Вращательная релаксация в сферически расширяющемся потоке вязкого газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том IX

1978

№ 5

УДК 533.6.011

ВРАЩАТЕЛЬНАЯ РЕЛАКСАЦИЯ В СФЕРИЧЕСКИ РАСШИРЯЮЩЕМСЯ ПОТОКЕ ВЯЗКОГО ГАЗА

В. В. Рябое

Численно на основе уравнений Навье — Стокса и релаксационного уравнения исследуется сферическое расширение релаксирую-щего вязкого газа в затопленное пространство.

Показано, что на запаздывание вращательной температуры от поступательной существенное влияние оказывает параметр релаксации АГ*. а также зависимость времени релаксации от температуры. Влияние числа Рейнольдса существенно на распределение поступательной температуры. Проведенное сравнение результатов, полученных с помощью модели объемной вязкости и с помощью релаксационного уравнения, показывает, что модель объемной вязкости дает приемлемые результаты лишь вблизи звуковой сферы. На больших расстояниях от источника целесообразней пользоваться релаксационным уравнением. Результаты расчетов сравниваются с данными других авторов.

В рамках уравнений Навье — Стокса задача о сферическом расширении равновесного вязкого теплопроводного газа в затопленное пространство была решена в работе [1] и позднее в работе [2].

Попытки учета нарушения равновесия между поступательными и вращательными степенями свободы, вследствие уменьшения локальной частоты столкновений между молекулами вниз по течению, предпринимались в рамках уравнений Эйлера в работе [3], для уравнений Навье — Стокса с учетом объемной вязкости и поправки Эйкена — в работе [4], для модельного кинетического уравнения Больцмана — в работе [5].

В данной работе нарушение равновесия учитывается в рамках уравнений Навье — Стокса заданием релаксационного уравнения вида*:

* Вид этого уравнения получается из релаксационного уравнения, записан-

ат'д

йї

, если под 7^ понимать меру вращатель

ного для энергии:

ной энергии Б# =

= сопе! и

где Т', Т'а — соответственно поступательная и вращательная температуры; — время поступательно-вращательной релаксации (штрих означает размерную величину).

Полученные с помощью этой модели результаты сравниваются с результатами, полученными в рамках модели учета вращательной релаксации с объемной вязкостью [4].

1. Рассмотрим установившееся сверхзвуковое истечение вязкого, теплопроводного, релаксирующего газа из сферической полости радиуса г', на которой число М* = 1, Т' = Т'к , в пространство с постоянным давлением р'ж. Течение будет происходить по лучам из точек сферы с центром в начале координат.

Исходную систему уравнений запишем в виде

",р -=0; (1)

dr

+т{-т '+£[*>т+(*-т>)7г‘-£а]}-0! (2>

Re* l dr \ 3 / r2 dr

= 0; (3)

JLjL (p ur* Tr) = p IlJjl p k (4)

r* dr PZR

Система (1) — (4) замыкается заданием уравнения состояния газа и законов зависимости вязкости и времени релаксации от поступательной температуры:

(5)

(6)

р иг

К^ = -^гт^- (7)

Р» XR*

Уравнения записаны в безразмерной консервативной форме, где р—плотность; р — давление; и — скорость; — коэффициент динамической вязкости; х — коэффициент объемной вязкости (в нашей постановке * = 0); о — число Прандтля*. Все величины отнесены к соответствующим при г' = г'.

* В нашем предположении учет модифицированной поправки Эйкена р Dcvr [9], где D — коэффициент самодиффузии, приводит к выражению для ко-

5 / cvt 2 р D cvr\ р D

эффициента теплопроводности I = — -------+--------------u cv, и при---- = 1,

2 V cv 5 (a cv I 1х

в я: 0,76.

Р-

:Р Т» Тп 11 >

p?/t = Т™, Re,

Р иг г» ♦ *

Отношение удельных теплоемкостей 7 в критическом сечении предполагается постоянным (7 = 7/5). Для истечения газа в затопленное пространство краевые условия имеют вид:

Р=1, Т(= 1, Тк — \, и — \ при г=1; (8)

Р = Рсо, Т(=ТСо, и = 0 при гоо. (9)

Краевая задача (1) —(9) рен1алась методом установления. Добавляя к уравнениям (1) —(4) нестационарные члены рХ

X

получим систему нестационарных

уравнении, которая решалась методом, успешно примененным ранее [7, 8] для расчета обтекания сферы вязким теплопроводным газом.

В качестве начального распределения выбирались значения функций, соответствующие изоэнтропическому расширению двухатомного газа, как это делалось в работе [2].

Разностная аппроксимация уравнений и граничных условий осуществлялась на четырехточечном шаблоне в соответствии с идеями работы [7]. Полученная таким образом неявная разностная схема является абсолютно устойчивой на линейном аналоге и обладает порядком аппроксимации О (т 4-/г2), где т — шаг по временной, а к— по пространственной координатам. Схема реализуется скалярными прогонками. Счет прекращался при достижении

гпах

д 1п р д 1п (р и) аіп(р д1п(Р ТК) ]

ді » ді і ді

<е0.

Величины х, А, в0 подбирались в результате контрольных расчетов. Например, для случая Ие* = 161,83, /С* = 28,4, роо=:2-10~2 было получено т = 2-10-2, Л = 4-10~2, £0 = 5-1О_3, и процесс устанавливался за 700 итераций.

Вместо краевого условия (9) использовалось:

Р = Роо, Т{ = Тос, 11 = -Ц— ПрИ Г=Ги, (10)

Раг гм

где гы = (4 -ь 7) ■ г3 (г$ — положение ударной волны в идеальном газе, соответствующее значению рх)- Различие решений для случаев гм = 3 ^ и ги = 7 г£ не превышало 2% и в основном наблюдалось в заднем фронте ударной волны.

2. Решение краевой задачи (1) —(9) зависит от следующих параметров: Ие%, рос, Тж, га, а, т, К*. В дальнейшем с помощью численного решения исследуется влияние этих параметров на картину течения релаксирующего вязкого двухатомного газа от звукового источника. Результаты проведенных расчетов подтвердили обнаруженное ранее [3, 4] наличие запаздывания вращательной температуры от поступательной, причем темп падения вращательной температуры по мере расширения газа во внутренней сверхзвуковой области течения замедляется, что приводит к ее „замораживанию*. Перед ударной волной в таком течении всегда отсутствует вращательно-поступательное равновесие и Тц^>'Г(. В результате сжатия

газа в ударной волне происходит быстрое нарастание поступательной температуры, а за точкой ТК=Т( начинают возрастать соответствующие значения вращательной температуры. Наличие ярко выраженного максимума поступательной температуры в заднем фронте ударной волны, отмечавшееся в работах |4, 6], не обнаружено, что является особенностью рассматриваемой модели.

По мере расширения газа в дозвуковой области течения происходит постепенное выравнивание температур к значению Гот. Изменение вращательной и поступательной температур представлено на фиг. 1. Здесь же проиллюстрировано влияние различных перепадов плотности. Сплошной линией нанесены результаты расчета для Ие*=161,83; К* = 28,4; а = т = п = 0,75; Тоо=1,2; пунктирной— для Ие*—*оо (результаты для этого предельного случая были получены методом, аналогичным изложенному в [3]).

Как и в случае равновесного истечения [1, 2], имеется область начального участка расширения, в которой распределение параметров при уменьшении роо не меняется, но из-за размытия ударной волны происходит увеличение зоны неравновесного течения. Отметим также существенное влияние вязкости и теплопроводности на отклонение поступательной температуры от значений, рассчитанных в: рамках уравнений Эйлера, в то время как их влияние на распределение вращательной температуры во внутренней области течения пренебрежимо мало. Этот вывод подтверждается результатами расчетов, в которых исследовалось влияние показателя степени п в законе зависимости вязкости от температуры, а также числа Прандтля о.

Численное исследование показало, что основными параметрами, влияющими на релаксационный процесс, являются /С* и пг. Это находится в полном согласии с результатами работы [3]. Уменьшение основного параметра релаксации К* при фиксированных значениях прочих параметров приводит к более быстрому „замораживанию" вращательной температуры (фиг. 2). Отклонения поступательной температуры от соответствующих равновесных значений незначительны, однако имеется тенденция к большему запаздыванию при уменьшении параметра АТ*.

Влияние параметра m проиллюстрировано на фиг. 3. С уменьшением показателя степени m в законе зависимости времени вра-

20 г

Фиг. 1

щательной релаксации от поступательной температуры (7) вращательная температура, как и поступательная, все больше отличается от своего равновесного распределения, которое представлено на фиг. 3 пунктирной линией. В приведенных выше расчетах предполагалось Ие* — 161,83; роо = 0,02; л = з = 0,75. Увеличение числа Ие* приводит к уменьшению релаксационной зоны вблизи и во фронте ударной волны. Во внутренней сверхзвуковой зоне течения значения как поступательной, так и вращательной температур близки к соответствующим значениям, рассчитанным в рамках уравнений Эйлера.

3. Вопрос о соотнесении модели, основанной на релаксационном уравнении, и модели с объемной вязкостью в случае плоской ударной волны рассматривался в работе [6]. В данной работе аналогичное исследование представлено для сферического расширения газа в затопленное пространство. Вопрос об объемной вязкости подробно обсуждался в работе [9].

Объемная вязкость, характеризующаяся коэффициентом *, появляется в тензоре напряжений, если определить температуру по полной энергии молекул. При этом в приведенной выше системе уравнений (1)—(3) следует формально положить 7”,= Тк = Т%, если же определить температуру лишь по кинетической энергии молекул, то в тензоре напряжений член с объемной вязкостью будет отсутствовать, а система уравнений примет вид (1)—(4), где х = 0. Нетрудно показать [9], что если между временами релаксации поступательных (т,) и вращательных (т#) степеней свободы молекул и характерным газодинамическим временем 0 выполняются соотношения

то из релаксационного уравнения (4) и уравнения энергии (3), переписанного для температуры Гл, можно получить следующие выражения для поступательной и вращательной температур:

1,

(11)

(12)

Т<=

(13)

(14)

причем коэффициент объемной вязкости однозначно связан с временем вращательной релаксации [6]

х=4-^1?г- <15>

Результаты расчетов в рамках модели объемной вязкости для различных значений К* [см. (7), (15)] и фиксированных т = п=\, а = 0,7, Ие% = 200, роо = 0,02 представлены на фиг. 4 (кружочками нанесены результаты работы [4] для /С* = 48, а сплошными линиями — соответствующие выбранным значениям /С* результаты расчета с помощью релаксационного уравнения (4)).

Во внутренней области течения перед передним фронтом ударной волны всегда Гд > Ть и вращательно-поступательное равновесие отсутствует, однако в точке, где плотность достигает своего минимального значения, всегда 7й = Г<=7’а. Дальнейшее падение вращательной температуры ясного физического смысла не имеет и, по-видимому, вызвано погрешностью приближения теории объемной вязкости.

Физический смысл объемной вязкости — „отставание" внутренней энергии от своего равновесного значения или температуры внутренних степеней свободы молекул Тц от температуры Т Поэтому естественней определять температуру по кинетической энергии молекул и пользоваться релаксационной моделью. Следует также добавить, что если соотношение (11) для вращательных степеней свободы выполняется всегда [10], то соотношение (12) выполняется лишь вблизи начального участка расширения.

Действительно, например, для условий, рассмотренных в работе [4], неравенство (12) выполняется лишь при г^2,5 и модель объемной вязкости дает результаты, близкие к рассчитанным с помощью релаксационного уравнения только в этой области (см. кривые 2 и 4 на фиг. 4). Полученные результаты справедливы лишь для классического приближения теории релаксации, когда учетом квантовомеханических особенностей можно пренебречь.

Автор благодарит В. Н. Гусева и Н. К. Макашева за полезные советы во время проведения работы.

1. Gusev V. N.. Zhbakova А. V. The flow of viscous heat-conducting compressible fluid into the constant pressure medium. Sixth. Intern. Sympos. on Rarefied Gas Dynamics, 1968.

2. Ребров А. К., Ч e к m a p e в С. Ф. Сферическое истечение вязкого газа в затопленное пространство. ПМТФ, 1971, № 3.

3. Сковородко П. А. Вращательная релаксация при расширении газа в вакуум. Сборник „Динамика разреженных газов*. Под ред. С. С. Кутателадзе, Новосибирск, 1976.

4. Ребров А. К., Ч е к м а р е в С. Ф. Сферическое расширение вязкого газа с вращательной релаксацией в затопленное пространство. Сб. «Динамика разреженных газов". Под. ред. С. С. Кутателадзе, Новосибирск, СО АН СССР, 1976.

5. Hamel В. В., Willis D. R. Non-equilibrium effects inл spherical expansions of polyatomic gases and gas mixtures. Pros. Fifth Intern. Sympos. on Rarefied Gas Dynamics, vol. I, 1967.

6. Talbot L., S с a 1 a S. M. Shock wave structure in a relaxing diatomic gas. Second Intern. Sympos. on Rarefied Gas Dynamics, Acad. Press, 1961.

7. Молодцов В. К., Толстых А. И. О расчете сверхзвукового вязкого обтекания затупленных тел. Труды секции по численным методам в газовой динамике 2-го Международного коллоквиума по газодинамике взрыва и реагирующих систем, 1971, т. 1. М., Изд-во ВЦ АН СССР.

8. Белоцерковский О. М., Север и нов Л. И., Бабаков А. В. О некоторых применениях консервативного метода „потоков”. Сб. статей „Аэромеханика и газовая динамика*. М., „Наука*, 1976.

9. Галкин В. С., К о г а и М. Н., Макашев Н. К. Обобщенный метод Чепмена—Энскога. Ч. 1. „Ученые записки ЦАГИ\ т. 5, № 5, 1974.

10. С т у п о ч е н к о Е. В., Л о с е в С. А., Осипов А. И. Релаксационные процессы в ударных волнах. М., „Наука*, 1965.

Рукопись поступила 231 VI 1917