О влиянии вязкости в струйных течениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м I 1970

№ 6

УДК 533.6.011.8:532.525.2

О ВЛИЯНИИ ВЯЗКОСТИ В СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЯХ

В. Н. Гусев

На основании точных решений одномерных уравнений Навье*— Стокса анализируется влияние диссипативных процессов на течение газа вблизи оси струи, истекающей из недорасширенного сопла в пространство с постоянным давлением.

Задача истечения осесимметричной сверхзвуковой струи идеального газа из недорасширенного сопла в пространство с постоянным давлением рассматривалась в работе [1]. Однако наличие в течениях такого рода диссипативных процессов ограничивает применимость полученных в работе результатов. Учет этих процессов для двумерной задачи с помощью уравнений Навье — Стокса представляется в настоящее время достаточно сложным. Задача может ^ быть упрощена, если ограничить” ся рассмотрением течения вблизи

оси струи, которое эквивалентно соответствующему одномерному течению от сферического источника. При свободном истечении газа в вакуум этот вопрос рассматривался в работах [2] и [3]. Аналогичное решение при истечении газа в пространство с постоянным давлением было получено в работе [4]. Воспользуемся результатами последней работы для анализа влияния диссипативных процессов на течение газа вблизи оси струи, истекающей из недорасширенного сопла в пространство с постоянным давлением.

1. Остановимся на особенностях одномерного истечения вязкого теплопроводного газа в пространство с постоянным давлением в случае сферической симметрии (фиг. 1). Как следует из работы [4], в систему безразмерных определяющих параметров рассматриваемой задачи входят число Рейнольдса Ие* = (р*«*/?*)/[«•*> подсчитанное по параметрам потока в критическом сечении, радиус которого обозначен через перепад давления Ро = Ро/Рм. где Ро, 22

/>оо — соответственно давление торможения и внешнее давление в пространстве, куда истекает газ, для одномерной задачи; константа а, характеризующая поток тепла в бесконечно удаленной точке х = оо; показатель степени п в зависимости коэффициента вязкости от температуры; отношение удельных теплоемкостей у и число Прандтля о. При а = я — 1, 7=1,4 и о = 0,75 результаты некоторых приводимых ниже численных расчетов были получены

О $0 х/П*

Фиг. 2

y-.fl

О 50 л/Я*

Фиг. 4

ранее в работе [4]. В дальнейшем исследуем два предельных состояний течения: йе* -* 0 и Ро^оо.

В случае Ие* -»0 при фиксированном значении перепада давления Ро = 2100 результаты расчетов представлены на фиг. 2—5. Даны изменения скорости т, давления р, плотности р и температуры Т, отнесенных к соответствующим критическим значениям, в зависимости от безразмерной координаты х//?* при различ-

ных значениях критерия {?е* (кривые 2, 3, 4 соответствуют значениям Ие* = 1680; 570; 31,3).

Как показывают полученные результаты, при Ие* -*оо рассматриваемое решение стремится к соответствующим сверхзвуковой и дозвуковой ветвям идеального источника, разделенным поверхностью перехода,,являющейся обычной ударной волной (кривые 1 на фиг. 2—5). Координата последней хл в зависимости от перепада давления Ро определяется с помощью уравнения расхода и формулы для прямого скачка уплотнения

*1

Я»

МГ1/2(^1Н-2 (т— 1) 1

7 - 1

ит-Н)2 (т + 1)2 М2 2Т

1 +-

Т+1

4(т-1)

-м? 1Н-1 х

(1.1)

X

т+ 1

т

где — число М перед скачком уплотнения.

При уменьшении числа Ие* вязкость и теплопроводность существенно изменяют характер течения прежде всего вблизи фронта

ударной волны. Толщина ударной М \ волны увеличивается, а изменения

параметров потока при прохождении газа через ее фронт монотонно уменьшаются. Начиная с некоторого конечного значения критерия Ие*, перепад плотности на фронте ударной волны исчезает (кривая 4 на фиг. 4). Аналогичным образом ведет себя давление (см. фиг. 3). Однако для скорости и температуры структура скачка уплотнения при этих значениях критерия Ие* сохра-$ няется (кривые 4 на фиг. 2 и 5). Ско-

рость потока перед ударной волной остается сверхзвуковой (см. фиг. 6, на которой дана зависимость числа М от безразмерной координаты лг//?*). Следует обратить внимание на то, что в окрестности критического се-_ ™ ~~'т7я—мп чения течение продолжает оставать-

' ' * ся близким к идеальному даже при

ФИГ_ 6 относительно малых значениях чис-

ла 1?е*. При дальнейшем уменьшении критерия 1^е* сверхзвуковая область уменьшается до тех пор, пока течение не станет всюду дозвуковым.^ При Р0 = 2ЮО это состояние достигается при значении Не* = 3,36. Изменение параметров потока в этом случае дано на ф^иг. 2 — 6 (кривые 5).

Перейдем к рассмотрению случая Ро'~* Разделим исследуемую область течения координатой х+, в которой параметры потока достигают экстремумов, на две: внутреннюю сверхзвуковую

(х<л+) и область перехода сверхзвукового течения в дозвуковое (х'^>х+). В соответствии с законом подобия [5] для координат х+і, в которых экстремальны, например, плотность, давление и скорость (г = 1, 2, 3 соответственно) и для самых экстремальных значений плотности р+, температуры Т+, скорости и+ и числа М+, запишем:

Т+1 Т+1

/ 2 \ 4 (т—1 > /’ т — 1 9 V'4 <т—х) 1/9 с

(1 + ) МГ 7 /;(Р0,ТГ)°,«,Т, 3, а);

1

п , / V — 1 9 \ Т 1

Г+ _ ( 1 : ‘ 1 ЛЛ? I

Ро

г+ : т- 1 - '-1

= (^Н- м? | /?(Ро, *1°, п, 7, а, а);

■=^1 + ^М? ) Т(Р°„, г)°, «, Т, а, а);

7 Мі 2 Т /

М+= М[ М (Ро, 7)°, п, V, а, а)

/^Г0 1/(Р0, *1°, п, т, а, а);

(1.2)

где 7)0 = Ро1/2 Ие^1; /?0’ Ро» Т'о — параметры торможения; число М1 определяется из второго соотношения (1.1). Здесь и в дальнейшем нижний индекс параметра определяет координату, а дополнительный верхний индекс относит параметр к одномерному течению. При а — п=\, о = 0,75 и 7 = 1,4 значения fi, И, Т, V и М были определены на основании численных расчетов [4]. Они показали, что при Р0 оо функции /д /?, Т, V и М перестают зависеть от Р^ и в этом случае для них из (1.2) следует:

Х+І

2т Ї

1/2 /

Т+1 1\ 4 (Г-1)

(т+1)2 2 Т (Т — 1) .

2 (Т-1)

X р о у І (У1°, п, т, 3, а); і т

Р+

Ро

Т+

2

Т + 1

2 Т ) ІТ — 1 2 /т+^т_1

Т о

т-

1

2

Т

2т(Т— 1)

(Т+1)2 .

2 т (т — О

(Т+1)2

,1/2

' Ро 1 £*0ч°, я, т. а> «);

р0 -(Т-!) 7* т> 3) а).

м4

2Т

т + 1

1=1

2

(т + 1)2 2 Т (Т 1) і

2 ,1=1 Ро 2 М* (Т(°, п, 7, а, а),

(1.3)

где /*, /?*, Г*, V*, М* значения /;, Г, V7, М при Ро = оо. Численные значения этих функций при а = я=1, а = 0,75 и 7= 1,4 даны в таблице. Очевидно, что М* = У* Т*~1/2; /?*= I/*-1/--2 и/*=’/?* = 7^* = — 1/*=М*= 1 при 7]°=0. В последнем случае х+,•//?*; р+/р0; Т+ /Т0, и+, М+ определяют свои экстремальные значения при Ке* = оо. Как следует из численных расчетов, в исследованном диапазоне изме-

нения т)° <0,0815 диссипативные процессы приводят к изменению всех экстремальных значений параметров потока, за исключением скорости.

За счет вязкости существенным образом меняется картина течения в переходной области. Если в идеальном газе скачок уплотнения представлял собой некоторую нормальную к линиям тока поверхность разрыва, то в вязком газе толщина скачка уплотнения, определяемая выражением

Р СО Р-|-

с1х

шах

= х, 8 (Р0, п, 7, з, а),

(1.4)

становится конечной. При Ро->оо функция 8 = 8* перестает зависеть от Ро> и ее значения, полученные на основании численных расчетов [4] при а = я=1, з = 0,75 и 7 = 1,4, представлены в таблице. Используя следующее из (1.1) выражение для положения замыкающего скачка уплотнения в идеальном газе при Р0-»оо

7+1 т

(Т-1У^—]) (Т + Р*

17 \7 4- 1/ 127(7-1) °'

(1.5)

перепишем (1.4) в виде

т+1

А° _ \ 2 7 Г7 — 1

Я* 1-7 + 1 1.7 + 1

2(Т-1)

(7-И)2

т~И]/з

р° 1/2 я* ГО

8* (т)°, п, 7- 3. *)■ (I-6)

2 7 (7 — 1)

Из последнего соотношения следует, что при фиксированном значении числа Ие* увеличение Ро приводит к возрастанию Д°. Аналогичный результат следует при рассмотрении плоской волны при п = 1.

Перейдем теперь к рассмотрению течения во внутренней сверхзвуковой области (х<С.х+). Ограничиваясь в последующих разложениях первыми членами, для параметров потока, отнесенных к соответствующим величинам в идеальном потоке, запишем

и

1 4- V Ие^

1 +гие:

1 +5 Не, \ р= 1+гИе;

где V, г, .9, г —в общем случае функции х//?*, Г°, Р0, П, 7, 3, а. При а = п— 1, з = 0,75 и 7 = 1,4 значения Ь(х№%) были получены на основании численных расчетов [4] при х<^х+ и нескольких значениях Ч0 <0,0815 и 103<Ро<107. Исключая из рассмотрения входящие в структуру ударной волны окрестности точек X = х+ при х/Я* 1 для I оказывается справедливым следующее, не зависящее от т)° и Ро, соотношение

*=4,5-|-. (1.7)

*4*

Из тех же численных расчетов следует

(1.8)

Аналогичные, правда несколько большие, поправки были получены в работе [3] при приближенном рассмотрении одномерного истечения вязкого газа в вакуум.

Таким образом, при 1 <С ~п~

течение в сверхзвуковой

области перестает зависеть от перепада давления Ро^>\ и определяется одним критерием Ие*. Иными словами, полученное в этой области асимптотическое решение будет соответствовать решению задачи об истечении вязкого газа в вакуум. Для температуры и числа М при а = п — 1, а = 0,75 и 7=1,4 с учетом (1.7) будут справедливы следующие соотношения:

т=о,ш(-£-' 0,8

М = 2,92

V#*

х

0,4

1 + 4,5

1 - 2,25

1 ( х

R^* vv 1 I X

Re,

(1.9)

До сих пор особенности одномерного истечения вязкого теплопроводного газа в пространство с постоянным давлением рассматривались при а = 1, когда тепловой поток в бесконечно удаленной точке л; = оо отсутствовал. »__________________ ______

Влияние диссипативных процессов здесь не сопровождается потерями импульса и тепла к окружаю- £ sN _ ---

щему пространству и, как следу- .„ ^ __ ^'

ет из численных расчетов, темпе- '=■=- ■ '~

ратура Too при х = оо совпада- W ет с соответствующим значением п /

температуры торможения Т0 = °’4/ 2 4 6 8 !П л/Л*.

=[(7+1) 7'^.]/2(см., например, фиг. 5).

Остановимся теперь на случае Фиг. 7

а. ф 1. При а>1, например, когда _

Тоо1Т* = 0,54, результаты расчетов для скорости w и температуры

Т при Re* = 9, Ро = 2100, л=1, 7=1,4, а = 0,75 представлены на фиг. 7 (пунктирные кривые). Аналогичные зависимости при а = 1 и тех же значениях параметров Re*, Р0, п, 7 и з приведены на этой фигуре сплошными линиями. Сравнение показывает, что наличие теплового потока при л: = оо существенно изменяет картину течения лишь в области перехода сверхзвукового течения в дозвуковое при л:>л;+. При это влияние несущественно.

2. Перейдем к рассмотрению течения вдоль оси истекающей струи. Напомним основные особенности истечения сверхзвуковой струи из недорасширенного сопла (см. фиг. 1). Так как статическое давление в конце сопла больше внешнего ра, расширение газа происходит вне сопла и распространяется в потоке по центрированной в выходной кромке сопла волне разрежения. Значительная область течения в струе оказывается перерасширенной относительно внешнего давления ра. Вдоль оси струи течение асимптотически стремится к течению от некоторого сферического источника с центром в точке О. Для числа М здесь справедливо следующее выражение:

-т;

-•—"^”1 >4. «ч

где гс — радиус выходного сечения сопла. В случае звукового сопла (Мс = 1) значение /?°(0)=1,15 при 7=1,4 [1].

Степень перерасширения потока на оси струи, истекающей из недорасширенного сопла, при конечном достаточно большом значении перепада давлений Р0—

Ра

будет определяться положением замыкающего скачка уплотнения (диска Маха). На оси струи для его координаты справедлива следующая эмпирическая формула [6]:

*1

Гс

п 1/2

а Р о .

(2.2)

При Мс = 1 значение а =1,34.

Анализ влияния диссипативных процессов на течение вдоль оси истекающей струи проведем в предположении, что течение в этой области эквивалентно одномерному. В условия эквивалентности рассматриваемых здесь двух течений, помимо соотношения

гс = ^ , входит равенство параметров торможения и коорди-

наты замыкающего скачка уплотнения при бесконечно большом значении числа Рейнольдса. Из последнего условия устанавливается связь внешнего давления ра в случае струи с давлением на бесконечности р00 в одномерном течении. Объединяя (1.5) с (2.2),

* получим:

при гс =

я.(0)

Роо _ Ра '

Т+1

27 7 — 1 ' 4 (Т-1) Г (т + 1)2 1 Т-1 Г К(0) 2

Т +1 Т + 1 . 27(7 — 1) . а

(2-3)

При Мс = 1 и 7= 1,4 значение (3 = 1,235. В критериях подобия условия эквивалентности рассматриваемых здесь течений переписываются в виде

Р0=Р?;, Т] = Ро2 Ие-! = Р1/2 /?° (0), (2.4)

ГДЄ Re:

2р% гс

число Рейнольдса, подсчитанное по крити-

ческим параметрам потока. В случае звукового сопла (Мс=1) при <х = я=1, з = 0,75 и 7=1,4 для экстремальных значений параметров потока на оси струи из (1.3) с учетом (2.4) следует

^ — 1,34 Pj/2fh); 1

'С

= 0,\92 Ро1 Я*(пУ,

Ро ,

= 0,52 РоОЛ Т*(цу,

и+ = (7RT0)W І/* (ті); М+ =3,11 Ро,2М*(т)).

Значения /* (?)), /?* (т)), Т* (г/), V* (■»]), М* (>)) при двух значениях т], полученные на основании численных расчетов [4], приведены в таблице.

Г я* У'* V* м* 8*

0,0275 0,0175 0,88 1,29 1,29 1 0,88 0,08

0,0815 0,052 0,70 2,04 1,85 1 0,74 0,23

Гг

В дальнейшем полученные выше теоретические значения сравниваются с экстремальными, заимствованными из работ [7] — [8] и представленными автору Р. Г. Ша-рафутдиновым [9]. Для координаты х+, в которой экстремальна плотность, и для самой экстремальной величины плотности р+ это сравнение при 400 <Р0 <2500 приведено на фиг. 8. Теоретические значения (сплошные кривые на фиг. 8) соответстуют случаю Р0 = оо. Следует отметить, что

результаты экспериментальных исследований достаточно хорошо согласуются с законом подобия [5]. Что касается экспериментально замеренных экстремальных значений вращательной температуры [7], то последние оказались значительно больше теоретических.

Последнее обстоятельство, по-видимому, связано с тем, что вращательные степени свободы молекул в таких течениях не успевают достигать своего равновесного состояния.

Для числа М на оси струи, истекающей из звукового сопла,, при Р0 -» оо из (1.9) с учетом условий эквивалентности прия = а=1, 7=1,4 и а = 0,75 можно записать:

р-'!г V7 \о

о < о о + \/ ...

> о о о

О о +

°ОсР^^ + [7] * И О М

ОМ

О.Г

Фиг.

М = 2,76

0,4

1 — 3,4

1

Ке

Гг

(2.6)

Как следует из последнего соотношения, при относительно малых значениях числа Ие диссипативные процессы могут существенно снизить максимально достижимые значения числа М на оси струи.

В заключение автор приносит искреннюю благодарность А. В. Жбаковой за проведение необходимых расчетов.

1. Г у с е в В. Н., К л и м о в а Т. В. Течение в истекающих из недорасширенных сопел струях. МЖГ, 1968, № 4.

2. Ладыженский М. Д. Об истечении вязкого газа в вакуум. ПММ, 1962, XXVI, вып. 4.

3. Sherman F. S. A source flow model of viscous effects in hypersonic axisymmetric free jets. Archiwum Mechaniki Stosowanej, 1964, v. 2.

4. Gusev V. N.. ZhbakovaA. V. The flow of a viscous heat conducting compressible fluid into the constant pressure medium. Sixth Intern. Sympos. on Rarefied Gas Dynamics, 1968.

5. Гусев В. H., Михайлов В. В. О подобии течений с расширяющимися струями. Ученые записки ЦАГИ, т. 1, № 4, 1970.

6. Ashkenas Н„ Sherman F. S. Free jet testing in low density wind tunnels. Fourth lutern. Sympos. on Rarefied Gas Dynamics, 1964.

7. Marrone P. V. Temperature and density measurements in free jets and shock waves Phys. Fluid, 1967, 10, № 3.

8. Волчков В. В., Иванов А. В.. Толщина и внутренняя структура прямого скачка уплотнения, образующегося при истечении сильно недорасширенной струи в пространство с малой плотностью. МЖГ, 1969, № 3.

9. Ребров А. К., Ч е к м а р е в С. Ф., Шарафутдинов Р. Г. Влияние разреженности на структуру свободной струи азота. „Журнал прикладной механики и теоретической физики", 1971, № 1.

Рукопись поступила 25/Х 1969