С(x1) = 0+ (x1) = C*(x1) = a(x1) - 01,
г(х1) = О (х1) = С°(х1) = а0(х1) = Г (х1) = О+ (х1) = Г(х1) = О^х1) - 02. 3. Простым увеличением чисел вида _1 при любом натуральном г и а е{_,0,+,*} можно добиться выполнения неравенства
t2
так как
ж inf уа (x1, m, t2r 1,0) = жуа(x1, m1, t2r 1,0) <
meR,2 4
inf2 Уа(x\ m, t2r-1, t2r-2 ) = ^ (x1, m1, t2r-1, t2r-2) = 0 •
Аналогично, увеличением моментов вида t2r при любом натуральном r
и
а е {-,0,+,*} можно обеспечить справедливость неравенства
t2
поскольку
ж inf уа(x1, m, t2r,0) = жуа(x1, m1, t2r,0) > ,
meR,2 3
t - t
infvV, m, t2r, t2r-1) = -2r 2r-1
meR2 ж
По определению 1 имеем цепочку соотношений:
Q = £*(x1) = lim mf-v\x\m,t,0) < lim inf —v*(x1,m, t2r_1,0) < - < - <
t —meR" t r —meR," t2 , 2Г 4 3
< lim inf ~—v*(x1,m,t2r,0) < lim inf -v\x\m,t,0) = £*(x1) = Q2.
rmeß," f " '
2r
Теорема полностью доказана.
rmeR, t2r tmeR," t
Авторы выражают глубокую благодарность профессору И.Н. Сергееву за постановку задачи и внимание к работе.
Примечания:
1. Сергеев И.Н. Определения и свойства характеристических частот линейного уравнения // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294.
2. Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейной системы // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45, № 6. С. 908.
3. Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Математический сборник. 2013. Т. 204, № 1. С. 119-138.
4. Бурлаков Д.С., Цой С.В. Равенство полной и векторной частот решений линейной автономной системы // Дифференциальные уравнения 2011. Т. 47, № 11. С. 1662-1663.
5. Сергеев И.Н. Характеристика колеблемости и блуждаемости решений дифференциальной системы // Известия РАН. Серия математическая. 2012. Т. 76, № 1. С. 149-172.
6. Сташ А. Х. Полные и векторные частоты решений линейной однородной автономной дифференциальной системы // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52, № 6. С. 851-852.
References:
1. Sergeev I.N. Definition and properties of characteristic frequencies of the linear equation // Works of the Seminar of I.G. Petrovsky. 2006. Iss. 25. P. 249-294.
2. Sergeev I.N. Determination of full frequencies of solutions of a linear system // Differential Equations. 2009. Vol. 45, No. 6. P. 908.
3. Sergeev I.N. The remarkable agreement between the oscillation and wandering characteristics of solutions of differential systems // Mathematical Collection. 2013. Vol. 204, No. 1. P. 119-138.
4. Burlakov D.S., Tsoy S.V. Equality of full and vector frequencies of solutions of linear autonomous system // Differential Equations. 2011. Vol. 47, No. 11. P. 1662-1663.
5. Sergeev I.N. Characteristic of the oscillation and wandering of solutions of a differential system // News of the RAS. Mathematical Serie. 2012. Vol. 76, No. 1. P. 149-172.
6. Stash A.Kh. Complete and vector frequencies of solutions of the linear homogeneous autonomous differential system // Differential Equations. 2016. Vol. 52, No. 6. P. 851-852.
