Строгая теория катушки индуктивности в цепи переменного тока радиочастоты и некоторые инженерные приемы приближенного расчета параметров однослойной катушки Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 204 1971

СТРОГАЯ ТЕОРИЯ КАТУШКИ ИНДУКТИВНОСТИ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА РАДИОЧАСТОТЫ И НЕКОТОРЫЕ ИНЖЕНЕРНЫЕ ПРИЕМЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ ОДНОСЛОЙНОЙ КАТУШКИ

Р. М. КЕССЕНИХ

(Представлена научным семинаром кафедры электроизоляционной и кабельной техники)

Конструирование радиоаппаратуры во многих случаях требует применения двухполюсных и многополюсных цепей с малыми потерями энергии и со стабильными по отношению к внешним воздействиям резонансными и антирезонансными частотами.

В соответствии с общей теорией цепей, импеданс двухполюсника определяется выражением 1 через Р-среднюю мощность, за период поглощенную цепью, и средние за период значения энергии магнитного и электрического полей, созданных токами и зарядами в элементах цепи.

Р . И7В) г) / \ 1 • / \

2 = Р - Р- = Д (ш) + IX (<!>). (1)

Как известно, резонансными и антирезонансными для двухполюсника называются частоты, при которых | г \ имеет экстремум и х (ш) = 0. При этом соответствующая частота будет резонансной, если |2(шл)| имеет в точке о> = минимум и антирезонансность, если этой точке соответствует максимум модуля полного сопротивления.

/ р

Из сказанного следует, что при малых потерях —-=— < 1

\ № в

резонансные свойства определяются частотной зависимостью величины

ш Ул

Конструктивные методы осуществления цепей со свойствами двухполюсника в настоящее время весьма разнообразны, однако большинство типов двухполюсников, характеризующихся острыми резонансными и антирезонансными кривыми, может быть отнесено к одной из трех групп:

а) колебательный контур с ¡разделенными индуктивностью и емкостью;

б) объемный резонатор;

с) длинная линия или волноводный резонатор.

Системы типа «С» могут быть осуществлены в виде сочетания двухполюсников типа «а» (искусственные линии). Возможность сосре-

доточения относительно больших запасов энергии магнитного поля в малом объеме при малом количестве металла представляет особую ценность для конструирования малогабаритной аппаратуры. Если оставить в стороне выходящий за рамки нашего рассмотрения тип систем с железными, ферродиэлектрическими и ферритовыми сердечниками, то для области частот от 1—3 до 50—100 мгц такая возможность создается применением однослойных соленоидальных проводников в виде катушки индуктивности с экраном или без экрана.

Для этой области частот резонансные двухполюсники в виде объемных резонаторов и длинных линий применимы лишь в редких случаях, когда размеры и вес устройства играют второстепенную роль. Для малогабаритной переносной аппаратуры связи, предназначенной к работе в диапазоне коротких и ультракоротких волн, давно применяются и сохраняют основное значение резонансные системы с разделенной индуктивностью и емкостью.

Индуктивность в таких системах осуществляется при помощи однослойных катушек самоиндукции. Многослойные катушки обладают значительными потерями и находят применение в диапазоне средних и длинных волн.

В соответствии с основной задачей настоящей работы здесь рассматриваются системы, наиболее приближающиеся по своим свойствам к чистой индуктивности, т. е. системы, для которых в рабочей области частот

Выбор деталей для конструирования колебательных цепей радиоаппаратуры должен производиться на основании задания определенных характеристик этих деталей, причем, разумеется, число характеристик и параметров деталей должно быть минимальным и физический смысл их должен быть возможно более ясным для конструктора.

Квазистационарная модель электрической цепи переменного тока является очень привлекательной для построения эквивалентной схемы колебательной цепи.

Простейший случай, к которому очень часто приходится сводить рассмотрение колебательных элементов радиотехнических устройств — цепь с сосредоточенной индуктивностью, емкостью и сопротивлением.

Переход от идеализированной схемы к лабораторному макету радиотехнического устройства, а затем к образцу и к стандартным деталям вносит существенные изменения в идеализированную схему. В случае простейшего колебательного контура такие изменения сводятся к учету казалось бы второстепенных поправок — таких, как распределенная емкость и .распределенные потери всех видов в индуктивности, распределенная индуктивность и потери всех видов в емкости и емкость, и индуктивность сопротивлений.

В некоторых случаях «паразитные явления», обусловливающие необходимость внесения таких поправок, становятся настолько резко выраженными, что теряет смысл первоначальная упрощенная эквивалентная схема (дроссель с большой емкостью при высоких частотах, бифилярное сопротивление при высоких частотах и т. д.). В таких случаях становится необходимым существенно изменять конструкцию детали для того, чтобы восстановить ее качественные особенности. В других случаях паразитные влияния второго порядка, не нарушая принципиальной стороны работы схемы, существенным образом сказываются на таких свойствах как стабильность. Целью настоящей работы, как уже указывалось, является рассмотрение вторичных

явлений в таких деталях радиоцепей высоких радиочастот (3—150 мгц), которые обусловлены влиянием диэлектрических свойств материала каркасов катушек самоиндукции на электрическое поле распределенных за.рядов катушки.

Как следует из самой постановки задачи, полная и достаточно строгая трактовка вопроса о влиянии электрического поля в каркасном материале катушки самоиндукции на колебательные параметры катушки в рабочих условиях требует рассмотрения весьма сложных в геометрическом и электрическом отношении систем как сложных электродинамических проблем. Такой подход к процессам в однослойной катушке давно привлекал внимание многих физиков-теоретиков и экспериментаторов. Достаточно упомянуть, что проблема однослойной катушки в самом упрощенном виде рассматривалась теоретически и экспериментально [2, 3, 4, 5]. Попытка более строгого решения задачи о свободных и вынужденных электрических колебаниях однослойной катушки была сделана в работе [6]. Работы, в которых данная задача рассматривается в более упрощенной инженерной постановке, не учитывают полученных ранее теоретических результатов [7, 8, 9].

Естественно, что общая электродинамическая формулировка задачи во всей ее полноте не представляет для техники никакой ценности, если не установлены хотя бы предельные случаи, в которых строгая постановка подтверждает упрощенную инженерную трактовку задачи, согласующуюся с экспериментом и практикой конструирования радио-, деталей.

Уравнения поля для сложной системы проводников и переход к уравнениям квазистационарных переменных токов

Уравнения квазистационарных переменных токов получаются из уравнений электромагнитного поля путем перехода от дифференциальных уравнений в частных производных для поля в объеме, занимаемом рассматриваемой системой к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемых после интегрирования векторов электрического поля по контурам, соответствующим цепям, на которые разбивается система. В общем случае исходным является уравнение

—V ——► —

Так как div5 = 0 и В = rot Л, где А — вектор потенциал, то на

В -|— = о,

для любого замкнутого контура Г,-,

E + —\ds = 0 (2)

гл dt\ У '

i

Условие перехода от этого контура интеграла к дифференциальному уравнению квазистационарной цепи переменного тока сводится к возможности представления:

<^Eds = ^UtK + ^RiKIK (3)

где Ут — потенциалы, наводимые на отрезках ¿-го контура к-м зарядом; 1К — падение напряжения на сопротивлениях ¿-го контура, обусловленное током

1 =дЛл. к дЬ

(5)

д/

и ¡¿к—- — электродвижущая сила взаимоиндукции, наводимая током

д1

1К в ¿-м контуре;

—>

А0 — вектор потенциал первичного поля, создающего электродвижущую силу в контуре.

Рассмотрим как эта схема сопоставления уравнений может быть приложена к расчету распределения зарядов и токов в катушке (намотанной на изолирующем каркасе из материала, обладающего диэлектрическими потерями), образующей колебательную цепь последовательно с конденсатором. Схематически такая система изображена на рис. 1.

Распределение изолирующего материала и проводника показано в разрезе на рис. 2 и 3. Эта схема может соответствовать применяемой

конструкции катушек самоиндукции с керамическим каркасом и нанесенным вжиганием металлом обмотки катушки.

тл

шт.

Рис. 1. Катушка индуктивности с емкостью

Рис. 2-3. Распределение изолирующего материала и проводника

В общем случае переход от дифференциального уравнения в частных производных к уравнениям электрических цепей соответствует выбору минимального числа контуров Г* , обход по которым с достаточной для поставленной цели точностью эквивалентен полному заданию граничных условий задачи. Нулевое приближение будет соответствовать введению одного контура обхода, представленного схематически на рис. 1.

На этом рисунке участок Р\ — Р2 контура представляет собой спираль, проходящую по поверхности проводника катушки Р2 — Я3 и Ра — Р\ — по поверхности соединительных проводников и Р3 — Я4 через диэлектрик конденсатора С0. При этом, в предположении, что проводимость металла с-> оо

Рх

г

Р1 Рг

| + | вав + | Ей* = о (6)

Вследствие равенства нулю тангенциальной компоненты Е на поверхности идеального проводника. Далее

Р4 РI

| ЕсГв = - | ёга<3 - ) АОб. (7)

Второе упрощающее предположение состоит в том, что потенциал

ф

Н-— (8)

4кг0 J г

заменяется выражением без учета запаздывания (одно из условий квазистационарности) в соответствии с обычным расчетом поля и заряда в плоском конденсаторе. При этом предположении

Г1

- ] ёгас1 ф = ф (Р3) - ф (Л) = и. (9)

Разность потенциалов ¿7 будет равна

(Ю)

где д — заряд на обкладке;

С0 — емкость контурного конденсатора.

Третье упрощение сводится к допущению, что во всех точках проводника катушки и соединительных проводов

СИУ7=0. (11)

Это предположение равносильно утверждению, что поверхностная плотность зарядов на проводнике катушки и соединительных проводах равна нулю и, что, следовательно, электрическое поле вне конденсатора не имеет нормальной к поверхности проводника составляющей вектора напряженности. Из этого предположения следует, что

(12)

ток через поперечное сечение проводника во всех его точках одинаков, т. е. также условие квазистационарности.

Применяя (6), (7), (10) и (12) к (2) в данном идеализированном случае, получаем

, дА) Г я д Лг г* . д £4--} --Л ¿я --

дЬ ] С0 дЬ .) Ы

Рз Л, р3)

г

с1ь

Рз

И, наконец, после приближенной замены, также с использованием условия квазистационарности, интеграла в правой части (13) по об-

90

ласти проводников (Р4, Ри Р2, Р3), считая, что равенство (2) остается в силе, — получаем

+ (14)

с дt)^

г

б с*

где £ — — — \ — электродвижущая сила индукции внешнего поля.

Я(1$' с1$

-== I и представляет собой самоиндукцию катушки и соединительных проводов.

Учитывая также, что в области конденсатора уравнение (И) переходит в

дЬ дЬУ дЬ

и заменяя — на — , получаем обыкновенное дифференциальное урав-дЬ сИ

нение колебательной цепи без потерь:

¿11—+ —= Е(*). (15)

" М* С0 к ; к }

Это хорошо известный в принципе путь здесь воспроизводится в деталях с целью более отчетливого выделения допускаемых упрощений.

Не останавливаясь здесь на упрощении интеграла

• ^ с' л ^ /-а-с ¿¿в

* г

который при строгом рассмотрении, даже в случае идеальной проводимости содержит кроме самоиндукции также и сопротивление излучения катушки и соединительных проводов, а также зависит от эффекта близости соседних витков, следует с основной задачей работы обратить главное внимание на допущение (11)

<11У7= О-

Это допущение утверждает, что мгновенное значение полного тока катушки остается постоянным и, следовательно, распределения емкость катушки отсутствует. Первое приближение в решении задачи, которое получается при отказе от условия (11) при сохранении предположения об идеальной проводимости проводника катушки, непосредственно приводит к необходимости учета электрического поля заряда, распределенного по поверхности проводника катушки и соединительных проводников колебательной цепи.

Все дальнейшие приближения к строгой формулировке задачи могут рассматриваться как замена обыкновенного дифференциального уравнения нулевого приближения (15) системы уравнений с первыми производными по времени от зарядов ц{ или соответствующих им токов

/< =

¿Яг

М

Кажется, такая система дифференциальных уравнений соответствует представлению катушки в виде электрической сети с конечным числом элементарных ячеек.

Практически это первое приближение обозначает прибавление к емкости контура (С0) собственной емкости катушки, которую мы обозначим через С'о- Это приближение не достаточно для катушки с большим числом витков. Может потребоваться более сложная эквивалентная схема, в которой будет учитываться постепенное разветвление полного тока между витками катушки и распределенной емкостью витков.

Интегральное уравнение замкнутого колебательного контура при свободных и вынужденных колебаниях и его приложение к задаче собственной емкости и добротности однослойной катушки

Отказ от уравнения (11) восстанавливает строгое соотношение

/Т дР\ до ¿[IV у--=--

\ дь) дь

(16)

где Р—вектор поляризации диэлектрика каркасного материала и изолирующей обмотки проводника катушки;

р — объемная плотность свободных зарядов.

Скалярный потенциал поля в этом случае будет определяться выражением

>Ь =

4ТС£

р и

йх

сНУР!*- — с

(1х

о

или

дЬ

j ¿¡Уу

йх.

(17)

(18)

Напряженность электрического поля Е определится через ска-

—V

лярный потенциал (17) и вектор потенциал А

к, Чг~7

А =

йх + Ап,

4тс .! Г

где А0 — вектор потенциал внешнего поля посредством выражения

I й]\г--г

и

(19)

Е=— grad Ф —

4л

ЦИ — —

1

дЬ г

дЬ

(20)

дает

Подстановка в (20) —(18) после дифференцирования по времени

д_Е_ Ы

= — егас! 1 4*е0 * г)

Г* —> I <Пуу

ах

I

йх

д2А,

дЬ'

(21)

Проекция (21) на касательную 5 к осевой линии, проходящей через центральную часть провода, дает при условии предположения об идеальной проводимости среды

1 д_

4те0 дя

(НУj (t--

4ъд? 8'1

У *

дР

(22)

Если предположить чисто гармоническую зависимость А0(1) от вре-

мени в виде = ЯеА0ег-ш и отбрасывая в уравнении (22) реше-

ние, выражающее собственные колебания, то можно получить инте-

—

гродифференциальное уравнение для плотности тока / в проводнике катушки. Этот вопрос рассмотрен в [6].

При вынужденных колебаниях, соответствующих заданному внеш-

—

нему полю с комплексной амплитудой вектор-потенциала А0, определение собственной емкости сводится к следующему — катушка представляется в виде эквивалентной схемы (рис. 4).

Полный ток /, входящий в двухполюсник-катушку, разлагается на две части: ток ^ в пучности тока катушки и эквивалентный ток /г;., соответствующий емкостной ветви эквивалентной схемы.

а

^^Ш^/улллл^ПЯГГ^

I Яд

н--и --

Рис. 4. Эквивалентная схема катушки

Как строгим, так и приближенным путем можно определить полный ток I и ток ¡1. Отсюда определится и ¡с0 как

/с. = / — (23)

При условии малой величины эквивалентного сопротивления потерь в собственной емкости I где V — падение напряжения на

катушке.

Задачей нашего исследования является оценка влияния электрического поля в пространстве, между витками на добротность катушки, намотанной на каркас. Для технического решения указанной задачи необходимо определить собственную емкость катушки, а затем влияние диэлектрических свойств каркасного материала на добротность.

Поставленная задача может быть решена с помощью эквивалентных схем и сопоставления их с экспериментом. На рис. 5 приведены схемы для нескольких вариантов грубого расчета С0 для случая, приближающего к нашей задаче. Можно видеть из приведенного рис. 5, что для практических расчетов целесообразно пользоваться линейной зависимостью собственной емкости Сго, имеющий вид (рис. 5, а).

Со = С% + С2г. (24)

На рис. 6 дана схема, представляющая катушку в виде двухполюсника. Расчет показывает, что для добротности катушки <3 справедлива формула [10]

= (25)

93

с.

аГ.

Рис. 5. Схемы нескольких вариантов расчета собственной емкости катушки

Рис. 6. Катушка-двухполюсник

С0 ,8 пер

0 4 8 1? 16 20 24 28 32 36 40 44

Рис. 7. Зависимость собственной емкости оч диэлектрической проницаемости каркасного материала

электрических потерь каркасного материала

где Qi — добротность при условии QiW2Cg.tg S 1 бескаркасной катушки;

Cg — емкость через диэлектрик каркаса;

L — индуктивность; tg ô — тангенс угла диэлектрических потерь каркасного материала.

Предложенные нами формулы (24) и (25) дают хорошее совпадение с экспериментальными результатами. Для иллюстрации сказанного на рис. 7 и 8 приведены опытные данные, полученные нами при проверке (24) и (25).

ЛИТЕРАТУРА

1. В. А. Котельников, А. М. Николаев. Основы радиотехники, ч. 1, 44, Связьрадиоиздат, 1950.

2. Р. Д руд е. Ahn. der Phys, vol. 9. P 293 (1902).

3. В. Лени. Ahn. der Phys, vol. 37, p 923 (1912), 43, 749, 1914.

4. А. Зоммерфельд. Ahn. der Phys. vol. 24, 609, 1907.

5. Брейт. I. Opt. Soc. of America, 10, 65, 1925.

6. Галлен. Astr. och Fysik, В, 24А, № 5, Стокгольм, 1933.

7. Мустафа и Гохарт. PIRE, 41, 537, 1953.

8. В. Мед хер ст Р., Wir. End., v. 24, № 291, 282, 1947.

9. Г. Т. Шитиков. Стабильные диапазонные автогенераторы. Изд. «Советское радио», 1965.

10. Р. М. Кессених. Изв. ТПИ, т. 95, 1958.