Сток в вязком теплопроводном газе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м V 1 974 № 6

УДК 532.5.032

СТОК В ВЯЗКОМ ТЕПЛОПРОВОДНОМ ГАЗЕ

В. Н. Гусев, А. В. Жбакова

Исследуется точное решение одномерных уравнений Навье — Стокса для вязкого и теплопроводного газа, соответствующее течению от сферического стока, при конечном значении теплового потока в бесконечно удаленной точке.

В работе [1] было построено точное решение одномерных уравнений Навье — Стокса, соответствующее течению от сферического стока. Анализ этого решения при нулевом тепловом потоке в бесконечно удаленной точке показал, что оно существует вне сферы радиуса г*, на которой температура газа обращается в нуль. В зависимости от числа Кпоо — ^со/г*> гДе ^оо —длина свободного пробега молекул в бесконечно удаленной точке, течение от стока либо всюду дозвуковое (течение сжатия), либо переходит через скорость звука (течение разрежения). В дальнейшем наличие двух режимов течения было подтверждено при численном интегрировании кинетического уравнения [2].

Из приведенного в работе [1] анализа следовало также, что решение уравнений Навье — Стокса для стока при Кпоо-^О и нулевом тепловом потоке в бесконечно удаленной точке не стремится к невязкому, следующему из уравнений Эйлера. Минимальное число Кнудсена, при котором поток еще достигал скорости звука, Кпоо~0,1. При меньших значениях числа Кп<х> течение всюду становилось дозвуковым (течение сжатия). В настоящей статье выясняется причина этого неожиданного результата.

1. Система одномерных уравнений Навье — Стокса для вязкого

теплопроводного газа в случае сферической симметрии имеет вид

р и

du , dp

4

d2 и dr2

2 du r dr

2 и ‘ r2

, 4 а!(л

+ “3

dr

яг

• M"

— const; pur2 — const; p — pRT; ц—Tn ,

(1)

Здесь и — скорость газа, р, р, Т — плотность, давление и температура соответственно, г — расстояние от центра симметрии, ^ — коэффициент вязкости, R — газовая постоянная, х — отношение удельных теплоемкостей, а — число Прандтля.

Вводя размерные константы Q = 4irpwr2— расход газа, Роа , роо, Too, н-эо — значения давления, плотности, температуры и коэффициента вязкости соответственно при г = оо, перейдем к следующим безразмерным переменным:

и - р - р о Т

Р"=п'’ p = v-;

W =

V*RTa

Q\V*RTa

4

1/2

После исключения давления и плотности исходная система уравнений (1) может быть приведена к следующему безразмерному виду [1]:

(хяу2 — 0) wr -f- wb' +

2 wb

ly.W2 вп * 0

w' +

W"

2 w

-fT

4-

і i 2 6« \ 2 , 8« 1 + -cyW + ~c

36' 4 a

У I

+ (x — I) WW1

■ a;

зо

(2)

16^/ ’

В последнем уравнении а — безразмерная константа, определяющая поток тепла, проходящего через сферическую поверхность в единицу времени в бесконечно удаленной точке Г = ОО (^=0), Ць — ср Тсо Q(a — 1), где ср — коэффициент теплоемкости газа при постоянном давлении. Штрихом обозначено дифференцирование ло независимой переменной .у, при движении газа к стоку С<С0.

' 2. При С — — оо движение идеального газа определяется уравнениями Эйлера, которые в принятых переменных записываются в виде

(*ге>2 — 6) wf + wb' -f-

0,

1

1.

(3)

Входящая в уравнение энергии константа а=1. Определенная из последней системы зависимость скорости т от координаты у имеет вид

W 1

■w2 г 1 — у2-

(4)

При у = 0 газ покоится. В окрестности этой точки функции чю и 6 имеют следующие разложения

1 '

чю

1-

У+

(5)

€ ростом у скорость движения монотонно растет по закону (4) *+1

/ 2 \4 (*~1)

и при у = (^гт| достигает критического значения те/! = у —

Координата ух оказывается предельной: производная от скорости в этой точке обращается в бесконечность. В ее окрестности функции ® и в имеют следующие разложения:

5—3 х х+1

2

■до

+ Л4 (х— 1)

7-5*

2 (*-1)

1/2

» + 1 2 (х-1)

-г

1/2

+ • •

Из последнего соотношения следует, что в точке уг производная от температуры также обращается в бесконечность. При конечном значении температуры это формально соответствует бесконечному значению теплового потока в этой точке. Рассматриваемое течение не может быть продолжено в область у^>уи и переход от дозвуковой скорости к сверхзвуковой в таком потоке не происходит.

3. Перейдем к исследованию течения от сферического стока при конечном значении С. Представим функции т и 0 в окрестности точки у = 0 в виде рядов

СО со

т = X «/У+2; 6 = X Ь1У1-

/=0

г=0

Из условий для расхода газа и его температуры при .у = О следует, что а0==&0 = 1- Последующие коэффициенты рядов для ® и 0 однозначно определяются через безразмерные константы С, х, п, о, а, например

Ъх =

а.,

8

Ь2 =-----------------о- З2 С2 (а

д- аС(а — 1), - 1) [1 + П (а

1)] и т. д.

При а = 1 тепловой поток д0 = 0, и в этом случае

1

■У 1

(6)

2 [* — 2о(х- 1)]^4+ • • •

0 = 1 — а (х — 1 )_у4

Течение вязкого газа в окрестности точки у =0 мало отличается от течения идеального газа: это следует из сопоставления разложений (5) и (6). Более того, при а = 0,5 коэффициенты при первых членах этих разложений совпадают точно.

Случай а = 1 был подробно рассмотрен в работе [1]. Напомним здесь основные результаты. Общая картина поля интегральных кривых в зависимости от параметра С при «= 1, х=1,4; о =0,75

представлена на фиг. 1. Все интегральные кривые выходят из точки А, соответствующей в физической плоскости бесконечно удаленной точке г = оо (у = 0). При приближении к центру симметрии г = 0(з; = оо) температура 0 монотонно убывает, обращаясь в нуль при конечном значении г* (у#). В плоскости (да, у) условие 6 = 0 выполняется на предельной линии, состоящей из отрезка оси у и кривой Ь (см. фиг. 1), на которой производная от скорости

обращается в бесконечность. Направление роста абсолютной величины параметра С указано стрелками. При п — 1 функции ® и 6 в окрестности этой линии имеют следующие разложения:

<а> = чот + с1(у9 — у)у2 + . . . ;

е = ^0'*-3')1/2+....

Тепловой поток </* на предельной линии принимает конечное значение

‘8>

В зависимости от параметра С течение в окрестности предельной линии оказывается либо дозвуковым, либо сверхзвуковым. В первом случае да* = 0, и в плоскости {ни, у) предельная линия для этого класса интегральных кривых представляет собой отрезок оси у (см. фиг. 1). Во всем поле течения скорость газа —дозвуковая, а плотность при приближении к центру симметрии неограниченно возрастает (течение сжатия). Во втором случае да*.^0, и предельную линию для этого класса интегральных кривых представляет собой кривая Ь (см. фиг. 1). Течение разрежения в этом случае состоит из двух областей—дозвуковой и сверхзвуковой

(7)

с переходом через скорость звука на кривой К (см. фиг. 1). В отличие от идеального стока здесь оказывается возможным непрерывный переход от дозвуковой к сверхзвуковой скорости. При С 0 область определения решения ограничена огибающей М (см. фиг. 1), соответствующей решению системы (2) при С = 0. Сростом параметра |С| ордината предельной линии у% уменьшается, обращаясь в нуль при |С|-*-оо. Примем в качестве характерного размера течения радиус предельной линии г^=у^1. Тогда параметр С однозначно определит число Кнудсена

КПоо = — = .

Г* 5/2тс|С|

Из проведенного выше анализа следует, что решение уравнений Навье — Стокса для стока при КПсо -* 0 и граничном условии а=1 не стремится к идеальному, для которого распределение скорости и температуры приведены на фиг. 1 пунктирными линиями. Решение уравнений Навье — Стокса оказывается ближе к невязкому решению при КПсо оо, а не при КПсо -*■ 0. В рассмотренном выше случае а = 1, ж = 1,4, о = 0,75, п= 1 минимальное число Кнудсена, при котором поток еще достигал скорости звука, Кпсо~0,1 [1]. При меньших значениях числа КПсо течение всюду оказывалось дозвуковым (течение сжатия). Все эти обстоятельства вынуждают рассмотреть решение поставленной задачи при о.ф 1.

4. Задание граничного условия а= 1, формально совпадающего с аналогичным условием в случае идеального газа, приводит при фиксированном значении С к однозначному заданию теплового потока <7* на предельной линии, который, как уже отмечалось выше, оказывается на ней конечным. Его величина по мере роста абсолютного значения |С| уменьшается, стремясь к нулю. В то же время в случае идеального газа (С = — оо) формально определенная величина д* оказывается бесконечной. Аналогичный предел при движении вязкого газа при а = 1 может быть получен при |С|-+0 [см. соотношение (8)]. Как уже указывалось, именно в этом случае решение уравнений вязкого газа для стока оказывается близким к решению для идеального газа. Приведенные соображения показывают, что для рассматриваемой задачи большое значение имеет выбор граничного условия для теплового потока.

Далее будет показано, что рассматриваемое решение задачи о стоке нужно искать в классе решений с конечным значением теплового потока в бесконечно удаленной точке (а.^1). Анализ системы (2) показывает, что при я<1 в поле интегральных кривых появляется новая особая точка, после прохождения которой величина на предельной линии начинает расти по мере увеличения абсолютного значения |С|.

Рассмотрим подробно этот случай. Общая картина поля интегральных кривых в зависимости от параметра С при п = 1, х=1,4 и а = 0,75, полученная в результате численного интегрирования системы (2), приведена на фиг. 2. Точка А (соответствующая в физической плоскости бесконечно удаленной точке) является особой точкой типа узла. Интегральные кривые, выходящие из нее, упираются в предельные линии. В плоскости (т, у) их две: ось у и кривая Ь. Течение в окрестности первой — дозвуковое (течение сжатия), в окрестности второй — сверхзвуковое (течение разрежения). Направление роста абсолютной величины параметра С указано

стрелками. На линии К скорость потока достигает скорости звука. В плоскости (9, у) решение в окрестности предельной линии — ■оси у неоднозначно. Для течения расширения характерно немонотонное изменение температуры.

Вторая особая точка В является седловой точкой. Проходящая через нее сепаратриса соответствует решению уравнений Эйлера для стока. При конечном значении теплового потока <70 в бесконечно удаленной точке существует такое значение параметра С,

при котором течение вязкого и теплопроводного газа от стока будет мало отличаться от течения идеального газа. Чем ближе а к единице, тем при больших абсолютных значениях параметра С и тем самым при меньших значениях числа Кпоо может быть

получено это решение. Например, при а = 1 — 10-

■6.

п

1:

1,4;

а = 0,75 значение КПсо = 0,0244. Напомним, что при а=1 минимальное число Кнудсена, при котором поток еще достигал скорости звука, Кп^ОЛ.

Интегрирование системы (2) на ЭЦВМ при столь малых отличиях параметра а от единицы связано с определенными трудностями. При проведении расчетов на ЭЦВМ для преодоления этих трудностей был использован метод разложения искомого решения в степенные ряды в окрестности точки у = 0, коэффициенты которых вычислялись с помощью алгоритма, предложенного в работе [3]. Это позволило достаточно далеко отойти от узловой точки и, начиная с некоторого конечного значения у, решать задачу Коши. ;В окрестности предельной линии численное решение склеивалось с асимптотическим (7), в результате чего определялись коэффициенты да*, с1) Для установления достоверности полученного численного результата проверялось следующее из системы (2) соотношение

х — 1 2

—К— '

8 аС

й\

2 С — а‘

При а = 1 —10_6, п= 1, х = 1,4 и о = 0,75 результаты численных расчетов представлены на фиг. 3 (сплошные линии). Здесь

приведены зависимости скорости *10, температуры 0, давления р , плотности р и числа М потока от координаты л: =-- гі/г, где г1 — координата звуковой линии. Число -•= = 0,021. Здесь же

даны аналогичные зависимости для идеального газа при Кгц = 0 (пунктирные линии).

Сравнение показывает, что течение от стока при конечных значениях теплового потока в бесконечно удаленной точке действительно мало отличается от течения идеального газа. Отклонения становятся заметными только вблизи звуковой линии. Протяженность этой области 8/Г] — Кп! тем меньше, чем меньше число Кп^ С уменьшением числа КП1 уменьшается и тепловой поток в бесконечно удаленной точке.

Таким образом, область вязкого течения от стока при больших числах Рейнольдса может быть разбита на две части, а именно на течение вблизи звуковой линии и остающуюся область, течение в которой близко к течению идеального газа. Главное воздействие вязкости проявляется вблизи звуковой линии, которая при бесконечном значении числа Рейнольдса становится предельной. На далеких расстояниях от звуковой линии влияние вязкости мало. Однако, как показывает рассмотренный пример, выбор граничных условий в этой области оказывается существенным при решении уравнений движения вязкого теплопроводного газа при больших числах Рейнольдса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Г у с е в В. Н., Жбакова А. В. Об одном точном решении одномерных уравнений Навье — Стокса. „Изв. АН СССР, МЖГ“, №3,

1968.

2. Шахов Е. М. Установившееся течение разреженного газа от сферического источника или стока. .Изв. АН СССР, МЖГ“, № 2,

1971.

3. Н и к о л а е в В. С. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом разложения в степенные ряды на быстродействующих вычислительных машинах. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., т. V, № 4, 1965.

Рукопись поступила 21// 1974 г.