CC BY
48
УДК 629.12.624.02:628.14-523.8
В. В. Комаров, Чан Динь Тьен
СУДОВОЙ ВАЛОПРОВОД КАК МНОГООПОРНАЯ БАЛКА:
РАСЧЕТНАЯ МЕТОДИКА, УЧИТЫВАЮЩАЯ ПОТРЕБНОСТИ ЕЕ ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ЭВМ
Определение опорных нагрузок и деформаций в пролетах судовых валопроводов как многоопорных неразрезных балок на соосных опорах в общем случае представляет собой сложную трудоемкую задачу [1], и использование для этих целей «ручных» способов расчета (без применения ЭВМ) оказывается крайне неэффективным. Кроме этого, результатам расчета будут свойственны некоторые погрешности, связанные с заменой фактических ступенчато-переменных жесткостей валов на осредненную жесткость на длине одного или нескольких пролетов. Учет фактических жесткостей на отдельных ступенях валов в современных теоретических разработках отражен недостаточно полно и широко. Использование же классических решений [1-4] обусловливает их определенную «привязку» к настоящим реальным возможностям программированного расчета на ЭВМ.
Одним из вариантов практического осуществления указанной идеи может быть использование методики расчета, базирующейся на принципах метода конечных элементов (МКЭ) [1] и разработка программы для ЭВМ на ее основе. В этом случае техническая сложность и трудоемкость расчетов свое значение утрачивают. При таком подходе консоли и пролеты балки разбиваются на отдельные элементы (ступени) конечных размеров с постоянными по их длине значениями распределенных нагрузок д и жесткостей Е1Предполагается, что нагрузки в форме сосредоточенных сил Е и изгибающих моментов М- _ 1) действуют (если они не равны нулю) на левом конце элемента (рис. 1), а между собой все элементы состыковываются с обеспечением условий силового равновесия (перерезывающих сил и изгибающих моментов) и равенства деформаций (углов поворота и смещений) сопрягаемых сторон. Это позволяет сводить расчет к решению систем не дифференциальных, а алгебраических уравнений [4].
Рис. 1. Элемент балки и его нагрузки
Расчет каждого отдельного элемента выполняется с использованием дифференциальных связей между распределенной нагрузкой д, перерезывающей силой Qi, изгибающим моментом М, углом поворота сечений 0г- и прогибом £. Переменный характер Qi и д обусловливает представление указанных зависимостей в форме метода начальных параметров [1-3], т. е. в уравнения включаются известные начальные (граничные) значения параметров дц-^, Q(i _ 1), М- _ 1), ®(г_ 1), /ц _ 1) на левом торце от предыдущего сопрягаемого элемента и изменяемые части аналогичных параметров д, Qi, М, 0г-, Л на длине текущего элемента. Такая форма зависимостей при разработке программы для ЭВМ оказывается наиболее рациональной.
Судовой валопровод, как один из видов многоопорных неразрезных балок, подвержен влиянию различных видов нагружения и отличается переменной жесткостью валов.
Согласно принципу независимости действия сил [4] для валопровода рассматриваются три частных варианта нагружения: от нагрузок на консоли гребного вала; от нагрузок на дейдвудном пролете; от нагрузок на промежуточном участке (в нос от дейдвудного пролета). Конечное состояние валопровода будет определяться суммарным воздействием перечисленных нагрузок.
Расчетная схема для варианта нагрузок на консоли гребного вала показана на рис. 2.
На левом конце первого элемента имеют место начальные (граничные) условия:
&(--1) = &0 = 0 ; Ек1 = ^р.в; Мк(--1) = Мк0 = М( ); ®к(--1) = ®к0 ^ 0 ; /к(--1) = /к0 ^ 0 , (1)
где Qгp.в - сила тяжести гребного винта; М^Г) - гидродинамической момент гребного винта).
На длине х первого элемента 1к1 справедливы следующие дифференциальные зависимости:
“£1
Qkx = йко + Ркі- Як1х; мкх = мко +1 йкА;
®кх = ®к 0 + '
1 1к1 1к1
" Мкх^; /кх = /к о + І"'
ЕІк1 •> •>
к1 о о
+ I ®кхЛх
которые после интегрирования и замены переменной х на длину элемента 1к1 принимают вид:
&1 = ^0 + Ек1 - дк11к1; Мк1 = Мк0 + (Qk0 + Ек1)1к1 - 0,5дкЛ\;
1
®к1 = ®к о + ‘
к1
1 2 1 3
Мк о1к1 + ~ (йк о + ^к1)1к1 ~~ Чк11к1
2 6
/к! = /к о + ®к о1к1 +
ЕІ
к1
^Мк ок + о + Ек1)ЇІ1 ЧкА
2 6 24
(2)
Используя параметры в (2) в качестве начальных (граничных), для второго элемента (рис. 2) аналогичным образом получим:
йк 2 = йк1 + Ек 2 Чк 21к 2; Мк 2 = Мк1 + (йк1 + Ек 2)1к 2 о,5Як 21к2;
1
®к 2 = ®к1 + '
ЕІ
к 2
1 2 1 3
Мк11к2 +~(0к1 + Ек2)1к2 -~Чк21к2
26
/к 2 = /к1 + ®к11к 2 +
ЕІ
к 2
0 Мк11к2 + г (йк1 + ^к2)1кІ2 Як21к2
2 6 24
(І)
Поочередно выполняя далее такие же операции, для последнего элемента будем иметь:
^к = Qk(к-1) + Екк - дкк1кк; Мкк = Мк(к-1) + (йк(к-1) + Екк )1кк - 0,5дкк1кк;
о
1
1
©kk - © П2 - ©
D2
'k (k -1)
+ -
EI
kk
1 2 1 з
Mk (k-1)lkk + ~2(Qk (k -1) + Fkk }lkk — 6 qkklkk
fkk fD2 fk (k-1) + ©k (k -1)lkk +
EI
kk
2 Mk(k-1)lkk + ^ (Qk(k-1) + Fkk )lk2 24 qkklkk
(4)
С учетом известных значений по (1) параметров йко и Мко на левом конце первого элемента состояние консоли на длине 4і (рис. 2) описывается уравнениями:
йк1 = й-р.в - Як11к1; Мк1 = М(Г) - йр.в1к1 - о,5(1к11кЪ
©k1 - ©kо +
k 0 '
EJ
k1
M (Г )lk1 - ^ Qrp.Blk1 - 6 qk1lk31
fk1 - fk0 + ©k0lk1 +
EI,
k1
1M(r )/k21 + 1 Q^ - ^ qk1ly41 2 6 24
(5)
Подставляя значения (5) в (3), получим значения граничных параметров для уравнений 2-го элемента, затем для 3-го и т. д., охватывая и уравнения (4) для последнего к-го элемента на консоли гребного вала (при остающихся в них неопределенными 0к0 и /ко).
При известном значении момента Мкк = Мн0 = М02 могут быть определены реакции
(от нагрузок на консоли) на дейдвудных опорах (рис. 2) - = Мв2 /ЬИ, = -МВ2 /ЬИ + Qkk .
Применительно к первому элементу на дейдвудном пролете (рис. 2) (в условиях нагрузок на консоли) дифференциальные зависимости принимают вид (0н0 = 0О2 и /н0 = 0):
^1 = Qн0 = МЭ2 / Ен; Мн1 = МВ2 + МД21н1 / Ен;
©Н1 - ©D2 +
D2
EI,
н1
; /н1 - ©D21h1 +
EI,
н1
(6)
Последовательно выполняя расчетные процедуры для последующих элементов /нг-, определяем Qнi,Мн-, 0н-, /н , являющиеся одновременно граничными условиями для элементов /н(г- + 1). При их подстановке в уравнения вида (6) в конечном итоге для последнего т-го элемента становятся известными Qнm, Мнт, 0нт =0В1,/нт на носовой дейдвудной опоре.
Используя уравнения прогибов на опорах 02 и Д - /кк = /ш = 0 и /нт = /т = 0 , определяем граничные параметры 0к0 и /к0, и, таким образом, могут быть рассчитаны углы поворота и прогибы на консоли и на дейдвудном пролете гребного вала.
Параметры Qнm, Мнт, 0нт =0_О1, /нт , в свою очередь, будут определять граничные условия для первого элемента промежуточного участка (в прежних условиях нагружения на консоли гребного вала). Однако составлять дифференциальные зависимости для элементов промежуточного участка (рис. 2), при отсутствии на нем нагрузок, нет необходимости. Согласно правилам дифференциального исчисления, если производная от функции равна нулю (в данном
случае М^п = (Е1 -у П)/ = 0), то сама функция сохраняет свое значение постоянным (в данном
случае JMUjidx = J(EIjiyj)dx = 0^ = const), т. е. линейный характер изгиба этого участка
с углом наклона 0^) = 0^ = const определяет перемещения опорных сечений согласно уравнению fj) = 0^1 Lj при j = 1, 2, 3, ... n.
Схема валопровода для варианта нагрузок на дейдвудном пролете приведена на рис. 3.
1
1
1
1
1
1
Начальные (граничные) условия для первого элемента определяются уравнениями: йн? = ^12, М^о = Мд2 = о, ®нно) =®^, /н(он) = /пі = о . Структура и последовательность выполняемых расчетных операций для всей совокупности т элементов сохраняются аналогичными случаю нагрузок на консоли гребного вала. В результате на носовой дейдвудной опоре П
последнего элемента пролета будут определены: перерезывающая сила - , изгибающий
момент - М(тт, угол поворота - ®нт =®11, прогиб - /н^ = /Ц = о. Значения начальных (граничных) параметров ®но) = ®Ц, /н(о) = /т определяются из уравнений прогибов гребного вала на опорах и Д - /к^ = /Ц = о и /н(н = /Ц = о . Перемещения опорных сечений
на промежуточном участке равны /Пр = ®11)Щ = 1, 2, І, ..., п, (рис. І).
Расчетная схема для условий нагрузок на промежуточном участке приведена на рис. 4.
Граничные условия на левом конце первого элемента определяются уравнениями:
с(п) = 0- Q(n) = Q(n) = П(п). р(п) = 0- М(п) = М(п). 0(п) =0 . /(п) = /(п)= /(с) = 0
%(--1) = 0; ^(--1) = Qn0 = кт ; рп(--1) = 0; Мп(--1) = Мт ; 0п(--1) = 0т; /п(г-1) = /т = 0.
При использовании уравнений вида (2)-(4), адаптированных к расчетной схеме на рис. 4, включая и индексацию элементов I, нагрузок с/пп, РП(-п), Q/), Ми деформаций //(гп), 0/^(где
/ = 1, 2, 3, ..., п - нумерация пролетов; - = 1, 2, 3, ..., р - нумерация элементов в пределах каждого из пролетов), раздельно для каждого из пролетов определяются параметры состояния
Q(|’n), М(п), 0/ \ //п) для р числа элементов и (п + 1) числа пролетов промежуточного участка.
Перемещения опорных сечений промежуточного участка определятся значениями прогибов
валопровода на этих же сечениях //п при / = 1, 2, 3, ... п.
От совместного влияния нагрузок валопровода по всем трем вариантам прогибы опорных сечений на промежуточном участке будут равны:
/ = [©« • Ь] + 0$ • Ь] + ]],] = 1, 2, 3, п.
(7)
При наличии п-го количества промежуточных опор нагрузки (реакции) на них должны противодействовать активным нагрузкам и ^ и обеспечивать приведение указанных опор на конструктивную ось ($2-$1).
Расчетная схема для рассматриваемого состояния валопровода показана на рис. 5. В соответствии с ней на ]-й промежуточной опоре предусмотрена единичная нагрузка (Я] = 1). На дейдвудных опорах реакции равны: ЯП1 = -Я](Ьу- + Ьн)/Ьн и ЯП2 = Я;Ь] /Ьн).
Начало отсчета осей координат совмещено с проекцией носового конца валопровода на конструктивную ось. Это предопределяет следующие граничные условия для (п + 1) р-го
элемента: ^(п+1)0 = 0; б(п+1)0 = 0; Е(п+1)0 = 0; М(п+1)0 = 0; ®(п+1)0 ^ 0; /(п+1)0 ^ °.
Дифференциальные зависимости для перерезывающей силы, изгибающего момента, угла поворота и прогиба на границах элементов (ступеней) с Е1/ъ начиная с (п + 1) р-го до (/ - 1) р-го включительно принимают выражения:
- для (п + 1) р-го элемента (ступени) б(п+1)р = 0; М(п+1)р = 0; 0(п+і)р = 0(п+1)о;
Чп+1) р
/(п+1) р = [/(п+1)0 + 10(п+1)0^х] = [/(п+1)0 + 0(п+1)01(п+1) р ];
(8)
- для (п + 1)(р - 1)-го элемента (ступени) б(п+1)(р-1) = 0; М(п+1)(р-1)
-1) = 0; 0(п+1)( р -1) = 0(п+1)0;
/(п+1)( р-1) = [ /(п+1)0 + 0(п+1)0 (1(п+1) р + 1(п+1)( р-1))];
- для (п + 1)1-го элемента (ступени) 2(п+1)1 = 0; м(п+1)1 = 0; 0(п+1)1 = 0(п+1)0;
/(п+1)1 = [ ./(п+1)0 + 0(п+1)0(Ь + Ьп )]; (9)
- для последующих ступеней до ]-й опоры с Я] = 1 [] = (п + 1), п, (п - 1), ..., (] + 1);
і = 1, 2, 3, ..., р]
Qnp * Q(]+1)1 = 0; Мпр *М(]+1)1 = 0; 0пр +0(]+1)1 = 0(п+1)0;
/пр ~ /(]+1)1 = [/(п+1)0 + 0(п+1)0 (Ь + )]; (10)
0
- для/-го элемента с единичной нагрузкой Я/ = 1 на опоре (г = р) Qjp = Я,-;
м/р = Я/[х - (Е - Ь)]; 0/р = [0(п+1)0 +1 м/р^х1 //р = [/(п+1)0 +10/р^х1;
/ х XXV. ^ххч^ч, V- -V/,
+ ^-М/р^Х]; //р = [/(п+1)0 + 00
1 2
или = Я/; М/р = Я/1/п; 0/р = [0(п+1)0 +^г-ЯЛ-р ];
2Е1 7 /р
2Е1/р
= 1 з
//р =[ /(п+1)0 + 0(п+1)0(Е - Ь/ + /) + 6Е1 Я///р ];
(11)
- для последующих элементов (ступеней)/-го пролета
( р \2
1 р
Q]p = Я/; М№ = Я/ 2 /; 0/р = [0(п+1)0 + ~2ЕГЯ} 2/
1 Р V г у
р
^ 1
/}р = [/(п+1)0 + 0(п+1)0(Е - Ь/ + 2 /) + 6Е^Я/ 21.
]; г = р, (р - 1), (р - 2), ..., 1. (12)
Подобным образом определяются и параметры для последнего элемента (ступени с 1 = 1) последнего пролета (/ = 1) промежуточного участка валопровода Q11 = Я/; М11 = Я/Ь/;
1 2 1 3
011 = [0(п+1)0 + ]; /11 = /т = [/(п+1)0 + 0(п+1)0Е + ^ГТ Я}L} ] (13)
11
6Е1
11
и для последнего элемента (ступени) дейдвудного пролета Qн1 = (Я/ + ЯП1);
1
Мн1 = [Я/ (Е/ + Ен) + Я£>1Ен]; 0н1 = {0(п+1)0 + [Я/ (Е/ + Ен)2 + ЯьЬн]};
2Е111
/н1 = /02 = [ /(п+1)0 + 0(п+1)0 (Ь+Ь) Я/ (Ь+ Ь )3+Я^1^н ].
6Е1н1
(14)
Исходя из условия нулевых прогибов на дейдвудных опорах (/01 = 0 и /т = 0), решением уравнений для /11 из (13) и /н1 из (14) определяются начальные параметры /(п+1)0 и 0(п+1)0, а с их учетом, при / = 1, 2, 3, ..., п и 1 = 1, 2, 3, ...,р, по (8)-(12) становятся известными прогибы и углы поворотов любого из сечений на ступенях и опорах промежуточного участка.
Таким образом, если единичная нагрузка (Я1 = 1) действует на опоре 1, прогибы на опорных сечениях 1, 2, 3, ..., п будут - а11, а12, а13, ..., а1п; при нагрузке (Я2 = 1) на опоре 2 - а21, а22, а23, ., а2п; при нагрузке (Я3 = 1) на опоре 3 - а31, а32, а33, ., а3п и т. д. и в общем случае равны:
ап =
( р \
У 1
/(п+1)0 + 0(п+1)0 (Е - Ь/ + 2/) + 6Е1 21/г
г=1 /1 V г =1 у
/ = 1,2,3,..., п; г = 1,2,3,...,р. (15)
Состояние валопровода в исследуемых условиях (соосного положения опор) описывается системой уравнений
];
3
a11R1 + a12R2 + a13R3 +...+ a1(n+1) R(n+1) + alnRn = fl,
a21R1 + a22 R2 + a23R3 +.....................+ a2(n+1) R(n+1) + a2nRn = f2,
a31R1 + a32R2 + a33R3 +......................+ a3(n+1) R(n+1) + a3nRn = f3,
<
а(п-1)1Я1 + а(п-1)2 Я2 + а(п-1)3Я3 +.+ а(п-1)(п+1) Я(п+1) + а(п-1)пЯп /(п-1),
ап1Я1 + ап 2 Я2 + ап3Я3 +.+ ап(п+1) ^(п+1) + аппЯп = ^
или
^Га/.г-Я/. = // , / = 1, 2, 3, ..., п. (17)
г=1
Полученные уравнения системы (16)-(17) имеют известные не нулевые правые части (// Ф 0), что обеспечивает системе уравнений определенность, т. е. получение единственного
решения относительно опорных реакций. Коэффициенты а/г при Я/ в уравнениях системы обладают свойством симметрии, т. е. а/г = аг/, и поэтому их расчет может выполняться начиная с тех, которые расположены на главной диагонали - а11, а22, а33 ... а(п_1)(п_1), апп.
Полученные результаты показывают, что для современных условий аналитических расчетов многоопорных неразрезных балок ступенчато-переменного сечения расчетная методика по определению опорных реакций и деформаций по всей длине может быть разработана применительно к ее использованию на ЭВМ. Указанные возможности создают реальные предпосылки по исследованию и составлению программ для ЭВМ с целью производства автоматизированных расчетов для технологических процессов центровки судовых валопроводов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Филин А. П., Соколова А. С. Строительная механика корабля. Ч. 1. - Л.: Речной транспорт, 1957. - 444 с.
2. БеляевН. М. Сопротивление материалов: учеб. для втузов. - М.: Наука, 1965. - 856 с.
3. Курс сопротивления материалов / М. М. Филоненко-Бородич, С. М. Изюмов, Б. А. Омесов и др.:
учеб. для вузов. Ч. 1. - М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1956. - 644 с.
4. Киселев В. А. Строительная механика. Общий курс: учеб. для вузов. - М.: Стройиздат, 1986. - 520 с.
Статья поступила в редакцию 13.07.2009
SHIP SHAFTING AS A MULTISUPPORT BEAM:
DESIGN STRATEGY TAKING INTO ACCOUNT COMPUTER REQUIREMENTS FOR ITS PROGRAMMING
V. V. Komarov, Tran Dinh Tien
Design schemes in the form of multisupport continuous beams with variable inflexibility of the shafting are considered in the paper. The application of the design strategy in the form of the method of final elements is provided. Differential dependencies between intersecting forces, bending moments, slewing angles and some bends on separate steps are used. The Decision is received in the manner of systems of the equations. The solution of the problem is the equations set. The design strategy meets the requirements of a computer to develop the program.
Key words: ship shafting; multisupport beam; variable inflexibility of the shafting; method of final elements; supporting reactions; deformations; use of a computer.
