Субоптимальный алгоритм дискретно-непрерывной нелинейной фильтрации Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

/ О.И. Хомутов, И.В. Белицын, Р.С. Старухин; правообладатель Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайский государственный технический университет им. И.И. Пол-зунова». - №2008614025; заявл. 02.09.2008.

3. Белицын И.В. Эллиптическое электрическое и магнитное поля электроустановок. метод их расчета и нормирования / И.В. Белицын, А.В. Макаров // Известия Томского политехнического университета. - Томск.

4. Белицын И.В. Алгоритм расчета электрического поля ВЛЭП на основе метода эквивалентных зарядов [Текст] / И.В. Белицын, А.В. Макаров // Пол-зуновский вестник. - Барнаул: Изд-во АлтГТХ 2007. - № 4. - С. 134-141.

5. Шакиров М.А.Теоретические основы электротехники. Новые идеи и принципы. Схемоанализ и диакоптика: учебное пособие / М.А. Шакиров. - СПб.: Изд-во СПбГТХ 2001. - 213 с.

СУБОПТИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ © Булычев Ю.Г.*, Булычев В.ЮД Челахов В.М.*, Коншин А.С.*, Квятковский В.Ю.*

Ростовский технологический институт сервиса и туризма, г. Ростов-на-Дону Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса,

г. Шахты

Ростовский военный институт ракетных войск

им. Главного маршала артиллерии М.И. Неделина, г. Ростов-на-Дону

Синтез перспективных цифровых информационно-измерительных систем, имеющих в своем составе разнесенные в пространстве устройства передачи и получения информации, требует обеспечения высокой достоверности и оперативности приема дискретных сигналов. В настоящем докладе рассматривается субоптимальный алгоритм дискрет -но-непрерывной нелинейной фильтрации.

В [1] на основе аппарата теории условных марковских процессов получены точные уравнения фильтрации дискретно-непрерывных марков-

* Профессор кафедры «Математика и информатика» РТИСТ, доктор технических наук, профессор.

* Аспирант кафедры Радиоэлектронных систем ЮРГУЭС.

* Адъюнкт кафедры Радиоэлектронной борьбы, специальных радиотехнических систем и защиты информации РВИРВ.

* Курсант РВИРВ.

" Курсант РВИРВ.

ских процессов, описывающих сообщения, характерные для систем передачи цифровой информации. В [1, 2] задача решается традиционно в гауссовском приближении, условия применимости которого существенно ограничены [3] (например, при решении нелинейных задач или в условиях малых отношений сигнал I шум, когда апостериорная плотность вероятности (АПВ) становится полимодальной).

K

Пусть передаваемый дискретный сигнал имеет вид s(t,ff) = Ts, (t - kT),

k=0

ik є І,I, где sr (t), r є1,I - элементарный сигнал, тождественно равный нулю вне тактового интервала [0, T); I - число используемых элементарных сигналов; в = d(t) - кусочно-постоянная функция, которая определяет выбор того или иного элементарного сигнала для каждого тактового интервала [tk, tk+1) длительностью T = tk+1 - tk, удовлетворяющая условию:

e = ek = h v f e[tk>twXk = 0K -1

Полагаем заданным множество Д5=[-Ля+^1,^1 +Ля]х...х^-Д5Є +\,ї^ +Aq] наиболее вероятных значений векторного процесса 1(f), где А. = A. (t) -математическое ожидание скалярного процесса !,(/), а [-АЛ. + + Л5і]

- диапазон его наиболее вероятных значений.

Считается, что множество hs имеет такие размеры, что для заданного ss > 0 выполняется неравенство P[X <£ Л5] < ss, где P[«] - вероятность события, указанного в квадратных скобках.

В дальнейшем будем полагать, что значения дискретного случайного параметра в на разных тактовых интервалах образуют простую однородную цепь Маркова на I состояний.

Поступивший по радиоканалу информационный сигнал ^(t) = s(t, в, X) + + n(t) представляет аддитивную смесь полезного сигнала s(t, в, X) и белого гауссовского шума, характеристики которого заданы выражениями: M[n(t)] = 0,

M [n(t)n(t + At)] = N°.S(At), M[*] - символ математического ожидания.

Вектор параметров {A(t), 0(t- i(t))} образует многокомпонентный смешанный марковский процесс.

Применим к смешанной АПВ многокомпонентного дискретно-непрерывного марковского процесса метод разделения переменных: p(t, в, X) = = p(t, X)P(t, в 1А), где p(t, X) - АПВ непрерывных параметров X; P(t, 01 X) -условная апостериорная вероятность дискретного параметра д при фиксированном X. По аналогии с [1] для АПВ непрерывных параметров имеем:

= L {p(t, X)} + [F(t, X) - F(t)] p(t, X) (1)

I

где F(t, X) =Y Ft (t, 0= k | X), F(t) = J... J F(t, Я)p(t, .. .dlQ,

‘k=1 -»

F (t, X) =—[ 2£(t )5 (t - kT-т,в = ik, X) - 5 2(t - kT-т,в= ik, X)].

N0

Поскольку решение уравнения (1) весьма сложно, на практике обычно ограничиваются гауссовским приближением, которое справедливо, как правило, при решении линейных задач и больших отношениях сигнал / шум. Требуется с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ) разработать новый подход к интегрированию уравнения (1), позволяющий снять данные ограничения и реализуемый в реальном времени.

Известно [3,4], что реализация операций дифференцирования на базе алгоритмов БПФ существенно зависит от уровня усечения и гладкости функции p(t, X) на границе множества As. Для корректного выполнения данных операций воспользуемся продолжением p(t, X) с множества As на множество Л з As с использованием математического аппарата срезывающих функций [4]. Данный аппарат позволяет сформировать вспомогательную функцию-регуляризатор g(X), которая является нефинитной функцией, бесконечно дифференцируемой на всем пространстве RQ. Кроме того, как g(X), так и все её частные производные равны нулю при

AgA = [-Aj + ^,^ +Aj ]х... х[-Л— +Xq ,Xq +Ae J. Намножестве А^функ-

ция g(X) тождественно равна единице, а на множестве Л / As данная функция гладко убывает до нуля вместе со своими производными.

Используя функцию-регуляризатор g(X), преобразуем АПВ p(t, X) к виду p(t, X) = g(Я)p(t, X), X е Л з As. Очевидно, что функция p(t, X), а так же ее частные производные, до второго порядка включительно, непрерывны на множестве Л, а на его границе равны нулю.

В качестве срезывающей функции-регуляризатора примем [4]:

Л1 ле _ _

g(A) = J ... J aSi2i_Se2i(^Xl-Xl-^l,...,Xe-XQ-q>Q )dq>v..dpe, АеЛс RQ

-At -Ад

Q 1 X Q 1 ; X

где a, s (!) = П----------exp(——) = П-------------а( ^ ,...,——);

Д 5v2,...%2( ) У SJ2 oqj2 Ц SJ2 о^2, , 8д/2);

д

д 1 1 _________________________________________

m(Xl,...,X—) = П“— exP(1--j—^Т) v UJ< 1, q = 1,Q, в против-

q=1 0 1 Aq

ном случае а(\,...,Х—) = 0.

Данная срезывающая функция g(Я) позволяет преобразовать АПВ р(/, Я) (где к е (-да, +<»)) в функцию р(/, Я) = g(Я)р(1, Я) (где Я е Л), которая повторяет функцию р(/, Я) на множестве Л& а вне множества Л срезает ее. На всем множестве Л функция р((, Я) является гладкой функцией, обнуляющейся вместе со своими производными на его границе.

Приближенная искомая АПВ для фиксированного момента t восстанавливается в соответствии с теоремой отсчетов:

Р (t,A) = Е ki I0...S :=0 Р (t, k)HSinC Tj(Aq - kq АЯ)

q=i

п

дя'

Я є Л

(2)

Правило выбора пространственной сетки и оценка погрешностей вычислений АПВ приведены в [4]. Условная вероятность дискретного параметра 0 равна [2]:

P(t, 0 = ik I Я) = exp

J Fit (ti,Я)dti

P(t = kT + t + 0,0 = ik I Я)x

t

j Fj (ti,Я)dti

(З)

P(t = kT +t + 0,0 = j I Я)

для точек t, лежащих внутри тактового интервала;

i

P(t + 0,0 = ik | Я) = Z^AP(t - 0,0 = j | Я) - для граничных точек t = kT + т.

j=i k

Оптимальный приемник должен принимать решение по правилу:

в*к = max4 jj . Jp\kT + т,0= ik,Я]d\...dXQj (4)

где p [kT + r,0 = ik, Я] = p (kT + г,Я) P (kT + r,0 = ik | Я);

0k - оптимальная оценка дискретного параметра;

max 1 j/(ik)} - функция, обратная функции максимума, то есть вк

ik

равна тому ik, при котором /(ik) - максимальна.

Рассмотрим применение полученных алгоритмов (3, 4) для построения оптимальных приемников сигналов с двукратной фазоразностной модуляцией первого порядка (ФРМ-1). Пусть на k-ом тактовом интервале передается один

из возможных сигналов s (t,0,г, Q) = A cos

л

(о0 (i+Q)(t - kT -г)+0—

где A, а>0

- известные константы; и - принимает четыре равновозможных значения

0, ..3 с вероятностями перехода щ = V4, j, i = 0, .. .,3, kT + т< t < (к + 1)T + г. Таким образом, запишем:

s(t,0,r, Q) = A cos [ю0(1 + Q)(t - kT - г)] s(t,1,r, Q) = -A sin [®0(1 + Q)(t - kT -г)] s(t, 2, г, Q) = - A cos [®0(1 +Q)(t - kT -r)] s(t, 3, r, Q) = A sin [®0 (1 + Q)(t - kT - r)]

Поскольку не когерентный демодулятор с ФРМ-1 не требует знания начальной фазы ф0 и инвариантен по отношению к флуктуациям фазы ^(t) (если интервал корреляции существенно меньше длительности тактового интервала), то в выражении для полезного сигнала с целью упрощения примем щ = 0, (fit) = 0.

m

—г~

жшЩ

mmm

:

*Г+ІГ +1

X , (Л+1)Г+і*

■ЇГ + ДГ+І*

&

&

Я-

&

Рис. 1

Структурная схема оптимального приемника сигналов с двукратной ФРМ-1 представлена на рис. 1, где кроме традиционных приняты следующие обозначения: g(т, О.) - блок срезывающих функций-регуляризаторов; рА1 (/, О) - блок построения АПВ; ГОС - генератор опорных сигналов; УВМ - устройство выделения максимума АПВ; Е(, кь к2) - блок вычисления функции Е(/, к1, к2).

Оценка дискретного параметра осуществляется с учетом защитного интервала АТ и равновероятности значений в:

. 1 Г, (к + 1)Т + т* * * 1

в к = тах < Г Е (/,т , О. )Ж ?

к * [•’ кТ + АТ +т* * \

Информационные символы 31, 32 выделяются путем специального перекодирования значений дискретного параметра д.

Результаты моделирования показали, что в условиях низких отношений сигнал/шум, когда АПВ становится полимодальной (то есть, неправомерна гауссовская аппроксимация), разработанный метод позволяет повысить достоверность оценивания дискретно-непрерывных марковских процессов при наличии случайной задержки дискретного сигнала. При этом качество оценивания существенно зависит от характера продолжения АПВ с множества Л5 на множество Л с использованием срезывающей функции-регуляризатора g(Я) и от числа «искусственных» отсчетов АПВ, взятых на множестве А / Ад. Моделирование показало, что хороший регуляризирую-щий эффект достигается в том случае, когда число «искусственных» отсчетов составляет не более 20 % от числа «естественных» отсчетов АПВ. При этом, чем меньше уровни усечения АПВ р(ґ, X) и выше степень её гладкости на границе множества А& тем меньше требуется «искусственных» отсчетов.

Список литературы:

1. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. - М.: Радио и связь, 1991.

2. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Оптимальный прием дискретных сигналов со случайной задержкой // Радиотехника и электроника. - 1980. - Т. 25.

- № 3. - С. 530-539.

3. Булычев Ю.Г., Погонышев С.А. Квазиоптимальная нелинейная фильтрация на базе дискретного пространственно-частотного преобразования Фурье // Радиотехника. - 1989. - № 1ю - С. 55-57.

4. Булычев Ю.Г., Бурлай И.В., Погонышев С.А. Численно-аналитический метод дифференцирования функций с ограниченным спектром на основе формулы Котельникова // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1992. - Т. 32, № 3. - С. 396-407.

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВЫБОРА ПОСТОЯННЫХ ПАРАМЕТРОВ АЛГОРИТМА ММАХ АП НА ВЫХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АЛГОРИТМА © Бычков Д.Ф.*, Никитин О.Р.*

Владимирский государственный университет, г. Владимир

Приведены результаты исследования влияния выбора постоянных параметров алгоритма ММах АП на выходные характеристики адаптивного фильтра.

* Аспирант кафедры Радиотехники и радиосистем.

* Заведующий кафедрой Радиотехники и радиосистем, доктор технических наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ.