Структура некоторого квазилинейного дифференциально-разностного оператора, допускающего вариационный принцип Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.972.5

Структура некоторого квазилинейного дифференциально-разностного оператора, допускающего вариационный

принцип

И. А. Колесникова

Кафедра математического анализа и теории функций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д.6, Москва, 117198, Россия

В статье исследуется на потенциальность оператор на заданной области определения и относительно некоторой билинейной формы. В случае потенциальности строится соответствующий функционал. В случае непотенциальности заданного оператора рассматривается метод нахождения вариационного множителя.

Ключевые слова: дифференциально-разностные уравнения, функционально-дифференциальные уравнения, вариационный множитель, обратная задача вариационного исчисления, вариационный принцип, уравнения с отклоняющимися аргументами.

1. Введение. Постановка задачи

Работа посвящена изучению квазилинейного дифференциально-разностного оператора с частными производными. Разработка вариационного метода исследования дифференциального уравнения N (и) = f тесно связана с обратной задачей вариационного исчисления (ОЗВИ) и исследованием решения этой обратной задачи в смысле отыскания функционалов Р[и], содержащих производные от неизвестной функции и меньшего порядка, чем уравнение N (и) — f = 0 и таких, что множество решений исследуемого уравнения совпадает с множеством критических точек построенных функционалов.

Однако все преимущества вариационных принципов в течение длительного времени удавалось использовать лишь для узкого класса потенциальных операторов.

Существует потребность в получении вариационных принципов для новых классов операторов.

Задачи, допускающие вариационную формулировку, позволяют существенно ослабить математические ограничения, накладываемые на искомые решения, а также использовать эффективные методы для исследования их свойств.

В случае непотенциальности заданного оператора можно рассматривать задачу об отыскании вариационного множителя [1].

Наиболее привлекательным классом функционалов — решений ОЗВИ для дифференциальных уравнений является класс функционалов Эйлера. Исследование проблемы построения искомых функционалов начинается с проверки выполнения условий потенциальности соответствующих операторов. Для дифференциальных уравнений без отклонения аргументов имеются эффективные методы, позволяющие проверять потенциальность соответствующих операторов [2].

В плане дифференциально-разностных операторов обратные задачи вариационного исчисления почти не рассматриваются, но рассматриваются смешанные задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения, хотя прямые задачи вариационного [3,4] исследуются на потенциальности дифференциально-разностные операторы [5-7] и др.

Пусть задано операторное уравнение [8]:

N (и) = 0, и е Б(М),

Статья поступила в редакцию 11 ноября 2012 г.

где N : ) С и ^ V, и, V — линейные нормированные пространства над полем действительных чисел К.

Будем предполагать, что в каждой точке и £ ) существует производная Гато N4 так, что 5N(и, К) = NК

Пусть на V х и задана билинейная форма {■, ■) : V х и ^ К

<1

{и' ^=ЛФ'у(х(1)

П <о

Как известно [2], оператор N называется потенциальным относительно заданной билинейной формы {■, ■), если существует функционал Р^[и] : ) = Б(^) ^ К, такой, что 5ГМ(и, К) = ^(и), К) Уи £ УК £ ). В дальнейшем нам понадобится критерий потенциальности вида

N К, д) = {К, К д) У и £ ), УК, д £ Б (К )• (2)

Рассматривается оператор N дифференциально-разностного уравнения вида

1 ^ —2 и ■■ —2 и

N (и) = ах(х, 1) (х,Ь + Хт) — Ьг£ (х, г) — (х,Ь + Хт)+

Л=-1 хг х

+ /(х, £ + Хт, и(х, £ + Хт), иХ} (х, £ + Хт),щ(х, £ + Хт)) = 0, (3)

где (х, 1) £ Q = и х (11,¿2 — t1 > 2т; и — неизвестная функция; а\(х, 1) £ , Ьг1 (х, I) £ ($), У г ,з=Т^. Зададим область определения оператора N

) = ^и £ и = с1>2(и х [го — г, и +т]) : ^ = ри,(х, I),

(х,г) £Е1 = и х [¿о — т,г0], д и!(х^ =Р2к(х,г),

/ \ -=- г , дии

(х,г) £ Е2 = и х [г 1,и +т],

= Ф„, и = 0,1} , (4)

Гг

) •

где и С К", Гт = ди х (¿о — т, +т), р20, — заданные достаточно гладкие

функции, = , (] = 1, 2; к = 0,1).

По повторяющимся индексам сомножителей, находящимся на разных уровнях, подразумевается суммирование.

Сформулируем решаемые в данной работе задачи:

1) исследовать потенциальность N уравнения (3) на множестве ) (4) относительно билинейной формы (1);

2) в случае потенциальности построить для оператора N уравнения (3) соответствующий вариационный принцип;

3) исследовать задачу о существовании вариационного множителя для оператора N уравнения (3) в случае его непотенциальности.

2. Исследование на потенциальность оператора N

уравнения (3)

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Оператор N из (3) является потенциальным на множестве Б(М) (4) относительно билинейной формы (1) тогда и только тогда,, когда а\, Ъ%Л удовлетворяют условиям и функция / имеет следующую структуру:

а\(х, ¿) = а-\(х,1 + Хт), ЬЛ (х, ¿) = Ъ%1Л(х,1 + Хт) УХ = —1, 0,1, /л/(х,г,и,их- ,щ) = ¡(х,г,и,их- ,щ),

/л/(х,г,и,их- ,щ) = дах(х ^ щ(х,г + Хт) — д Л^х, ^ их- (х,г + Хт) + 1лф(х^,и), где ф — произвольная гладкая функция, 1Лд(х, 1) = д(х,1 + Хт).

Доказательство. Имеем

1 д2Н ■■ д2Н

КН = ал(х, г) —у (х,Ь + Хт) — ЬгЛ(х, Ь) (х,Ь + Хг)+

л=-1 хг х

+ { "дГи11+щН- + Ин](х1+Хт)

Уи е ), е В(М'а), У^ = 1(5)

Из (1) и (5) получаем

, д) = j\ал(х, V д^ ОМ + Хт) — ЬгЛ(х, ?) ¿1.(х^ + Хт)+

+ {д^н + дкГНх* + д^н<} (х,1 + Хт)}зх*)«х

Уи еБ(М), УН,д еВ(Н'и), Уг,э = 1,п. (6)

Далее раскроем скобки в (6) и обозначим слагаемые соответственно 1 <1

1 Г Г д2Н

Ь ал(х, £)ду (х,Ь + Хт)д(х, £)<И<х,

Л=-1П <о 1 <1

1 г г .. д2Н

12 ЬЛ(х, ^ дх.дх. (х,Ь + Хт)д(х, г)«х,

Л=-1П <о г J

Л=-1П <о

13 = I I дкЬ(х,г + Хт)д(х, г)<г<х,

1 <1

д

14 ——кЛх,Ь + Хт)д(х, !)<И<з

.) .) дщ

Л=-1П <о

1 ¿1

15 = ^^ У J-д~К(х^ + Хт)д(х,

Л=-1П ¿о

Интегрируя по частям и учитывая, что допустимые функции К и д на границе области обращаются в ноль, и в силу области определения оператора N выполнено

I ] к*,т = ° I нш-гх= I н(хл+г)А, = оУх£*

- 1 1-

(7)

из Д — 15 получаем

Ь = ^ У У К(х,г + Хт)Б<2(ал(х, Ь)д(х, £))&<х = ^ У J К(х,Ь + Хт)х

Л 1 П ¿о Л 1 П ¿о

^д^ал(х', £) далг)-д^^ г) -2д(х, ^ Л

х ^—дё—g(х, г) +2—Ш--оТ~ + т2 ал(х, г)) <<х-

Обозначим ^ = 1 + Хт ¿1 +Лт

1 ¿1 +Л1

/1 = £/ У К(х, ¿')(д2аЛ(% — Хт)д(х, И — Хт)+

Л=-1П г0+Лт

+ 2 даЛ(х^ — Х-) д9 (х^д~Х-) + д Хт) аЛ (х, Ц — Хт ))

Сделаем замену 1/ = ¿ив силу условия (7) в последнем интеграле можно вернуться к первоначальным пределам интегрирования. В результате получаем

1 ¿1

/1 =■£/ У К(х, -аЛ(% — Хт) 9(х,г — Хт) +

Л=-1 П

+ 2даЛ(х^ —Хт) д°^ Хт) + дд(хд1~ Хт) ах(х, г — Хт)) <Шх

или

1 ¿1

/1 =£ IУ К(х, д2а-Л(12 + Хт)д(х,г + Хт) +

П

2

да-Л(х,г + Хт)дд(х,г + Хт) д2д(х,г + Хт~) .

+2-^--^--1---а-Л(х, г + Хт) ) (8)

о

1 ч 1 ч

12 = ^У ! Ь,(х,Ь + Хт)БХгХ] (ЪЛ(х, 1)д(х, 1))<И<1х = ^У У к(х,1 + Хт) Л = - 1 П Л = - 1 П

1

1

х

(д2 ЬЛ (х, г) . . д ЬЛ (х, ь)дд (х, г) д2 д (х, Я,-. Л , ,

^ ' ; д(х, I)+ 2 Л1 ' ; ^ ' ; + /V 1 ^ (х, <ёх. у дхгдх^ дхг дх^ дхгдх^ I

Проделав такие же преобразования как и в 1 , получим Л Г *} (д2Ьг\(х,г + Хт)

/2 = ^ н(х, о [^дЬх-^д(х,г+Хт)+

Л=-1

П < о

+2«^(М + А^%Ы + ХГ) + ^фг + Аг)|),-л(х1 ( + ЛтЛ ^

дхг дх^ дхгдх^ I

Уг ^ = 1~п. (9)

1 <1 /з = — ^ / / Н(х, Ь + Хт):

\_ л

Л=-1П <о

. д/(х, £ + Хг, и(х, г + Хт), их. (х, г + Хт), щ(х, Ь + Хт)) Л _ х ( д— д(х^ гм ашх =

1 <1 = — ¿У У н(х,г + Хт) х

Л=-1П <о

д/(х, £ + Хг, и(х, £ + Хт), иХ} (х, £ + Хг), м<(х, £ + Хг))

АХ (х,

( ди_и

/д/(х, г + Хт, и(х, г + Хт), Пх0 (х, г + Хт), щ(х, г + Хт))\ \ g(х, ъ)^хС- I - I I ашх.

Ч дих, ) )

Обозначим = 1 + Хт 1 <1 +Лг

Т [ I' +'\(д$(х, (х, И ),Ut(х, г'))

1з = Н(х,1 И -д-дХ1 (х,1 —Хт)+

\ _ л О О \ Хч

Л=-1 П <о+Лг

. ч (д хЛ',и(хЛ'),иХ.(хЛ'),щ(хЛ'))\\ + д(х,£ — Хт)Бхди )) Шх.

Сделаем замену 1/ = ¿ив силу условия (7) в последнем интеграле можно вернуться к первоначальным пределам интегрирования. В результате имеем

1 <1

т ( (и/ (х,t,u(х,(х,t),ut(х,г))

1з = — Н(х, ч(-д^-дх> (х,1 — Хт)+

Л= — 1 - ^

П < о

/ д/(х, г, и(х, г), и*(х, г), щ (х, г)) \ V ди*)

+ д(х, I — Хт" ' ' ^ ' '' ' " " ' " Шх

или

X

1 ¿1

Л=-1

т ^г [ [и/ (дf(х,t,и(х,*),их,(х,t),иt(х,г)) /3 = — ^ К(х, --1-(х,г + Хт)+

,__1 у у \ хз

( д {(х, I, и(х, 1),их- (х, I), щ(х, , ,

+ д(х, I + Хт' ' 1 ' ди )) (10)

Л=-1

и = — ^ / К(х,г + Хт)

П

I д/(х, г + Хт, и(х, г + Хт), их(х, г + Хт),щ(х, г + Хт)) \

х Вt I -7л-Я\х, ъ) I <о0.х

\ дщ )

1 ¿1 = — £ | J к(х,Ь + Хт)х

Л=-1П ¿о

/д/(х,1 + Хт,и(х,1 + Хт),их. (х,1 + Хт),щ(х,1 + Хт)) (--д^х, г)+

+ д(х г) В ^д^(х,г + Хт, и(х, ь + Хт), иХл (х, Ь + Хт), щ(х, Ь + Хт)) ^ ^

Обозначим = + Х 1 ¿1 +Лг

и = К(х,г )( --и-^(х,1 — Хт)+

Л=-1 П ¿о+Лт

+д(х, *— Хт )вч--и,-;;

Сделаем замену 1/ = ¿ив силу условия (7) в последнем интеграле можно вернуться к первоначальным пределам интегрирования. В результате получаем

1 ¿1

т ^ [ (и ^(дf(х,t,и(х, 1),их0(х,t),иt(х,г))

и = — ^ J ] К(х, ^^-—-^(х,г — Хт)+

Л=-1 П

или

¿1

(д хЛ,и(х, ^,их-(х, 1),щ (х, 1))\\

+ д(х, г — Хт )вг( у ди )) шх-

т ^ [ /ь/ (дf(х,t,и(х, *),их,(х, t),иt(х, г)) и = — ^ J ! К(х, ^^--+ Хт)+

Л=-1 П

(д хЛ,и(х, 1),их. (х, 1),иЛх, 1))\\ , ч

+ д(х,1 + Хт)ВА м ' ' 1 ' ))<И<1х. (11)

х

/5 = £ / / Н(х, г)«ЯхА^^^^^^х^ + Хг)<Мх. (12)

Л=-1П <о

Таким образом, из (6) и (8)-(12) имеем

«ж., .> = Ё // м-) {(- ^ЧЁт1

А=-! П Ьо ^

_п (д!(х,г,и(х,г),иХ](х,г),т(х,о /д/(х,г,и(х,г),их(х,¿),и(х,+ хз V дих, /Л ди У

+ д! (х,г,и(х, г),и:(х, г),и(х, г»^, 4 + Лт) + а^,, + Лт) д*9(х, t + Хт)

ди ГК ' , , , , , д^2

_ ъи (х ¿ + Лт)д2д(х,г + Лт) ( дь-л(хЛ + Лт) + д/(х,¿,и(х,г),их3(х,г),и(х,г))" -л , дхгдх, I дх{ дих.

х 5х3. (х, £ + Лт) + (2 да-л(хд1 + Лт) - д/(хЛи(х, Ъ^, г),иь(х, г))) д<(х, * + Лт)}^

Уи еО(Ы), УН,д еБ(Ю, Уг,] = 1,п. (13)

С другой стороны, имеем

{Ка ,Н) =

± ¡]{аф,,— *(х,)«^ + {Ъ +

Л=-1П <о ^

(х, £ + Хт) | Н(х, I

+ дЛ (х,Ь + Хт)\Н(х, ШМх Уи еБШ), УН, д еБШ'), Уг ,.] = 1,п. (14) ди

Обозначим 1Л/(х, I, и, иХ, щ) = /(х, 1+Хт, и(х, 1+Хт),иХ(х, 1+Хт), щ(х, 1+Хт)). Левые части (13) и (14) равны тогда и только тогда, когда

1л/(х, Ь, и, их, и<) = /(х, г, и, их, иг), (15)

аЛ(х, 1) = а-Л(х,1 + Хт), ЬЛ(х, 1) = Ьг_1Л(х,1 + Хт) УХ = —1, 0,1,

х

— - — I - —

^ Г Ги, (д2ал(х,г) д2ьл(х,^ /д/(х,г,и(х,г),их,(х,г),иь(х,г)у

^ М 4х —-Вх>{-

п го к 4

)-2 ( + )

+ 2 ^далдх Ъ - д,(х,г + Лт) и^ = 0 Уи е ), УН,д е Б(К), Уг^ = 1~П.

(д!(х,1,и(х,г),их,(х,г),иь(х,г))\\ (дьл(х,г) , д/

- ОЛ -ди;- I I в(х, г+Лт)-2 I --+ -- I Ух,

Условие (15) выполняется, например, для периодических функций. В силу произвольности h ид заключаем, что для потенциальности оператора N (3) на множестве D(N) (4) относительно билинейной формы (1) необходимо и достаточно для У(х, t) £ Q, Уи £ D(N) выполнения условий

( ЭbУ (x,t) + = 0

dxj дих - '

Эа^ - Эи_ = 0 (16)

Dt(— р-) — Dx (a'ЦХх'А + ^ =0.

1 у at ои± J хз у oxi оих^ J

Отметим, что третье условие последней системы следует из первых двух условий. В частности, из первого условия системы (16) следует, что

1л/(х,г,и,их ,и) = даЛ(х ^ щ(х,г + Хт) + 1Лф(х,г,и,их), (17)

д

где р — произвольная гладкая функция.

Подставляя полученное выражение (17) для f во второе условие системы (16), получаем

дЬ^л (х ~Ъ)

1лр(х, I, и, их) =--лх—их(х, Ь + Хт) + 1лф(х, I, и), (18)

где ф — произвольная гладкая функция.

Таким образом, из равенств (17) и (18) находим

1л/(х,Ь,и,их,щ) = ^ щ(х, г+Хт) — — ^ их (х, г+Хт) + 1лф(х,г,и), (19)

что и требовалось доказать. □

3. Построение функционала ^ [и] для оператора N

уравнения (3)

Запишем (3), используя выражение для f (19) 1 д 2 и д 2 и

N (и) =¿2 ал(х, ^ (х,ь + Хт) — ЬгЛ (х, г) - - . (х,ь + Хт)+ л=-1 хг хл

+ даф-Ц и1{х, 1 + Хт) — ЩяЛ их(х, I + Хг) + 1лф(х, г, и) = 0. (20) д д х

Находим функционал по формуле 1

^[и] = J ^(ио + к(и — ио)),и — ио) =

о

1 ¿1 1

= ^ (ал(х, Щио11 + Кии — Uоt¿)] — ЬгЛ (х, ^[иох^х^ + К^х^х, — иохх)] +

Л=-1П to 0

+ a\t(х, t)[uot + Ки — Uot)] — b^x. (х, t)[uoxd + ^(ux4 — uox3-)])(и — Uo)d^dtdx+

1 1

+ / / / 1лф(х,1,и)(и — ио

Л=-1П ¿0 о

где и = ио + к(и — ио).

Проинтегрируем по переменной к первый интеграл (20) и получим

^[и] = ^ J ! J(ал(х, £)[иои + ^(ии — иоа)] —

Ш= > ....... Г

Л=-1 П о

— ьу (х, Щиох^^ + ^(Uхíх— иох^з)] + алt(х, + ^(щ — им)] —

—Ьхоц(х, 1)[иох^+]^(их3■. — иох,-)])(и—ио)<к<г<х+ ^ 1лф(х^, и)(и—ио)<к<г<.

Л=-1П ¿0 о

или

Рм [и] = 1 ^ У J(ал(х, Щиои+ии]— ЬЛ (х, £)[иох^^ +их€х^ ]+алt (х, Щщ,+и] —

Л=-1П ¿0

1 ¿1 1

— (х, Ъ)[иохд +их4 ])(и — ио)<<х + £//У 1лф(х,г,и)(и — ио)<к<г<х =

Л=-1П ¿0 о

1 ¿1

^ //В^ал(х, 1)(що< + и)(и — ио)) — ЦЬЛ>( х, ^ +их, )(и — ио)) —

11

Л=-1 П

2

Л=-

— ал(х, £)(щ< + и)(щ — ) + ЬгЛ (х, £)(иох+ их})(их1 — иохí)<И<х

1 ¿1 1

+ J J ! 1ЛФ(х,Ъ,и)(и — ио)<к«х. (21)

Л=-1П ¿0 о

Таким образом, из (21) следует, что искомый функционал оператора (20) имеет вид

1 1 ¿1

Рм[и] = —1 £ |!(ал(х, 1)и2 — ЬЛ(х, Ь)ихгих0 )<<х+

Л=-1П ¿0

¿1 1

+ j j У 1Лф(х,Ь,и)(и — ио)<ц<Ь<х. Л=-1П ¿0 о

В качестве иллюстрации рассмотрим Пример 1. Оператор

N (и) = 2ии (х, г) + еи(х* )их(х, I + т) — еи(х*- )их(х, I — т)+

+ 2 8т(х + г — т) — ез[п(х+<-т} С08(х + г) + ез[п(х+<-2т} соб(х + г — 2т) = 0

1 1

является потенциальным на области определения

) = {и еи = ей(V х [г0 - г, и +т]) : = <р1к(х, Ь),

дки(х, 1) дки(х, 1)

(х,г) еЕ± = п х [¿о - т,¿о], —д-^- = ^2к(х,г),

__ди

(х,г) е Е2 = п х [г1+т], -т-

д х

= Ф,\

т ^

относительно билинейной формы (1), что нетрудно проверить.

Следуя изложению пункта 2, а\(х, 1) = 2, (х, 1) = 0 для заданного оператора N (и) можно построить функционал Р^ [и], который имеет следующий вид:

¿1

РN[и] = 11(и2(х^ - т) - еи(х'г)их(х,г + т) + 2 вш(х + г - т)-П ь 0

- ез1п(ж+-т) + ^ + е^п(х+*-2т) ^(х + г - 2т)Ы6х.

Следует отметить, что ио = вш(х + у - т) является решением данной вариационной задачи.

4. Построение вариационного множителя вида

М = М(х, í + Хт, и(х, í + Хт), их(х, í + Хт),щ(х, í + Хт)) для оператора N уравнения (3)

Пусть структура функции / отлична от вида (19). Тогда оператор N (3) не будет потенциален. Следовательно можно рассматривать вопрос о существовании некоторого вариационного множителя вида М = М(х, Ь + Хт,и(х, Ь + Хт),их(х, 1 + Хт), щ(х, £ + Хт)).

Справедлива теорема.

Теорема 2. Если условия (6) не выполняются, аЛ(х, 1) = 0 и ЬЛ(х, 1) = 0 в Q, то для оператора N (3) существует вариационный множитель М = М(х,1 + Хт,и,их,щ), УХ = -1, 0,1 ■Уи е ), У(х, 1) е Q выполняются условия:

1 д

М (х, I, и(х, I)) = 1ХМ (х, г, и(х, 1)),—ЕХг (Ь ) + --/ = 0,

М Л дих,

1 д _

М^ь(агМ) - —I = 0. Уи е ), УХ = -1, 0,1, Уг,3 = 1, п.

Доказательство. Имеем (и + еК)

а е

£ = 0

а ъг/ < 7 , т \ ( ! \д2 (и + еК)(х,Ь + Хт) = а; М (х,1 + Хт, и + еИ,их4 + еПх4 ,Щ + еК) I аЛ(х, ^--

г = - 1

~. , д2(и + еК)(хЛ + Хт) „, , , . , ,

-ЬгЛ(х, --- + + Хт, (и + еК), ^ + сК^), (щ + еЫ))

г

= ± м их о а'2к(%;Хт>—щх $+

Л = - 1

+ { диН(х,г + ХТ) + Кх> (х,1 + Хг) + -иК(х^ + Хт) +

[дМ,. х , дМ ч . дМ , Л 1Т, ,

+ 1 ~вйН(х,1 + ХТ) + Кхо (х,1 + Хт) + ^ (х, t + Хт Н N (и)

Уи £В(Ю, У",д £ В^!^), Уг,3 = 1^. Используя определение билинейной формы, получим ¿1 ,

д2"(х, £ + Хт) гл д2"(х, £ + Хт)

1 ¿1 (

ММ = ЕЦ{М' ^ Г) — Ч()+

Л=- П

+ { ^+-иг, "х-+—и "• Ь4+Хт 0 +

(дм дм дм 1 \ . ч ллг/ Л . ,, ,

+ \ "ди" + дй~ ' + ~дй~ ) + Хт)^ (и)>д(х, 1)тах

Уи £В(^, У",д £ВЮ, Уг,3 = 1^п.

Рассмотрим и преобразуем каждое слагаемое данного выражения

¿1

1 Г Г -2 К

Д = ^^ у J ал(х, Ь)М—2(х^ + Хт)д(х, Ь)<Ь<х,

Л=-1 П

/{ -2 К

I ьлл (х, ^М——- (х,1 + Хт)д(х, г)<Ш,

-П

1 ¿1

13 = ^ I I М-——"х3 (х,г + Хт)д(х, г)<Кх,

\ V х о

Л=-1П ¿0

1 ¿1

14 = ¿У / М-ик,(х^ + Хт)д(х, г)<и<х,

Л=-1П ¿о 1 ¿1

15 = ^У У М—и"(х,г + ХТ)з(х, ¿)<и<х,

Л=-1П ¿0

Л=-1П ¿о

16 = ^^ I I —"(х,Ъ + Хт)N(и)g(х, Ь)<Ь<х,

1 ¿1 1 г г -М 17 = ^ —-"х3 (х,г + Хт)N(и)д(х, £)<И<х,

\ V х -1

Л=-1П ¿0

- £

Л=-1

дМ ди

К 4(х, £ + Хт^(и)д(х, £)&ах.

П 4 о

Интегрируя по частям и учитывая, что допустимые функции К и на границе области обращаются в ноль, и в силу области определения оператора N выполняется условие (6), получаем

1 ^

ь = ¿У I Ба (аЛ(х, Ь)Мд (х, г))И(х,г + Хт )а(х Л=-1П ¿о

1 11

II|Би(ал(х, €)М)д(х, г) + 2Бг(ал(х, €)М)дг(х, г) + да(х, *)ал(х, ¿)М | х

г = 1

П ¿о

1 11

х Н(х,г + Хт)М(х = ^ \Па(ал(х, ^М)д(х, г) + 2Б1(ал(х, £)М)дг(х, £)+

г = 1

П Ь о

+ ди(х, £)ал(х, £)М

}

Ы(х, £)а(х,

г^г-Лт

1 ч

12 - ^У I Бхх (х, 1)Мд(х, 1)Щх,1 + Хт)аах =

Л=-1П ¿0

1 11

= !{Вхх (ЬЛ (х, €)М)д(х, €) + 2Бх, (Ь?(х, €)М)9х, (х, 1)+

Л=-1П ¿о

+ дхх (х, I) ЬЛ (х, 1)М)

и = -

и = -

1 ^ ъи {

1= 1 П ¿о 1

{

д

х,(х, г) + д(х, ^[Мди

}

х,)}

Ы(х, £)а(х,

г^г-Лт

Ы(х, £)&(х,

г ^ г-Лт

д

Мд^9г(х, г) + д(х, Ш-Щ-

)}

Ы(х, £)а(х,

г^г-Лт

и =

Ё <Ц

Л=-1П ¿о

Ы(х, £)а(х,

^ г-Лт

¿1

и - Е

Л=-1

П ¿о

\ ~дщN(и)9(х,Ь)

Ы(х, £)а(х,

^ г-Лт

17 = ~

1 «-1

^ И {^^хз (Х, Ь)+9(Х, ^ ( ^ (и)

Л=-1

П ¿о

Ы(х, £)&(х,

г ^ г-Лт

1 ¿1

1 д М д М

и = — У (и)дг(х, 1)+д(х, 1)вА —N(и)

Л=-1П ¿о

К(х, )< < х.

Лт

Таким образом, из последних равенств получаем ¿1

(

{К", д) = ¿//{{в« (ал(х, 1)М) — ВХъХз (^ (х, 1)М) — ВХ}(м

Л = - 1

д их

П

д д М

— вАмУ-) + М^- + ^N (и) — В. \ диди ди

N (и)) —В—М~N (и))}д(х, г) —

д и

д/ дМ

дих, дих.

— 2Вхг (ЪгЛ (х, €)М) + М^- + ^N(и) ^ (х,

+ {2Вt(ал(х, €)М — м-— — д—-N(и)+ }д^х, I) + М(ди(х, 1)ал(х, €) —

9(х, 1) ЬЛ (х, 1))

"(х, г)М<х Уи £ В^), У", д £ ВЮ, Уг,з = 1,п.

t+Лт

(22)

С другой стороны, имеем

^ ,К) =±1 / { (

Л=-1П tо ^

( ди1хх- + димхх- (и))

м% + ж» (и)№+Хг)+

+ 1 м——- + -и-"{и)) >х>'+Хт )+{м^+дт,"(и)) '+Хт)+

+ Мал(х, ^ди(х, £ + Хт) — МЬЛ (х, ^дх^^ (х, £ + Хт^ "(х, £)&<х

Уи £ В^), У", д £ВЮ, Уъ,з = Т~п. (23)

Равенство левых частей (22) и (23) обеспечивает критерий потенциальности (2), что в свою очередь равносильно следующему:

1 (

^ 1г)М)-вХъХз(ь?(х,г)М)-оХ](м-^+М

г—+ ди

- п г о

д М д М -N (и)—П- 1

д и

+(и)-^ ^ (и)) -А( ^(и))}

г^г+Хт

М

^Мди + ^ (и))^ )-

г +Х т

К(6 х(х, т)+М^ - ^(и)}

+ { {2АК(х,т)-мди,- дМN (и)}|_+Хт-(

- 4м N (и) } дХ] (х, г+\т)+

дих- дих-

+ ^(и)» ^ + Хт) +

+ ^Мах(х, г)ди(х, г) - МЬ*Х(х, г)дхгх, (х, г)

- Мах(х, г)ди(х, г + Хт)+

г ^ х т

) |мх,

+ МЬ% (х, г)дхгх3 (х,г + Хт) }Н(х, = 0 Уи е ), УН,д е ), Ш,3 = 1,п.

В силу произвольности д и К следует, что У и е Б^), У(х, 1) е Q выполняются условия

Би(аЛ(х, €)М) -Бхх (Ь%(х, €)М) -БХз (м-Щг) - (мЩ^ +М

+ыд4-+

д и

д М

д М

+ -¡й"(и)-Бх, Уди.

N(и))-Б ((и))}| -(

-1М% + ^ Ь^==0,

- 2БХ% ( Ьлл (х, €)М) + М-

д д М

+

N (и

диХ( ди ,

Г д f дМ ч

+ {2Бг(ал(х, 1)М) - МщЩ- - —N(и)}

Мал(х, г)ди(х, 1) - МЬЛ(х, 1)дх-х, (х, г)

Из условий (24) получаем д д М

^ 4+Лт

д их д их

- (мр- + ЩМ■N(и))=0,

- Мал(х, £)ди(х,Ь + Хт)+

^ 4+Лт

+ МЬЛ (х, 1)дхх0 (х,Ь + Хт) = 0. (24)

{мЩЩ + ЩщN (и)}

^ 4+Лт

=мЩЩ+^ ^

(25)

'Бг [Бг(ал(х, €)М) -М- ^(и)) -

-Бх, (Бхг(%(х, 1)М) + М^ + ^(и)) =0, Бх, (Ь л (х, 1)М ) + М + ^ (и) = 0, ^ ^ [Бг(ал(х, 1)М) - М^ - ^(и) = 0.

(26)

Равенство (25) приводит нас к выполнению условия

М(х, I, и(х, 1),иХ(х, 1),щ(х, 1)) = М(х, 1 + Хт, и(х, ! + Хт),иХ(х, ! + Хт), щ(х, ! + Хт)).

В системе (26) первое равенство является следствием двух последних, которые можно записать в виде

Бхг(ЬЛ(хх, 1)М) + М^ + Щ{алВ - ЬЛтХЗХ; +11 = 0,

Б,(ал(х, 1)М) -М% - - + ^ = 0-

Учитывая, что

^ „и, л^л л, , и, л,, (-м дм дм дм БХг (ЬЛ(х, €)М) = Ьг^х (х, *)М + ЬЛ (х, 1){ — + —ихг + ~ Uх(Хí +

дхг ди

д их

д М д М д М Б1(ал(х, ЦМ) = а ль (х, ЦМ + ал(х, ц [ + -¿¿-щ + ——их,г +

д д и

д их

дщ

д М д и

) •

условия (26) принимают следующий вид:

д М д М д М д д М д2 и

()М+ЬЛ ч -хг + Щ1их + щщ-;Ч+МщиЪ+-иг, -¥+Ч =0

х

)

д М д М д М алt(х, Ь)М + ал(х, ¿) I + -^щ + ^^их^ ) —

д д и д и

дМ /гл — М^- + — ЬЛ

дт + дм Ытд-- — А =0 Уи£в(ю, Уг,з=т;п.

дщ дщ \ л дхгдхл )

Из данных условий получаем

дм 0 дм ^ 0

--ал = 0, ЬЛ = 0,

диХ} дщ

а так как ал = 0, Ъг<Л = 0, следовательно = 0 и = 0, то есть М = М(х, I, и) так же из условий получим следующее

д д Вх% (ЬМ) + — (М/) = 0, В^алМ) — — (М/) = 0.

Окончательно получаем

1 д 1 д мвх•(ьм) + -их/ = 0 мв(алм) - з—/ = 0

Полученные результаты проиллюстрируем на примере 2.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

и) = —2аии(х, I) — 2Ьеи(х',-т,)—хх(х, €) + Ь(—х)2(х, I + т) —

— а(щ)2(х, г) — 2beu(х't—)-и(х<,)—х(х— т)их(х, ^ = 0,

(х, г) £ Я = (с, д) х (го, и — т), и — ^ > 2т, т > 0, (х, г) £ (с, д) х (Ьо, ь), где а,Ь — константы, и — неизвестная функция, их = ^, щ = ^, и„ = ^¿т.

Зададим область определения оператора N2

-22(ТГ\ дки(х-1 ^

'х, ( д к и

В(Ю = |и £и = С2х', (<Зт Г -к4 = Р1к (х, *) (х, *) £ Е1 = [с, д] х [¿о — г, М;

к = 0,1, = Р2к(х, г), (х, г) £Е1 = [с, д] х [г 1 — т, и];

к = 0,1, и(с, г) = ф1(£), и(д, г) = ф2(Ь)Ь £ [¿о — Т, ь +т]

где Яг = (с, д) х (и — т, и + т), рго £ С 1(Ег), рц = ^ фг £ С ([¿о — т, ^ + т]) (ъ = 1, 2).

Легко проверить, что оператор N2 является непотенциальным относительно области определения В(N2) относительно классической билинейной формы (2).

Следуя пункту 3, найдём вариационный множитель М = М(х,1,и,и-ь) = 0 и соответствующий функционал Рм [и] такой, что

¿2

5Р[и,"] = ! 1м(х,t,и,Ut)N(и)Мх<И Уи £В^) У" £ ВЮ.

1 П

Используя теорему 2 найдём множитель М = еи(х'. В нашем случае ао = -2а, Ьх0 = 2 b, f = b(ux)2(x,t + т) -a(ut)2(x, t) - 2beu(x't-r)-u(x> ^ux(x,t - т)их(х, t) Оператор N (и) = eu(x' является потенциальным. Соответствующий функ-

ционал имеет вид

t2

Fn[и] = J J eu(x't-T)[a(ut)2(x,t - т) + Ь(их)2(х, i)]dxdi. ii n

5. Заключение

В заключение следует отметить, что для построения вариационного принципа необходимо исследовать на потенциальность оператор N на множестве D(N) относительно заданной билинейной формы. В случае потенциальности построить для оператора N соответствующий функционал, содержащий производные от неизвестной функции и меньшего порядка, чем уравнение N (и) - f = 0, и множество решений исследуемого уравнения совпадает с множеством критических точек построенного функционала. В случае непотенциальности заданного оператора можно исследовать и другие методы, в частности, рассматривать задачу об отыскании вариационного множителя.

Литература

1. Колесникова И. А. Об условиях потенциальности для дифференциально-разностных уравнений с частными производными // Дифференциальные уравнения. — 2010. — Т. 46, № 3. — С. 443-445. [Kolesnikova I. A. On Potentiality Conditions for Partial Differential-Difference Equations // Differential Equations. — 2010. —Vol. 46. —No 3. —P. 1-4 ]

2. Филиппов В. М., Савчин В. М., Шорохов С. Г. Вариационные принципы для непотенциальных операторов:Современные проблемы математики. Новейшие достижения. — М.: ВИНИТИ, 1992. — Т. 40, С. 176. [Filippov V.M., Savchin V. M., Shorokhov S. G. Variational principles for nonpotential operators / / Journal of Mathematical Sciences. —1992. —V.40. —P. 176 ]

3. Скубачевский А. Л., Шамин Р. В. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения // Матем. заметки. — 1999. — Т. 66, № 1. — С. 145-153. [Skubachevskii A.L., Shamin R. V. First mixed problem for a parabolic difference-differential equationMathematical Notes. — 1999. —Vol. 66, No 1. — P. 145-153 ]

4. Скубачевский А. Л. Асимптотика решений нелокальных эллиптических задач // Труды МИАН. — 2010. — Т. 269, № 1. — С. 225-241. [Skubachevskii A.L. Asymptotic formulas for solutions of nonlocal elliptic problems // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. —2010. — Vol. 269, No 1. — P. 218-234 ]

5. Попов А. М. Условия потенциальности дифференциально-разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1998. — Т. 34, № 3. — С. 423426. [Popov A. M. Potentiality Conditions for Differential-Difference Equations. Differential Equations. —1998. —Vol. 46, No3. — P. 423-426 ]

6. Попов А. М. Условия потенциальности Гельмгольца для систем дифференциально-разностных уравнений // Мат. заметки. — 1998. — Т. 64, № 3. — С. 437442. [Popov A. M. Potentiality Conditions of Helmholtz for Sistems of Differential-Diffe Potentialityrence Equations // Mathematical Notes. —1998. —Vol. 64, No3. — P. 437-442 ]

7. Савчин В. М. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с отклоняющимися аргументами. XXXI Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук. Тезисы докладов. — 1995. — С. 25.

[Savchin V. M. Potentiality Conditions of Helmholtz for DEPD with deviation arguments / / XXXI Scientific conference of The faculty of Physico-mathematical and Natural Sciences. Thesis. —1995. —RUDN. — P. 25 ] 8. Kolesnikova I. A, Savchin V. M. On the Existence of Variational Principles for a Class of the Evolutionary Differential-Difference Equations // Journal of Function Spaces and Applications. — 2012. — Vol. 2012, Article ID 780382. — http://www. hindawi.com/journals/jfsa/2012/780382/.

UDC 517.972.5

Variational Principles for a Differential Difference Quasilinear

Operator

I. A. Kolesnikova

Department Mathematical Analisys and Theory of Functions Peoples' Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str., 6, 117198, Moscow, Russia

The purpose of the present paper is to investigate the potentiality of the operator of differential difference equations and to construct the functional, if the given operator is a potential on a given set relatively to the some bilinear form. Method of construction of variational factor is suggested.

Key words and phrases: differential difference equations, functional differentional equations, variational factor, inverse problem of the calculus of variations, variational principles, equations with deviating arguments.