Магнитные свойства микрои нанопровода в области сверхвысоких частот Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНАЯ ОБРАБОТКА МАТЕРИАЛОВ

С.А. Баранов '

МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА МИКРО- И НАНОПРОВОДА В ОБЛАСТИ СВЕРХВЫСОКИХ ЧАСТОТ

Институт прикладной физики АН Республики Молдова, ул. Академией, 5, г. Кишинев, МВ-20028 , Республика Молдова **Приднестровский государственный университет им. Т.Г.Шевченко, ул. 25 Октября, 128, г. Тирасполь, Республика Молдова, haranov@ phys.asm.md

Введение

Современные технологии позволяют получать микро- и нанообъекты, в частности в виде микро- и нанопроводов (МНП). Изучение электродинамических свойств таких проводов (МНП) сложно из-за их микроскопических размеров. Поэтому возрастает роль бесконтактных методов исследования электродинамических свойств МНП, которые разработаны для области сверхвысоких частот (СВЧ).

Кроме того, применение микро- и нанопроводов для получения метаматериалов непосредственно связано, в частности, с практическими применениями этих материалов, которые обычно имеют уникальные высокочастотные свойства (см., например, [1-3]). C помощью микро- и нанопроводов изготовляются уникальные радиопоглощающие экраны (управляемые внешними полями). Возможно также создание материалов с отрицательной дисперсией [4, 5] и других устройств, работающих в данном диапазоне электромагнитного поля.

В работе исследуются теоретические подходы, позволяющие анализировать экспериментальные результаты. Отметим, что данные теоретические подходы развивались впервые в работе [6], результаты которой здесь обсуждаются. Получены и новые результаты, позволяющие анализировать эксперименты по изучению высокочастотных свойств нано- и микропроводов.

Определение импеданса провода в случае отсутствия частотной дисперсии магнитной проницаемости

В проводнике переменный ток, в отличие от постоянного, распределяется неравномерно по его сечению, а концентрируется по поверхности. Это явление называется скин-эффектом и влечет за собой изменение эффективного сопротивления и самоиндукции. Ниже приведем решение уравнений Максвелла для цилиндрических проводников, но начнем с простейшего анализа полуплоскости.

Будем исходить из уравнений для электромагнитного поля (уравнений Максвелла) в системе

СГС:

^ Ц 3Н

rot E = ---, (1)

с dt

ТТ 4пп 1 3D

rot Н =-E +--, (2)

с с dt

где о - удельная проводимость, ц - магнитная проницаемость (с - скорость света в пустоте).

Плотность тока смещения в проводниках мала по сравнению с плотностью токов проводимости, поэтому во втором уравнении, пренебрегая вторым членом, получим

_ 4поц 3Е

V2 Е = ■

с2 dt

V 2 Н = 4П0Ц3Н . (3)

с dt

© Баранов С.А., Электронная обработка материалов, 2009, № 6, С. 4-11.

Для монохроматического поля частоты ю:

V2 Е = 2гр2 Е, (4)

где

2 2лиош

р = ■

В упрощенном случае, когда бесконечный однородный проводник занимает полупространство так, что его поверхность совпадает с плоскостью г = 0, электрическое поле, а следовательно, и ток направлены вдоль оси X : (( = Ег = 0). Пусть Е зависит от расстояния рассматриваемой точки проводника от его поверхности, но не зависит от X, У . В этом случае из (3) несложно получить уравнение

2 52 Е 2 V2 Ех =—х = 2р2 Ех (5)

дг

общее решение которого:

Ех = Аекг + Ве кг.

Для этого уравнения (ниже и для более сложных случаев) мы будем использовать комплексный вектор к, модуль которого будем обозначать р:

к = р (1 + г) . Выберем только затухающее решение:

Ех = Ве ргег(ш-рг) . (6)

Используя действительную часть данного решения, получим решение в привычном виде:

Ех = Ве рг - рг). (7)

Плотность тока выражается формулой

Jx = Ле-рг соэ(^- рг). (8)

Следовательно, по мере проникновения в глубь проводника фаза электрического вектора изменяется линейно, а амплитуда убывает по экспоненциальному закону. При этом основную часть тока можно считать сосредоточенной в поверхностном слое, величина которого

5= 1/р .

На этой глубине плотность тока уже в е раз меньше плотности тока у поверхности проводника. Введенные параметры (5, к, р) можно использовать для анализа цилиндрических проводников, а выводы качественного поведения электромагнитного поля также полезны для анализа более сложного случая. Отметим, что для сравнения часто используют указанные параметры для немагнитных образцов (когда магнитная проницаемость ц, = 1), и в этом случае будем обозначать их - 5 о, к о, р о.

В цилиндрическом проводнике, переменный ток также концентрируется на его поверхности тем сильнее, чем больше частота тока. Концентрация тока на поверхности влечет за собой изменение сопротивления и самоиндукции, а следовательно, эти изменения величины зависят от частоты тока. Если весь ток концентрируется в поверхностном слое цилиндрического провода, то сопротивление последнего должно приближаться к сопротивлению цилиндрической поверхности, обладающей стенками соответствующей толщины (порядка 5). По мере увеличения частоты толщина проводящего слоя уменьшается, поэтому сопротивление проводника должно увеличиваться. Так как анализ плоскости для нас интересен только в сравнении с цилиндрическим проводником, то перейдем к этому случаю.

Рассмотрим цилиндрический проводник радиуса г0 = гж . Введем цилиндрическую систему

координат, ось которой совпадает с осью цилиндрического провода. За направление поля Е примем направление по оси провода. Напряженность Е равна проекции Е на ось 2 по модулю, зависит только от координаты г . В этом случае уравнения типа (3)-(5) записываются в виде

ё2 Е 1 ёЕ 2 ^ Л

-— + -— -2гр Е = 0. (9)

аг г ат

Существует только одно решение (с точностью до произвольного постоянного множителя) уравнения, которое остается конечным на оси провода: это решение носит название функции Бесселя

нулевого порядка от аргумента ртл!- 2г :

E = const J0 (pr~,[-2i). (10)

Асимптотические выражения имеют вид, если

pr0 << 1, или r0 << 5,

то

и если

то

J0 ) 1+itet Ji4L

pr0 >> 1, или r0 >> 5,

Pr0 -i( pr0 - n/8)

(11)

J0 (prV-2i L

(12)

2npr0

Амплитуда действительной части плотности тока будет возрастать при удалении от оси тока пропорционально:

1 + (pr)4.

16

В случае больших частот и толстых проводов pr0 >> 1 можно использовать приближенное выражение:

gfr-i( pr-n / 8)

E ~ const --r=- . (13)

Vr

При достаточном удалении от провода это выражение можно экстраполировать в виде (чтобы сравнить этот результат с формулами (6) и (7))

Ez ~ Ae~ p( r°-r) cos (at + n/8-pr ) . (14)

Асимптотическая формула для тока выразится

j « Ce~p(r0-rLcos (at + n / 8 - pr) . (15)

Как видно из формулы (15), плотность тока экспоненциально убывает по мере удаления от поверхности проводника в глубь проводника, то есть основная часть тока сосредоточивается в поверхностном слое, что полностью соответствует аналогичной формуле (8).

Для напряженности электрического поля в общем виде

Ez = const J0 (kr) e~iat (16а)

(для удобства опять используется комплексный волновой вектор k = (1 + i) p =(1 + i)/ 5).

Для напряженности магнитного поля, используя уравнение Максвелла (формулы (1), (2)), получаем:

ia тт ^ dE„ —Hv= rotvE = -—± . с dr

Так как

J' (x) = - J (x) ,

то окончательно для напряженности магнитного поля

H=-r const J^Aj (kr (16b)

V Ш

Отметим, что одинаковый множитель const входит в электрическое и магнитное поле. На поверхности проводника можно считать, что

H = 2L .

СГ0

В принципе, можно выразить величину данной константы через электрический ток I. (Последнее эквивалентно так называемому граничному условию Леонтовича - Щукина и не всегда справедливо для малых частиц.)

Запишем результат для отношения электрического поля к магнитному, которое определяет погонное комплексное сопротивление провода (то есть комплексное сопротивление единицы длины провода):

Z =

f k ) J0 (kr0 )= r kJo (kr0) = R f kr0 ] J0 (kr0)

v 2njro J

(17)

Зх (кг0) пов (кг0) погонное ^ У, (кгй)

где введено понятие удельного поверхностного либо погонного сопротивления на постоянном токе:

^пов. ~ ' ^погонное 2 (18)

2пг0о жг0 с

Полученная формула (17), вообще говоря, не зависит от граничных условий и имеет достаточно общий характер для микро- и нанопроводов.

Формула (17) ( см., например, [6-9]) очень популярна для экспериментальных анализов, но область ее применимости ограничена не учетом магнитного резонанса, который часто имеет место в ферромагнитных материалах. Ниже рассмотрим теорию с учетом ферромагнитного резонанса (ФМР).

Линеаризованные уравнения Ландау и Лившица для аморфного ферромагнетика

Ферромагнитные свойства вещества описываются уравнением Ландау - Лифшица:

(М

= -у\м х H

л - I ^ (19)

Л 1

где: У - гир°магнитное отвд^™^ Н = Но6м + н аниз + Нвнешн ; Но6м = а V2М; Нт - внутреннее

поле, которое является полем анизотропии и которое в случае аморфного ферромагнетика пропорционально механическим напряжениям и магнитострикции Ненешн - внешнее магнитное поле.

Для линеаризации уравнения рассмотрим намагниченность системы в виде постоянной и маленькой переменной (зависящей от времени) части:

М = М0 + т (I) . (20)

Будем пренебрегать членами второго порядка малости, считая, что внешнее поле

НтешН = Но + к (t) (21)

также состоит из постоянной и маленькой переменной (зависящей от времени) части.

Представим линеаризованный вариант уравнения (19) в декартовых координатах, полагая:

т^) - тв~ш, (22)

где введен двухкомпонентный вектор - т (тх, ту ) . Тогда уравнение (21) имеет вид

/ш тх = -у Н ту - у М0к;

Х , 0 У (23)

-/ш ту = у Н тх + у М0 ку.

Уравнения (14) можно диагонализировать, введя координаты с векторами:

а± = х ± /у . (24)

Используя их свойства, получим для вектора намагниченности

М± = —м . (25)

—Н ± —

Здесь

—м = У М0; Юн = у Н . (26)

Введем резонансную и нерезонансную магнитные проницаемости:

Ц± ~ ЮЮ±-. (27)

—Н ± —

Учет релаксационных явлений осуществим заменой — на — ^ — — /у, где у отвечает за ширину ферромагнитного резонанса.

Дисперсия цилиндрических волн в аморфном проводе

Начнем с преобразований уравнений Максвелла во вращающейся системе координат. Рассмотрим формулу

Ух[Ух Н ] = Н) —V2 Н . Первый член в правой части этой формулы в неподвижной системе равен нулю, однако во вращающейся системе его необходимо учитывать.

Запишем уравнение Максвелла во вращающейся системе координат:

с 2

в = /ц0 4 (V-V-Н+-V+V—Н_);

В+= />0(V+V+H--V+V-H+) . (28)

Общее решение уравнений представим в виде ряда по собственным функциям оператора V2 в цилиндрической системе координат (выбираем лишь функции, которые не расходятся, при г ^ 0). Такие функции имеют вид

/я {кг ) = е'пф3п {кг) , (29)

к - константа распространения.

Существует предельный случай перехода к формулам (16а, Ь), когда:

Е - 30 (к0г );

Н- 3 (V) . (30)

Представим набла оператор в виде

^ = / д.

дх ду

Данный оператор в сферической системе координат

V± =— е±/ф ± -е±К" —. дг г дф

Тогда, пользуясь соотношениями для функций Бесселя: р 3 (р) = -п 3п (р) + р 3п-1 (р),

Р 3'п (р) = п 3п (Р)- Р 3п+1 (Р),

получаем

V±/n (кг ) = ±п/п±1 (кг ) . (31)

Введенные набла операторы являются аналогами операторов рождения и уничтожения. Пользуясь свойствами функций (их ортогональностью), представим разложение Н, В в ряд по собственным функциям, где значение параметра волнового вектора К еще не определено (он здесь представлен, как неопределенный параметр задачи), а п изменяется от 1 до бесконечности.

Н±=^ Н± /п±1 (кг); В±=£ Вп± /п±1 (кг).

Для амплитуды разложения получим (введя пока еще не определенный безразмерный волновой вектор К)

к2

Бп ± = ¡К2 (+ + Н—); Бп ±=^±- Н±; К2 = дД? —. (32)

Для однородной системы имеет место нетривиальное решение лишь в случае, если определитель системы равен нулю. Получаем уравнение на определение параметра К:

¡К2 + ц+ ¡К2

¡К2

= 0.

( 33)

¡К2 + ц _

Отсюда:

ц-ц ++ ¡К2 (ц ++ ц_) = 0 . (34)

Уравнение дисперсии относительно параметра К, если его расшифровать, представляет собой бикубическое уравнение. Следовательно, оно описывает три вида дисперсии. Это дисперсия основных, спиновых и поверхностных волн (спиновые и поверхностные волны ниже обсуждаться не будут).

Если характерные размеры объекта меньше длины волны, то (соответственно условию Леон-товича - Щукина) можно ввести понятие импеданса Z (о), который характеризует соотношение между модами Е и Н , на границе проводника в виде

Еа = I И-Нв.

(35)

Для нахождения I (о) пишутся известные граничные условия, которые в нашем случае выражаются в виде условий непрерывности Нф и Ег на границе проводника (необходимо перейти в

цилиндрическую систему координат). Из-за громоздкости этих соотношений, приводить их здесь не будем.

Так как каждая из п -мод в линейном приближении независима, то:

I = 71«.

^^ п

(36)

Для каждой волны

К ( = I,2,3); Е« =7А]Ъ] ;1«Нп =7Б1Ъ] .

Отметим, что Еп и Нп связаны уравнением Максвелла и внешнее поле Еп = Нп . Для полноты задачи необходимо задать вектор Бп г (или М пг) на границе, учитывая поверхностный магнетизм: дМ ± К

-г— КМ± = 0 ;К' = ——, К8 — анизотропия поверхностного магнетизма (А — обменное взаимо-

дг А

действие).

Получим решение для 1п :

I

п А '

где

А =

Нп 0

Б,

0 Х1 0 У

А: =

Нп А,

0 0 0 Б1

X .

У .

п

Поэтому

7п =

Х, У,

Х, У

Коэффициенты А,В... X,У имеют вид:

А = 1 А п = 2

В,п = р-

- эфф.

- Л- (к/)-— /п+1 (г) --

к Зп (к Г );

Х =

V-0 --и

С ■

уп =

С,„;

V - 0 -+;,

С, = к/:-1 (к/)-К ^-1 (к/).

Если пренебречь всеми модами , , кроме основного однородного резонанса, то

7 р к (к4Г)

7п-р "'ТСт) ■

В случае, когда скин-слой много меньше радиуса, можно получить известную формулу для плоскости, когда:

7 - рк;

где

1

к « -2.

Именно в этом приближении производились основные исследования ФМР в стандартных радиоспектроскопах.

Влияние на резонанс спиновых и поверхностных волн рассмотрим в другом сообщении.

Выводы

1. Рассмотрена теория скин-эффекта на примере ферромагнитного материала при учете ферромагнитного резонанса в случае цилиндрических образцов.

2. Получена теоретическая зависимость волнового сопротивления микро- и нанопровода от его магнитной проницаемости, частоты электромагнитного поля, проводимости и радиуса провода.

3. Полученный результат позволяет анализировать эксперименты по изучению высокочастотных свойств ферромагнитных микро- и нанопроводов, что представляет очень важную проблему в свете изучения магнитных свойств метаматериалов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баранов С.А., Зотов С.К., Ларин В.С., Торкунов А.В. Особенности естественного ферромагнитного резонанса в аморфном микропроводе // ФММ. 1991. Т.69. В. 12. С. 172-173.

2. Баранов С.А., Бержанский В.Н., Зотов С.К. и др. Ферромагнитный резонанс в аморфных магнитных проводах // ФММ. 1989. Т.67. В. 1. С. 73-78.

3. Баранов С.А., Стоянов С.С., Исследование микропровода методом ферромагнитного резонанса // Электронная обработка материалов. 2006. № 3. С.191-195.

4. Baranov S. A., Colpacovithi I., Kleimenov V., Bugakov V., Usenco V. Composite on the basis of microwire with negative value of permeability in microwave range of frequencies // Moldavian Journal of the Physical Sciences. 2003. V.2. No 2. P. 174-176.

5. Баранов С.А., Усенко В.П. Композит из микропровода с отрицательной рефракцией // Электронная обработка материалов. 2003. № 5. С. 89-90.

6. Kraus L. Theory of ferromagnetic resonances in thin wires // Czechoslovak journal of physics. 1982. V. B 32. P.1264-1282.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., 1957. С. 253.

8. Zuberek R., Szymezak H., Gutowski M., Zhukov A., Zhukova V., Usov N.A., Garcia K., Vazquez M. // JMMM. 2007. V. 316 . P. 890-894.

9. Reynet O., Adenot A.-L., Deprot S., Acher O. Effect of the magnetic properties of the inclusions on the high-frequency dielectric response // Phys. Rev. 2002. V. B 66 , 094412-094420.

Поступила 03.08.09

Summary

The theory of skin-effect on an example of an amorphous ferromagnetic material is presented at the account of a ferromagnetic resonance. Theoretical dependence of impedance of a microwire is received from its magnetic permeability. The received result allows analyzing experiments on studying high-frequency properties of an amorphous microwire.