Компенсация потерь в колебательном контуре при использовании инерционных индуктивных и емкостных двухполюсников Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

В. С. Анищенко, А. В. Хохлов. Компенсация потерь в колебательном контуре

ФИЗИКА

УДК 621.396.1

КОМПЕНСАЦИЯ ПОТЕРЬ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ИНЕРЦИОННЫХ ИНДУКТИВНЫХ И ЕМКОСТНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

В. С. Анищенко, А. В. Хохлов

Саратовский государственный университет E-mail: Wadim@info.sgu.ru, hohlov@info.sgu.ru

Введены обобщенные линейные инерционные двухполюсники и рассмотрены собственные колебания в последовательном LCR-контуре с инерционным индуктивным элементом второго порядка. Показано, что введение элемента второго порядка эквивалентно внесению в контур отрицательного трения.

Ключевые слова: колебательный контур, потери, инерционный индуктивный двухполюсник, добротность, отрицательное трение, имитатор индуктивности.

Compensation for Losses in a Resonant Circuit when Using Inertial Inductive and Capacitive Two-poles

V. S. Anishchenko, A. V. Khokhlov

Generalized linear inertial two-poles are introduced, and the eigen-oscillations are consi-dered in a series resonant LCR-circuit with a second-order inertial inductive element. It is shown that the introduction of the second order element is equivalent to entering negative damping into the resonant circuit.

Key words: oscillatory circuit, losses, inertial inductive two-pole, Q-factor, negative damping, inductance simulator.

DOI: 10.18500/1817-3020-2015-15-4-5-9

Простейшими элементами радиоэлектроники являются линейные безынерционные сопротивления, индуктивности и емкости [1,2]. Практические потребности привели к необходимости исследований и создания нелинейных и инерционных элементов радиоцепей, таких как термисторы, мемристоры, нелинейные емкости и др. [3].

Целью настоящей работы является теоретический и экспериментальный анализ свойств линейных инерционных индуктивности и емкости.

Теоретический анализ. Падение напряжения U(t) на линейном безынерционном индуктивном элементе L при прохождении тока

I (t) описывается классическим соотношением U (t) = RI + L —, где

dt

R - сопротивление потерь. Если падение напряжения на индуктивном элементе зависит от более высоких производных протекающего тока, то функцию U(t) будем представлять в виде

U(t) = RI + L — + w(2>dl + W{ydl + w(4>dl +... , (1)

dt L dt2 L dt3 L dt4 ' '

НАУЧНЫЙ

ОТДЕЛ

© Анищенко В. С., Хохлов А. В., 2015

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Физика. 2015. Т. 15, вып. 4

где WL') - постоянные коэффициенты, имеющие соответствующие размерности, L = const. В дальнейшем ограничимся случаем W^ = W^4> =... = 0, т.е. будем считать

V{I) = R,+±(U + W+f) (2)

В случаях (1) и (2) индуктивность обладает инерционными свойствами, но остается линейной. Аналогично можно рассмотреть случай инерционной емкости. Если ток I(t), протекающий через емкость C, зависит от более высоких производных воздействующего на него напряжения, то для зависимости I(t) получаем:

I (t) = GV + C — + W™ dVr + W dt C dt2

+ wC3) dV-+wC4) dVV+... (3)

C dt3 C dt4

или в предположении, аналогичном (2),

I (t) = GV + — (CV + WC2) —], (4)

dt ^ dt )

где G - проводимость, C = const.

Двухполюсники, подчиняющиеся соотношениям (1), (3) будем рассматривать как обобщенные линейные инерционные элементы [4]. Приближения (2), (4) назовем обобщенными реактивными элементами второго порядка. Подобные реактивные элементы выского порядка были рассмотрены в работах Филиппова [5, 6].

Рассмотрим процесс собственных колебаний в последовательном LCR-контуре с обобщенным индуктивным элементом второго порядка. Пусть емкость C, заряженная до напряжения U0, соединена с обобщенным индуктивным элементом, полное падение напряжения на котором описывается выражением (2). Собственные колебания в контуре подчиняются уравнениям

или

l—+ri + wL2)

dt dt2

1 г

+ —f I dt = 0

C

d 3I .d 2I DdI .

—T + A—- + B— + DI = 0, dt3 dt2 dt

(5)

(6)

где A = L/WL2), B = R/WL2\ D = 1/C WL(2). Будем искать решение уравнения (6) в виде I(t) = = I0exp(kt). Для определенности выберем следующие значения параметров R= 1 Ом, L= 1 мГ, Wl(2)= 9.1 мкГ-с, т.е. | Wl(2)|< 0.011L |, C= 10 мФ. Получим характеристическое кубическое уравнение:

к3 +110 k2 +110 000 к +11 • 106 = 0. (7)

Решение кубического уравнения (7) по формуле Кардано [7] дает следующие значения корней:

kj= -100.846, к2 3 = -4.577 ± j 330.236, что соответствует следующим решениям уравнения (7):

I (t) =I01exp(-100.846t),

I2(t) =I02 exp(-4.577t + j330.236t),

I3(t) =I03 exp(-4.577t -j330.236t).

Первое решение - это экспоненциально затухающее апериодическое изменение тока, а сумма второго и третьего решений представляет затухающее квазигармоническое колебание I(t) = 10exp(-4.577t )cos(330.236t). Если WL(2) = = 10 мкГ^с, то собственные колебания будут незатухающими, а при WL2>> 10 мкГ-с они начинают нарастать. Если W,2)= 10,01 мкГ-с, то Ij( t) = I01exp(-100.146?), а сумма второго и третьего решений представляет нарастающее колебание I(t) = I0exp(0.045?)cos(316.08?). С учетом коэффициента затухания -4.577 можно определить добротность колебательной системы как Q = 330.236/2• 4.577 = 36. Если колебательный контур не содержит обобщенного индуктивного элемента второго порядка, т. е. WL(2) = 0, то при заданных L, C и сопротивлении R = 0.1 Ом в ней возникнут затухающие колебания вида I(t) = I0exp(-50t)cos(312.25t).

Таким образом, при использовании в колебательной системе обобщенного индуктивного элемента коэффициент затухания резко уменьшается (4.577 вместо 50). Это означает, что в колебательной системе возникает отрицательное сопротивление, позволяющее уменьшить потери (эквивалентное сопротивление контура 1 - (330.236)2 WL = 7.6 • 10-3 Ом) и увеличить добротность контура почти в 100 раз.

Рассмотрим механизм образования отрицательного сопротивления в обобщенном индуктивном элементе более подробно. Для этого сопоставим два индуктивных элемента с одинаковыми значениями параметров L и R, напряжение на одном из которых (рис. 1, a) зависит только от величины тока и его первой производной, а напряжение на втором (обобщенном) индуктивном элементе зависит еще и от второй производной тока. Вторую цепь можно представить соединением индуктивности L, сопротивления R и «индуктивности второго порядка» Wl(2) (рис. 1, б). Тогда полное падение напряжения на первом индуктивном элементе (рис. 1, в) описывается классической формулой, а полное падение напряжения на втором элементе

6

Научный отдел

В. С. Анищенко, А. В. Хохлов. Компенсация потерь в колебательном контуре

(рис. 1, г) удовлетворяет соотношению (2). При этом, как показывает решение уравнения (6), на процессы, протекающие во втором индуктивном элементе, заметно влияет даже малая величина по сравнению с L.

Так как оба индуктивных элемента обладают резистивным сопротивлением, часть мощности, поступающей от источника тока I(t), расходуется на потери, остальная мощность циркулирует между источником тока и элементами цепи.

D Г ЦЛ'1

Рис. 1. Электрические схемы простого (a) и обобщенного (б) индуктивных двухполюсников и диаграммы распределения напряжений в простом (в) и обобщенном (г) индуктивном двухполюсниках

Когда через обычный двухполюсник (см. рис. 1, a) протекает гармонический ток I(t) = = Im sin mt, где Im - амплитуда, m - частота тока, на сопротивлении R возникает напряжение UR = ImR sin mt, на индуктивности L - напряжение тт dI

UL = L— = юLlm cos юt,а полное напряжение на

dt _________

двухполюснике имеет амплитуду U =-у (UR + UL) (см. рис. 1, в). С ростом частоты воздействия m амплитуды напряжений UL и U возрастают, но амплитуда напряжения Ur остается неизменной. Когда такой же ток I(t) поступает на обобщенный индуктивный элемент (см. рис. 1, б), на его зажимах возникает напряжение, содержащее согласно (2) три компоненты. На сопротивлении R и на индуктивности L возникают точно такие же напряжения, как в первом случае, т. е.

UR = ImR sin юt и UL = L— = щLImcos щt, а на

dt

элементе W(2> (см. рис. 1, г) напряжение будет:

d21

Uw = W(2) — = -ш2 W(2)Im sin ю t = -ю2 W(2>I . dt

По направлению векторы UW и UR противоположны, т.е. «индуктивность второго порядка» создает в цепи отрицательное сопротивление RW = -ю2 Wjf2^, а результирующее напряжение UR Е(<n,t) на суммарном резистивном сопротивлении равно

Ur е(®,t) = UR + Uw = (R -ю2 WL2;)Im sin ю t. (8)

Заметим, что подбирая параметры ю и WL2>, можно получить «идеальный» индуктивный элемент, вообще лишенный потерь. Легко показать, что в емкостном двухполюснике, содержащем параллельное соединение емкости C, резистивной проводимости и «емкости второго порядка» WC(2), при подключении гармонического напряжения U(t) = Um sin ю^ где Um - амплитуда напряжения, ю - его частота, возникает «отрицательная проводимость» GW =-ю2 WC2^, а результирующий ток принимает вид

I( &,t) = IG + IC + IW =

= (G -o>2 WC(2>)Um sin юt + юCUm cos юt.

При дифференцировании гармонической функции ее фаза поворачивается на угол 90°. При повторном дифференцировании фаза гармонической функции дважды поворачивается на этот угол, и результирующий поворот фазы равен 180°, т.е. знаки напряжения Uw на индуктивности второго порядка W-[2> и напряжения Ur противоположны, что и объясняет возникновение отрицательного сопротивления.

Эксперимент. Электронная схема имитатора индуктивности второго порядка изображена на рис. 2, a. Напряжение на входах схемы записывается в виде

Физика

7

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Физика. 2015. Т. 15, вып. 4

1 t 1 t

U = I R1 + — J(I + II) dt + (I + II) R2 +— J(I + II +I2) dt + (I + II +I2) R3.

C1 0 C2 0

(9)

Если учесть, что напряжения между входами операционных усилителей равны нулю, те.

1t

IRi + — J(I + Ii) dt = 0,

—1 0

то

1t

(I + Ii) r2 + — J(I + Ii +12) dt = 0,

—2 0

I =-1 - R1 C —

1 11 dt

I2 =RX R2 — C2 +R — § . (10)

dt dt

Подставляя (10) в (9), получим

U = R,R2 R3 C C2 ?Ц-,

12312 dt2

и параметр W(2) =R1 R2 R3 C1C2 =R3C2.

Имитатор индуктивности (см. рис. 2, a) был собран на сдвоенном операционном усилителе TL072A. Конденсаторы С1 и С2 имели емкость

0.1 мкФ, резисторы R1 = R2 - постоянное сопротивление 175 Ом, а резистор R3 подбирался в зависимости от величины параметра W(2). Схема соединения имитатора с последовательным колебательным контуром изображена на рис. 2, б. Источник синусоидального сигнала обладал сопротивлением 1 Ом. Колебательный контур с учетом сопротивления источника имел добротность Q = 24.85 и был настроен на частоту 9 070 Гц. Резонансная кривая колебательного контура измерялась с помощью измерителя амплитудно-частотных характеристик СК4-56.

Рис. 2. Электронная схема имитатора индуктивности второго порядка (a) и упрощенная схема измерений в последовательном контуре (б)

Приведенные резонансные кривые колебательного контура представлены на рис. 3 кривой 1 (при отключенном имитаторе индуктивности) и кривой 2 (для колебательного контура с имитатором). Добротность контура Q рассчитывалась по величине полосы пропускания на уровне половинной мощности.

Как следует из рис. 3, использование обобщенной индуктивности привело к увеличению

добротности контура до величины Q =112.4, т.е. в четыре раза. Отметим, что настройка имитатора производилась очень точно, так как при WL(2) < <10-3 мкГн-с добротность контура увеличивалась незначительно, а при W2 > 9.25• 10-3 мкГн-с происходила полная компенсация потерь в контуре и начиналось самовозбуждение на резонансной частоте. Отметим, что полностью аналогичные результаты получены нами с ис-

8

Научный отдел

В. С. Анищенко, А. В. Хохлов. Компенсация потерь в колебательном контуре

Рис. 3. Резонансные кривые последовательного колебательного контура без индуктивности второго порядка (1) и с индуктивностью второго порядка (2)

пользованием емкостного элемента второго порядка (4). Таким образом, возможность внесения в контур отрицательного трения с помощью обобщенных элементов второго порядка (2) и (4) обоснована нами теоретически и подтверждена экспериментально.

Список литературы

1. Петров К. С. Радиоматериалы, радиокомпоненты и электроника : учеб. пособие. СПб. : Питер, 2003. 506 с.

2. Григорьев Б. И. Элементная база и устройства аналоговой электроники : учеб. пособие. СПб. : СПбГУ ИТМО, 2008 94 с.

3. Itoh M., Chua L. O. Memristor oscillators // Intern.

J. of Bifurcation and Chaos. 2008, Vol. 18, № 11. P. 3183-3206.

4. Атабеков Г. И., Купалян С. Д., Тимофеев А. Б., Хох-риков С. С. Теоретические основы электротехники. Нелинейные электрические цепи. Электромагнитное поле : учеб. пособие. 6-е изд., стер. СПб. ; М. : Лань, 2010. 432 с.

5. Philippow E. Lineare und nichtlineare Transformations-vierpole - Grundlagen, Ertwurt, Anwendung // Zeitschrift fur Elektr. Inform. und Energietechnik. Leipzig, 1977.

S. 549-567.

6. Филиппов Е., Качан В. И. Математическое описание и устойчивость цепей с искусственными элементами высокого порядка // Изв. вузов. Энергетика. 1983. № 8. С. 24-27.

7. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. 11-е изд. М. : Наука, 1975. С. 314.

Физика

9