Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 16.2012
УДК 539.376
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКСТРУЗИИ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА
Н, А. Беляева7 Е, А. Прянишникова
Представлено решение задачи о выдавливании сжимаемого композитного материла из цилиндрической камеры в направляющий калибр под действием плунжера пресса через формующую матрицу с применением метода усреднения.
Ключевые слова: экструзия, сжимаемый композит, реологические уравнения, метод усреднения.
1. Введение
Работа является продолжением [1] — [7] исследований композитных сжимаемых структурированных материалов в процессах плунжерной экструзии, проводимых на кафедре математического моделирования и кибернетики Сыктывкарского государственного университета. Так в работах [1] — [4] рассматриваются математические модели изотермической экструзии вязкоуигугого композитного структурированного материала, в [5] — [7] представлена модель неизотермичекой экструзии.В работе [7] анализируется влияние ультразвуковой волны на процесс уплотнения материала. В настоящей работе рассматривается двумерная постановка задачи с учетом трения материала о стенки камеры и формующей матрицы — переходной зоны между камерой и калибром.
2. Постановка задачи
Рассмотрим математическую модель плунжерной экструзии композитного сжимаемого материала с учетом переходной зоны между камерой в калибром - формирующей матрицы (рис. 1): движение экструди-руемого материала происходит в трех областях — камера (I), формующая матрица (II) и направляющий калибр (III).
Н. А., Прянишникова Е. А., 2012.
Рис. 1: Модель экструдера
Такой процесс описывается системой уравнений относительно плотности материла, р, скорости движения тензора, напряжений П, температуры Т и степени структурирования среды а:
^ + div(p?) = 0, (1)
p(^-^+div(U) = 0, (2)
П = (^р + (с - ^ divtf)^ I + 2/хГ, (3)
pe (j^- + ?Vt) - dw(XVT) + alk7 (4)
—^ ' grada = DAa + íp(u, 7). (5)
С/V
Соотношения (1), (2) уравнения неразрывности и движения, соот-В6ТСТВ6ННО, (3) дифференциальное уравнение состояния (обобщенная модель Ньютона), здесь Г тензор скоростей деформации, I — единич-
.. г 1
нын тензор, /у. — сдвиговая вязкость экструдируемои среды, £; = -// —
вторая (объемная) вязкость, П — {с7{j,i,j — {r,(p,z}}. Соотношение (4) - уравнение переноса тепла, (5) - диффузионно-кинетическое уравнение относительно степени структурирования материала.
Предполагается, что заготовка осесимметрична, т.е. функции, описывающие поведение материала, не заисят от угла поворота (р: р = p(r,z,t), V = (Vr(r,z,t), У9(г, z,t),Vz(r, z,t)), = aij(r,z,t), тангенциальные напряжения тГ1р и tvz положим равными нулю, тогда угловая компонента скорости V^ = О, Т = T(r, z,t), a = a(r, z, t).
Предположим, что радиальная компонента скорости Vr равна нулю.
В рамках принятых допущений рассмотрим решение уравнений (1) — (3) системы (1) — (5), запишем их в проекциях на оси координат:
дР . dp dVz (
дсггг дтГг _^
дг dz '
дтгг ^ d(7zz ^ rrz _q
дг dz г 7
-о ££1л
Trz — Z/i ,
(7)
(8) (9)
— <7rr
2 \ ÔV
Г dz ?
(10)
L 4 \ <)\ :
(и)
с начальными и граничными условиями:
Р
t=о
= Po,Vi
0, <7Г
t=о
t=0
—
t=о
= о, azz
t=о
0) Trz
t=о
0,(12)
тг.
r=R±
Tfr,V:
— о д±
u? о
r=Ri OZ
z=H(t)
= 0.
(13)
3. Метод усреднения
Для решения поставленной задачи применим метод усреднения по радиусу [8] к реологическим соотношениям Ньютона (9) —(11). Среднее значение функции /(г) будем находить по правилу:
Дг)= ^ / г/(гМг-
1 I)
Усредним соотношение (9):
тгх — 2р
дУ^ дг
здесь тгх— среднее значение по радиусу функции тгх. Преобразуем правую часть полученного равенства:
¿ц — ¿и, • , дг иг
дг Щ У дг
_ 2_ [ од\
О
О
Согласно граничным условиям г2\
2Т/
2
О
07 тогда
_ = -2
о
2 гУ?(1г
Найдем среднее значение радиуса г:
|?1
--А [ 2л - 2_(г1Вл\ - 2-
г ~ д? у г ~ я? V з о ) ~ щ' з ~ з ь
тогда
ш/
дг г
2Г
ЗГ
2 3
Преобразованное таким образом соотношение (9) зшшшбтся & виде.
Среднее значение касательного напряжения тгя найдем из второго соотношения в (13): поскольку функция, усредненная по раду псу. ее значение от г не зависит, а значит,
— Тгг
г=Я,1
т/г
Система уравнений, определяющих напряженно-деформированное состояние экструдируемого материала примет вид:
др дртг дУг
тгг + К + р^г = О,
оъ ох ог
догг ^ дтГ!; _^
дг дг '
дтгг дстгг тг% _^
дг дг г 7
--г. Р т т
т" = ~6т» ____(2^
дУ дг
, 1 \дУг
о77 — ! 4 + -р,
дг
начальные и граничные условия:
Р
<=о
= РО, V;
<=о
= 0,
(7 г
¿=0
- 0,
Г Г, -
— 0, (722 — 0, ттг
<=0 <=о
-о,
<=0
т/г
др
дг
2=Я(<)
0.
Из соотношения (17) выразим среднее значение скорости:
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20) (21)
(22)
Из соотношений (15)—(16) на основании среднего значения скорости найдем угловую, радиальную и осевую компоненты напряжения; используя уравнение (14), определим плотность экструдируемого материала.
4. Некоторые результаты численного эксперимента
Численное решение задачи выполнено с использованием программы, разработанной в среде С odeG ear Studio. Ниже представлены некоторые результаты численного эксперимента для начального линейного распределения плотности
Po(z) =ро + {рш ~ Pa) На рисунках 2 4 представлена динамика изменения усредненных
Рис. 2: Распределение усредненной плотности р = p(z,t) в камере; i(c) : 1(1,09), 2(1,39), 3(1,69), 4(1,98), 5(2,18)
плотности, скорости и напряжения в камере и матрице, представленные варианты счета показывают монотонный характер поведения функций, описывающих течение материала.
Значения параметров задачи: — 0,2 м, П2 — 0.04 м, радиусы камеры и калибра, соответственно, р\ = 1500 кг/'м3, р0 = 0.5 кг/м3 на-Ч&ЛЬНОС ЗН&ЧбНИб ПЛОТНОСТИ На отверстии ? Ртгь ~~
0.7 кг/м — начальное
значение плотности на плунжере ? — 10' Па. - с вязкость несжимаемой основы материала, т/у = 10' Па. Время выдавливания составляет 2,43 с.
Рис. 3: Распределение усредненной скорости V- = V-(z, t) в камере; условия на рис.2
Рис. 4: Распределение усредненной осевой компоненты напряжения ахх = а .¿.¿{г, ¿) в камере; условия на рис.2
Литература
1. Беляева H.A. Математические модели деформируемых структурированных материалов. Монография. — Сыктывкар: Издательство СыктГУ, 2008. — 116 с.
2. Беляева Н. А. Влияние характерных времен на режимы твердофазной экструзии // Весгпп. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1. Вып. 9. 2009. С. 46-53.
3. Беляева Н. А., Спиридонов А» В. Уравнение движения в одномерной модели экструзии // Вестн. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1. Вып. 10. 2009. С. 91-96.
4. Беляева Н. А. Влияние характерных времен на режимы твердофазной экструзии // Весгпп. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1. Вып. 9. 2009. С. 46-53.
5. Беляева Н. А., Прянишникова Е. А, Структурирование в неизотермической модели экструзии композитного материала // Веетп. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1. Вып. 12. 2010. С. 97-108.
6. Беляева Н. А., Прянишникова Е. А. Математическое моделирование в задачах экструзии // Вестп. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1. Вып. 15. - 2012. - С. 31-44.
7- Беляева Н, А., Прянишникова Е, А. Структурная математическая модель экструзии пористого вязкоупругого композитного материала на основе обобщенной модели Максвелла с учетом влияния звуковой волны. - Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам РФ, Реестр программ для ЭВМ. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2011660240.'—29 февраля 2012 г.
8. Худяев С, И. Пороговые явления в нелинейных уравнениях. Монография. — М: Физматлит, 2003. — 272 с.
Summary
Belyaeva N. A., Pryanishnikova Е. A. The averaging ixi с t li о d m
the problem of mathematical modeling of composite extrusion
The solution of the problem of compressible composite extrusion to material, of a cylindrical chamber in the guide under the gauge plunger press through a matrix using the method of averaging. Keywords: extruzion, compressible composite, reological equations, the method of averaging.
Сыктывкарский государственный университет, Поступила 20-12-2012