Математическое моделирование в задачах экструзии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. С ер Л. Вып. 15.2012

УДК 539.376 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ

ЭКСТРУЗИИ1

Н. А. Беляева, Е. А. Прянишникова

Представлен обзор математических моделей экструзии пористого вязкоупругого композитного сжимаемого материала из цилиндрической камеры в направляющий калибр под действием плунжера пресса. Приведены результаты численного эксперимента по изучению влияния ультразвуковой волны на экструдируемый материал.

Ключевые слова: экструзия, композитный материал, реодинами-ка, структурообразование, теплообмен.

1. Введение

Одним из направлений научных исследований кафедры математического моделирования и кибернетики Сыктывкарского университета является математическое моделирование процессов деформирования вязкоупругих структурированных систем. В рамках этого направления разработан ряд математических моделей [1] процессов уплотнения и экструдирования пористого композитного материала из цилиндрической камеры в направляющий калибр под действием плунжера пресса. Программные модули расчетов параметров течения, выполненные в среде Code Gear Studio, объединены в единый вычислительный комплекс “Твердофазная экструзия” [2] , используемый в научнообразовательном процессе студентов и аспирантов кафедры.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП “Научные и научнопедагогические кадры инновационной России” на 2009-2013 годы, ГК № 02.740.11.0618

© Беляева Н. А., Прянишникова Е. А., 2012.

2. Программный комплекс

Указанные выше математические модели экструзии вязкоупругого структурированного сжимаемого композитного материала выполнены в лагранжевых (массовых) координатах, в предположении одномерности течения. В качестве граничных условий на плунжере принимается условие заданного усилия [3] или заданной скорости [4]— [6]. В процессе течения материала в камере и калибре опредяются плотность материала, скорость движения, вязкость, степень структурных изменений, напряжение в камере, длина выдавленного в калибр стержня. В неизотермической модели [7], [8] дополнительно к указанным параметрам на основе начальных и граничных температурных условий определяется динамика температурного поля и учитывается её влияние на характре-ристики процесса. При условии заданного усилия на плунжере пресса сравнением характерных времен выдавливания, уплотнения и структуризации определены характерные режимы экструзии, определяющие свойства формуемого длинномерного изделия [9], [10].

Составной частью каждой математической модели является алгоритм численного анализа и соответствующая вычислительная программа. Разработанные программы твердофазной и горячей моделей экструзии являются основой вычислительного комплекса “Твердофазная экструзия” - рис. 1.

Работа с комплексом начинается с ввода начальных данных экструдируемого материала и технологических параметров процесса: начальное распределение плотности, степени структуризации, начальная температура, усилие на плунжере или скорость перемещения плунжера, вязкость несжимаемой основы, параметры, характеризующие геометрию экструдера. Выбор соответствующей программы позволяет определить режим экструдирования и получить в графическом или численном виде результаты проведенного численного эксперимента — динамику изменения плотности, вязкости, степени структурирования материала, скорости течения, напряжения,температуры как в камере, так и в формующем калибре, время выдавливания. Полученные данные позволяют определить свойства выдавленного стержня: распределение плотности, степени структурированности, длину сформированного изделия.

На рис. 1 обозначены программы, входящие в настоящее время в состав комплекса:

— Экструзия с заданным усилием на плунжере [11]: на плунжере пресса задано давление. В условиях соответствующей построенной модели напряжение в камере совпадает с напряжением на плунжере. Характер течения и свойства формируемого изделия сильно зависят от

начальных условий, выбора технологических параметров задачи.

Технологические

Свойства

выдавленного

стержня

Рис. 1: Вычислительный комплекс “Твердофазная экструзия”

— Экструзия с условием постоянства скорости плунжера пресса на основе обобщенной модели Максвелла [6,12]: задана скорость перемещения плунжера. Реализация данной программы позволяет наблюдать как устойчивые, так и неустойчивые режимы экструдирования, выраженные в колебаниях вязкости и напряжения в камере. Дополнительный численный анализ, заключающийся в использовании уравнения движения (вместо уравнения равновесия в предыдущей программе) позволяет на основе сравнения результатов подтвердить правомерность замены уравнения движения на уравнение равновесия.

— Экструзия с условием постоянства скорости плунжера пресса на основе обобщенной модели Ньютона [5]: в отличие от предыдущей программы дифференциальное уравнение состояния описывается на основе обобщенной модели Ньютона.

— Неизотермическая экструзия [13]. Программный пакет представляет численную реализацию модели горячей экструзии. Динамика температурного поля определяется при условии теплообмена с окружающей средой через боковые поверхности экструдера, плунжер, свободную

поверхность выдавленного в калибр стержня. Температурный фактор оказывает существенное влияние на все остальные параметры течения (вязкость, плотность, степень структурированности движущейся среды). Указанное влияние можно оценить по графическому представлению динамики изменения основных характеристик течения.

— Характерные режимы экструзии [14]. В областях реализации характерных режимов экструзии - квазистационарный, стационарный, переходный, „пробковый “ - определяется динамика течения и, следовательно, свойства формуемого длинномерного изделия. Программа реализована в безразмерных координатах, что позволяет проводить широкий численный эксперимент.

3. Влияние ультразвуковой волны

В рамках договора между Институтом структурной макрокинетики и проблем материаловедения РАН (г. Черноголовка) и математическим факультетом (Институт точных наук и информационных технологий) Сыктывкарского государственного университета реализована программа численного анализа [15] влияния звуковой волны на процесс экструзии (изотермической и неизотермической)композитного материала. Указанная программа является составной частью выше представленного вычислительного комплекса.

За основу данного исследования выбраны изотермическая модель экструзии [6] на основе обобщенной модели Максвелла и неизотермическая модель экструзии [8] на основе обобщенной модели Ньютона: изменения связаны с введением волнового коэффициента ку в выражение для вязкости:

г) = Ма(9, *),Т(д, г), р(д, г))ку, где 11 — сдвиговая вязкость композита, а - степень структуризации, р — относительная плотность, Т — Х(</, £)— температура материала. Таким образом, постановка задачи для случая изотермической модели в лагранжевых координатах (#,£), где массовая координата q - относительная масса материала, находящегося между переменным сечением г и свободной поверхностью выдавленного стержня, £ — время, примет

вид:

dp 2dV ,

’ ( 4

= 0, (3.2)

. G _ 9V

°т Jtaqq ~ aq^

да тг да ^ 9д2а , г„ , „ч

l)i+ ~dq = [ аХехР(Ра^ (3-4)

начальные и граничные условия:

p\t=0= po{q), (3.5)

П=о= °> (з-6)

V(0 t) = -—^^V( О t)= kl^m (3 7)

( +’ } 5i PlP(0, t) ’ ( ’ } PlP(0, f) ’ ( }

& |t=o= ao? (3-8)

da dq

da

q=q0 dq

q=q

= 0, (3.9)

здесь (3.1) — уравнение неразрывности, V = V(q,t) — скорость течения материала, р — p(q,t) — относительная плотность, po(q) — начальное линейное распределение плотности, соотношение (3.2) — уравнение равновесия, а — напряжение, (3.3) — обобщенная модель Максвелла, описывающая вязкоупругое поведение среды, здесь р = Ро exp (—kа (1 — ft)) ку — структурная вязкость материала, G = p/tr

— модуль сдвига, aqq — осевая компонента тензора напряжений. Соотношения (3.7) — следствие закона гидравлического сопротивления отверстия, pi — плотность несжимаемой основы материала, Si, S2, &ъ &а, т — технологические параметры процесса, (3.4) — диффузионнокинетическое уравнение относительно степени структуризации a, D — коэфициент диффузии, — константа скорости воссановления струк-труры, х — отношение констант скоростей разрушения и образования структуры, р — константа, характеризующая снижение эффективной энергии активации разрушения структуры под влиянием сжимающего напряжения, ао — начальное распределение степени структуризации, q0 — элементарная масса, находящаяся на плунжере, д* — элементарная масса, находящаяся на отверстии в момент времени t.

В случае использования неизотермической модели в системе (3.1) — (3.9) вместо равенства (3.3) используются соответствующие модели

Ньютона соотношения:

/ 4 Л 8V (2 Л 8V /о .

— I ^ ) Р~dq ’ °rr ~ Gw ~ 1 _ 3^ / ^~dq ’ (3.10)

где (3.10) — дифференциальное уравнение состояния на основе обобщенной модели Ньютона, /л = /л0 ехр (—/? (Т — Т*) — ka (1 — а)) р1/2 ку, £ = /i/(l — р) — структурная и объемная вязкости, соответственно. Заметим, что здесь, в отличие от модели Максвелла, тензор напряжений имеет три ненулевые копмоненты: сqq, о>г, оw — осевая, радиальная и окружная, соответственно. К полученной системе уравнений изотермической экструзии добавится уравнение переноса тепла с соответствующими начальными и граничными условиями:

дТ1 ЗТ^_ _ 1 д / дТг\ 2а

dt ^ dq cpi dq v ^ dq ) cpip r\

1 \ 2 cm

-)----------(T1 — T0), (3.11)

/ СОлО Тл

+ (3.12)

at oq cpi ozq cpip r2

Tl\=T\ (3.13)

dT2

S-2 ... dT1

TlL„-=TX=^pA(p)^- , (3.14)

dT1

9=90

vr/ dq

dT2

9=9

pA(p)—- = —/ii(Tx — T0) ,pA(p)—- = —/г2(Т2 — T0)

9=0

9=0

(3.15)

Т = Т(<7,£)— температура (Т1 — в камере, Т2 — в калибре), Т*, Т0 — начальная температура вещества и температура окружающей среды, соответственно, с— теплоемкость материала, Л = Л(р)— коэффициент теплопроводности вещества, а — коэффициент теплообмена через боковые стенки. Равенства (3.15) задают конвективного теплообмена с окружающей средой. (3.14)— непрерывность температурного поля (первое соотношение) и равенство тепловых потоков в камере и кабире на отверстии.

В ходе численного эксперимента варьировалось значение коэфици-ента ку. Ниже представлены некоторые результаты проведенного исследования.

С уменьшением коэфициента ку уменьшается вязкость материала (рис. 2), при этом теплообмен с окружающей средой происходит интенсивнее; быстрое остывание образца влечет за собой увеличение плотности выдавливаемого стержня (рис. 3). При £^=0,2 (рис. За)) массы, прилежащие к плунжеру, выдавливаются полностью уплотненными. При

q/qO

q/qO

a) ky=0,2; t(с): 1(0), 2(6,00), б) ky=1; t(c): 1(0), 2(6,25),

3(11,53), 4(17,72), 5(24,14), 6(30,6) 3(11,51), 4(17,14), 5(23,01), 6(28,99)

q/qO

в) £^=10; t(c): 1(0), 2(5,16), 3(8,88), 4(12,84), 5(17,01), 6(21,5)

Рис. 2: Массово-временное распределение структурной вязкости fi — n(q,t) в камере (неизотермическая модель экструзии)

больших значениях ку градиент плотности возрастает по длине выдавленного стержня. Более плотный образец выдавливается медленее: при £^=0,2 время выдавливания составляет 31,24 с, при ку—1 — 29,7 с, при £^=10 — 22 с.

Аналогично в изотермической модели (рис. 4): при £^=0,2 время выдавливания составляет 2509,51 с, при ку—1 — 1595,15 с, при £^=5 — 1153,58 с.

О 0,09 0,24 0,39 0,54 0,69 0,84 0,99

д/дО

а) ку=0,2; £(с): 1(0), 2(6,00),

500 400 £/цО 300

О 0,09 0,25 0,4 0,53 0,68 0,84 0,99

о/до

б) ку=1; *(с): 1(0), 2(6,25),

3(11,53), 4(17,72), 5(24,14), 6(30,6) 3(И’51)> 4(17Д4)> 5(23,01), 6(28,99)

(ДО

в) ^=10; *(с): 1(0), 2(5,16), 3(8,88), 4(12,84), 5(17,01), 6(21,5)

Рис. 3: Массово-временное распределение плотности р = р(д,£) в камере (неизотермическая модель экструзии)

При ку > 1 экструдируемый композит практически не уплотняется (рис. 3 в), 4 в)) — материал выдавливается с плотностью, близкой по значению к начальной, поэтому образец экструдируется достаточно быстро.При очень больших значениях ку вязкость сильно увеличивается, именно этот факт способствует замедлению теплообмена с окружающей средой и приводит к замедлению уплотнения материала.

Таким образом влияние звуковой волны в процессе экструзии материала приводит к качественному изменению физических свойств формируемого изделия.

0,25 0,5

а) ку=0,2; *(с): 1(0), 2(410,92), б) ку=1; *(с): 1(0), 2(328,29), 3(864,81), 4(1367,87), 5(1824,67), 3(653,69), 4(1000,04), 5(1332,10),

6(2220,36) 6(1594,19)

Ук 0

309,4 601,0 887,1 1153,

в) ку=5; *(с): 2(249,79), 3(483,54), 4(715,41), 5(941,79), 6(1152,62)

Рис. 4: Массово-временное распределение плотности р = р(д,£) в камере (изотермическая модель экструзии)

4. Двумерная модель

Продолжением развития математических моделей процесса экструзии сжимаемого композитного материала является представленная ниже двумерная модель, в которой делается попытка учета трения о боковые стенки экструдера и переходной зоны между камерой в калибром -формующей матрицы (рис. 5). При таком подходе движение экструдируемого материала рассматривается в трех областях — камера (I), формирующая матрица (II) и калибр (III), куда происходит выдавливание длинномерного изделия.

Процесс течения, структурирования с учетом температурного фактора описывается следующей системой уравнений:

Рис. 5: Модель экструдера

p\f ~^)+(1гу(Т1) = 0, (4.17)

+ Ч (4.18)

& М /1

рс (^ + Т^Ут) = сИу(У\7Т) + агк, (4.19)

~К~ + ^ ‘ 9га(^а = ИАа + <р(щ 7). (4.20)

С/ V

Соотношения (4.16), (4.17) — уравнения неразрывности и движения, соответственно, (4.18) — дифференциальное уравнение состояния (обобщенная модель Максвелла), здесь Г — тензор скоростей деформации, 11 — вязкость экструдируемой среды, П = = {г,

Соотношение(4.19) - уравнение переноса тепла, (4.20) - диффузионнокинетическое уравнение относительно степени структурирования материала.

На плунжере, свободном конце выдавленного в калибр стержня и на стенках камеры задаются начальные и граничные условия.

Предполагается, что заготовка осесимметрична, т.е. функции, описывающие поведения материала, не заисят от угла поворота (р: р = р(г,г,г), = (Уг(г,г,г), У<р(г, г,г),Ух(г, г, г)), <7у = (Тц(г,г,г), Т =

Т(г, £, £), а = а(г, г, £).

Тангенциальные напряжения, в силу осесимметричности задачи, тГ1р и положим равными нулю, тогда угловая компонента скорости У^ =

0. Пусть сила трения материала о стенки камеры имеет одну ненулевую компонентуу Рг: = (0,0, .Рг).

В рамках принятых допущений, система (4.16) — (4.20) в проекциях на оси координат запишется в виде:

др 1 т, дрЛГ дУг дртг дУг п /ЛП,.

— + ~рУг + -ТГ-Уг + Р~^----У- г + Р~^~ — 0? (4-21)

дъ г дг дг дг дг

, дУг тгдУг тг дУг\ дагг агг — дтт% .,

р[~яГ + У*1Г + У*1Г = ~1Г + ----- + 422

' аі дг дг ) дг г ог

дУх лгдУг дУг\ дтгг тгг ,

р [-яг + уг-їг + у*іг І =іг1 + ^г1 + — > 423

оі ог ог / ог ог г

1 / дагг до гг дагг \ дУг 1 , .

с 1~эГ +1 ;^Г + %~аг) = ~а7~ (4'24)

\ дУг дУг 1 .

) — ~Б------~Б-----------Гг2’ (4-25)

/ дг дг и

1 /дтгг дтгх ,гдтгя\ _ дУг дУх 1 в V дЬ дг г дг )~ дг дг “

= (,26)

лгдог% лгдогг\ дУг 1

с \~т + Уг~&Г + %) ¥' 7“' ( 7)

(дт дт яг\ _ (<?т_ д*т\ дт /а а\\

^ \ ей г дг 2 дг) \ дг2 дг2 / дг \ г дг) ~*~

атдА ауг /ак аул .

"'""я-я—^ агг~я ^ Гг2 ( "7>----^ "7>— ) —’ (4.28)

ог дг дг V дг дг ) дг

да да да f д2а 1 да д2а

dt ^ r дг ^ z dz \ дг2 г дг дг2 ^ ~*~

+&2 [1 — а — ахехр(рсг)],

с начальными

t=о

Аъ К

t=о

= 0,У,

4=0

= о,т

t=о

= Т*п, а

t=о

= 0,

(7Г

t=0

= 0,(7,

ч>ч>

t=о

= 0,<Т*

4=0

= 0, тг

= о

t=о

и граничными условиями

К

z=H{t)

= Vb,

(4.29)

(4.30)

(4.31)

(4.32)

дТ

А(р)

z=H(t)

дТ

dz

2 = 0

А(Р)

ат

<9г

r—R\

— —h\{T — Т0) = h2{T-T0) = -h(T-T0)

z=H{t)

z=0

r=#i

(4.33)

да да да

дг r=Ri dz z=H(t) dz 2 = 0

= 0.

(4.34)

Указанная система уравнений решается численно с использованием метода дробных шагов и метода прогонки.

Таким образом, предсталено развитие математических моделей плунжерной экструзии вязкоупругого композитного сжимаемого материала. Востребованность проделанной работы подтверждается наличием договора между ИСММ РАН и СыктГУ.

Литература

1. Беляева Н. А. Деформирование вязкоупругих структурированных систем: монография. — Lap Lambert Academic Publishing GmbH & Co. KG, Germany, 2011. —200 c.

2. Беляева Н.А., Камбуров Д. М. Вычислительный комплекс "Твердофазная экструзия"// Вестник Сыктывкарского университета. Сер 1: математ., мех., информ.. Вып. 14. 2011. С. 111-124.

3. Belyaeva N.A., Stolin A.M., Stelmakh L. S. Dynamic of Solid-State Extrusion of Viscoelastic Cross-Linked polymeric Materials // Theoretical Foundations of Chemical Engineering, — 2008. Vol. 42. — № 5. - P. 549-556.

4. Беляева H. А., Стельмах JI. С., Пугачев Д. В, Столин А. М Неустойчивые режимы деформирования при твердофазной экструзии вязкоупругих структурированных систем // ДАН. — 2008. — Т. 420, № 6. - С. 579-589.

5. Беляева Н. А., Никонова Н. Н. Структурная модель экструзии с использованием обобщенной модели Ньютона // Вестн. Сыктывкарского ун-та. Сер.1: математ., мех., информ. Вып.10. 2009. С. 83-90.

6. Беляева Н.А., Спиридонов А. В. Уравнение движения в одномерной модели экструзии // Вестн. Сыктывкарского ун-та. Сер.1: математ., мех., информ. Вып. 10. 2009. С. 91-96.

7. Беляева Н.А., Прянишникова Е. А. Структурирование в неизотермической модели экструзии композитного материала // Вестн. Сыктывкарского ун-та.- Сер.1: математ., мех., информ. Вып. 12. 2010. С. 97-108.

8. Беляева Н.А., Прянишникова А. А. Структурно-температурная модель экструзии композитного материала// В мире научных открытий. Математика. Механика. Информатика. №. 1. 2011. С. 131— 139.

9. Беляева Н. А. Характерные времена в структурной модели твердофазной экструзии / / Труды XVI Зимней школы по механике сплошных сред (Механика сплошных сред как основа современных технологий). Электронный ресурс: оптический диск CD. Тезисы докладов. Пермь: ИМСС УрО РАН, 2009. С. 60.

10. Беляева Н. А. Влияние характерных времен на режимы твердофазной экструзии / / Вестник Сыктывкарского университета. Сер

1. Вып. 9. 2009. С. 46-53.

11. Беляева Н.А., Смолев JI.B. Экструзия с заданным усилием на плунжере пресса // Федеральное агентство по образованию. ОФАП. Свид. об отрасл. регистрации разработки JV2 7945. 30.03 2007.

12. Беляева Н.А. Твердофазная экструзия с условием постоянства скорости плунжера пресса // Федеральное агентство по образованию. ОФАП. Свид. об отрасл. регистрации разработки № 7946. 30.03 2007.

13. Беляева Н.А., Прянишникова Е. А. Структурная неизотермическая математическая модель экструзии сжимаемого композитного материала. Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам РФ, Реестр программ для ЭВМ. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2010616996, 19 октября 2010 г.

14. Беляев Д.Ю., Беляева Н.А. Характерные режимы твердофазной плунжерной экструзии вязкоупругого сжимаемого композитного материала. Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам РФ, Реестр программ для ЭВМ. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2010615794, 7 сентября 2010 г.

15. Беляева Н. А., Прянишникова Е. А. Структурная математическая модель экструзии пористого вязкоупругого материала на основе обобщенной модели Максвелла с учетом влияния звуковой волны. Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам РФ, Реестр программ для ЭВМ. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2012612232, 29 декабря 2011 г.

Summary

Belyaeva N. A., Pryanishnikova Е. A. Mathematical modeling in the extrusion

The structural mathematical model of non-isothermal extrusion of a composite material using a generalized model of Newton is presented. The novelty of the proposed model is the joint consideration of Reo-Dimamics, kinetics of structuring and temperature factor.

Keywords: extrusion, composite material, Reo-Dimamics, structurization, heat exchange.

Сыктывкарский государственный университет Поступила 07.06.2012