Конечно-разностная аппроксимация экспериментальных значений напряженности электрического поля создаваемого воздушной линией электропередачи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

7. Степаненко П.П. Руководство к лабораторным занятиям по микробиологии молока и молочных продуктов: учебн.пособие для студентов спец. 260300, 260303. - М.: издат.дом «Лира», 2005. - 653 с.

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ СОЗДАВАЕМОГО ВОЗДУШНОЙ ЛИНИЕЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ

© Белицын И.В.*

Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова,

г. Барнаул

В статье рассмотрена конечно-разностная аппроксимация дифференциальной многоточечной краевой задачи. Приведены полученные экспериментальные зависимости напряженности электрического поля при различных сочетаниях климатических нагрузок на высоте 1,8 от поверхности земли.

Для подтверждения полученных математических моделей и алгоритмов расчета параметров электрического поля воздушных линий с учетом влияния металлических опор стрел провеса проводов и тросов [1-4], а также для наглядного представления трехмерных графиков, а именно, напряженности электрического поля от двух координат точки, в которой производится измерение при постоянной высоте над поверхностью земли 1,8 м, необходимо разработать способ, в котором по сеточным данным будет построена гладкая поверхность. Эту задачу можно решить на основе разностных методов построения изогеометрических сплайнов

Теория сплайнов в основном базируется на двух подходах: алгебраическом (где сплайны понимаются как гладкие кусочные функции) и вариационном (где сплайны получаются путем минимизации квадратических функционалов с ограничениями типа равенства и / или неравенства) [5].

Гиперболические сплайны с натяжением остаются до сих пор весьма популярным аппаратом решения задачи изогеометрической интерполяции. Такие сплайны обладают достаточными для многих приложений свойствами гладкости и хорошо адаптируют поведение сплайна по отношению к данным. К сожалению, задача вычисления значений гиперболических сплайнов из-за ошибок округления и проблем переполнения является очень трудной.

* Доцент кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий», кандидат технических наук, доцент.

Предлагаемый подход к построению гиперболических сплайнов позволяет избежать вычисления гиперболических функций и сводит задачу их построения к решению системы линейных алгебраических уравнений с матрицей специальной структуры.

Интерполяционным гиперболическим сплайном 8 со множеством параметров натяжения называют решение дифференциальной многоточечной краевой задачи (сокращенно ДМКЗ). Интерполяционный бигармони-ческий сплайн £ с двумя множествами параметров натяжения:

{0 <ру < , = 0, ..., Ы,} = 0, ..., М + 1}

{0 < qij < , = 0, ..., N + 1,] = 0, ..., М}

Решение ДМКЗ:

д4£ | 2 д 4£ йй + дх 2ду2

д4 £ 'дУ4'

к

д2 £ ~дХТ'

д2 £ аУу

= 0

(1)

Для всех:

(хУ) єО„, р.. = тахр + р..+1Х ду = тах(9-. + дм,\ і = 0,...,N, у = 0,...М

д4 £ дх4

д4 £ ду4

Я 2 £

—Т = 0, х є (Хі,хт), і = 0,...,N, у = уу, у = 0,...,М +1 (2)

ах

2

= 0, х є (уу,уі+1), і = 0,...,М, х = хі, і = 0,...,N +1 (3)

С условиями интерполяции:

£(*,,У,) = /,, = 0, ..., N + 1, j = 0, ...,М + 1 и краевыми условиями:

£(2, 0)(х,, У,) = /!(2, 0),, = 0, N + 1,1 = 0, ., М + 1 ^ 2)(х,,У,) = /(0, 2),, = 0, ..., Ж + 1, ! = 0, М + 1 ^ 2)(х,, у,) = /(2, 2),, = 0, N + 1,! = 0, М + 1

(4)

(5)

Итак, интерполяционный бигармонический сплайн с натяжением 8 образован множеством бигармонических функций с натяжением, удовлетворяющих уравнению (1) и условиям интерполяции (4), таких, что они гладко состыкованы между собой и образуют дважды непрерывно дифференцируемую функцию по обеим переменным хи у:

При увеличении значений одного или более параметров натяжения получаемая при решении задачи (1)-(5) поверхность стремится к поверх-

ности, присущей исходным данным, и в то же время сохраняет свою гладкость. Таким образом, ДМКЗ дает разумный подход к решению задачи изогеометрической интерполяции.

Для практических целей часто нужно знать только значения решения 8 для ДМКЗ на некоторой заданной сетке, а не иметь для него какого-либо аналитического выражения. Рассмотрим конечно-разностная аппроксимация ДМКЗ. Это приводит к линейной системе алгебраических уравнений, решение которой называется сеточным решением. Очевидным образом сеточное решение не является сеточной выборкой значений функции 8, но обеспечивает некоторую ее аппроксимацию.

Пустьзаданы п,, т. е Ждля, = 0, ..., Nу = 0, ..., Мтакие, что к / п = I./ т. = = к. В общем случае требуется строить неравномерные сетки с шагами т,х = к, / п,, = 0, ., N и Ту = I) / ту,у = 0, ., М отдельно по переменным х и у.

Будем искать сеточную функцию:

{и^ф | к = -1, ..., ni + 1,, = 0, ..., N I = -1, ..., ту + 1,у = 0, удовлетворяющую разностным уравнениям:

, М}

Л2 + 2Л1Л 2 +л22 -

р-

Л, -

л.

,к: у1

= 0

к = 1,...,п, -1, , = 0,...,N; I = 1,...,т, -1, у = 0,...,М

(6)

^—> 2

Л2 - р, Л1

к V , /

ио-Л = 0

0, если у = 0,...,М-1

0, тМ, если у = М

(7)

Л*2 -

Г—Л2 I

л,

«а-.Л = 0

к =

0, если у = 0,...,N -1

0, п,

если у = N

Л,„

; I = 1,...,т. -1, у = 0,...,М

7 УУ; У,/ УУ

и,,к+1: у1 2и,к: у1 + и,,к-1: у1

(8)

Л,

и,,к: у, 1+1 2и,к: у1 + и,,к: у7-1

к2

Аппроксимация условий гладкости дает соотношения;

к

/

2

(к II

к

,к II

и

і-1,я,_і+І77

- и -1, И,._1 -1: ]1 ищ - и

2к 2к

А1иі-1Л_1+1-л = А1ию-л,1 = 1,-!N, 1 = 0,...,ту, і = о,

и -1 — и ; -г,

гк: ]-1,ту_1 гк: у0

иік:ї-1,т]_1 иік: у-1г т у-1 1 _ игк:у1 ~ игк: у,-1

2к

^2иік:у-1,ту_1 _ ^2игк:у0 к ~ 0,'

Условия (4) и (5) преобразуются к виду:

и.-п-.-п — /у , иы,пх:Л0 — /N+1,Л

им,пмМ,т ~ /и+Х^+Х

и

і0: у 0 .му>

гом ,тм /г,м+1,

г = 0,...,N ] = 0,...,М

,м

2к

г = 0,...,N, у = 1,

, м

(9)

(10)

(11)

_ /(2,0) N+1 у

л и = / (2’0)

•'Ч“00:у0 У0 у

^1и« ,ИN: у 0 = її _ /(0,2)

Л'0 _ /(0,2) У /.

Л1Л2и00:00 _ ./00

Л1А2и00М,тм ~ І0

м ^ г,м+1 _ /(2,2)

у = 0,..., м у = 0,..., м

у = 0,..., N у = 0,..., N

Л и = /(2’0)

^1м00м,тм ^0,м+1

Л и = /(2,0)

ІУ1М N ,п^ м ,тм ^0,м+1,м+1

Л и = / (0’2)

пп у N

N+1,0 _ /(0,2)

N ,тм ^ Ы+1,м+1

_ / (2,2)

J N

(2,2) 0,м+1

Л1Л 2UN ,пх :00 ДА и — /(

1^1^2йN,пмм,тм J N+1^+1

N+1,0 _ /(2,2)

(12)

Для решения полученной системы линейных алгебраических уравнений можно использовать методы последовательной верхней релаксации и дробных шагов дают практически одни и те же результаты. Метод дробных шагов сходится примерно в три раза быстрее, чем метод последовательной верхней релаксации. Однако число арифметических операций на каждом шаге метода последовательной верхней релаксации примерно в три раза меньше чем число таких операций в методе дробных шагов. Следовательно, скорость сходимости обоих методов примерно одинакова. Они также могут быть легко модифицированы для использования на многопроцессорных ЭВМ.

На рис. 1 показаны некоторые данные полученные в результате полевых экспериментов, в виде изогеометрических сплайнов, проходивших в течении года на действующей линии 500 кВ Барнаул-Новосибирск. Для интерпретации цветов на графиках необходимо пользоваться табл. 1, в ко-

иг-1,п,,+1:уі ~иї0-уі

торой указано цветовое соответствие амплитудному значению напряженности электрического поля по большей полуоси эллипса.

Таблица 1

Уровни напряженности электрического поля

б) вид сверху

Рис. 1. График напряженности электрического поля в пролете ВЛ (19.02.08 г = -16.7 °С, влажность = 72 %)

Список литературы:

1. Белицын И.В. Эллиптическое электрическое и магнитное поле электроустановок и метод их расчета / И.В. Белицын, А.В. Макаров, Б.С. Ком-панеец, Р.С. Старухин // Естественные и технические науки. - М., 2006. -№ 6. - С. 45-48.

2. Расчет электрического поля линии электропередачи (е1ро1е): Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2008614992

/ О.И. Хомутов, И.В. Белицын, Р.С. Старухин; правообладатель Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайский государственный технический университет им. И.И. Пол-зунова». - №2008614025; заявл. 02.09.2008.

3. Белицын И.В. Эллиптическое электрическое и магнитное поля электроустановок. метод их расчета и нормирования / И.В. Белицын, А.В. Макаров // Известия Томского политехнического университета. - Томск.

4. Белицын И.В. Алгоритм расчета электрического поля ВЛЭП на основе метода эквивалентных зарядов [Текст] / И.В. Белицын, А.В. Макаров // Пол-зуновский вестник. - Барнаул: Изд-во АлтГТХ 2007. - № 4. - С. 134-141.

5. Шакиров М.А.Теоретические основы электротехники. Новые идеи и принципы. Схемоанализ и диакоптика: учебное пособие / М.А. Шакиров. - СПб.: Изд-во СПбГТХ 2001. - 213 с.

СУБОПТИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

© Булычев Ю.Г.*, Булычев В.Ю.*, Челахов В.М.*, Коншин А.С.*, Квятковский В.Ю.*

Ростовский технологический институт сервиса и туризма, г. Ростов-на-Дону Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса,

г. Шахты

Ростовский военный институт ракетных войск

им. Главного маршала артиллерии М.И. Неделина, г. Ростов-на-Дону

Синтез перспективных цифровых информационно-измерительных систем, имеющих в своем составе разнесенные в пространстве устройства передачи и получения информации, требует обеспечения высокой достоверности и оперативности приема дискретных сигналов. В настоящем докладе рассматривается субоптимальный алгоритм дискрет -но-непрерывной нелинейной фильтрации.

В [1] на основе аппарата теории условных марковских процессов получены точные уравнения фильтрации дискретно-непрерывных марков-

* Профессор кафедры «Математика и информатика» РТИСТ, доктор технических наук, профессор.

* Аспирант кафедры Радиоэлектронных систем ЮРГУЭС.

* Адъюнкт кафедры Радиоэлектронной борьбы, специальных радиотехнических систем и защиты информации РВИРВ.

* Курсант РВИРВ.

" Курсант РВИРВ.