Особенности сферического расширения вязкого газа в затопленное пространство Текст научной статьи по специальности «Математика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Т о м VII 19 76

№ 4

УДК. 533.6.011.8:532.525.2

ОСОБЕННОСТИ СФЕРИЧЕСКОГО РАСШИРЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА В ЗАТОПЛЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО

В. Н. Гусев, А. В. Жбакова

Исследуются особенности сферического расширения вязкого газа в затопленное пространство при различных граничных условиях в бесконечно удаленной точке.

В рамках уравнений Навье — Стокса задача о сферическом расширении вязкого газа в затопленное пространство была решена в работе [1] и затем в работе [2]. В настоящем исследовании особое внимание обращается на поведение решения в дозвуковой области при изменении граничных условий в бесконечно удаленной точке. Это предпринято в связи с обнаруженным на примере стока [3] сильным влиянием этих условий на поведение решения в целом.

1. Рассмотрим установившееся сверхзвуковое истечение газа из сферической полости радиусом г*, на которой число М* = 1, в пространство с постоянным давлением роо(фиг. 1). Течение будет проходить по лучам из точек сферы с центром в начале координат и состоять из двух областей: внутренней —сверхзвуковой(гн.<г<г+) и внешней — дозвуковой, разделенных некоторой переходной областью. В случае идеального газа г+ — координата ударной волны, при наличии вязкости г+ —условно введенная в работе [4] граница, на которой параметры потока экстремальны.

При г*<г<г+ течение идеального газа не зависит от условий на бесконечности и определяется заданием граничных условий на сфере г = г%. Когда давление на этой сфере /?* > рос, координата г+ > г* ив рассматриваемой области для идеального газа для скорости и и температуры Т справедливы следующие асимптотические выражения:

здесь x = r.Jr\ у — отношение удельных теплоемкостей; индекс * отмечает параметры потока на сфере г — г#.

При наличии вязкости данное течение может быть рассмотрено с помощью одномерных уравнений Навье — Стокса

^ <1х ^ и йх ^ X Я \ с/Л-2 X* 1

<И I йу V \ ...

^ хК ) и ^ /? [ 4о йх ^ ' ах ] 7* ’

/?=4-Ке*>

* г*

здесь р — плотность; ^ — коэффициент вязкости; о — число Прандтля; То, — температура газа на бесконечности; а —константа, определяющая поток тепла д0 в бесконечно удаленной точке; а= 1 при д0 = 0,

і +

рж-const

Фиг. і

Как показали результаты численных расчетов [1, 2, 4], течение при г<г+ остается близким к идеальному. Аналогичный результат следует из асимптотического решения, приведенного в работе [5], согласно которому

в — / + 1)(1 ~ ») . (ч —1

— \[2Т — 1 -2n(T-l)]*^(j + l

(-Г-1)(1-я) 1

2 ^2(т-1)(1-«) 1-л .

W

где 6 = tR\ W

(2)

V

V

■1 + I

Я*; X = xR“-,

»=[2Т~1 —2(Т— ПлГ1; X = 2(Т — I)

ш.

6 = (J-тт)1^ *2('M) ехР

В случае «==1 подробный анализ влияния диссипативных процессов на течение газа при г < г+ был проведен в работе [4] на основании численного интегрирования уравнения Навье—Стокса. Там же были получены соотношения для параметров потока в этой области, которые хорошо согласуются с асимптотическими, приведенными в работе [5]. Основные изменения за счет вязкости претерпевают здесь температура и давление.

2. При наличии вязкости существенным образом изменяется картина течения в переходной области при г>г+. Если в идеальном газе скачок уплотнения представляет собой некоторую нормальную к линиям тока поверхность разрыва, то в вязком газе толщина ударной волны становится конечной. В этом случае закономерности асимптотического поведения рассматриваемого течения при наличии вязкости могут принципиально отличаться от закономерностей для случая идеального газа.

При п= 1 эта особенность была раскрыта в работе [6]. Течение в этой области уже зависит от условий на бесконечности и состоит из примыкающей к границе г = г+ области перехода сверхзвукового течения в дозвуковое и распространяющейся до бесконечности дозвуковой области (см. фиг. 1). При рсо/р* 0 и отсутствии теплового потока в бесконечно удаленной точке (а=1) координата г+ условно введенного переднего фронта ударной волны оказывается конечной, и течение в области перехода сверхзвукового течения в дозвуковое определяется особенностями структуры ударной волны. В отличие от плоской ударной волны за счет растекания газа нарушаются следующие из теории прямого скачка уплотнения соотношения на его фронте. Некоторые параметры, например плотность, могут изменяться в этой области монотонно. Существование такого режима течения, при котором исчезают газодинамйческие признаки сплошной среды, подтверждается экспериментально в сильно недорасширенных струях, течение вдоль оси которых эквивалентно одномерному. Приведенные в работе [7] результаты измерений показывают,что при некотором уровне разрежения плотность газа вдоль оси струи монотонно уменьшается, переходя к уровню плотности в окружающем пространстве.

Экстремальные значения параметров потока на границе перехода к дозвуковому течению и их относительное изменение в этой области в зависимости от числа Re* при п= 1, 7= 1,4, о = 0,75 были получены в работе [6]. Для х+ и t+ эти данные вместе с вновь полученными в случае п = 0,5, 7=1,4 и о = 0,75 приведены на фиг. 2.

Начиная с некоторого расстояния г, влияние вязкости и теплопроводности становится существенным и для сверхзвукового источника (см., например, [8]). Об этом же свидетельствует существование экстремальных значений параметров потока в асимптотическом решении (2)

6

+

7(7 + 1)(1 —п)

У = 1&±3 •

+ 2 (Т — 1) ’

~ Т (7 + 1) 1

Следующие из этих соотношений значения х+ и при 7= 1,4 и двух значениях п построены на фиг. 2 сплошными (ге = 1) и штриховыми (п = 0,5) линиями. Сравнение этих данных с точными численными значениями показывает, что область сильного влияния

Т + 1

2 ЛГ^ехр

вязкости и теплопроводности в сверхзвуковом источнике поглощается структурой ударной волны. Следует отметить также, что по мере уменьшения п, что обычно сопутствует увеличению температуры, сверхзвуковая область течения г <г+ уменьшается.

, 3. Решение системы (1) в окрестности бесконечно удаленной ТОЧКИ Г = Оо(л: =0), ДЛЯ которого давление /?со стремится к конечному значению, имеет следующий вид [1]:

V

х2(а0-\-а1х +...); £ = Ь0 + ^х+..

(3)

Из этих соотношений следует, что скорость движения газа в этой области мала по сравнению со скоростью звука, и распределение температуры здесь определяется теплопроводностью в неподвижной среде. Коэффициенты рядов (3) определяются однозначно через параметры р %/рсоз Тсс/Т#, /?, ос, *[, а;

£*.) (

рч \ Т*<

т„

Ьп = 00

с/0 т*

1-м

= Р±

3 \р<*,

&1=1^(Т^У_га (а - 1).

(а — 1);

Среди перечисленных параметров один, например Т^/Т#, зависимый, определяется в результате решения системы (1). В частном случае отсутствия теплового потока в бесконечно удаленной точке (а=1) наличие диссипативных процессов не сопровождается потерями импульса и тепла в окружающее пространство и, как следует из численных расчетов, температура Г» совпадает с соответствующим значением температуры торможения Т0 = ^—Т^, т. е.

При рч{р

00 1 система (1) допускает еще одно асимптотическое

решение, соответствующее дозвуковому течению в некоторой промежуточной области (см. фиг. 1). Существование этого решения при отсутствии теплового потока в бесконечно удаленной точке (а = 1) было установлено в работе [8], его анализ дан в работе [6]. Оно имеет вид

Коэффициенты этих рядов зависят от одного параметра, напри-

Следует отметить, что течение в этой области, так же как и в сверхзвуковой, не зависит от перепада давления р^/роо-

Результаты численного интегрирования системы (1; при отсутствии теплового потока в бесконечно удаленной точке (а = 1) приведены в работе [6]. Решение было получено на ЭЦВМ по методу, изложенному в работе [1]. Там же приведено сравнение численных расчетов с ограниченным первыми членами разложением (4) в промежуточной области. Проведенные дополнительные расчеты по выявлению влияния показателя степени п в зависимости коэффициента вязкости от температуры на распределение скорости и температуры показали, что оно локализовано областью перехода сверхзвукового течения в дозвуковое.

В дальнейшем в работе [9] было произведено асимптотическое сращивание указанного в работе [8] решения (4) в промежуточной области с решением [3] в окрестности бесконечно удаленной точки. Переходя в системе (1) к новым зависимым и независимым переменным

и устремляя U70 -> со, что соответствует бесконечному увеличению Р*!Р°г» получим

d2W__2W_ _ р Г_1_ dW___21 '

- 1 - -

v—Yх {с0с\Хt — dQ -f- dAx .. .

(4)

мер d0. При a = 1, когда Г* == , они равны

и т. д.

Решение первого уравнения этой системы имеет вид [9]

‘ № I 1 /1 ИМ г

7Г + 1п(1- 55-) — — 3^5 ■ ^ (6)

Его сравнение с численными расчетами для рассмотренного в работе [9] случая я=1, когда Тос/Т# = , приведено на фиг. 3.

10

Пе+-=6в\ у=1,‘*-,0--О}75

Г-1,01* 0,7№

Г 0 П=1 : 0£ = / ] _ г . I численныи / 1 к=0,6\ расчел! £ ^ 1/1 ’1 / —асимптотическое решение (6)

ГО

10

10'

Фиг. 3

4. До сих пор особенности одномерного истечения вязкого теплопроводного газа в затопленное пространство рассматривалось при а = 1, когда тепловой поток в бесконечно удаленной точке отсутствовал. Остановимся теперь на случае ъф\. Интегрирование системы (1) при наличии теплового потока в бесконечно удаленной точке проводилось численно по методу, изложенному в работе [1]. Для температуры результаты расчетов приведены на фиг. 4. Они были получены при фиксированных значениях параметров Ие* = 68, 7 = 1,4, 0 = 0,75 и р%/рсо^>\.

Как и следовало ожидать, изменение граничных условий в бесконечно удаленной точке, в данном случае теплового потока, приводит к перестройке течения в области г>г+. Граница условно введенного переднего фронта ударной волны х+ и экстремальное значение температуры 1+ на нем остаются практически неизменными (см. фиг. 2). При а<1 отношение Тсо/Т# >, и, наоборот,

т

при а>1 Гсо/Т* • С ростом числа Ие* величина

1+1 2 '

при-

ближается к значению

При 7,оо/7’*~0(1) течение в области г>г+ будет определяться системой (5), решение которой для скорости дается выражением (6). Сравнение этого решения с результатами численных расчетов приведено на фиг. 3. Следует отметить его независимость от Тсо/Т* при п— 1.

При температура газа в промежуточной области

начинает заметно превышать свое предельное значение, соответствующее бесконечно удаленной точке, и решение (4) в этой области теряет силу.

Для определения асимптотического характера поведения решения при Гоо<С171* представим зависимые и независимые переменные в виде

_ 1 ___1_ п+1

2”+1 V, №0 г»+1ф, ь = Ш1п+11?х.

Переходя в системе (1) к новым переменным и устремляя ЦТ’о -> оо, что соответствует при конечном малом значении Тоо/Г* бесконечному увеличению Р*1Роэ, получим

V

6*ф

<15

■ф£+

2 УФ

щ V2 Фп

-1 йФ /йУ

с15 п ЙФ

—-ф 4 а

т.

_У_ в

а

г*

(7)

Решение второго уравнения этой системы при граничном условии Ф(х = 0) = 0, определяющее распределение температуры в промежуточной области при Т'со<С7’ф, имеет вид

Ф =

4а(п+1)( 'оо

г)*?'

1___

+г

или в исходных переменных

4а (и + 1) (л Тсо\ £х 1»+1

|и+1

(8)

(9)

Сравнение полученного асимптотического решения для температуры с результатами численных расчетов приведено на фиг. 4.

Покажем, что аналогичное решение для скорости в промежуточной области при ГсоСТ* имеет вид 1/=рФ, где $ = const. Для

п=0,5^

1

■ ■ ъ щ/ щ ,

асимптотическое решение (70) й п-1 1 ^целенный расчет К 0,5 \

Ю‘

701

Ю

10

,'2

10

10

гЗ

Фиг. 5

этого подставим искомое выражение в первое уравнение системы (7). Будем иметь

#

ds

+

щ jJ3

ds

2-^2 Ф"+1

С учетом второго уравнения системы (7), решения (8) и следующего из него равенства

ф"~+Иф*-'|'§-Г=о

для константы р получим следующее выражение:

Р:

2_____.

2 (п + 2) ( а

Окончательно для V имеем У={(Л + 1)

' 2 ' 1+я 2

L 7 (и + 2) J

4 а

т

1-л

1

П+ 1

(Ю)

На фиг. 5 полученное асимптотическое решение для скорости (10) сравнивается с результатами численных расчетов, проведенных при фиксированных значениях параметров Ке* = 68, ч = 1,4, а —0,75, Как уже отмечалось ранее и как это следовало из численных рас-

^ОО „ У ~4~ 1 г-|

четов, величина а у— принималась равной ^—. Здесь же сплошной линией приведено распределение скорости в окрестности бесконечно удаленной точки 1/=:52.

Проведенный анализ показывает, что при течение

в дозвуковой области становится полностью определенным.

4—Ученые записки № 4

49

1. G u s е v V. N., Z h b а к о v a A. V. The flow of viscous beat-conducting compressible fluid into the constant pressure medium. Sixth Intern. Sympos. on Rarefied Gas Dynamics, 1968.

2. Ребров А. К., ЧекмаревС. Ф. Сферическое истечение вязкого газа в затопленное пространство. ПМТФ, 1971, №3.

3. Г у с е в В. Н., Ж б а к о в а А. В. Сток в вязком теплопроводном газе. .Ученые записки ЦАГИ", т. 5, № 6, 1974.

4. Гусев В. Н. О влиянии вязкости в струйных течениях. «Ученые записки ЦАГИ“, т. 1, № 6, 1970.

5. Freeman N. С.Kumar S. On the solution of the Navier—Stokes equations for a spherically symmetric expanding flow. J. Fluid Mech. vol. 56, pt. 3, 1972.

6. Гусев В. H., Ж баков а А. В. Истечение вязкого газа в вакуум. Изв. АН СССР, МЖГ, 1971 № 3.

7. Muntz Е. P., Hamel В. В., Maguire В. L. Some characteristics of exhaust plume rerefaction A1AA Journal, N 9, 1970.

8. Ладыженский М. Д. Об истечении вязкого газа в пустоту. ПММ, 1962, № 4.

9. Freeman N. С., Kumar S. A note on the solution of the Navier—Stokes equations for a spherically symmetric expansion into a very low pressure. J. Fluid Mech. vol. 59, pt. 2. 1973.

Рукопись поступила 4jV 1975