Об одной прямой задаче механики бесконечномерных диссипативных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.93, 517.972.5

Об одной прямой задаче механики бесконечномерных диссипативных систем

В. М. Савчин, С. А. Будочкина

Кафедра математического анализа и теории функций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, 6, Москва, Россия, 117198

В работе предложен конструктивный метод нахождения первых интегралов уравнений движения бесконечномерных диссипативных систем.

Ключевые слова: производная Гато, потенциальный оператор, первый интеграл, генератор симметрии, инвариантность уравнения движения.

1. Введение

Одной из основных прямых задач механики систем с бесконечным числом степеней свободы является задача нахождения первых интегралов уравнений движения. Следует отметить, что интегралы уравнений движения имеют многочисленные применения. В частности, они могут использоваться для доказательства существования и единственности классических решений дифференциальных уравнений в частных производных, для исследования устойчивости движения бесконечномерных систем.

Для нахождения первых интегралов уравнений движения можно применить известную теорему Э.Нетер о взаимосвязи симметрий вариационного принципа с первыми интегралами соответствующего уравнения Эйлера-Лагранжа. Для этого нужно построить стационаризуемый в процессе движения функционал, получить условия его инвариантности, а затем определить первые интегралы уравнения движения.

В настоящей работе для нахождения первых интегралов используется подход, основанный на применении теории преобразований переменных для установления инвариантности самих уравнений движения.

2. Постановка задачи

Пусть уравнения движения материальной системы представлены в операторном виде

N (и) = Р2и,гии + Р1и,гЩ + Рз„,ьп\ + Я(Ь, и) = 0, (1)

ё ё2

и е С и С V, г е С К; и = Аи = — и, и« = —2 и.

аГ аГ2

Здесь VГ е [Го, Г1], Vи е их операторы Р¿„^ : их ^ Ух, (г = 1, 3) являются линейными; Я : [Го, Гх] х и ^ V — произвольный оператор, вообще говоря, нелинейный; ) — область определения оператора N,

Б^) = {и е и : и|<=<0 = , и|<=<1 = ^2, и4|4=4о = , и4|4=41 = ^4,

^ е их (г = 174)}; (2)

Статья поступила в редакцию 13 марта 2008 г.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ грант №06.01.00341а).

и = Сих), V = С([¿о,£х]; VI), их, Ух — действительные линейные нормированные пространства, их С Ух.

Будем предполагать, что при каждых £ £ [£о,£х] и *(£), и(£) £ Цх функции и Рзи,<з(£) со значениями в Ух непрерывно дифференцируемы, а Р2и,ь9(Р) — дважды непрерывно дифференцируема на [£о,£х].

Под решением задачи (1) понимается функция и £ Д(^), удовлетворяющая (1). В дальнейшем для упрощения обозначений будем записывать (1) также в виде

N (и) = Р2иии + Рхи иг + Рзии? + ((и) = 0,

считая, что операторы Р¿и (г =1, 3) и ( зависят также и от

Операторное уравнение движения (1) может быть обыкновенным дифференциальным, дифференциальным уравнением в частных производных, интегро-дифференциальным уравнением и др., а также системой таких уравнений.

Сформулируем задачу следующим образом: получить аналог условий потенциальности Гельмгольца для заданного уравнения движения, дать общий вид первых интегралов этого уравнения в случае его инвариантности.

3. Необходимые сведения об основах вариационного исчисления в операторной форме

Пусть N — оператор, заданный в области ) линейного нормированного пространства и над полем действительных чисел К, а область значений принадлежит линейному нормированному пространству V над полем К, т. е.

N (и) = V, и £ и, V £ V.

Если в точке и £ D(N) существует предел

^ (и, Л) = Ит — ^ (и + еЛ) - N (и)}, V Л £ и, (3)

е—>о е

то он называется вариацией Гато оператора N в точке и (или первой вариацией оператора N в точке и).

Если при фиксированном и £ ) вариация ¿N(и, Л) является линейным по Л оператором, то говорят, что оператор N дифференцируем в точке и в смысле Гато. Выражение ¿N(и, Л) называется дифференциалом Гато и обозначается через DN(и, Л). В этом случае используют также запись DN(и, Л) = N'aЛ и говорят, что NU есть производная Гато оператора N в точке и.

В дальнейшем будем предполагать, что для рассматриваемого оператора N : ) С и ^ V в любой точке и £ ) существует N. Область определения ^(N4) состоит из таких элементов Л £ и, что (и + еЛ) £ для любого достаточно малого значения е. Элемент Л £ ^(N4) будем называть допустимым элементом. Отметим, что в общем случае ) = ^(N4).

При существовании производной Гато оператора N имеет место равенство

N (и + еЛ) = N (и) + е^ Л + г(и,еЛ), и £ Р^), (4)

где для любого фиксированного элемента Л £ ^(N4)

11т = о.

е—о е

Отметим, что если 7Уи — некоторый линейный оператор, произвольным образом зависящий от и, то производная Гато находится по формуле

<(*; Л) = Иш ^^ - ^*. (5)

Вторая производная Гато оператора N вычисляется по формуле

д 2

^'(Нь Н2) = я я N (и + ехЛх + £2^)

д£хд£2

£1=£2=0

Предполагается также, что

К'(НЬН2) = N^'(^2, Нх) Vи е Б^), VЛх,Л2 е Б(^).

С целью полноты изложения и ясности употребляемой терминологии приведём некоторые сведения о билинейных формах и потенциальных операторах, которые будут использоваться в дальнейшем исследовании.

Определение 1. Отображение Ф(-, ■) : V х и ^ К, линейное по каждому аргументу, называется билинейной формой.

Определение 2. Билинейная форма Ф(-, ■): V х V ^ К называется симметрической, если

Ф^,з) = Ф(з, V), Vз, V е V.

Определение 3. Билинейная форма Ф(.,.): V х и ^ К называется невырожденной, если:

1) из условия Ф^, Н) = 0 V V е V следует, что Н = 0;

2) из условия Ф^, Н) = 0 V Н е и следует, что V = 0.

Будем предполагать, что билинейная форма

¿1

Ф(-, ■) •) ёГ : V х и ^ К (6)

¿0

такова, что билинейное отображение Фх(-, ■) = (•, ■) удовлетворяет следующим условиям:

Ы^(Г)) = ЫГ)^х(Г)), VVl(í), V2(í) е Vl, (7)

Б*МГ),<7(Г)) = (Б^(Г),з(Г)) + МГ),Аз(Г)), VV, з е Сх([Го,Гх]; их). (8)

Если V = v(ж,t), ж е П С Дп, Г е (Г0,Гх), их = V = С(П), то можно, например, рассмотреть

= J v(ж, Г)з(ж, Г) ёж. (9)

п

Определение 4 (см. [1]). Оператор N : Б^) С и ^ V называется потенциальным на множестве Б(N) относительно билинейной формы вида (6), если существует дифференцируемый по Гато функционал (действие по Гамильтону) Бм : Б(БМ) = Б^) ^ К такой, что

[u,Н] = Ф(N(и), Н), Vи е Б(^, VН е Б(^).

Функционал Б^ называется потенциалом оператора N, а N — градиентом функционала Б^. Записывают N = gradфБN. Оператор N называется потенциальным на множестве Б^) относительно Ф.

Будем предполагать, что для любых фиксированных элементов и е Б^), з, Н е Б (N4) функция ^(е) = Ф(N(и + еН),з) принадлежит классу Сх[0,1] и (и — и0) е Б (N4), Vи,и0 е Б^); существует сопряжённый оператор N'* к N4, определённый равенством

Ф«Н,з) = Ф(Н,<*з), Vи е Б^), VН е Б(N4), Vз е Б(N4*). В работе [1] доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть дифференцируемый по Гато оператор N : ) С и ^ V и билинейная форма Ф(-, ■) : V х V ^ К такие, что для любых фиксированных элементов и Е ), д, Н Е ^(N4) функция е ^ Ф(N(и + еН),д) является непрерывно дифференцируемой на отрезке [0,1]. Тогда для потенциальности оператора N в односвязной области ) относительно рассматриваемой билинейной формы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Ф«Н,д) = Ф«д,Н), Vи Е Б^), Vд, Н Е Б«). (10)

4. Аналог условий потенциальности Гельмгольца

Получим условия на операторы Р1И, р2И, Рзи и при которых уравнение движения (1) может быть представлено в форме уравнения Эйлера-Лагранжа.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть Б* = —Б4 на Б (N4). Тогда для существования действия по Гамильтону для уравнения движения (1) на Б^) относительно (6) необходимо и достаточно, чтобы Vи Е Б^), VЬ Е [Ь0,Ь1 выполнялись следующие условия на Б(^):

Р2и — = 0, (11)

и*Р3И — р* (■; и*) + Рзи МО) = о, (12)

-Р *

—2 -р2и + Р*„ + Р1„ = 0, (13)

-2р * -р *

2и + -р1и + ^И — О/ = 0, (14)

-¿2 -Ь

/ дР* \' дР*' дР*

-иь)+р**и+р'и(и*;•)-[р'и(и*;•)]*+2иг^ =0> (15)

Р2и(и«; ■) — Р*(■; и«) — [Р2„(и«; ■)]* + 2и«Р* = 0, (16)

—Р*Ц(■; и*; и*) + Р3и(и2; ■) — [Р3и(и2; ■)]* + 2игР*(■; и*) = 0. (17)

Доказательство. Используя (1) и (5), получаем

N4Н = 2Рз„(и4Н4) + (и2; Н) + Р2„Н« + Р2„(и«; Н) + РыН + Р(„(и4; Н) + ^ИН. Критерий (10) в данном случае записывается в виде

У (2Рзи(иЛ) + Р3и(и?; К) + р2иНи + Р'иЫ; К) + Р1 и К + Р'и(ut; К) + ОА д) а« =

«0

= J (2Рзи(и±д±) + Р3и(и?; д) + Р?иды + Р?и(и«; д) + Р1 ид± + Р[и(и±; д) + Я'иО, К) а«, «0

или

«1

J {(2Рзи(и«К) + Р3и(и?2; К) + Р?иЬ« + Р?'и(и«; К) + Р^К + РЦи; К) + д'К, д) -

- (-2АКРГ» + [РЦи?; •)]*& + А2(Р2» + [рЦ««; ■)]*Л-- а(р1» + [р1„(«*; ■)]*Л + д;= о, Vи е Р(Ж), Vл е ). (18)

С учётом производной Гато второго порядка имеем

БКВД = б4[а(р*ин)] = Бг

-Р *

Р2*Л + Н + р* (Н; иг)

г

"Р * "2р * /"Р * V

= Р*Нгг + 2Нг + 2Р*(Нг; иг) + ^ Н + (Н; и4)+

дР '

+ Р*"(Н; иг; иг) + Р*(Н; игг) + —^(Н; иг). (19)

Принимая во внимание (19), из (18) получаем

«1

J ^2Рзи(иЛ) + Р3и№; Л) + Р2иЛ« + РЦи«; Л) + Рхи^ + РЦи«; Л) +

«о

дР *

+ 2и«Рзи + 2и«—^Л + 2и*Р*(Л; и«) + 2«РТА - [Р^и?; ■)]*Л-- Р^Л« - 2-Р2иЛ« - 2Р2*и(Л«; и«) - ——^ Л - ^~(Л; и«)-

— Р* / — Р*

- РГО; и«; и«) - Р2Г/(Л; и«) - ——4(Л; и«) - [Р/Ди«; ■)]*Л + РЩЛ + ——4

+ рГ(Л; и«) - [Ри(и«; ■)]*Л - д4*м) а« = 0. Таким образом, условие (18) приводится к виду «1

J ({ (Р2; - Р2*и)Р« + (^2Рз; (и«(-)) + Р1 и + 2и«Рз*; - 2 —Р^ - 2РГ/ (•; и«) + Р*^ А +

«о

— Р *

+ Р/и (и2; ■) + Р2и (и*; ■) + Р,; (и«; ■) + дС + 2и«Р* + 2и ——4 + 2и«РГи(■; и«) - Ри(и,2; ■)]* -

— рг / — рг \ (■; и«) - Р2*ц;/(.; и«; и«) - Р*(■; и««) - —^(■; и«) - [РЦи«; ■)]* +

;

— Р * 1 \

+ —^ + РГи(■;и«) - [Р1и(и«; ■)]* - д4*}м)а« = о, Vи е Р(Ж), V5, Л е ).

Это тождественно выполняется тогда и только тогда, когда

/ -Р * \

(Р2« — Р*и) Бгг + (^2Рзи(иг(-)) + Рх„ + 2игР* — 2— 2Р*(■; иг) + Р*И) Бг+

-Р

+Рз«(и2; -)+Р2„(игг; •)+Рх'И(иг; -)+<Х+2иггР*+2иг+2игР*(•; иг) — [Р^(и2; ■)]* — -2 Р ' '

-Р ' -Р '

-Г2 )н (■; иг) — Р*^-; иг; иг) — Р*(•; игг) — (•; иг) — [Р2И(игг; •)]* +

Н = 0, Vи е Б^), VН е Б(N4),

-Р

+ + РЙ(■; иг) — [Рх'и(иг; ■)]* — д

а для справедливости этого равенства необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (11)—(17). □

5. Пример

Рассмотрим уравнение движения вида

N (и) = а1и2 + 61иХ + а2ии« + 62ииХХ = 0, (20)

(м) Е От = (0,1) х (0,Т),

где и = и(ж,Ь) — неизвестная функция; а^, (г = 1, 2) — постоянные. Положим

= {и Е и = С2(От) : и|*=о = ^1(ж), и|*=т = (х Е (0,1)),

и|х=о = и|ж=г = ^2(Ь) (Ь Е (0,Т))}, (21)

где ^ Е С[0,1], ^ Е С[0,Т], (г = 1, 2).

Обозначим V = С(От) и зададим билинейную форму равенством

т I

Ф(и,д) = У У и(ж,Ь)д(ж,Ь)ёж ёЬ. (22)

00

Покажем, что уравнение движения (20) допускает представление в форме уравнения Эйлера—Лагранжа при выполнении условий

62 = 261, а2 = 2а1. (23)

Действительно, в данном случае Рзи = а1, Р2и = а2и, Р1и = 0, О(и) = 61 иХ + б2ииХХ, поэтому

-Р *

7->* ^ 2и п п* п г>*

Р2и = а2u, --¿^ = 0, Р1„ = 0, Рзи = аЪ

Р*'а (■; и<) = а2и4, Рзи(и<(-)) = а^, ОИ = 2&1ижДх + &2ишж + 62 иБ^, ОИ* = —2б1ижж — 261 ижБж + 2б2ижж + 2б2ижБж + ^иБ^,

-2 Р* -р*

= 0, = 0, Р'„(и4; .) = 0, Р^(■; и*) = 0, [Р(„(и*; ■)]* = 0,

/-Р* V -Р*' -Р*

(-^р] (■; и<) = 0, (■; и*) = 0, = 0, Р2„(и44; ■) = а2и«,

Р*а(■; и«) = а2и44, [Р2и(и<<; ■)]* = а2и44, Р2*"(-; и4; и4) = 0,

Рзи(и2; -) = 0, [Рз„(и2; -)]* = 0, Р*(■; и4) = 0.

Из (11) а2и — а2и = 0,

(12) а1 и — а2и + а1и( = 0,

(13) 0 = 0,

(14) 261иХБХ+62иХХ+62иБ2+261иХХ+261 иХБХ—262иХХ—262иХБХ—62иБ2 = 0,

(15) 0 = 0,

(16) а2ии — а2и44 — а2и44 + 2а1и« = 0,

(17) 0 = 0.

Таким образом, при выполнении условий (23) оператор N вида (20) является потенциальным на Б(N) (21) относительно билинейной формы (22).

6. Нахождение первых интегралов уравнения

движения вида (1)

Распространим метод нахождения первых интегралов, предложенный в [2], на случай операторного уравнения (1).

Рассмотрим однопараметрическую группу преобразований вида

С : ( Ь =Ь + (24)

где ф — некоторые операторы.

С помощью преобразования (24) заданной функции и(Ь) можно поставить в соответствие функцию е) по правилу

и = и + е5 (и), (25)

где 5(и) = ф(Ь, и) — и). При этом оператор 5 называется генератором пре-

образования (25).

Определение 5. Преобразование (25) называется симметрией уравнения движения

N (и) = 0, (26)

если для любого достаточно малого е и любого решения и этого уравнения функция и вида (25) также является решением этого уравнения.

Критерий инвариантности получен в работе [3] и сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Преобразование (25) является симметрией уравнения движения (26) тогда и только тогда, когда

N 5](и) = N45 (и) — N (и) = 0 (27)

на решениях заданного уравнения движения.

Теорема 4. Пусть 51, 52 — генераторы симметрий уравнения (1), и оператор N является потенциальным на ) относительно билинейной формы (6). Тогда выражение

I[и] = А(Р2«52(и),51(и)) — (2Рзи(и452(и)) + 2Р2иБ452(и) + Р1„52(и),51(и)) (28) определяет первый интеграл заданного уравнения движения. Доказательство. Имеем

(N4 Н, д) =

= (2Рзи(иН4) + Р^и2; Н) + Р2„Н« + Р2„(и«; Н) + РЫН4 + Р(„(и4; Н) + ОИН,д) = = 2(Н*, и4Р3*„д) + (Н, [Рз„(и2; •)]*д) + )Н«, Р*д) + (Н, [Р2И(и«; ■)]*д)+

+ (Н4, Р*„д) + (Н, [Р(„(и4; ■)]*д) + (ОИ*д, Н). (29)

Далее,

-Р *

и4Рз*Ид) = Н, и4Рз*И^ — (Н, и«Рз*«д) — (Н, ^ —

— (Н, и4Рз*И' (д; и*)) — (Н, ^зИд^

, -Р * \

(Нгг, Р*9) = Бг(Нг, Р^з) — (Нг, д) — (Нг, Р*(з; иг)) — (Нг, Р^г) =

= Бг(Нг, Р2*Из) — Бг(н, + (н, ^^+ (н, (-Р|4(з; иг)\+

, -р* \ , -р *' \ + (Н, — Бг(Н, Р*(з; иг)) + (Н, (з; иг)) + (Н, Р*'(з; иг; иг)>+

+ (Н, Р*(зг; иг)) + (Н, Р*(з; игг)) — Бг(Н, Р*зг)+ , -р * \

+ (Н, ^ + (Н, Р*(зг; иг)) + (Н,Р*згг),

( ) ( ) ( - Р ) ( ( )

(Нг, Рх*Из) = Бг(Н, Р*^) — (Н, з) — (Н, Р*4(з; иг) — (Н, Р^г).

Таким образом, (29) примет вид

, -р * \

(N4Н,з) = Бг(Н, 2игРз*Из> — (Н, 2иггРз*^) — (Н, 2иг—

— (Н, 2игРз*4(з; иг)) — (Н, 2игР*зг) + (Н, [Р3И(и2; ■)]*з)+

, -р * \ , -2р * , , /-р * V ,

+ Бг(Нг, Р*з) — Бг(Н, з) + (н, -др24з) + (н, ) ^ (з; иг))+

, -р* \ , -р*' \ + (н, — Бг(Н, Р*(з; иг)) + (н, (з; иг)) + (Н, Р*'^; иг; иг))+

+ (Н, Р*(зг; иг)) + (Н, Р*(з; игг)) — Бг(Н, Р*зг)+ , -р * \

+ (Н, зг) + (Н, Р*(зг; иг)) + (Н, Р^гг) + (Н, [Р^(игг; •)]*з) + , -р * \

+ Бг(Н, Рх*Из) — (Н, з) — (Н, Р*(з; иг)) — (Н, Р^гН

+ (Н, [Рх'И(иг; ■)]*з) + (С з,Н). (30)

Учитывая условия (11)-(17), из (30) получаем

, -р * \

(N4Н, з) = (N4з, Н) + Бг(Н, 2игРз*из> + Бг (Нг, Р^) — Бг(Н, з) —

— Бг(Н, Р*(з; иг)) — Бг(Н, Р*зг) + Бг(Н, Р*^) = (N4з, Н)+

, -р * \

+ Бг(Н, 2игРз*из) + Б?(Н, Р^з) — 2Бг(Н, з) — — 2Бг(Н, Р* (з; иг)) — 2Б г(Н, Р*зг) + Б г (Н, Р^) = «з, Н)+

+ Бг(Бг(Р24з, Н) — (2Рзи(игз) + 2Р24зг + Рхиз, Н)).

Подставляя в последнее выражение 5х(и) и 52 (и) вместо Н и з и принимая во внимание (27), заключаем, что I[и] вида (28) является первым интегралом заданного уравнения движения. □

7. Заключение

В работе получен аналог условий потенциальности Гельмгольца для заданного уравнения движения. Дан общий вид первого интеграла этого уравнения в случае его инвариантности. Кроме того, предложен конструктивный метод нахождения генераторов симметрий.

Литература

1. Савчин В. М. Математические методы механики бесконечномерных непотенциальных систем. — М.: Изд-во УДН, 1991. — 237 с.

2. Caviglia G. Symmetry Transformations, Isovectors and Conservation Laws // J. Math. Phys. — Vol. 27, No 4. — 1986. — Pp. 972-978.

3. Савчин В. М. Симметрии ДУЧП с отклоняющимися аргументами // Тезисы докладов XXXVII Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. — 2001. — С. 7-8.

4. Савчин В. М., Будочкина С. А. О структуре вариационного уравнения эволюционного типа со второй производной по t // Дифференциальные уравнения. — Т. 39, № 1. — 2003. — С. 118-124.

5. Савчин В. М., Будочкина С. А. О существовании вариационного принципа для операторного уравнения со второй производной по «времени» // Математические заметки. — Т. 80, № 1. — 2006. — С. 87-94.

UDC 517.93, 517.972.5

On a Direct Problem of Mechanics of Infinite-Dimensional

Dissipative Systems

V.M. Savchin, S.A. Budochkina

Department of Mathematical Analysis and Theory of Functions Peoples' Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, Russia, 117198

A constructive method for finding some first integrals of equations of motion of dissipative systems with infinite number of degrees of freedom is suggested.