CC BY
6
УДК 539.3
СТРЕЛА ПРОГИБА КОНСОЛИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКИ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ МОДИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
Д. М. Зуев Научный руководитель - Ю. В. Захаров
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: ZuevDmitriy93@yandex.ru
Задача определения прогибов при больших изгибах стержня актуальна для аэрокосмической промышленности. В данной работе получены приближенные формулы для стрелы прогиба консоли под действием поперечной сосредоточенной нагрузки. Формулы получены на основе модификации линейной теории для изгиба стержня с учетом сохранения его криволинейной длины.
Ключевые слова: изгиб стержня, поперечная нагрузка, приближенные решения.
SAGGING DEFLECTION OF CANTILIEVER LOADED WITH A TRANSVERSAL LOAD.
APPROXIMATE FORMULAS FOR MODIFICATION OF LINEAR THEORY
D. M. Zuev Scientific Supervisor - Yu. V. Zakharov
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: ZuevDmitriy93@yandex.ru
Large deflection determination problem is important for aerospace industry. The article presents approximate formulas for sagging deflection loaded with a transversal load. Received approximate formulas based on linear theory modification with allowance for the conservation of the curvilinear length of the rod.
Keywords: rod bending, transversal load, approximate formulas
Задача определения прогибов и форм изгиба при больших изгибах стержня актуальна для аэрокосмической промышленности. Встает вопрос о получении простых, но в то же время точных формул пригодных для практического применения инженерами.
Авторами ранее был предложен метод модификации линейной теории [1]. В данной работе на основе этого модифицированного решения будут получены приближенные формулы для прогиба консоли под действием поперечной силы на свободном конце.
Модификация линейной теории может быть использована для анализа достаточно больших прогибов, так как метод показывает хорошую согласованность результатов в сравнении с более сложными и точными методами, использующими аппарат эллиптических интегралов и функций, например, [2]. За подробным описанием метода можно обратиться к [1]. Стоит отметить, что область применимости линейного подхода составляет 3-5 % отношения прогиба к длине стержня [3]. Предложенный метод модификации линейной теории позволяет применять его при 80-85% отношения прогиба к длине стержня.
Стрела прогиба консоли модифицированного линейного решения будет найдена из следующего выражения:
f = nfe (и)) = -3(2 - 3^к + §3), (1)
Секция ««ПЕРСПЕКТИВНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ТЕХНОЛОГИИ»
где п и £ - безразмерные ордината и абсцисса соответственно; ц = Р1?12Ы - безразмерный параметр нагрузки; Р - сила, действующая на конец стержня; 1 - длина стержня; Ы - изгибная жесткость. Параметр вычисляется при решении следующего уравнения:
{^ 1 + Ц2(22 - 1)2¿2 = 1.
(2)
На базе данных выражений будут получены приближенные формулы. Целью было получить упрощенные выражения для вычисления на базе выражения (2). Были получены следующие выражения:
>£+7 -л/^к
Ц
3^
Ц
3^/ъ
=1
к
Ц
2 ц ^ - 3 Ц2^
-ц2*2
к -1Ц2 = 0. 6
(3)
(4)
Выражение (3) было получено путем разложения подинтегрального выражения в (2) в ряд Тейлора в окрестности точки г = 0 до второй степени £к. Далее производилось интегрирование в соответствующих пределах. Выражение (4) было получено схожим путем, но разложение осуществлялось в окрестности г = 1 до третьей степени £к.
Выражения (3) и (4) являются уравнениями, которые следует решать численными методами (например, методом бисекции). Существует возможность упростить данные выражения. Можно воспользоваться тем, что 0 < £к < 0,6, т. е. является малым параметром. Таким образом, в выражениях (3) и (4) можно отбросить степени £к выше второй и решить квадратное уравнение и выбрать нужный корень. Таким образом получим следующие аналитические выражения для £к (выражения (5) и (6) получены из (4), (7) получено из (3) ):
* = 1 2
£
2
3
_1_
ц2,
= 6 Ц
6
(5)
(6)
=
1 + - Ц2-71+Ц
1 + Ц2
(7)
Построим стрелы прогибов некоторых полученных приближенных формул в сравнении с исходным модифицированным решением и нелинейным решением, представленным в [2] (см. рисунок).
Видно, что полученные приближенные формулы обладают хорошей степенью согласованности с исходной модификацией линейной теории и нелинейным решением. Определим интервалы применимости и предельный прогиб приближенных формул (см. таблицу).
/
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
| Применимость линейной теории 1
1 1 /
! > /
I /
■ Линейная теория-Модифицированное линейное решение.....Выражение (3)---Выражение (4)
Выражение (7) — ~ Нелинейное решение_
Стрелы прогиба консоли
Интервалы применимости приближенных формул
Выражение Интервал применимости Макс. откл. от исходного выражения, %
(3) 0 < ц < 5 10
(4) 0 < ц < 3 20
(5) 0 < ц < 2.0 10
0 < ц < 2.5 20
(6) 0 < ц < 1.0 5
0 < ц < 1.5 20
(7) 0 < ц < 1.5 10
0 < ц < 3.5 20
В работе были получены приближенные формулы на базе модифицированного линейного решения для стрелы прогиба консоли под действием поперечной сосредоточенной силы. Для приближений определены интервалы нагрузок применимости, построены стрелы прогиба. Интервалы применимости полученных выражений многократно превосходят интервал применимости классического линейного решения теории сопротивления материалов.
Библиографические ссылки
1. Зуев Д. М., Захаров Ю. В. Стрела прогиба консоли сосредоточенной поперечной силой. Модификация линейной теории // Решетневские чтения : материалы XX Междунар. науч. конф. (09-12 ноября 2016, г. Красноярск) : в 2 ч. / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; Сиб. гос. аэрокос-мич. ун-т. Красноярск, 2016. Ч. 2. С. 131-133.
2. Захаров Ю. В., Захаренко А. А. Динамическая потеря устойчивости в нелинейной задаче о консоли // Вычисл. технологии. 1999. Т. 4. № 1. С. 48-54.
3. Варданян Г. С. и др. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М. : АСВ. 1995. С. 572.
© Зуев Д. М., 2018
