CC BY
11
УДК 620.179.16
СТРУКТУРА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ, НАВЕДЕННОГО НАД ПОВЕРХНОСТЬЮ ФЕРРОМАГНИТНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА, ПРИ ПАДЕНИИ СФЕРИЧЕСКОГО ФРОНТА АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ
К.В. Прокопьев, АА Шульгинов, С./О. Гуревич
В работе решена задача обратного электромагнито-акустического преобразования для ферромагнитной среды находящейся при температуре Кюри. Расчет выполнен для сферического фронта подающей акустической волны. Вычислены параметры электромагнитных волн, возникающих над поверхностью ферромагнитного полупространства.
При взаимодействии переменного электромагнитного поля с поверхностью проводящей среды в последней возникает акустическое поле. Если упругая среда является ферромагнитной, то акустическое поле обладает рядом особенностей. При температурах, соответствующих магнитному фазовому переходу (точка Кюри), обратное электромагнито-акустическое (ЭМА) преобразование происходит за счет объемной магнитострикции в следствии отсутствия анизотропии магнитоупругих и магнитных свойств среды. Задача обратного ЭМА преобразования успешно решена для плоского фронта падающей акустической волны [2]. В развитие подходов, сформулированных в этой работе, решим аналогичную задачу для падающей акустической волны, имеющей сферический фронт.
Пусть на плоскую границу ферромагнитной среды, заполняющую полупространство 2 > 0, из точки падает сферическая волна частотой со и амплитудой потенциала IV
(рис. 1). Среда магнитополяризована внешним магнитным полем Во. В результате действия упругой волны на элементы ферромагнитной среды возникает изменение намагниченности среды, которая создает переменное магнитное поле, последнее над поверхностью полупространства может быть зарегистрировано с помощью электромагнито-акустических преобразователей.
Смещение частиц твердого тела представим через скалярный и векторный потенциал. Уравнения запишем для цилиндрической системы координат
// /
Рис. 1. Система координат задачи
д2Ф дг2
1 дф д1Ф +--+—г
г дг дг
1 ^ -¿у
С/ дг
д2х¥ 1 дТ
дг г дг г
Граничные условия, записанные для границы металл-воздух
2 яг
дV__1 д2Ф
дг2 С,2 дг2
= 0
О)
(2)
СТ.
- г=0
0.
сг
п 2=0
= 0
преобразуем через потенциалы
(1 - 23)(
д2Ф дг2 _ д2Ф
д2Ф
1 ЭФЧ _ ) +
г дг дг
Э2У \дЧ/ дгдг г дг
) = 0;
Э2У
+
д2¥
1 9 У *Р
+
= 0.
С2
где 5 = —V
С2
дгдг дг дг г дг г Сь С/ - скорости поперечной и продольной волны в среде.
(3)
(4)
Прокопьев К.В., Шульгинов А.А., Структура электромагнитного поля, наведенного Гурееич С.Ю._над поверхностью ферромагнитного полупространства ...
Решение системы (1), (2) будем искать в виде
Ф(г, г, /) = Ф* (г, г)е~ш, У = г>Г,в* . С учетом этого система (1), (2) примет вид
д2Ф* 1 дФ* д2ф* . * 8(г) ^
5г г дг 2лгг
1 дГ* у* д2¥* _2ш. л
-5-+—---+ (6)
дг г дг г дх
, _ со _ ¿У
Л/--, к{ — —.
С, С,
Решение системы (5), (6) будем искать методом интегральных преобразований Бесселя, где
1 ос - 00
2п 0 2п 0
прямое, а
со со
Ф\г,г)= $Ф*(г,куо(кг)Ык; Ч*\г9г)= -
о о
обратное преобразование. Учитывая, что функции Бесселя */о(х) и J\{x) удовлетворяют уравнению Бесселя
сЬс х с!х сЬс х сЬс х
получим
с12Ф* -> 1 W ——-— (к - к} )Ф = -—, dz Аж'
--—^-S(z-d); (7)
— (к1 —kfyP* = 0. (8)
d2f'
dz
Запишем общее решение уравнений (7), (8)
Ö\z9k) = Cxis^ 4+Ф;(z,к); (9)
Y\zyk) = C2e~x^~** , (Ю)
где Ф*(г9к) - частное решение неоднородного уравнения (7). Второе слагаемое в уравнении (9) дает расходящееся решение, тогда Q = 0. Учитывая соотношение
-. +<30
S(z-d) = -- f e'r{z'd)dy, 2 я J
-со
и введя прямое и обратное преобразование Фурье
л +00 +СО
Ф* ¡<P(y,k)e'rkdy, Ф(у,к)= \0li,z,k)e-rkdz,
—со —00
уравнение (7) преобразуется к виду
ф=- w2 2 g Г 2 ■ (п)
Ал у +к -к?
Сделаем прямое преобразование Бесселя уравнения (11)
цг ч<? e~ir(d~=) W "7 e-'rW-=)
ФА (z,£)~--г- I —г----rdy —--г -, -г— dy . (12)
1 у +к — kf ^¿(y-jf^xy + jf^)
Как видно из рис. 1, нас интересует решение при z < d. Следовательно, (d - z) > 0. Введем обозначения
Физика__
Для нахождения интеграла (12) дополним область интегрирования до замкнутого контура. Тогда
Г--Зу - о———-¿¡у = 2я1У\геБ-- 2т-.
1 (У ~ У\ )(У "У г) (Г ~7\ )(Г ~У г) (Г ~ Ух)(/ ~ У 2 ) У г ~У\
Найдем частное решение
-к?
Общее решение уравнений (9), (10):
Ф\г,к) = --(13)
-к}
= . (14)
Первое слагаемое в уравнении (13) - отраженная /-волна, второе - падающая /-волна, уравнение (14) - отраженная ¿'-волна. Коэффициенты С\(к) и С2{к) находятся из граничных условий (3), (4). В результате получим:
Ъл2 А~%п2 1()'
_ IV _ УУ
А = (29к2 - к2)(1к2 - к2) - 4к23у1 к2 - к2 ^к2 - к2; * (2&к2 ~к2)(2к2 -к?) + 4к2&Лк2 - к2у1к2 - к2
А1=-1 ? 7-'
Vк2-к2
А*г=Щ2&к2-к?)
Общее решение для амплитуд потенциалов продольной и поперечной волн запишем следующим образом:
ф\29г) = ^\с1\кУ{=^У^^(кг)Ык-Лг] , к У0Скг)Мк; (15)
о ^ о л]к2-к2
= ~ ¡С^кУ^-^Зх(кг)Ык. (16)
8 71~ :
о
В акустическом поле на грани элементарного объема, выделенного в среде, действуют нормальные и касательные напряжения, однако последние вызывают лишь изменение формы объема, величина объема при этом не меняется. Следовательно, касательные напряжения и соответствующие им касательные составляющие смещений на поверхности среды не вызовут изменение объема и, следовательно, не приведут к изменению намагниченности за счет объемной магнито-стрикции. По этой причине далее рассматриваются только нормальные к поверхности среды составляющие смещений. Найдем ^-компоненту смещения £4, которая связана с потенциалами следующим образом
ч дФ дх¥ ¥ и:(г9г9 /) = _ + — +—,
02 ОГ Г
для трансформант Бесселя получим
с!Ф
и г) = аф
+ Ш*
, - - (17)
(12
При наложении на ферромагнетик периодически меняющихся во времени внешних напряжений под действием упругой волны в нем происходит обратимые и необратимые смещения границ доменов и процесс смещения вектора намагниченности. В области парапроцесса в районе
Прокопьев К.В., Шульгинов Д.Д., Структура электромагнитного поля, наведенного Гуревич С.Ю.__над поверхностью ферромагнитного полупространства ...
температуры Кюри намагниченность насыщения меняется [1], что приводит к генерации электромагнитной волны.
Пусть ферромагнитное полупространство находится в постоянном магнитном поле, направленном вдоль оси г. Падающая акустическая волна вызывает смещение границ доменов, что приводит к генерации электромагнитной волны. Запишем уравнения Максвелла
- дЁ югв^/л^Оо ~]сы)=ммоО'о -^о-г-); О8)
д1
<ИУЯ = 0; (19)
д Я
га гЁ =--; (20)
дt
й1\Ё = 0; (21) 7о=7 + <гЯ» (22)
где у0 - полная плотность тока внутри ферромагнетика; у - плотность тока, вызванного смещением границ доменов; стЁ - плотность тока, индуцированного электромагнитным полем. Введем вектор потенциал А,
ЗА
В = гогА, Е =--.
дг
Тогда уравнение (18) можно представить в виде
дЁ
или
rot rot А = JUf^j 4- JUJUqCtE + jUjU0£€0
dt
+ +1 ~ dA I dA
rot rot A = fiMoJ ---2"—, (23)
dt и dt
где
^ = 1 =c2a
/ЛЦ0££о П2 '
Решение уравнения (23) ищем в виде
rot rot A = jujUqJ - jujUQdicoA +k0A , (24)
где
A = A e \k0 =—.
v
В цилиндрических координатах уравнение (24) , записанное для ферромагнетика и воздуха, будет выглядеть следующим образом
(25)
dz дг г дг г
dz дг г дг г
где
д А в д A a 1 дА в А в .
+ —+ —----в -0, (26)
; к2ф — {ico<jfifj,Q +kl\ кв
' С
Аф, А* - амплитуды вектор-потенциала в ферромагнетике и в воздухе.
Из условий равенства тангенциальных компонент электрического и магнитного поля граничные условия запишутся в виде
4 =4 „; (27)
2=0
1=0
Физика
г=0
1 ¿Аф // (¡г
г=0
Используя интегральные преобразование Бесселя получим
¿¿г2
-{р2 -к2ф)Хф=Р\г,ру,
£4
йг2
(/32-к2)Ая=0
(28)
(29)
(30)
Как показано в работе [2], связь между упругими и магнитными константами можно представить в виде
/л/л0 го ХМ
= 6
д2Ц2 дг*
где
, ~ 2 дЯи 6 =//(А+—//)■ °
дН,
Ог
Я,/л - постоянные Ламэ; Аи- коэффициент объемной магнитострикции. Для трансформанты Бесселя получим
Р*(г,к) = ехр(-0 + с1)^к2 -к}) + Й2ехр-г^к2 ~к2) + +ЙЪ ехр(ггу/к2 -к2 -с1^к2 ~ к2 \
(31)
где
Щк)
т
Ъп2
С[(к)(к2 - к2)2 - амплитуда отраженной продольной волны;
т
8 ж'
Ы2(к) --^—¿(к2 - к2) - амплитуда падающей продольной волны;
тГу /7Ч Ш л*/М1//2
ЫЛк)
9 С2(к)к(к -к{) - амплитуда отраженной поперечной волны. 8 п~
Запишем общее решение уравнений (25), (26)
А*ф{г,/3) = В2ехр(-г^/З2 -кф) + (3(г,/3),
(32)
(33)
где С - частное решение уравнения (25). Для нахождения коэффициентов в уравнении (32), (33) используем граничные условия (27), (28). Частное решение определяем подстановкой в (29). В результате получим выражение для трансформанты вектор потенциала в воздухе
= адехрС^/?2-к] -¿ф2 ~к}\ (34)
2 к2 КФ
2к
(2)
М
\»
+
где
Б2{Р) = ЦР^Фг (Р)-ЩР))-{(^Чс2М3(/1).
Применив к выражению (34) обратное преобразование Бесселя, все интегралы берутся методом перевала, окончательно получим выражение для напряженности электромагнитного поля в воздухе на поверхности полупространства
Прокопьев К.В., Шульгинов А.А., Гуревич С.Ю.
Структура электромагнитного поля, наведенного над поверхностью ферромагнитного полупространства ...
* 1 Е (z = 0, г) =—œkt eos в E(k¡ sin в). d
(35)
Результаты расчетов приведены на рис. 2, 3. В качестве ферромагнетика выбран железони-келевый сплав 32 НКД- Из анализа графиков видно, что максимум напряженности электромагнитного поля наблюдается в диапазоне частот от 2 МГц, при узком угле наблюдения 4-10 град. С ростом частоты эффективность преобразования усиливается, но при этом становиться существенным поглощение в среде (в расчетах не учитывалось), что будет ограничивать верхний диапазон эффективно преобразуемых частот.
Е(0) l*10f4
i*io13
1*1012
1*10П
то10 __
8 ®,град
Рис. 2. Зависимость амплитуды Е от (9 для различных частот падающей сферической волны (d = 5 см)
Р* 10 А /ГГп
—
Гтт-
1 IV ид-
iil-MJLi i-
—
V, МГц
Рис. 3. Зависимость амплитуды Е от у для различных углов наблюдения {с1= 5 см)
Полученные результаты могут служить основой при конструировании ЭМА преобразователей, где главной задачей является подбор размеров и формы самого преобразователя.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 01-02-96469) и Минобразования РФ (грант №Е00-3.4-346).
Литература
1. Вонсовский C.B. Магнетизм. -М.: Наука, 1971. - 1032 с.
2. Гуревич С.Ю., Писарев М.С. Акусто-электромагнитное преобразование в ферромагнитных металлах при магнитном фазовом переходе // Физические методы испытаний материалов и веществ: Тематич. сб. научи. тр. - Челябинск, ЧГТУ, 1995. - С. 3-15.
