Структурирование в неизотермической экструзии композитного материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып.12.2010

УДК 539.376

СТРУКТУРИРОВАНИЕ В НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ЭКСТРУЗИИ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА1

Н. А. Беляева, Е. А. Прянишникова

Представлена структурная неизотермическая математическая модель экструзии композитного материала с использованием обобщенной модели Ньютона. Новизна предложенной модели состоит в совместном рассмотрении реодинамики, кинетики структурирования и температурного факторов.

1. Постановка задачи

Рассмотрим процесс выдавливания предварительно нагретого композитного сжимаемого материала из цилиндрической камеры в направляющий калибр той же формы, но меньшего радиуса (рис. 1). Ось симметрии заготовки примем за ось г, положительное направление которой противоположно движению поршня. Начало координат г = 0 свяжем с центром отверстия основания камеры. Вся область течения, таким образом, разделится на два отдельных участка: движение внутри камеры между перемещающимся поршнем г = Н{1) и выходным отверстием г = 0+, и течение внутри калибра между г = 0_ (входное отверстие в калибр) и свободной поверхностью г = — !/(£) , £ — время. Возмущениями в обеих областях при переходе из камеры в калибр пренебрегаем. Движение смеси в каждой из областей считаем одномерным с одной ненулевой компонентой скорости = V ф 0.

Введем массовые координаты (д, £), где £ — реальное время, массовая координата q имеет смысл относительной массы материала, находящейся между переменным сечением г и свободной поверхностью г = —!/(£),

1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП ’’Научные и научнопедагогические кадры инновационной России” на 2009-2013 годы, ГК № 02.740.11.0618

Беляева Н. А., Прянишникова Е. А., 2010.

I

1

Z

z = -ДО z = О

2 = Н(о

Рис. 1: Модель экструдера

таким образом,

М

где М — масса материала в указанном сечении, — площади се-

чений камеры и калибра, соответственно, /^1 — плотность несжимаемой основы материала, при этом плотность структуры определяется произведеним р • /?1, где р — /?(§,£) — относительная плотность среды. Для элементарных масс, движущихся в камере, выполняется условие Я* < Ч ^ а в калибре 0 < q < д*, где д* — элементарная масса, находящаяся на отверстии в момент времени £, д0 — массовая координата плунжера.

В рамках рассматриваемого одномерного подхода движение среды полностью определяется системой уравнений:

(1.1)

Срір Г1

2а

(Г1-Го); (1.2)

Срір Г2

2а

(Т2-Т0); (1.3)

ду_

дд

(1.5)

дУ

Огг = Офу = I — + £ ) Р~^)

начальные и граничные условия:

7^,0) = Т*;

Р

рЧр)

рКр)

*=0

дТ1

дд д=яо

дТ2

дд д=0

Ро(я), а

г=о

0;

= -Ь1{т1-т0)

= -Д2(Т2-Т0)

Я=Яо

д=0

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

Т1

= т-

я=я

д=д

-рХ(р)

дТ2

дд

я=я

(1.10)

<51 р1р{д*^)

(1.11)

да

дд

да

5=90 <9<?

= 0;

я=я

(1.12)

яя

= сто-

(1.13)

Здесь (1.1) —уравнение неразрывности, V = У(д^) — скорость течения материала; (1.1), (2.2) — уравнения теплопроводности в камере и калибре, соответственно, Т1 — температура в камере, Т2 — в калибре, с — теплоемкость материала, Л = Х(р) — коэффициент теплопроводности вещества, а — коэффициент теплообмена через боковые стенки [5]; (2.3) — диффузионно-кинетическое уравнение относительно степени структурирования среды а = а(д,£). Соотношения (3.4), (3.5) —

дифференциальные уравнения состояния вследствие обобщенной модели Ньютона. Здесь fi — /i(a, р, Т) = ро ехр ( — /3(Т — Т*) — к(1 — а))р1 и £ — £(а, р, Т) = 4/3 р(а, р, Т)(1 — р)-1 — сдвиговая и объемная вязкости. В начальный момент времени задана температура материала (3), распределение плотности и степени структуризации (4.6). Теплообмен с окружающей средой через плунжер и свободную поверхность выдавленного в калибр стержня учитывается условиями (5.7). Соотношения (5.8) означают непрерывность температурного поля и равенство тепловых потоков в камере и калибре на отверстии. Граничные условия (1.11) — следствие закона гидравлического сопротивления отверстия — определяют скорость материала на отверстии в камере и калибре, соответственно. Левая часть соотношения (1.12) означает непроникновение вещества через плужер, а правая — отсутствие изменения структуры материала при переходе из камеры в калибр; (1.13) — условие заданного напряжения на плунжере.

2. Определение параметров течения

Система (1.1) —(1.13) допускает частично аналитическое решение, а именно, удается выписать формулы для плотности (2.14) и скорости (2.15) в камере в виде квадратур:

Доуплотнения материала в калибре не происходит, поэтому в области 0 < § < </*, соответствующей калибру, плотность зависит лишь от массовой координаты д :

Здесь t* — момент прохождения указанной массы через отверстие.

4* р(М) (jMM) + f(M) q* < q< qo-

(2.15)

Выдавленный в калибр стержень движется с переменной скоростью того элементарного объема, который в рассматриваемый момент времени находится на отверстии. Указанная скорость определяется из закона сопротивления отверстия (1.11) и имеет вид

У(д*_,г)= к1^^т

рір(д*,і) '

Длина выдавленного в калибр стержня находится по формуле

Щ= Ґу(д*,т)сІт,

где 1^(#*,т) — скорость элементарного объема, находящегося на отверстии в момент времени т.

Степень структуризации и температура экструдируемого материала определяются численно с использованием метода прогонки. Для реализации указанного метода уравнения (1.1) — (2.3), начальные и граничные условия (3) — (5.8), (1.12) заменим разностными соотношениями [6]:

грі _ грі грі _______ грі _ грі _ грі

ІЗ і,3-1 І ^ т/ V і~1,3 _ 1 \ Різ Рі-1,3 ІЗ і-1,3

Рі^і

Ді,- А д ері і А д Ад

Л Г Ьг і 1,^ і ± 5<у І

-----------І--------------------------І-----------------------г

л л л7_,1 _ /т',1 л7_,1 _ О'Т’І ГТ11

Лц — Лі_і^ і—ІЛ і ^ л г+1,І и ^ 2—1,1

2а

і л \ г+1,^ ^ 1 г-І,,? ^ /лрі

-----А----------А--------ГрцЛц---------—--~2-----------------(і — і0) ,

А д Ад (Аду ^ срхг2р 4 4 '

г*+1 < і < п, і > 1;

гр2 _ гр2 гр2 _ гр2 ^ гр2 _ 2Т2 4- Т2

г7 і.і — 1 . г7 г—1,7 л г+1,7 г7 ~г—1,7

-д^“ + ^----------

----— (ї?- - Т„) , 1 < і < і * -1, з > 1;

сріг2р 7

ТІ, = ТІ, з > 1;

А. А./"* ~ = -Лі (Т^ - То) , і > 1;

РоіАо/^д^ = Л2 № - Т0) ,і > 1;

7^2 ___ ^2 ^2 _ гр2

і*Л 1,І _ _ _2 г*+1,.7 г*;<7 • \ -і .

Ад “5! Ад ’

^г—1,7 т-к (

л ’ =В [Р

Ад V

+0 -—__________________ь '■> ^_____________—

+Рг> Ад Ад

Щ—1^ Pij Рі—15<7

13 /; 1%?) + [1 - - а*] ехр(радд)},

г * +1 < г < п, ^' > 1; а^о = 0,г* < г < п;

^п_/ О'п—І^ ____________________ р. Щ*+1^ (1;і*хі

= 0^> 1.

3. Некоторые результаты численного эксперимента

Численное решение задачи, результаты которого представлены ниже в виде графиков, выполнено с использованием программы, разработанной в среде Ве1рЫ 7.0. Соответствующие значения параметров: д0 = 0.04м, г\ — 0.2 м, р1 = 1500кг/м3; р0 = 0.5 кг/м3, рт — 0.7кг/м3 — начальные значения плотности на отверстии и плунжере, соответственно; В — 10-5м/с2 — коэффициент диффузии, р = 0.02 Па-1 — константа, характеризующая интенсивность процесса деформации связей, Ро = 109 Па • с —вязкость несжимаемой основы материала, х — Ю-5 — отношение констант скоростей разрушения и восстановления структуры, к\ — 0.05 с-1 — коэффициент пропорциональности закона сопротивления отверстия, = 0.011с-1 — константа скорости восстановления структуры, ка = —3 — коэффициент пропорциональности в экспоненциальной зависимости вязкости от степени структуризации, т — 1/3 — степенная зависимость закона сопротивления отверстия, сг0 = —5 • 107Па, Л0 = 20Вт/(К • м), Т0 = 293К — температура окружающей среды, Т* = 2000 К — начальная температура заготовки, с = 1000 Дж, а — —0.25 • 10—2 К-1, /3 = 0, 01 К-1 — коэффициент пропорциональности в экспоненциальной зависимости сдвиговой вязкости от температуры, Н\ — 12, /г2 = 80 К-1 — константы, характеризующие теплообмен на плунжере и свободной поверхности выдавленного стержня. В начальный момент времени плотность материала распределена линейно

Предполагается, что на плунжере задано возрастающее усилие

Оценивается влияние степени структурирования, температуры на динамику параметров процесса. Для этого рассматриваются следующие зависимости сдвиговой (и, следовательно, объемной) вязкости:

ц = Но exp (~ka (1 - а)) р4, (3.16)

ц = Hq exp (-/5 (Т - Т*)) р4, (3.17)

/л = ро ехр (-/3 (Т - Т*) - ка( 1 - а)) р4, (3.18)

учитывающие прямое влияние степени структуризации среды (3.16), температуры (3.17) и их суммарное влияние (3.18). Приведенные гра-

Рис. 2: Массово-временное распределение степени структуризации

а — а(д, £) в камере

фики массово-временного распределения параметров процесса соответствуют моментам времени £(с) : 1(0), 2(3,82), 3(6,26), 4(8,83), 5(11,52), 6(14,29), 7(17,15), 8(20,08), 9(25,99), 10(29,03).

В работе [4] аналитически показано, что в случае большой вязкости экструдируемой среды (в данном случае /л = 109) распределение степени структурирования будет иметь в каждый момент времени однородный характер, что подтверждается численными экспериментами и в рассматриваемой работе (рис. 2). Пунктиром показано распределение степени структуризации в калибре. Наиболее структурированными оказываются элементарные массы, прилежащие к плунжеру. Массововременное распределение температуры, представленное на рис. 3, показывает ее существенное изменение вследствие наличия теплообмена через боковые стенки, плунжер и свободную поверхность выдавленного

т,к

т,к

а)

0 0,09 0,24 0,39 0,54 0,69 0,84 Ч/Чо б)

Рис. 3: Массово-временное распределение температуры Т — Т(д,£) а) — в камере, б) — в калибре;

б)

Рис. 4: Массово-временное распределение относительной сдиговой вязкости /1/11 о в камере; вычисление вязкости // = //(§,£) по формулам (3.16), (3.17), (3.18)

а) б)

Рис. 5: Массово-временное распределениескорости V = У(д,£) в камере; вычисление по формулам (3.16), (3.17), (3.18)

стержня. В соответствии с выбранными зависимостями (3.16) — (3.18) на рис. 4 представлено изменение вязкости, а на рис. 6 — плотности экструдируемой композиции. Однородное распределение степени структурирования среды объясняет характер изменения вязкости на рис. 4а — почти линейные подобные кривые, плотности (рис. 6а) — распределение подобно начальному линейному распределению. Значительные неоднородные изменения температурного поля приводят к существенно нелинейному распределению вязкости (рис. 46) и, соответственно, плотности материала (рис. 66).

Суммарное влияние структурного и температурного факторов (3.18) приводит к уменьшению вязкости (рис. 4) по сравнению со случаем (3.17) (рис. 46), выравниванию кривых плотности, более медленному уплотнению экструдируемой композиции (рис.бв).

Характер изменения вязкости отражается и на поведении скорости

Рис. 6: Массово-временное распределение плотности Р — р{ч^) в камере; вычисление по формулам (3.16), (3.17), (3.18)

текучей среды (рис. 5). Одновременный учет структурного и температурного факторов (рис. 5в) приводит к быстрому выравниванию скоростей большей части элементарных масс (за исключением масс вблизи отверстия) - наблюдается выход на режим выдавливания близкий к однородному. Кроме того, выдавливание в калибр основной части материала происходит со значительно большей по величие скоростью, по сравнению со скоростями, сооветствующими вязкости (3.16), (3.17) — рис. 5а,б.

Данная модель и результаты численного анализа были представлены на Всероссийской [8] и международной конференциях [9].

В заключение следует отметить, что в представленной модели, являющейся развитием структурного подхода к рассмотрению процессов деформирования материалов, оценивается влияние на свойства формируемых изделий не только температурного фактора, но и подтвержда-

ется необходимость учета изменения структуры деформируемой среды. Последнее очень важно для развития современной реологии: объектом деформирования является вязкий сжимаемый композитный материал.

Литература

1. Беляева Н. А. Математические модели деформируемых структурированных материалов. Монография. — Сыктывкар: Издательство СыктГУ, 2008. — 116 с.

2. Беляева Н. А., Стельмах JI. С., Столин А. М. Динамика твердофазной плунжерной экструзии вязкоупругого структурированного материала // Теоретические основы химической технологии. - 2008. - № 5. - С. 579-589.

3. Беляева Н. А., Стельмах Л. С., Пугачев Д. В., Столин А. М

Неустойчивые режимы деформирования при твердофазной экструзии вязкоупругих структурированных систем // ДАН. — 2008. - Т. 420, № 6. - С. 579-589.

4. Беляева Н. А. Влияние характерных времен на режимы твердофазной экструзии // Вестник Сыктывкарского университета. Сер 1. Вып. 9. 2009. С. 46-53.

5. Стельмах Л. С., Жиляева Н. Н., Столин А. М. Геодинамика и теплообмен горячего компактирования порошковых материалов // ИФЖ. - 1992. - Т. 63, № 5. - С. 612-622.

6. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М: Наука, 1983. — 616 с.

7. Беляева Н. А. Деформирование вязкоупругих материалов с изменяющейся структурой // Вестник Сыктывкарского университета. Сер 1. Вып. 11. 2010. С. 52-75.

8. Беляева Н. А., Прянишникова Е. А. Неизотермическая математическая модель экструзии вязкоупругого структурированного материала // Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», 3-6 июня 2010 г., г. Самара: Самарский государственный технический университет. С. 281-283.

9. Беляева Н. А. Неизотермическая модель экструзии структурированного композитного материала // Труды международной научно-технической конференции «Нанотехнологии функциональных материалов (НФМ’10)», 22-24 сентября 2010 г., Санкт-Петербург: Издательствово Политехнического университета.

С. 537-539.

10. Прянишникова Е. А., Беляева Н. А. Структурная неизотермическая математическая модель экструзии сжимаемого композитного материала. Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам РФ, Реестр программ для ЭВМ. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2010614082, 19 октября 2010 г.

Summary

Belyaeva N. A., Pryanishnikova Е. A. Granularity in a nonisothermal extrusion composite material

The structural mathematical model of non-isothermal extrusion of a composite material using a generalized model of Newton is presented. The novelty of the proposed model is the joint consideration of Reo-Dimamics, kinetics of structuring and temperature factor.

Сыктывкарский госуниверситет

Поступила 15.09.2010